2023年九年级数学中考：旋转综合压轴题.pdf

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1、2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题1.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如 图 1,在中，ZA=90。，AB=A C,点。、E 分别在边4 8、AC上，A D=A E,连接D C,点M、P、N分别为E、D C.8 c 的中点，且连接PM、PN.(1)观察猜想线段P M 与 P N 填(“是”或“不是”)“等垂线段”.(2)VADE绕点A 按逆时针方向旋转到图2 所示的位置,连接B D,C E,试判断P M与P N是否为“等垂线段”，并说明理由.(3)拓展延伸把VAE绕点A 在平面内自由旋转，若D E =2,BC=4,请直接写出PM 与 PN的积的最大值.2.如图乙，4 3

2、 c 和VAOE是有公共顶点的等腰直角三角形,点 P 为射线80,CE的交点.EB C B C图甲 图乙A AB C B CZfiAC=ZZME=90,备用图备用图(1)如图甲，将V A D E绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接3 0、B E,求证：B D =C E；(2)若 A B =6,4 5 =3,把V 4 D E绕点 A 旋转：当N C 4 =9 0 时，求尸8的长；若M为线段8 C中点，直接写出旋转过程中线段ZW长的最大值.3 .综合与实践九 年 级(1)班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转为主题，开展数学活动.操作探究：(1)如 图1,A B C为等边三角形，将4

3、 3 c绕点A旋转1 8 0。，得到V A D E,连接8 E,则N C B E=若尸是B E的中点，连接4尸，则4尸与 E的 数 量 关 系 是.迁移探究：(2)如图2,(1)中的其他条件不变，当.A 8 C绕点A逆时针旋转3 0。，得到V A O E,求出此时Z.EBC的度数及A F与D E的数量关系.拓展应用：(3)如图 3,在R tZ X A B C中，AB=A C =2,Z B A C=9 0,将一A B C绕点 A旋转，得到V A D E,连接8E,尸是8 E的中点，连接介.当N E 8 C =1 5。时，求A F的长.图14 .在等腰 A D C和等腰 B E C中，Z A D

4、C =N B E C =90,B C (7 绕点C旋转到如图2的位置，连接A ,BE,(1)中的结论还成立吗?说明理由；(3)拓展：把 (“绕点C在平面内自由旋转，若 A C =3,CE=2,当A,E,。三点在同一直线上时，则 A E 的长是.6.如图 1,在 R r A B C 中，Z A C B=9 0,N A B C =6 0。，8 c =2,点A、B 1 分别为边A C,B C 的中点，连接4鸟，将一AC绕 点C逆时针旋转a (0。4。4 3 6 0).(1)如 图 1,当。=0。时，易 知 4A和的位置关系为线段AA和的数量关系为;(2)将A/。绕 点 C逆时针旋转至图2所示位置时，

5、(1)中AA和 的 关 系 是 否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；当 ABC绕 点 C逆时针旋转过程中.面积的最大值为；当4、B rA三点共线时，线段AA的长为.7.在 锐 角,A B C 中，A B =4,BC=5,Z A C B =4 5。，将 A B C 绕点B按逆时针方向旋转，得到(1)如 图 1,当点G在线段C 4 的延长线上时，NCCH的度数为。；(2)如图2,连接A 4,C C,.若 的 面 积 为 4,求 C B G 的面积；(3)如图3,点 E为线段A8中点，点 P是线段AC上的动点，在一A B C 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点尸的对应点是直接写出线

6、段长度的最大值与最小值.试卷第4页，共 1 0 页8 .在等腰R t A B C 中，AB=AC,Z B A C =90.图1(1)如 图1,D,E是等腰R t图2备用图A B C斜边B C上两动点，且2 D 4 E =4 5。，将.A B E绕点A逆时针旋转9 0。后，得 到A F C,连接。尸.求证：BE=C F；试判断B E、D E、8 三条线段之间的关系，并说明理由.(2汝口图2,点。是等腰R t 4 8 c斜边8 c所在直线上的一动点，连接AD,以点A为直角 顶 点 顺 时 针 作 等 腰 当 比)=3,5 c =9时，直接写出O E的长.9 .(1)如 图1,在正方形A C 0 E

7、中，点F,G分别在边A E,A C上，若N F D G =45。,则尸G,EF,C G之间的数量关系为：；(提示：以点O为旋转中心，将A D C G顺时针旋转9 0。)解决问题：(2)如图2,若 把(1)中的正方形改为等腰直角三角形，Z A D C =90,E,F是底边A C上任意两点，且满足Z E D F =4 5。，试探究A E,EF,尸C之间的关系；拓展应用：(3)如图3,若 把(1)中的正方形改为菱形A C D E,Z E=6 0,菱形的边长为8,G,F分别为边A C,A E上任意两点，且满足/F D G =6 0。，请直接写出四边形O E 4 G的面积.10.如图1,正方形ABC。对

8、角线A C、3D交于点。，E、F分别为正方形ABCD边AB、A上的点，E F J.A C 交于点、M,且M E =M F,N 为B F 中点、.(1)请直接写出O N与O M的数量关系(2)若将A A E F绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)若48=8,E为A 3中点，绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大距离.1 1.在 中，AB=AC,NABC=30。，点。是边AB上的一动点，点F是边8 上的动点，连接A尸并延长至点,交BC于G,连接BE,ZAFC=6 0 ,且(1)如 图1,若BC=4下,BE=2,求AE的长;ZE+ZBDF

9、=180,(2)如图2,若。是4 8的中点，连接)、B F,求证：D F +EF=y/3BF;(3)如图3,在(2)问的条件下,将8DE绕点B顺时针旋转,旋转中的三角形记为。出片,取 的 中 点 为M,连接C M.当CM取最大时，将ADR沿直线CM翻折，得到试卷第6页，共10页 2，直 接 写 出 雾 的 值.1 2 .把两个等腰直角三角形；MC和V A D E 按图1 所示的位置摆放，将V A D E 绕点A按逆时针方向旋转，如图2,连接B。，E C,设旋转角为。(0口3 6 0。).(1)如图1,8 0 与E C 的 数 量 关 系 是,8 与 B C 的位置关系是(2)如图2,(1)中8

10、 0 与 E C 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点。在线段8 E 上时，求证：B E L C E；(4)当旋转角。=(填 度 数)时，m )的面积最大.1 3 .【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题.如图，点户是等边A 5 C 内的一点，连接P 4、PB、P C.当口=3,PB=4,PC=5 时，求/AP 8的度数.【解决问题】小明在解决此题时，将点尸绕点B 逆时针方向旋转6 0。得到点。，连接 D4、D P、D B,并结合已知条件证得A 3 gC 8 P.请利用小明的作法及结论求NAP 8的度数.【方法应用】如图，点尸

11、是正方形A 8 C 3 内一点，连接R4、P B、P C.若 PA=6 a，PB=2a,PC=a,则 ZAPB=.D图14.如图，将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，点A（-2,0）,点8(6,0),点C 在第一象限，ZACB=90,ZC4B=30.求点C 的坐标；（2）以点B为中心，顺时针旋转三角形A B C,得到三角形B O E,点 A,C 的对应点分别为 D,E.如图，当 上 AB时，BO与 轴交于点F,求点F 的坐标；（3）以点B为中心，顺时针旋转三角形A B C,得到三角形即 E,点 A,C 的对应点分别为 以 E.在（2）的条件下，点F 不变，记户为线段切的中点，。为

12、线 段 的 中点，求尸。的取值范围（直接写出结果即可）.15.在 等 腰 ABC中，Z A B C =90,AB=B C,将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度试卷第8 页，共 10页得到线段A。，交BC于点G,过点C作C F L A D于点反(1)如 图1,当旋转22.5。时，若BG=1,求A C的长；(2)如图2,当旋转30。时，连接8。，恰好使B D/A C,延长C F 交B D 于点E,连接E G ,求证：A G =C E+E G；如 图3,点M是AC边上一动点，在 线 段 上 存 在 一 点N,使M5+N4+NC的值最小时，若 NA=2,请直接写出C/VM的面积.16.如图，在三角形AB

13、C中，Z B A C =90,AB=A C,点 产 为。内一点，连接”,BP,C P,将线段AP绕点A逆时针旋转90。得到A P，连接P P，CP.(1)用等式表示CP与8P的数量关系，并证明；当 N3PC=135 时，直接写出NPCP的度数为；若M为BC的中点，连 接 请 用 等 式 表 示PM与AP的数量关系，并证明.17.在平面直角坐标系中，矩形Q 4 B C,。为原点，A(3,0),B(3,4),C(0,4),将O8C绕点8逆时针旋转，点O,C旋转后的对应点为O,C.如 图(1),当NC8C=30。时，求 C 的坐标；(2)如 图(2),当点。恰好落在x 轴上时，O C 与A 3交于点

14、 .此时0 8 与。是否相等，说明理由;求点。的坐标;(3)求 AOC面积的最大值.(直接写出答案即可)1 8.在 RtaABC 中，Z4CB=90,Z A B C =30,A C =2,将.ABC 绕点 B 顺时针旋转一定的角度a 得到点A,C 的对应点分别是Q,E,连接AO.图1图2图3(1)如图1,当点E恰好在A 8上时，求 ADE的大小；如图2,若a=60。，点 F 是 A 3的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论.(3)如图3,若 点 尸 为 中 点，求证：C、E、尸三点共线.求CF的最大值.试卷第10页，共 10页参考答案:1.是是 221 8 6#2.5或5 ；3 +3

15、近.3.(1)9 0；AF=-DE2(2)1 5。；AF DE21或G4.()DO=EO,D O V EO成立，(3)线段。的长为1或65.(1)BE=AD,BE AD；成立，昌-血 或 近+反6.(1)A 4,=6BB1(2)(1)中A A和BBt的关系仍然成立,(3)一 吊 收.27.(1)9 0崂 5 +|加答案第1页，共3页8.(i)D E2=C D2+BE2 i 3 方 或 3g9.(1)F G =EF +C G；(2)A E2+FC2=EF2;(3)1 6 61 0.(D O M =0 ON成立，(3)4 7 21 1.(l)2 5/7 二461 2.(1)BD=E C,且 B _ LE C,(2)成立(4)9 0。或 2 7 0。1 3 .解决问题：Z A PS =1 5 0；方法应用：ZAPB=351 4 .(1)C(4,2 7 3)F(0,2我(3)2 6-2 V P Q 4 2 G +21 5 .2 +0 正21 6 .(1)CP=BP,(2)N/y C Pu d S。，A P=V5P M，答案第2页，共 3页1 7.(l)C 36 5)2 2)(2)8 =。；。(3)1 41 8.(1)1 5(2)四边形C E D F是平行四边形,4答案第3页，共3页