2023年江苏卷数学高考真题.pdf

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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4 页，均为非选择题（第 1题 第20题，共 20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参

2、考公式：1 O 1 n样本数据西,，毛 的方差一=二 2（七 -j）2,其中亍=一2七 ,=i ,=i柱体的体积V=S，其中S 是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积V=L s/z,其中S 是锥体的底面积，力 是锥体的高.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.2.已知集合 4 =-1,0,1,6,B=X|X0,X GR ,则 A B=已知复数m+2 i）（i+i）的实部为o,其中i 为虚数单位，则实数。的 值 是 上3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的 值 是（第3题）4 .函数y =j 7 +6x-f的 定 义 域 是.5 .已知一

3、组数据6,7,8,8,9,1 0,则该组数据的方差是 .6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概 率 是.7 .在平面直角坐标系x O y中，若双曲线f/=l S 0）经 过 点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是8 .已知数列N*）是等差数列，S“是其前项和.若%+。8=0,5 9=2 7,则S?的值是.9 .如图，长方体A B C。-的体积是1 2 0,E为CG的中点，则三棱锥E-B C Z）的体积是.41 0 .在平面直角坐标系x Q y中，P是曲线y =x +（x 0）上的一个动点，则 点P到直线x+）=0的距禺的最 小 值 是

4、.I I .在平面直角坐标系X。），中，点4在曲线产h u上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e,T）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是.12.如图，在 八4 5。中，。是B C的中点,E在边AB上,B E=2E A,A。与C E交于点。.若AB-4 C =6 AO-E e,则 丝 的 值 是 .13.已知的值是_ a+14 .设/(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数，/(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(X)是奇函数.当x e(0,2 时，/(x)=J l-(1)2 ,k(x +2),0 x 0.若在区间(0,9 上，关,1 x/?0)的焦点为F i(-1、0),aF2(

5、1,0).过 F 2作 X轴的垂线/,在 X轴的上方，/与 圆F 2：(x-l)2 +y 2 =4/交于点A,与椭圆C交于点。连结AF i并延长交圆尸2于点B,连结B F 2交椭圆C于点E,连结D Q.5已知D F i=一.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.1 8.(本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/，湖上有桥A8(A8是圆。的直径).规划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、Q A.规划要求：线 段PB、Q A上的所有点到点。的距离均不少于向0的半径.已知点A、B到直线/的距离分别为A C和8。(C、。为垂 足)，测得

6、AB=10,AC=6,BD=12(单位：百米).(1)若道路P B与桥A B垂直，求道路P 8的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在。处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路P 8和Q A的长度均为d(单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.1 9.(本小题满分16分)设函数/(%)=。一。)(-6)(%-。),。力,。C区、/(*)为/6)的导函数.(1)若 a=b=c,/(4)=8,求“的值；(2)若 层b,b=c,且f (x)和(x)的零点均在集合-3,1,3 中，求f (x)的极小值;4(3)若a=0,0(),所以cosB=2 s in B 0,从而cosB=-.

7、5因此 sin(B+)=cos 8=.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为。，E分别为BC,AC的中点，所以 E D/A B.在直三棱柱ABC乂 181G中，A B/A iB,所以又因为E)u平面。EG,A|8i.平面OECi,所以4Bi 平面D E C.(2)因为A8=BC,E为AC的中点，所以8ELAC.因为三棱柱ABC乂山C i是直棱柱，所以C G,平面A BC.又因为BEu平面A 8C,所以CG_LBE.因为 GCu平面4ACG,ACu平面 AiACG,CCCAC=C,(第16题)所以B

8、 E,平面4ACG.因为CiEu平面4 A C G,所以BE_LGE.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：(1)设椭圆C的焦距为2c.因为 Fi(T,0),尸2(1,0),所以 QB=2,c=.又因为 DFi=g,ABLx 轴，所以 D F 2=d D F；F F；因此 2a=OQ+B=4,从而 a=2.由 bz=d2-c2,得炉=3.因此，椭圆C的 标 准 方 程 为 三+二=1.4 3(2)解法一:由(1)知，椭圆 C：土 +二=1,4=2,4 3因为A F 2，

9、x轴，所以点4的横坐标为1.将代入圆厂2 的方程(%-|)2+9=1 6,解得尸土4.因为点4在 X轴上方，所以A(l,4).又尸i(T,0),所以直线A ：y=2 x+2.将 x =代入 y 2 x+2,得 y =1 1 I?3因此8(一一,一一).又2 2(1,0),所以直线8 巳：y=-(X-l).5 5中一1)得 一 6%1 3 =0,解得x =_ 或 x74 3又因为E是线段8 尺与椭圆的交点，所以x =l.将 x =-l 代入y =3 (x l),得了=一3 三.因此(一1,一3一).-4 2 2解法二：2 2由(1)知，椭圆C：七+二=1.如图，连结E Q.因为 B F 2=2

10、m E F+E F 2 a,所以 E Q=E B,从而 N B R E=N B.因为尸洲=危8,所以N A=N 8,所以/A=NBBE,从而 E F J/F M.因为ABLr轴，所以E F iL r 轴.(第 1 7 题)x=-l3因为 F i（T，0）,由2 ,得 y =二.+=1 21 4 33又因为E是线段8巳与椭圆的交点，所以丁 =-耳.3因此 2）.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（I）过A作AE B D,垂足为由已知条件得，四边形A C D E为矩形，DE=B E=

11、A C-6,A E =C D =8.因为 P B _ L A B,8 4所以 c os N P B D =s in N A B E =一.1 0 5所以P 8=BDc os Z.PBD1 2w1 5.5因此道路P B的长为1 5（百米）.（2）若尸在。处，由（1）可得E在圆上，则线段B E上的点（除8,E）到点。的距离均小于圆。的半径，所以尸选在。处不满足规划要求.若Q在。处，连结AQ,由（1）知A O =lA E2+E D2=1 0,.A D +A B B D 7 八 .从而c os A B A D -=0,所以N B A。为锐角.2ADAB 2 5所以线段上存在点到点。的距离小于圆。的半径

12、.因此，Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.（3）先讨论点尸的位置.当N。8P OB,即线段P B上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点尸符合规划要求.设为/上一点，且 BLAB,由（1）知，耳8=1 5,3此时 P.D=B s in N R B D =48c os NE BA=1 5 x二=9；当N O B P 90。时，在中，P 88=1 5.由上可知，应1 5.再讨论点。的位置.由（2）知，要 使 得。色1 5,点。只 有 位 于 点C的 右 侧，才 能 符 合 规 划 要 求.当。4=1 5时，C Q =Q -AC2=J 1 52-62=3/2 1 .此时，线段

13、Q A上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综 上，当点。位 于 点C右 侧，且C Q=3庖时，d最 小，此 时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=1 7+3V 2 T.因此，d最小时，P,Q两点间的距离为1 7+3历（百米）.解法二：（1）如图，过。作C W _ L/,垂足为H.以0为坐标原点，直线0H为y轴，建立平面直角坐标系.因为80=1 2,A C=6,所以。H=9,直线/的方程为）=9,点4,8的纵坐标分别为3,-3.因为A B为圆。的直径，A B=1 0,所以圆。的方程为？+）2=2 5.从而A （4,3）,B 4,3）,直线A B的斜率为一.44因为P 8 L A 8,所

14、以直线P B的 斜 率 为-，34 2 5直线尸8的方程为丁=一;尤所以（-1 3,9）,PB=7（-1 3+4）2+（9+3）2=1 5.因此道路P B的长为1 5（百米）.(2)若尸在。处，取线段8 上一点E (-4,0),则E O=45,所以尸选在。处不满足规划要求.若。在。处，连结AD,由(1)知。(-4,9),又A (4,3),3所以线段A。：y =1%+6(-4领k 4).在线段A。上取点M(3,弓)，因为O M=j 3 2+(3)/32+42=5,所以线段A O上存在点到点。的距离小于圆。的半径.因此Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.

15、当N O B P O B,即 线 段 上 所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点P符合规划要求.设 为/上一点，且 8 _ L A B,由(1)知，8=1 5,此时R (-1 3,9)；当/O 8P 90。时，在 P B 中，P B B=15.由上可知，於1 5.再讨论点。的位置.由(2)知，要使得0/N 1 5,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q A=1 5时，设Q (a,9),由 A Q =J(a 4)2+(9 3)2 =1 5(a 4),得4=4+3收，所以。(4+3历，9),此时，线段Q A上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当产(-1 3,9),Q(4+3&T

16、,9)时，4最小，此时P,Q两点间的距离P Q =4+3后-(-1 3)=1 7+3万.因此，”最小时，P,Q两点间的距离为1 7+3扃(百 米).1 9.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分1 6分.解：(1)因为。=力=的 所以/(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为/(4)=8,所以(4一。)3=8,解得。=2.(2)因为=c,所以/(x)=(x。)(工一，)2 =x3-(6/+2h)x2+h(2a+h)x ah2,从而(x)=3。-b)x 笥 也.令/(x)=0,得x=Z?或x=2；。因为a,仇 等2,都

17、在集合 3,1,3中，且从所以网土2=l,a=3,8=一3.3此时/(x)=(x-3)(%+3,fx)=3(x+3)(x-1)令广（=0,得 =-3或x=l.列表如下:X(-00,-3)-3(-3,1)1(!,+)尸（幻+0-0+f(x)JI极大值、极小值所以/(%)的极小值为/(1)=(1一3)(1+3)2=-32.(3)因为a=0,c=l,所以/(尤)=x(x-6)(x-l)=/(力 +1)彳2+bx,f(x)=3x2-2(b+l)x+b.因为0 0,则/(X)有2个不同的零点，设为极大值极小值A所以/（X）的极大值M=/（x,）.解法一:M=d-(+1 诉 +如=3 x：2 S +1R+

18、切 停 一、az?S+i)9-2 9 2-8+1)3 +1)2 7-。+1 丫+号得即励+1)2 7(阿 E+i)2 72 4 4H-,因 jit M .2 7 2 7 2 7解法二:因为0 8 W l,所以玉e (0,1).当xe(0,1)时，/(x)=x(x-Z?)(x-l)x(x-l)2.令 g(x)=x(x l)2,x e(0,l)(x-1).4 4所以当 x e (0,1)时，f(x)g (x)0.因为以以3以+1,所以其中仁1,2,3,m.当时，有“2 1；,J nZ 八，In 左当 上=2,3,加时，有-l n 1),则/(x)=；X X令/（%）=0,得X=e.列表如下:X(l

19、,e)e(e,+8)/（X）+0-/（X）等极大值4.、1l n 2 In 8 In 9 In 3 ”,广八、In 3因为丁丁丁一所 以 也/.n k取 夕=百，当上1,2,3,4,5时，”l n q,即&V 4 ,k经检验知 T K 上也成立.因此所求，的最大值不小于5.若哈6,分别取碗3,6,得3 3 3,且 春 6,从而1 7 能2 43,且q咚 216,所以q不存在.因此所求加的最大值小于6.综上，所求机的最大值为5.数学n(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演

20、算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)-3 1已知矩阵4=2 2(1)求火；(2)求矩阵A的特征值.B.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点直线/的方程为夕sin(e+?)=3.(1)求A,8两点间的距离；(2)求点8到直线/的距离.C.选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设x e R,解不等式用+|2 彳一1|2.【必做题】第 22题、第 23题，每 题 10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10分)设(1+x)=%+4 犬 +。2 2 +N.已知a；=2%.(1)求

21、的值；(2)设(1+G)=a +人 6,其中a/e N*,求/一 3加的值.2 3.(本 小 题 满 分 10分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，设 点 集 A,=(0,0),(1,0),(2,0),(,0),B=(0,1),(,1),G =(0,2),(1,2),(2,2),5,2),e N*.令 M“=A B C”.从集合M,中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当”=1时，求X的概率分布:(2)对给定的正整数(N 3),求概率尸(X W)(用表示).数学n (附加题)参考答案2 1.【选做题】人.选修4-2：矩阵与变换1本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础

22、知识，考查运算求解能力.满分10分.-3 r解：(1)因为A =3 x 3 +l x 2 3 x l +l x 2|F i l 5_ 2 x 3 +2 x 2 2 x l +2 x 2 j-1 0 6(2)矩阵A的特征多项式为fW =2-3 -1 2 /I 2=22-5 2 +4.令/(4)=0,解得A的特征值4 =1,=4.!?.选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.T T兀解：(1)设极点为O.在O A B中，A (3,B (J 2 )一)，42由余弦定理，得AB=+(/2)2-2 x 3 x V 2 x co s(-)=-7

23、5 .V2 4兀(2)因为直线/的方程为p s i n(e +)=3,则直线/过点(3 J 5,5)，倾斜角为手.又B(V 2,-),所以点B到直线/的距离为(3拉 啦)x s i n(-)=2.24 2C.选修4-5：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解：当x 2,解得工 2,即x 2,解得x l.2综上，原不等式的解集为 x|尤 4,所以2 64 n(n-l)(n-2)(n-3)，=-，因为 a；=2 a2a4,m 以 一 1)(-2)2 n(n-l)n(n-l)(n-2)(-3)Z x x6 2 2 4解得=5.(2)由(1)知，n=5

24、-(1 +后=(1 +百-=C；+C g+C；(省)2 +C；(折 +C4 诋 4 +G 诋 5=a+bfi-解法一：因为 a e N*,所以 a =C 2 +3 C；+9C；=7 6 1=C；+3 C：+9C：=4 4 ,从而。2一3 =7 6 2-3 x 4 4?=-3 2.解法二：(1-A/3)5=C+C；(-V3)+C(-V3)2+C(-V3)3+C(-V3)4+C；(-V3)5=C-C；G+C(6)2 _C；(G)3+C；(4 _C(5.因为a,b e N”,所以(1-退 了 =a 8行.因此。2 3 2 =(a +/?e)(a-/?百)=(1 +6yx(1-6)5 =(-2)5 =

25、-3 2.2 3.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解：(1)当”=1时，X的所有可能取值是1,正，2,、石.7 7 4 4X 的概率分布为尸(X =1)=R =R,P(X -yj2)-=,P(X=2)=4=2,P(X=8=4=2o 1 5 C：o 1 5(2)设A(a,。)和B(c、，d)是从M,中取出的两个点.因为P(X W )=1-P(X )，所以仅需考虑X n的情况.若=d,则A B W“，不存在X 的取法；若=。，d =1 ,则 A B=J(a-c P +1 当且仅当 A B =J.+1，此时a =0,c =或a =，c =0,有 2 种取法；若=。，=2,则 A B=(a-c)2 +4Wy/2+4，因 为 当3时；/(n-l)2+4 n，所以 X当且仅当A B =J/+4,此时。=。,。=或a=c =0,有2种取法；若=1,d =2,则A 8 =J(a-c)?+1 当且仅当/山=J +1，此时4=0,c =或a =，c =0,有 2 种取法.综上，当x 时，x的所有可能取值是4rli和 工，且P(X=V 7 T)=-,P(X=V n2+4)=-_C*4 C 4因此，P(X n)=-P(X=7 n2+l)-P(x=J/+4)=i 一