2023年经济数学基础综合练习及参考答案.pdf

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1、第 一 部 分 微 分 学一、单项选择题1.函数）=Xl g(x +l)的定义域是（D).A.x1 B.xwOC.x 0 D.x1 且 xwO2.下列各函数对中,（D ）中的两个函数相等.A./U)=(Vx)2,g(x)=x。x2-lB j(x)=E，g(x)=x+lC .y =In x2,g(x)=2 1 n x。D.f(x)=s i n2 x +c os2 x,g(x)=13.设/则/（x）=（C）.1 1 2A.-B.C.x D.xx x4 .下列函数中为奇函数的是(C ).1 _ A.y =x2-x B.y-ev+e-x C.y =In-D.y-xsinxx +1Y5.己知/(x)=-

2、1,当(A )时,/(幻为无穷小量.t a nxA.x B.x -予 1 C.x -0o D.x -4-oo6 .当x+8时，下列变量为无穷小量的是(D )X2A.-B.l n(l +x)C.e xx +1s i nx 门-x。07.函数/(x)=x 在尤=0处连续，则=(C).k,x =0A.-2 B.-l C.l D.28.曲线丁=-r1=在点(0,1)处 的 切 线 斜 率 为(A).-V x+1D.s i nxx2,2 2近+1)3 2田+1)39.曲线y =s i nx在点（0,0）处的切线方程为（A ）.A.y =xB.y =2 xD.y=-x1 0.设,=lg2,则 d y=(B

3、).1/1 Inl O 1,A.a x B.-dx C.-a x D.dxlx x l nl O x x1 1.下列函数在指定区间(-8,+00)上单调增长的是(B).A.s i n x B.e C.x D,3-x1 2.设需求量q对价格p的函数为仪必=3-2 4,则需求弹性为%=(B).二、填空题x +2,5 x 01 .函数/(x)=,的定义域是且一5,2 j.x2-1,0%0 时,/(%)为无穷小量.X%2-1 ,-Y 19.已知/(x)=X-1 ，若/(%)在(一8,+8)内连续，则二 2,a x=11 0.曲线y =4在点(1,1)处的切线斜率是y(l)=0.5竺 吧.1 1 ,函数

4、的 驻 点 是 _JC=1.-n1 2.需求量”寸价格的函数为式)=1 0 0 6 2,则需求弹性为纥=_ 一5丝.三、计算题“CO S X 4，/、1 .己知 y=2-，求 y(x).x“，/、c os x、,c h -x s i nx-c os x -一 八 x s i nx+c os x解：y(x)=(21-)=2xl n2-=2vl n2+-；-X X X2.已知/。)=2 足工+1 1 1%,求/(不).解 尸(幻=2 In 2 s i n x +2X c os x +x3.已知 y =c os 2-s i nx?,求 y (x).解 y (x)=-s i n 2X(2X Y-c o

5、s x2(x2)=-2X s i n 2x In 2-2x c os x24 .己知 y =In，x +e-5,求 y (x)Q 1 2解:y (x)=3 In 2 x(l n x)+(一5x)=-5e X5.已知,=5 2 3，,求 了(立；解油于 y =(5 2 c s x)=52COSV In 5(2c os x)=-2s i nx 52c 0S A In 5TT TT 2 CO S所以 y(-)=-2s i n-5 2 In5=-21 n56 .设 旷=6 3 2*+%五,求(13;3 13 1解:由于 V =2ec os 2x(-s i n2x)+|x2 所以 dy =2ec os

6、2x(-s i n2x)+|x2 dx7.设 y =e +CO S，x ,求 dy.解：由于 y-es,n v(s i n x)z+5c os4 x(c os x)=esmx c os x-5c os4 x s i nx所以 dy=(es,nx c os x-5c os4 x s i nx)dx8.设丁=1 口/+2一，求dy.i 3T2解：由于 y =(x 3)，+2Tl n2(x)=:-2-，2CO S X CO S X3x2所以 dy=(-T-2T In 2)dxCO S X四、应用题1.设生产某种产品X个单位时的成本函数为:C(x)=1 00+0.25/+6x(万 元)，解（1 ）由于

7、总成本、平均成本和边际成本分别为:C(x)=1 00+0.25 x2+6x C(x)=+0.25x +6,C(x)=0.5x +6X所以,C(1 0)=1 00+0.25x l 02+6x 1 0=1 85 C(1 0)=产+0.25 x 1 0+6=1 8.5,(1 0)=0.5x 1 0+6=1 1(2)令 心(幻=一 粤 +0.25=0,得 x =20(x =2 0 舍去)x由于尤=2 0 是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值,所以当x=2 0 时，平均成本最小.求：(1 )当x =1 0时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当产量x为多少时，平均成本最小？2.某厂生产一批产品

8、，其固定成本为2 0 23元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为今(9 为需求量,为价格).试求:(1)成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大？解成本函数C(q)=60q+2 02 3.由于即=100、夕，11 o所 以 收 入 函 数 R(q)=p x q=(1 0 0-而 q)g =100t 7 一记(2 )由于利润函数“)=R(q)-C(g)=6+2 02 3)=4 0 -2-2 02 3且/(“)=(4 04 三 -2 02 3)=4 0-0.2 t 7令/(“)=(),即 4 0 0.2(7 =0,得 =2 00,它是“)在其定义域内的唯一驻点.所以，

9、夕=20 0 是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为2 (X)吨时利润最大.3.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q)=2 0+4 4+0.014 2 (元)，单位销售价格为p =14一O.O lq(元/件).试求：(1)产量为多少时可使利润达成最大？(2)最大利润是多少？解(1)由已知 R =qp=q(14 -O.O lq)=14 q-0.012利润函数 L=R-C =l4q_ 0.01/-2 0-4 q-0.01/=lO q-2 0-0.02/则 L =10-0.04 ，令 Z/=10 0.04 q=0,解出唯一驻点 q=2 5 0.由于利润函数存在着最大值，所以当产量为2 5

10、0 件时可使利润达成最大，(2)最大利润为 A(2 5 0)=10 x 2 5 0-2 0-0.02 x 2 5 02=2 5 00-2 0-12 5 0=12 30(元)4 .某厂天天生产某种产品q 件的成本函数为C(g)=0.5/+36q+9 800(元).为使平均成本最低，天天产量应为多少?此时，每件产品平均成本为多少？解 由 于 G q)=C=0.5 q+36+的四(q 0)q qKC7/(g)=(/r0 .r5 q+3r6,d-9-8-0-0)z=0.5-9-8-0-0q q-9 800令C(夕)=0,即0.5-=0,得=1 4 0,%=14 0(舍去).q功=1 4 0是在其定义域

11、内的唯一驻点,且该问题的确存在最小值.所以d =14 0是平均成本函数2(4)的最小值点，即为使平均成本最低,天天产量应为14 0件.此时的平均成本为9 8000(14 0)=0.5 x 14 0+36+-=17 6(元/件)14 05.已知某厂生产q件产品的成本为万元).问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？解由 于(9)=2=空+2 0+旦q q 107 7 7/、2 5 0“q 2 5 0 1c(9)=(+2 0+勤=-+q 10 q 10令3(q)=0,即 一 与+，=(),得=5 0,%=-5 0(舍去)，q-10%=5 0是e 在其定义域内的唯一驻点.所以,=5 0是C(q)的最

12、小值点，即要使平均成本最少，应生产5 0件产品第 二 部 分 积 分 学一、单项选择题1.在切线斜率为2 x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(A ).A.y=x2+3 B.y =x2+4 C.y =2 x+2 D.y=4x2.下列等式不成立的是(A ).A.e d r=d(eA)B.-s in x d x =d(c os x)C .d x =d J 7D.ln xdx=d(-)Xx3.若，/(x)d r=-e 5+c,则/(x)=(D ).4.5.xA.-e 5下列不定积分中,1 -B.-e 22c.常用分部积分法计算的是（CA.J c os(2 x +l)d Y B.j x V l-

13、x2d r若 J f(x)e，d r=1A.-x-e*+c,则/(x)=(C1B-x1 -e 24).D.C.|x s in 2 x d x).1cv1e4DjX2x,-axl+x-o.-4X6.若 F（x）是f（x）的一个原函数,则下列等式成立的是（B ）.A.f f(x)dx F(x)B.f(x)dx=F(x)F(a)C.f F(x)d r=/0)-/(a)J aD.bfXx)dx=F(b)-F(a)A7.下列定积分中积分值为。的是（).“e e ,-d.v-2A.B.f1 e +e-d.v2C.(x3+c os x)d xJ FD.f (x2+s in x)d xJ -71D8.下列定积

14、分计算对的的是（).A J：2 A d x =2B.16I d x =15C._ 5./s in x|d x =0D.s in Mr =0-n9 .下列无穷积分中收敛的是（C ).r+8:+oo,+oo +A.I n x d x B.evd x C.d x D.i=dxJ i J。入 X2 p+8 110.无穷限积分 4-d x=(C ).Ji X311A.O B,-C.-D.oo22二、填空题1.d j e-A-d r=e-dr.2 .函数/(x)=s in 2 x 的 原 函 数 是 c o s 2 x +c(c 是任意常数)3.若 f x)存在且连续，则 J =f(x).4 .若 J f

15、(x)dx=(x +c ,则/(x)=_ 2(x +l).5 .若 J f(x)d r=/(x)+c,则 J e-(e-*)d x=-F(ex)+c,6.ln(x2+l)d x =0.7.积分1二、山:=o.JT(X2+I)28.无穷积分;(二 厅(U是j 收敛的丝.(判别其敛散性)39.设边际收入函数为/?(?)=2+3%且R(O)=0,则平均收入函数为：2 +-q三、计算题1.解 -d r=f(x-2)d =X2-2X+CJ x+2 J x+2 J 2.1 .1s in s in-2 .计算 卢d x 解(-dx=-f s in d()=c os+cJ x J x J x x x3 .计算

16、解 j Z=2 j2 6 d(五)=*2+。4 .计算J x s in x d x 解 jx s in x d x =-x c os x +J c os x d r=-x c os x +s in x +c5 .计算x +l)ln x /l+I n x )71 +I n x h71 7tn 万四|T 18.x c os 2 A d x 解：:2 x c os 2 x d x =x s in 2 x -:2 s in 2 A d r=c os 2.x =J。J o 2 o 2 J。4 0 29.I n(x+l)d xJ o解J(ln(x+l)d x =x ln(x +l)|jT J；X d x

17、=e-l-(1-彳)d x=e -1-x -ln(x +1)|Q-1=ln e=l四、应用题1.投产某产品的固定成本为36(万 元)，且边际成本为C(x)=2 x+4 0 (万 元/百 台).试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解 当产量由4 百台增至6 百台时，总成本的增量为AC=(2x+40)ck=(x2+40 x)|=1 0 0(万元)又j C(x)dx+c0cw=-x?+40尤 +36x+40+史X令抽=1 一 当=0,解得x=6.X=6 是惟一的驻点，而该问题的确存在使平均成本达成最小的值.所以产量为6 百台时可使平均成本达成最小.2.

18、已知某产品的边际成本C (x)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(x)=l 2-0.0 2 x,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解由于边际利润L(x)=R(x)C(x)=12-0.0 2 x-2=10-0.02x令 L x)=0,得 x=5 00 x=500是惟一驻点,而该问题的确存在最大值.所以，当产量为5 00件时，利润最大.当产量由500件增长至550件时，利润改变量为550-|550AL=L (10-0.02x)dx=(10 x-0.01x)|=500 5 2 5=-25(元)即利润将减少2 5 元.3.生产某产品的边际成本为C(

19、x)=8x(万元/百台)，边际收入为R (x)=100-2x(万元/百台),其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大?从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？解 L(x)=R(x)-C(x)=(100-2x)-8 x=10 0-10 x令 L(x)=0,得 x=1 0(百台)又 x=10是 L(x)的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故 x=1 0 是 L(x)的最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.又 L=J(l0 0-1 Ox)dx=(100 x-5x2)|=-2 0即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20万元.4.已知某产品的边际成本为C(q)=4q-3(万元/

20、百台)，q 为产量(百台)，固定成本为1 8(万元)，求最低平均成本.解：由于总成本函数为C(q)=J(4 q -3)dg=2 q 2 -3q+c当 q=0 时,。(0)=1 8,得 c=18即 C(q)=2q2-3 +1 8又平均成本函数为“.C(q)._ 1 8A(q)=-=2 q -3 H-q qI o令 A =2-*=0,解得4=3(百台)q-该题的确存在使平均成本最低的产量.所以当q =3时，平均成本最低.最底平均成本为1 o4 3)=2x3-3 +5=9(万元/百台)5.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=3 +x(万元)，其中x为产量，单位:百吨.销售x百吨时的边际收入为R (

21、x)=1 5 -2 x(万元/百吨)，求：(1)利润最大时的产量；(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解:(1)由于边际成本为C (x)=l,边际利润L (x)=R (x)C (x)=1 4-2x令 L (x)=0,得 x =7由该题实际意义可知，x =7为利润函数L (x)的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2)当产量由7百吨增长至8百吨时，利润改变量为 8c 1 8A L =j7(1 4-2 x)dx =(1 4X-X)|7=1 1 2 -6 4 -9 8 +4 9 =-1 (万元)即利润将减少1 万元.第 三 部 分 线 性 代 数

22、一、单项选择题1.设A为3 x 2 矩阵,8 为2 x 3 矩阵，则下列运算中(A )可以进行.A.ABB.ABrC.A+BD.84r2.设 为 同 阶 可 逆 矩 阵，则下列等式成立的是（B）A.(AB)T=ATBTB .(AB)T=C.（毋 尸=4-1（砂）-13.以下结论或等式对的的是（C).A.若A,B均为零矩阵，则有A =BB.若A6=AC,且ARO,则B =CC.对角矩阵是对称矩阵D.若 则 ABHO4.设A是可逆矩阵，且则 A*=(C ).A.BB.I-C.I E D.(ZA BT5.设 A =(1 2）,B =（-1 3）,/是单位矩阵，则是18-/=（D).A.-1-236B

23、.-1 -236C.-2-235D.-2 3-2 56.设 A =10200-12 4-33-3，则，（A）=(C).A.4B.3C.2D.l37.设线性方程组A X =b的增广矩阵通过初等行变换化为0000013002120一般解中自由未知量的个数为（A ）.A.1B.2C.3D.48.线性方程组玉+x26 +=1解的情况是=0(A).A.无解 B.只有0解 C.有唯一解D.有无穷多解9.若线性方程组的增广矩阵为Z1 2 22 1 0，则当4 =(A.01B.一2C.164-10，则此线性方程组的B ）时线性方程组无解.D.21 0.设线性方程组A“x“X=A有无穷多解的充足必要条件是（D)

24、.A.r(A)=r(A)m B.r(A)n C.m n D.r(A)=r(A)n1 1 .设线性方程组4 X=6中，若r(A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组(B ).A.有唯一解 B.无解 C.有非零解 D.有无穷多解1 2 .设线性方程组A X =。有唯一解,则相应的齐次方程组A X =0(C ).A.无解 B.有非零解 C.只有零解 D.解不能拟定二、填空题r_ 2 3 1-1.若矩阵4 =-1 2,5 =2 -3 1,则川8=_ 彳 6 2-1 -2 1 0 一 4 一2.设矩阵4=，/为单位矩阵，则(/A)T=_4 3 J L2-2.3.设A,8均为n阶矩阵，则等式(A -B)

25、2=A2-2AB+B2成立的充足必要条件是A,B是可互换矩阵 1 0 2 4.设A=a 0 3 ,当g 0 时，A是对称矩阵.2 3-15 .设A3均为阶矩阵，且(/3)可逆，则矩阵A+B X =X的解X=(I-BYA6.设A为阶可逆矩阵，则r(4)=n.7.若r(A,)=4,(4)=3,则线性方程组A X =b。无解。8 .若线性方程组1 1 2 有非零解，则;l=_ T _.X 1 +Zr,=09.设 齐 次 线 性 方 程 组=0,且秩(A)=r 2401000I53010 1 2设矩阵A(BA1-1I1-1-20/+A =100011-1由于8/=：I)=10 -2所以1-544 5求

26、逆矩阵/riI14 021-8 0-2-1-2-34-3/235-110-210010210(B A)=1-202-1,B-32-3 1 02 0 I101-20120-21-2-2221,求逆矩阵（/+A）-L3500I01010且I30I1002-1-212-1 0-52-321-204 2%1000-2 11035-2 063-1-5-31，计算（B Z）-54-3210 11-1/2100I00所以A0 0 1所以100I530110000-2-5-1 00-1 1(/+A)r-5263-1-5-314.设矩阵412351223，求解矩阵方程XA=B.解:由于1 23 51 00 11

27、02 11 -3()11 00 1-532即1325-532-1所以，X1223132522T-5 233-105.设线性方程组解 由 于+2xj 1 X +一3七2,2X 1-x2+5光3 =0求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况.A=1-1202-1102-11 02-11-32-01-1101-11-1500-1120003所以 r(A)=2,*A)=3.又由于 rAr(A),所以方程组无解6.求线性方程组X,+2尤3 _=0 X +x2 3%j+2X4 0 的一般解.2x,-x2+5X3-3*4-0解由于系数矩阵A1-12-12-35-12-30 21 -1-1-11-12-1

28、0-101100f1000100所以一般解为4x,-lx.+x.13 4(其中七，4是自由未知量)x2-x3 x42%1 5%2+2 元3 37.求线性方程组1002-918-14-83-918100010-1/9-4/90110所以一般解为玉x21 ,x.+19 34,=+19（其中七是自由未知量）8.设齐次线性方程组$3X2+2X3-0 0Z-6 0-1-1A 53-0 1A 0 1010所以当九=5时，方程组有非零解.且一般解为x,-x3X2 =X3（其中当是自由未知量）+x2+x3-I9.当/l取何值时，线性方程组2玉+0-4巧=/1有解？并求一般解.尤1 +5xj=1解 由 于 增 广 矩 阵2211111 1 1 11 0-52 1-4/1 0-1-6 Z-2告0 1 6-1 0 5 10 1 6 20 0 0所以当；1=0时，线性方程组有无穷多解,且一般解为：X.=5x.-1（七是自由未知量）x2-6七+2