2023年经济数学基础考点版（线性代数电大考点版）.pdf

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1、经济数学基础线性代数一、单项选择题1 .设巾为3 x 2矩阵,8为2 x 3矩阵,则卜列运算中（AMAB B.屈 C.A+S）可以进行.D.F/f2 .设A,3为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B）A.(A6)T=ATfiTB.(AB)T=fiTATc.=A-(BT)-D.(ABT)-=A-,(B)T3.设A,8为同阶可逆方阵，则下列说法对的的是(D ).A.若M =/,则 必 有 力=/或8=I B.(AB)T =ATBTc.佚(A+3)=秩(A)+秩(B)D.(AB)-1=fi-A-14.设A,B均 为”阶方阵,在下列情况下能推出，是单位矩阵的是(D .AAB=JB B AB=BA C.

2、A A I o.A-1=I5.设A是可逆矩阵，且A +A B=/.则A =(c ).A.B B.1 +B C.I+B 0,(I-A B)-6 f A =(1 2).6=(-1 3)./是单位矩阵，则A,B /=(D.A.-1-27.设下面矩阵4 B,-26。能进行乘法运算，那 么（B-2 -2）成立.-2 3-36A.AB=AC,X w 0,则 =CB.49=A C,可逆，则方=CC.4可逆，则4 5=BAD.AB=0,则有 A=0,或=08.设A是 阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（&A）=（C ）.A.kAB.A c.-kA D.Alkn k1 2 0-39.设 A=0 02 4-1 3，则

3、（=（D ）.-1-3A.4B.3D.11 3 1 2 60-1 3 1 4i o.设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为0 0 0 2-10 0 0 0 0则此线性方程组的一般解中白由未知量的个数为（A）.D.4X1 +工2 =111.线性方程组 解的情况是（A）.项+=0A.无解 B.只有0解 C.有 唯 解 D.有无穷多解_ 1 几 2一1 2.若线性方程组的增广矩阵为A =2 1 0则 当%=G A，）时线性方程组无解.2C.1 D.213.线性方程组AX=0只有零解，则AX=Z?S w 0）B）.A.有唯一解 B.也许无解 C.有无穷多解 D.无解1 4 .设线性方程组4*

4、=6中，若，（4 6）=4,广（4=3,则该线性方程组（B）.A.有唯一解 B.无解 C.有非零解 D.有无穷多解1 5 .设线性方程组AX=6有唯解,则相应的齐次方程组AX=O c）.A.无解 B.有非零解 C.只有零解 D.解不能拟定1 6 .设力为3 x 2矩阵,夕为2x 3矩阵，则下列运算中（A）可以进行.M A B B.C.A+S D.17.&.A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B）A.(AB)T=ABB.(AB)T=BrAT(W)T =D.(AJ3T)_|=A-(5-)T1 8 .设 A,5为同阶可逆方阵,则下列说法对的的是（D）.A.若AB=/,则必有4=/或 =/B.（

5、AB）T=ATBTc.秋（4 +8）=佚（A）+佚（8）O.（AB）-=B-A-l19.设 A,8均为阶方阵，在下列情况下能推出力是单位矩阵的是（D）.A.AB=B B.AB=BA c.AA=I D.A-1=120.设A是可逆矩阵，且A+AB=/,则=（c）.A.B B.1 +B C,Z +B D.(/-A B)-12 i.设A=(1 2),8=(-1 3),I是单位矩阵，则A.B-1 =().-1 3-I-23 6-2 -23 5-2 32 2.设卜面矩阵4 B.。能进行乘法运算,那么（B）成立.A.AB=AC,A*0,则 B=CC.4 可逆，则=BAB./15=AC,/f可逆，则 8=CD

6、.AB=0,则有力=0,或 6=0-12 3.若线性方程组的增广矩阵为A=2A12，则 当 X=（D）时线性方程组有无穷多解.4A.1 .B.1 C.224.若非齐次线性方程组.展*=6 的（D.2），那么该方程组无解.A.秩（给=n。B.秩（力）=m C.秩（用w 秩（A）X,+x2=12 5.线性方程组 解的情况是（A）.x+x2=0D.秩（力）=秩（A）A.无解 B.只有0 解 C.有唯一解 D.有无穷多解2 6.线性方程组AX=0只有零解，则AX=h（A w 0）（B）.A.有唯一解 B.也许无解 C,有无穷多解 D.无解27.设线性方程组用 学中，若M4 6)=4,r (A)=3,则

7、 该 线 性 方 程 组(B).A.有唯一解 B.无解 C有非零解 D.有无穷多解2 8.设线性方程组AX=人 有 唯 解，则相应的齐次方程组AX=0(C ).A.无解B.有非零解 C,只有零解 D.解不能拟定3 0.设4 6均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(B).A.AB)=B.=BO/C.AB T)1=*D,AB 7)=A()解析：AB)=B A (40，=R*故答案是 B31.设4=(1 2),B=(-1 3),是单位矩阵，则 才 夕-=(A ).-2 3-2 B.-1 3-2 -2D.0=1*(1)1|_2*(-1)1 30-13 2 .设线性方程组AX=2的增广矩阵为0 00 2

8、-2 0 50 2 43 2-10-4 -8则此线性方程组殷解中自由先知量的个数为(A).13-2050-1024解析：0032-1020-4-80.413-205,+*2 、0-10240032-100000f l 233.若线性方程组的增广矩阵为储，B)=A.1 B.4 C.2 .则 当2=r（A）=l选A3 5.以下结论或等式对的的是（C）.A.若A,8均为零矩阵,则有A =BB.若 A B=A C，且 A w O,则 8 =CC.对角矩阵是对称矩阵D.若 A w 0,3 w O.则 A B w O36.设 A为 3 x 4矩阵，8 为5 x 2 矩阵，且乘积矩阵A C B，故意义，则为

9、（A）矩阵.A.2x 4 B.4x 2.c.3 x 5 D.5X33 7.设 4,3 均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（c）.A.(A +B y1=A-1+5-1B.(A B)T=A T 8Tc.A =B/D.A B=B A3 8.下列矩阵可逆的是（A).2 2 23 9.矩 阵 A =343 3的秩是（4 4B).1 10 01 1A.0B.1C.2D.3二、填空题1 .两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充足必要条件是 A与8是同阶矩阵-2 3 -14-6 22.计 算 矩 阵 乘 积1 2 0 =4 L J 0 1 13.若 矩阵4 =-1 2 打=1 2 3 1 ,则/庐4.设A为2 X

10、 n矩阵，3为$X，矩阵，若 A B 与 B A都可进行运算，则1,S,，有关系式2 =，=S5.设 A =a26.当。w 3-1 ci7.设A,B为两个已知矩阵，且I 一3可逆,则方程A+3X=X的 解X=(1 B)-1 A0 20 3 ，当 =o 时,A是对称矩阵.3 -1F 1 3一时，矩 阵A =可逆.8.设A为n阶可逆矩阵,则r(J)=n2 -19.若矩阵力=4 00 -322 ,则 刀用31 0.若垃=4,7-(/1)=3,则线性方程组4 v二十，无解，。.1 1.若线性方程组X -%2=0$+AX2=0有非零解，则2 =1 2.设齐次线性方程组A x X x l =0 且秩(4)

11、-r n,则其般解中的自由未知量的个数等于 n-r ,1 -11 3.齐 次线性方程组A X =0的系数矩阵为A =0 10 02 30 -2 则此方程组的一般解为0 0(其中工3，工4是自由未知量)14.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为12 0 1X-0 4 2 -1010 0 0 0 d +1则当d=-1 时,方程组 AX=人 有无穷多解.15.若线性方程组AX=Z?(w 0)有唯一解，则AX=0只有o解.16.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充足必要条件是.答案：同阶矩阵17.若矩阵力=1 2 ,=2 一1 ,则才庐二答案-2 14 一21 018.设 A=a 02 32

12、3 .当a=_ _ _时，A是对称矩阵.答案：。=0-1A131 9.当 4时，矩阵可 逆.答案：a w 3-120.设A,B为两个已知矩阵,且/一 5可逆,则方程A+BX=X的 解X=答案：(7-B)A2 1.设A为 阶可逆矩阵，则/(4)=.答案：n2-122 2.若矩阵力=4 0 20 -3 3则r（冷=_ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：22 3.若 r（4 6）=4,r（J）=3 ,则线性方程组力X=5.答案:无解X,-X2=02 4.若线性方程组 10010-101010-2-417-121-1-20371012100010001-1203-710-12所以 A04.设矩阵A

13、二124,解由于5I)所 以A=15.设 矩 阵/15.解 由于AB1-1201101224030-7-12，求逆矩阵A-111-110010024-3/20-224001001010022-200I00001-124T113-3/2100011-342-8000001010-20024001-1-2I-1-2-21I1-1/26312-2-1-2I111-1/2,B0410-2，计算00-23-211126.设 矩 阵 A0-2B6.解由于明二202-3010-1202(B A I )=-所以-27.解由于-5-342101-12,计算（班）I101-200-1-42-1-11142001-

14、2450-2%-27.解矩阵方程(4)104011 11 133 40 1Il l 1 1fo 1 -3 _2产o0 41 -33-2所 以/8.解：由于8.解矩阵方程2即-1-3019.谀线性方程俎1 0-50 1 32-1所以,x0-1-5+叼=223H-1-8043X +2%2-工3=02司 +九2-a x3=b讨论当a,为什么值时,9.解由于方程组无解，有唯解,有无穷多解.1 0 1 2 1 0 1 21 2-1 0-0 2 -2 -22 1 -a b0 1 -a-2 b-41 0 1 2-0 1 -1-10 0-a-b-3所以当a =-1且b w 3时.方程组无解;a a*1 时，方

15、程组有唯一解;当a =1且b =3时，方程组有无力多解.x+2xj 110.设线性方程组 -X+*2 -3%3=2,求其系数矩阵和增广矩阵的秋，并判断其解的情况.2X 1-x2+5%=010.解 由于1 0印=-1 12-12-11 1 0-3 2f o 15 0 J|_0-12-1-1 11 21 0 2-01 10 0 0-113所以 r(0)=2,r(A )=3.又由于r(4)*7(A),所以方程组无解.11.求下列线性方程组的一股解：再 +2xj-x4=0,一尤|+-3/+2*4 02 元-x2+5X3-3X4=0u.解由于系数矩阵102-1102-1A=-1I-320I-112-15

16、-30-11-11 0 2-10 1-1 10 0 0 0所以一般解为 2/+（其中x3.x4是自由未知量:）12.求下列线性方程组的一般解:2%|5X2+2xj 3$+2X2-x3=32XI+141212.解 由于增广矩阵22123A-5-3-1-1-9-9-214-61218-818-1 0-1/9 1T 0 1 -4/9 10 0 0 012304014%+1所以一般解为（其中X 3中自由是知山,+113.设齐次线性方程组x-3X2+2 无3 =0100-1106-30-330102-3问A取何值时,方程纨A X =b有解？”1方程组有解时，求方程组A X =b的一股解.1 5 .解：*

17、几=3时,r(A)=r(A)=2,方程组有解.当 4 =3 时，A -般解为100-1I06-30-3301001000I0301-303000$=1 3X3x2-3X3 3X4其中x3.x4为自由未知量.1 6.设 矩 阵A=1解 由 于40(BA I)11022410017.设矩阵A-2-3解：由矩阵减法运算得-20.8-322-212-310210402,计算 01 J|_ 013 10 011-21010-30 11 1 3f 0 1 10 0-11-2-101-101 fl 1 0-20 0 10-31 J o 0 1 1-3 30 11 -110 0 1-0 1 0 30 0 11

18、-3 20 11-1即（/-A）T =-1 -1is.设矩阵A-1 22 21-3 2-3 0 11 1 -1oi r 2-I,B=-13 1求 箱8解：运用初等行变换得1-12-1220 1 0 01 p1 0 1 0-0-113 0 0 1 J|_ 0 40 10 01 1 1 03-20 11 -1T 0 10 00 1 01 1 1-1 -6 -4ol p -10-0 11 0 00 1 0 00-5 -3 116 4-110 0-4-3 1-0 10-50 0 16-341-1即A-1由矩阵乘法得A-B-4-56-4-56-3-3411-1-34-319.求解线性方程组的一般解X -

19、3X2+2光3 +冗4=0 X 1 +2/-七 +2%4=0$-2%2+3%3-2X4=0解:将方程组的系数矩阵化为阶梯形1-3211-3 211-3211-3 0-12-12T0-1 130-113 01 01-23-201 1-3002000 11-301 0 0-8-0 1 0-30 0 1 0般解为匹=8x4 x2=3X4（工4是白由未知量）无3 =02 0.求当几 取何值时，线性方程组X|+-2七一Z 二-2 0-1 11 5 104+1 9 1|_0 0 0 0 2-12+1所以，当X=1时,方程组行解,且有无穷多解,10 94801 -11-5-1000 000王=8 -4匕笞案

20、：4 其中,*4是自由未知量x2=-10+11当 +5X421.求 当A取何值时,线性方程组2%-x2+x3+x4=14项 +2X2-X3+4X4=:X j+7X2 4X3+1 IX 4=解，将方程组的增广矩阵化为阶梯形-1 4 23-7 -3-3 7 2-2-2-1 1 1 r 212-142f0 f1 7-4 11 20 51 2-1-0-5 30 0 04 2-7 -30 2-5当4=5时,方程组有解,且方程组的一般解为46xt=3 3 7X2 -+-3 7X4其中%3，%4为自由未知量.解-112 31-12 2 1-32|_ 22431912-4-72 4 56 1 03-2 717

21、05 15 21 11 0-3 -2 -142 32 3.设矩阵A=1 10-1|4同解由于=恸2 3网=1 10-1-1 2 31 =1 11 0-122 22=(-I E*2=2oi1 2*1 10 13 1 22=0-11 0 13-1=0I所 以|A0=|川=2x0=0(注意：由于符号输入方面的因素,在题4题7的矩阵初等行变换中,书写时应把(D弓成；(2)写成：(3)闿成;)1 224.设矩阵4=2 21 141 ，拟定 力 的值，使r(A)最小.0解1 2 42 2 11 1 0_1 2 43四 1 1 02 2 11 2 40-1-490 2 04当4=W时，r(A)=2达成最小值

22、.2-55-82 5.求矩阵A=1 -74-13 2 15 4 34 2 01 2 32-5 3 2 15-8 5 4 34-1-7 4 2 04-1 1 2 3(2)+(1)-1(3)+(M-202-4 -74-1 1 2 3()、-1-7 4 2 0-5-8 5 4 32-5 3 2 1(2附-5怵i雅“(A)=2.2 6.求下列矩阵的逆矩阵:1-7420(2(3)-31-7420027-15-6309-5-2109-5-2100000027-15-6300000A21解同1001001-31-301-3-30121-1+(1”(3)+(。(-1)001-1-321 00 973 104-

23、3-1 0-321-311-1(3 用 2)41 -1-3102-111-130-140-29-310-523-834-1879+(2)3、1000I00014001010021100100010001123134379(1)+(3)-2(2卜 A123134379-13-6 -3-4 -2 -12 1 1（2）4-13-6-3 1 0 0-1 0 0 1-3 0解:A/=-4-2-1 0 1 0。）+（2-3）-4 -2 -1 0 1 02 1 1 0 0 12 1 1 0 0 10（2）+（1）.-4（3Ml2100-130-100-130（1 消1 ）0-2-1-4130（，）0112-

24、610112-610-2-1-41300130100（3 用 2 1 2）：.A27.设矩阵4-6（2附口）10-1302-7-10122-7-1,B.求解矩阵方程XA=B-3 1+（2）2.（2 旧 1.-5 23-13502-12T-53 32-1-1 0-1 1解10031121010101200003212251 011223121 01 000四、证明题1 .试证：设4 8,力均为阶对称矩阵，则力81 .证由于I =A,=B,(力力=A B所以 A B =(A B)=S1/=B A2.试证:设A是阶矩阵，若4,=o,则(/-A)-1=/+A+A?.2.证由 于(/A)(/+A+A2)

25、I+A+A2-A-A2-A3=7-A3=I所 以(7-A)-1=I+A+A2123.己知矩阵 A=万(8+/),且A=A，成证3是可逆矩阵，并求8.3.证由于 A2=(B+/)2=(B2 4-2B+/),且 A?=A.即4 41 7 1 (82+28+/)=(8+/),4 2得=/.所 以B是可逆矩阵，旦B=B.4.设 阶矩阵A满足A?=I A4T=I,证明A是对称矩阵.4.证由于A=AI=AAAr=IAr=Av所以A是对称矩阵.5.设月，笈均为阶对称矩阵，则4屏胡也是对称矩阵.5.证由于 AT=4 3T=B a.(AB+BAY=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT0=BA+AB AB+

26、BA所 以 必 是 对 称 矩 阵.6、试证：若Bx,斗都与A可互换,则,B B2也与A可互换。证:丁 BA=AB,BA=AB：.(耳 +斗)A =8 A+%A=AB1+AB2=A(B(4-B2)即B+B2也与A可互换。（耳 B2）A=B（B2 A）=BAB2）=（B,A）B2=A（B 1 B2）即B、B2也 与A可互换.7.试证：对于任意方阵4.A+A A4T,ATA是对称矩阵。证：:（A+A7 y =+（Ar）r=Ar+A=A+Ar：.A+A 是对称矩阵。.AAr是对称矩阵。.（ArA）r=Ar-（AT）r=ArA，ArA是对称矩阵.8.设A,B均 为n阶对称矩阵，则AB对称的充足必要条件是：AB=BA证：必要性：=A.BT=B若AB是对称矩阵,即（必丁=AB而（AB）=8AT=BA 因 此AB=BA充足性：若 AB=BA.则（AB），=BrAr=BA=AB.A3是对称矩阵.9.设A为 阶对称矩阵，B为 鹿阶可逆矩阵,且B=B1,证 明Bl A8是对称矩阵。证：AT=A Bl=B1（B-AB）r=（A6）J 3T =BT，AT-（BT=B-ABB A8是 对 称 矩 阵.证 毕.