2023年经济数学基础线性代数部分疑难解析.pdf

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1、 经济数学基础线性代数部分疑难解析第 2 章 矩 阵本章重点：1.了解或理解一些基本概念具体规定如下：(1)了解矩阵和矩阵相等的概念；(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质.(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；(4)了解矩阵秩的概念；(5)理解矩阵初等行变换的概念.2.纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3.纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足互换律，即/3=物 一般不成

2、立(若矩阵4 6 满足A B=B A,则称4 8 为可互换的).矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵A C=3C及矩阵C V O,不能推出A=B .但当。可逆时，AC=BC=A=B.矩阵A。0,3 工0,也许有A5=0.例 1 若4 8 是两个阶方阵，则下列说法对的是(。).A.若A B=0,贝 1 必=0或8:=:00B.(A+B V=A2+2A B+B2C.若秩(A)#0,。秩(B)/0,则秩(AB)HOD.若秩(A)=,。秩(8)=,则秩(A B)=。解 选项A:A=0 或8=0 只是A B=O 的充足条件，而不是必要条件，故A 错误；选项B :(A+B)2=A2+A-B+B-A+B2,矩阵乘

3、法一般不满足互换2 1解 由于 AB=-2 0 -1 00 1所以，应当填写：4 1 1 3-2 10-例 3矩阵;的秩是()0 1 0 0 0_律，即A-B W a A,故B错误；选项C：由秩(A)70,秩(8)/0,说明4,8 两个矩阵都不是0 矩阵，0 10 100001 10 0但它们的乘积有也许0 矩阵，如A =,则 4 8 =.故秩(A B)N O 不一定成立，即C 错误;选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故 D 对的.2 1例 2 设矩阵 A =l -2 0 ,B=1 0 ,则 4 60 1 41 A.1B.2 C.3D.4解由于I 3 -20 1 10 0 10 1 01

4、00 00 00 0相应的阶梯形矩阵有3 个非。行，故该矩阵的秩为3.对的选项是：C例 4 设矩阵4=3 602-601-2,B=913-1908则矩阵1 与 8的 乘 积 的 第 3 行第1 列的元素的值是.解 根据乘法法则可知,矩阵/与8的乘积力8的第3 行第1 列的元素的值是A的第3 行元素与6的第1 列元素的乘积之和，即3 X 2+(-1)X 9+9 X 0 =-3。应当填写：-3例 5 设力是刎A 矩阵，6是 5 X/7矩阵，则运算故意义的是().A.ABr B.AB C.ATBD.ATBT解 根据乘法法则可知,两矩阵相乘,只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才故意义，故

5、 矩 阵 故 意 义.对的选项是A.例 6 设方程M-庆假如/可逆，则片.解 由 XA-B=X,得 XA-X=B,X A-I)=B故 X=B(A I所以，应当填写:8（4一/）7注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 A I )氏它是错误的.T解100例 7.由于设 矩 阵 A-1A-1/100-3-1421-311-1所以例 8解由于1-31-3-940100211-31-3012-1求矩阵4-30127-321-113-1100010001010001-10-1-2 -3 61 001130-111 12一01 02370013 49001349A123I34379己知矩阵a

6、10b01b26673,求常数a,b.a10b01b2ababa+b2a6 76 3A=1-120所以 a=3,ab=6,得 b例 9.,B2.设矩阵4 6 满足矩阵方程N X =6,其中3 00 2求X.解法一:先求矩阵/的逆矩阵.由于A/=102201 2-1 0所以1001 102 12 101100 0-11%A-10-1%对且 X A B解法二:330210所以例 100-1%.由于4-21X0%设矩阵A=1-3130020-21B=-21-12 30 002010试计算4 反解。由于A1/=-310-1 1 0 01 4 0 1 00 0 0 0 11 0-1-0 1 10 0 1

7、0 0 14 1 -1-1 0 1。所以且0A“3=4-1010例 1 1 设4 B均 为n 阶对称矩阵,则AB+B/也是对称矩阵.证由于A,3 是对称矩阵，即oAT=A,=B且(A5+BA)T=(AB)T+(84)T0 0 0 0=JBT AT+ATBT=BA+AB o =AB+BA。根据对称矩阵的性质可知，月3+为是对称矩阵.例 1 2 设A是 77阶矩阵，若4=0,则(/_&T =/+A+A2.证 由 于(/A)(/+A+A2)=I+A+A2-A-A2-A3=/-4 3=/所以=/+A +A 2第3章 线 性 方 程 组本章重点：1.了解万元线性方程组、线性方程组的矩阵表达、系数矩阵、增

8、广矩阵、一般解的概念.2.理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理;纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解.线性方程组月乃=6 的解的情况归纳如下：力乃=6 有唯一解的充足必要条件是秩（不）=秩（/）=n；4才=。有无穷多解的充足必要条件是秩（H）=秩（；A X=6 无解的充足必要条件是秩（W）工秩（力）.相应的齐次线性方程组AT=0 的解的情况为：4 r=0 只有零解的充足必要条件是 秩（4）=n；=0 有非零解的充足必要条件是秩（心 0 -1 1-2 1 J|_0 1 11 03 -1-3 11-3 2-0 1-10 0 21-300 1 11001 -0 1 0-8 3-3 I0 0由 于，秩（N）=秩（=3,0 0 0 1所以,方程组有解.。一般解为玉=3 +8X4。,%2 =1 +3 1 4 （/1是自由未知量）.=例 6 设线性方程组2x-x2+x3=1 一尢 一 2X2+七 二 1xx-3X2+2七=c试 问c为什么值时,方程组有解?若方程组有解时,求般解.解 由于2A=-11-1 1-2 1-3 21 -1-1 0c 0-2 1 -1-5 3-1-5 3 c-11 2-0-50 0-1 13-10 c可见，当 c=0 时，方程组有解.且O1O3-51-50oO所以，原方程组的一般解为3 1玉=1三七,（场是自由未知量）1 3y+广