2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）.pdf

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1、2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）若（4+从）（1 一，）0,其中i 是虚数单位，则复数2 =交 更 是（）1 +ZA.正实数 B.负实数 C.纯虚数 D.虚数2.（5 分）已知集合4=x|y =,B =y|y =e ,其中e 是自然对数的底数，则始8=（）A.0 B.-2 ,+o o）C.2,+o o）D.（0,2 3.（5 分）城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强.某地区2 0 1 0 年至2

2、0 1 9年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是（）城乡腐艮人均可支配收入/元70 00060 00050 00010 00030 00020 00010 0002010 2011 2012 2013 2011 2015 2016 2017 2018 2019 年份A.这些年该地区居民生活水平在逐步提高B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大4.（5 分）若向量万=（1,1）,5=（一 4,0）,c=A a+h,则7|的最小值是（）A.2 B.

3、72 C.2&D.45.（5 分）在（+1）”的展开式中，第 4 项与第5 项的二项式系数相等，则系数最大的有理X项是（）A.第 3项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6项6.(5 分)6 知函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),在(0,+oo)上单调递 减.若 a=/(log023),b=/(log30.2),c=./(0.23),则a,b,c的大小关系为()A.a b c B.b a c C.c a b D.c b a7.（5 分）车牌识别道闸系统是一个广泛应用的智能系统.先将机动车车牌号存储在系统中，当检测的机动车车牌号与系统中存储的机动车车牌号一致时，道闸会自动打开否则不打

4、开,那 么“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（5 分）若直线+）=1（40,/?0）经过点（1,1）,则圆X?+丁 _2ar-2Z?y=0 面积的最小a b值是（）A.8万 B.4万 C.2n D.无最小值二、多项选择题本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分.9.（5 分）若函数/0）=$山（5 +夕）（3 0,-）e 0,且/（x+1）为奇函数，那么下列结论中正确的有（）A.函数/（x）的图象关于点（1

5、,0）成中心对称B.对于任意的“工占，不等式 匹）一7恒成立士一吃C.曲线y =f（x）上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是4 5。D.不等式/（x）+x l 的解集是（1,也）三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.（5分）若x0,关于x的不等式丁-奴+9.0 恒成立，则实数a的最大值是.1 4.（5分）已知过抛物线C:y 2=2 p x（p 0）的焦点F的直线/交抛物线C于 A,B两点，线 段 钻 的 长 为 8,且 的 中 点 的 横 坐 标 为 3,则焦点F的坐标是.1 5.（5分）干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如 1 9 1 1 年“辛亥革命”中的“辛亥”

6、.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.“十天干”以“甲”字开始，“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅.癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌.癸己；甲寅、乙卯、丙辰.癸亥.如此配对，周而复始，循环使用在上世纪中，除了 1 9 1 1 年，年也是辛亥年.1 6.（5分）在三棱锥P-A B C 中，P A=B C=2 PA 1.BC,三棱锥尸-A B C 外接球的半径为 近，则 三 棱 锥P-AB C外 接 球 的 体 积 是,三 棱 锥P-AB C体积的最大值是.四、解答

7、题：本题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0 分）在+无对任意的”w N*恒成立，4是数列电 中的项，S$2 S3 Sn S*且&铉 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补充到下面的问题中并作答.问题：已知数列伍“是各项均为正数的等差数列，其前项和为5，数列他“是等比数列，且q=3,4=1，a2+bh=2,%+伪=1 6.是否存在正整数，使得?若左存在，求出的最小值；若%不存在，请说明理由.1 8.（1 2 分）在平面凸四边形 A B C D 中，A B1.BD,A B:CD:B D =2:3:4.jr（1）若N B A C =，求 A A B

8、 C 的面积与A A C。的面积之比；4J T（2）若 N C D B =-,求 c o s/A B C 的值.31 9.（1 2 分）如图，在长方体A B C。A4C Q中，A B=2 A，点 在棱A 声 上，且 人用=4 4 ,点尸在棱AR上.（1）求证：平面平面4 8 F ；（2）若 8 尸与 平 面 所 成 的 角 为 4 5。，求 二 面 角 AE-8的余弦值.2 0.（1 2 分）2 0 2 0 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2.用分层抽样的方法,收集了 1 0 0 户家庭2 0 1 9

9、年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5 万元的有1 0 户居住在山区.（1）完 成 2 0 1 9 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有9 9.9%的把握认为该县2 0 1 9年家庭年收入超过1.5 万元与地区有关.超 过 1.5不超过总计n(ad-be)2万元1.5 万元平原地区山区1 0总计附：K2=,其中=a+b +c+d.(a+b)(c+d)(a+?)(/?+d)P(K,.k)0.1 0 00.0 5 00.0 1 00.0 0 1k2.7 0 63.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8(2)根据这1 0 0 个样本数据，将频率视

10、为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策,从 2 0 2 0 年 9月 到 1 2 月，每月从该县2 0 1 9 年家庭年收入不超过1.5 万元的家庭中选取4户作 为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X ,求 X 的分布列和数学期望E(X).2 1.(1 2 分)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点N,我们把线段的 称为椭圆的通径.在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3,圆O 以椭圆E的短轴为直径，且通径被圆O 截得的弦长为血.(1)求椭圆的标准方程和圆。的方程.(2)设直线/:y =f c v-l 与椭圆E交于A,3两点，

11、与圆O 交于P,。两点，是否存在实数&,使得P,。是 线 段 的 三 等 分 点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 2.(1 2 分)已知函数/(x)=/(x+l)-x.(1)求 函 数 的 极 值；“2 1(2)若数列/满足q =2,“+=cin,求证：当 wN*时，a 0,其中i 是虚数单位，则复数z=且 是（）1 +ZA.正实数 B.负实数 C.纯虚数 D.虚数【解答】解：a+bi）（-i）=a+b+（b-a）i 0,所以a+b 0 且力 一。=0,即 a 0,Z?0 故 复 数.鬻a+ai _a(+i)l+i l+i故复数z 是正实数.故选：A.2.（5 分）已知集合

12、A=x|y=4 4-2 ,B=yy=ex f其中e 是自然对数的底数，则4 n 8=（）A.0 B.-2,+oo）C.2,+oo）D.（0,2J【解答】解：4=划4-4 摩）=划-2*2 ,B=yy 0 9/.A p|B=（0,2.故选：D.3.（5 分）城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强.某地区2010年至2019年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是（）城乡居民人均可支配收入/元70 00060 00050 00010 00030 00020 00010 0002010 2011 2012 2013 2014 2015

13、 2016 2017 2018 2019 年份A.这些年该地区居民生活水平在逐步提高B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大【解答】解：对于A,由于两条折线图都是呈上升趋势，故这些年该地区居民生活水平在逐步提高，故选项A 正确；对于8,折线图反映的是人均的情况，不能说明每一户的情况，故选项3 错误；对于C,由两条折线图之间差距可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异，故选项C 正确；对于。，由两条折线图的张角在变大可知，这些年该地区城

14、镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大，故选项。正确.故选：B.4.(5 分)若向量4=(1,1),5=(-4,0),c=A a+b,贝 I 修|的最小值是()A.2 B./2 C.2x/2 D.4【解答】解：根据题意，向量M=(/)，5=(-4,0),则 c=A a+b=(2 4,2),则|阖2=(4 一 4)2+；12=2分-8/1+16=2(/1 2)2+8.8,则有片|.2&,即4 的最小值是2也,故选：C.5.(5 分)在(+1)的展开式中，第 4 项与第5 项的二项式系数相等，则系数最大的有理X项是()A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项【解答

15、】解：由己知可得C；=C,：,则=7,所以二项式(石+工)7的展开式的通项公式为：X1 7-3r小=&(石 产 心，=6%亍，X当 为 整 数 时，r =i,3,5,7,2当 r=1 时，T2=Cx2=lx2,当 r=3 时，K=C；xT=35xT,当 r=5 时，=CT=21XY,当 r=7 时，Ts=Cx-1=x1,所以有理项的系数最大项为第4 项，故选：B.6.(5 分)已 知 函 数/(x)满 足/(-x)=/(x),在(0,+oo)上 单 调 递 减.若 a=f (logo.2 3),/=/(log30.2),c=/(0.23),则a,b,c 的大小关系为()A.a b c B.b

16、a c C.c a b D.c b a【解答】解：因为函数/(x)满足/(-x)=y(x),在(0,2)上单调递减.所以“=f(k)g02 3)=/(log53),&=/(log30.2)=/(log35),c=/(0.23),因为1083511085330.21所以/(log3 5)/(log5 3)/(0.23),则 6 a 0,6 0)经过点(1,1),则圆X?+y2-2ar-2Z?y=0 面积的最小a b值是()A.8%B.47rC.17iD.无最小值【解答】解：由题意得4+1 =1,即4+匕=昉,a b因为 V+/一 2ax-2by=0,所以(x-a)2+(y-b)2=6 +b2,因

17、为“+人=3 +(2+1)=2+2 +.2+2、1 =4,当且仅当a=A=1 时取等号,a b a b b a 2故 a+.4,a2+b2=(a+b)2-2ab=(a+b)2-2(a 4-/?)=(6t+/?-1)2-1.8,故圆的面积乃(6 +从).8万.故选：A.二、多项选择题本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分.9.(5 分)若函数/(%)=$出(3 +e)(3 0,-%9 0 矛盾，故舍去，当=1 时，夕=女符合题意.3故函数的关系式为f(x)=si n(2 x +争，故 A错误；对于

18、8：当2 犬+至=+生时，x =-+(fc e Z),故 B错误；3 2 1 2 2对于C：-+2k$,x+2 力r +网(&GZ),解得一二+版豫女 氏+红(&e Z),即单调2 3 2 1 2 1 2递减区间为-,+版 ，版 +卷 伏日2),故 C错误；对 于 D ：函 数/(x)=si n(2 x+y)的 图 象 向 右 平 移(个 单 位 长 度 后 得 到 函 数y=si n 2(x-)+=si n 2x 的 图 象,故。正确；3 3故选：A CD.2 21 0.(5 分)已知双曲线C:土-匕=1 的左焦点为尸，则下列结论中正确的有()4 5A.双曲线C的准线方程是x =3v2 r2

19、B.双曲线C与双曲线上-土=1 有共同的渐近线5 4C.双曲线C上到左焦点E距离为5的点有4个D.过点P(4,店)与 双 曲 线 C只有一个公共点的直线有两条【解答】解：对于A,双曲线C:二-乙=1 中，a2=4,b2=5,c2=a2+b2=9,其准线4 5方程为=幺=J =3 ,故 A正确；c V4+5 3对于3,由于双曲线=l 的渐近线方程为丫=，=士 乎 x,双曲线 的渐近线方程为x =y,即y =1 x,所以曲线C与双曲线士-二=1 有共同的渐近线，故8正确；5 4对于C,由于双曲线C的右顶点A(2,0)到左焦点厂(-3,0)距离为5,故双曲线C上到左焦点尸距离为5的点有三个(左支上有

20、两个，右支上只有右顶点)，故C错误；对于3,由于点P(4,A)在双曲线C:三-匕=1 上，故过点尸(4,岳)与 双 曲 线 C只有一个4 5公共点的直线有两条（一条为过点P的切线，另一条为过点P与渐近线丫=-手工平行的直线），故 正确；综上所述，四个选项中结论中正确的有板）.故选：ABD.1 1.（5分）如图，在正方体A B C O-A i B i C i D i 中，E是棱4 B i 的中点，P是线段4c（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）A.存在某一位置，使得直线P E 和 直 线 相 交B.存在某一位置，使得B C 平面AC.点 4 与点B i 到平面

21、P 8 E 的距离总相等D.三棱锥C i -P B E的体积不变【解答】解：选项A：P是线段AC（不含端点）上的一个动点，P E C I 平面A B B i 4 =E,而 由 异 面 直 线 的 判 定 定 理 可 知 P E 与直线BBi异面，所以不存在某一位置，使得直线P E 和直线8 8 1 相交，故选项A不正确；选项8,连接ED交 4c于点P ,面 A P E 即为面4 D E,此时B C/1。，而 B C C 平面A O E,A D c ffi A D E,所以8 C 平面A OE,即 B C 平面A E P,故选项B正确；选项C：如图过点4 与点8 1 作平面P B E 的垂线，垂

22、足分布为H,H i,有B i H E 丝所以8IH=AIHI,即点A i 与点B i 到平面P B E 的距离总相等，故选项C正确；选项力：因为 p n_=Vp r即为定值，连接8 C交 8。于点F,连接E 凡C.-P B E P-C j B E A C ：B E而 A i C E F,4 1 C U 平面 C i B E,E F u 平面 C l B E,所以A i C 平面Ci B E,所以P到平面OBE的距离为定值，所以三棱锥C i -P B E 的体积不变，故选项）正确.故选：BCD.12.(5 分)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数r(x)满足r(x)+l 0,且.f(x+l)为

23、奇函数，那么下列结论中正确的有()A.函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称B.对 于 任 意 的 占 不 等 式、区)一八斗)-1 恒成立C.曲线y=f(x)上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是45。D.不等式/(x)+x l的解集是(l,+oo)【解答】解：.f(x+l)是在R 上的奇函数，./(x+1)的图象关于原点对称，又./(X+1)的图象向右平移1个单位得到函数f(x)图象，；.函数f(x)图象关于点(1,0)成中心对称，.1A对;.F(x)+l 0,.可取尸6)=1成 立,又“皿45。=1,.此时曲线y=/(x)在x=x0处的切线的倾斜角是45。，对；令 g(x)=/(x)

24、+x,g(x)=f(x)+l 0,可知函数 g(x)在 R 上是增函数.不等式/(x)+x 1 得/(%)+%f (1)+1,即 g(x)g(1),又g(%)在 H 上是增函数，:.d,.不等式/(x)+X 的解集是(1,+O0),。对；,g(x)=/(x)+x 是在R 上的增函数，对任意X，X?w R，七一七与 g(Xi)-g(%2)同号，二g(x,)-g(X2)0,即/(芭)+”/5)-吃 0,得不等式/(占)-/(七)_ 恒成立，,3 对；X-X2 X|-x2 玉-x2故选：A BCD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.(5 分)若 x 0,关于x 的不等式丁-

25、奴+9.0恒成立，则实数。的 最 大 值 是 6.【解答解：若x 0,关于x 的不等式/-以+9.0恒成立，9可得4,X+对 X 0 恒成立，由X+2.2、9 =6,当且仅当x=3时，取得等号.X X所以x+2的最小值为6,X所以q,6,即a的最大值为6.故答案为：6.14.(5分)已知过抛物线C:y 2=2 p x(p 0)的焦点F的直线/交抛物线C于A,B 两点,线段4 3的长为8,且4 5的中点的横坐标为3,则焦点F的坐标是_(1.0)_.【解答】解：设点4(%,x),B(X2,y2),由于线段他 的中点 的横坐标为3,则 上 也=3,2由抛物线的焦点弦长公式得I A B=xt+x2+p

26、=6+p =8,解得 p=2,因此，抛物线C的方程为y 2=4 x；抛物线的焦点坐标(1,0).故答案为：(1,0)15.(5分)干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.“十天干”以“甲”字开始，“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅.癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌.癸已；甲寅、乙卯、丙辰.癸亥.如此配对，周而复始，循环使用在上世纪中，除了 1911年，用7 1年也是辛亥年.【解答】解：天干：甲

27、、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，即周期是60年，1911年 是“干支纪年法”中的辛亥年，则1911+60=1971,所 以1971年也是辛亥年，故答案是：1971.16.（5 分）在三棱锥尸-ABC 中，PA=BC=143,PAA.BC,三棱锥尸-ABC外接球的半径为 胡，则三棱锥P-A B C外接球的体积是_ 8 7 6 几_，三棱锥P-A B C体积的最大值是_ 2 g _.【解答】解：丫 球=贮=竺&1=为后兀，3 3因为P A为定长，当P A为三棱锥p-A B C的高

28、时体积才可能最大，所 以 以，平面ABC,过。作。M_LBC,ONVPA,O P=O A =O B=O C=R=近,所以 O M=O N=,三棱锥P-A B C 的体积要最大，高为定值，只需底面A8C的面积最大即可，因为三棱锥P-A8C外接球的半径为加，所以OK2+AK2=AO2=6,因为F 为 AP中点，所以AF=OK,所以4K=J,K 为ABC外接圆圆心，所 以 由 正 弦 定 理 可 得 一 号 一=2AK，所以s in/C 4 8=l,即/。8=匹，s i n ZC A B 2所以4广+人不=1 2,而 AB2+AC2=1222AB,AC,所以4BM CW 6,当且仅当AB=AC时取等

29、号，即（S（MBC）mar=AB 4Csin/C4B=3,2所以三棱锥P-A8C体积的最大值为 X 2爪 X 3=2爪.3故答案为：&后 兀；2次.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在L对任意的,2 e N*恒成立，4 是数列 ,中的项,与 S2 S3 Sn&S|且V&.2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：已知数列仅“是各项均为正数的等差数列，其前”项和为5 ，数列 是等比数列,且4=3,=1，a2+bb=2,%+伪=1 6.是否存在正整数,使得?若 k 存在,求出的最小值；若%不存在，请说明理由.【解答】解：

30、设 ,的公差为d,的公比为“，由已知可得3 +d +q =23 +2 +416M,s d =2 外 j d =-解得 0,所以 d =2,q=-3,所以a,=3 +2(-1)=2 +1,2=(-3 尸,所以 S“=3 +x 2 =n(n+2).选条件，因为-!=(!S.2 n +2)匚 口“1 1 1 1所以一+E S?S 3 s,=1(Z11-1 1-1-1 -1-1-1-1-4-1-1-1-1-1-、)2 3 2 4 3 5 n n+n n+21 八 1 1 1 、3 2 +3 3 1=(1 +-)=-1 ,2 2 n+l n+2 4 2(+l)(+2)41故存在正整数Z.1 使 得 工+

31、工15.邑H-1-d-5 川 且 耳+心5-，卜优+2)仅+1)(%+3)5 ,3则，解得一一人 一一，(k+l)(k+3)+1且+1 中，A B 1 B D,A B:CD:BD=2:3:4.(1)若 NBAC=工，求 AA8C的面积与A4CD的面积之比;4(2)若 NCDB=2,求 cosNABC 的值.3【解答】解：(1)设 如 与 AC交于,因为N3AE=C,AABC=-,4 2所以A4BE为等腰直角三角形,AB=BE=LBD,BE=DE=1BD,22所以 SAABE=AED,S6 ABe.=AECD)所以 S 1sABC=S.c D ,HABC=SsXCD=1，AA8c的面积与AACD

32、的面积之比1:1；(2)ACOB中，设 即=4,则 C=3,由余弦定理得8 c2 =16+9-2 x 4*3/=1 3,2故 BC=A，由正弦定理得一生 一=丝 一,sin NCBD sin NCDB3V13所以sinNCBQ 酒 2所以sinNC8D=26所以 cos ZABC=cos(ZCBD+-)=-sin ZCBD=-2 2619.(12分)如图，在长方体48。-4 4 0.中，AB=2AA，点 E1 在棱4 片上，且 X,线=4/4,点厂在棱4 口上(1)求证：平面AE/_L平面其8尸；(2)若3/与 平 面/L 4 Q Q所成的角为4 5。，求二面角尸 4E 5的余弦值.【解答】(

33、1)证明：设直线AE与A/交于点P,因为 A 8 =2 A 4,=A B =4A,E,所 以 艾=组=1A 4,A B 2故 例 *必 A 4,8,所以幺8 4 =/叫，又 N E M,+Z P A 8 =9 0。，所以 幺 8 4 +N尸A 8 =9 0 ,所以 N A P 3 =9 0。，即 A 8 _ L A E,又在长方体中，AFJ平面A844，且AEu平面A84A，所以,又4尸0|4 8 =4，4尸，A8u平面A B F,所以A E _ L平面48尸，又AEu平面A E F,故平面/1 F _ L平面A B F :(2)解：在长方体中，ABL平面4 4 Q Q,所以直线B F与平面A

34、4Q。所成的角即为Z B F A=4 5 ,所 以 他=AF,又因为4 4,=g A3,所以乙41A尸=6 0。，ZA FA,=3 0 ,以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设 4 8 =2,则 4 0,0,0),(-,0,1),B(2,0,0),F(0,1)2所 以 通=(L o,l),而=(0,g,l),2设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则有，一1 人n AE=x+z=02n-AF=/3y+z=0令 x=2,则 z=-l,y =弓，故万=（2,弓，一 1）,又平面AEB的一个法向量为比=(0,1,0),所以|cos|=训|万|布|二 3i xFF24由图可知，二面角F-

35、A E-5 的平面角为钝角,故二面角尸-A E-B 的 余 弦 值 为.420.(12分)2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2.用分层抽样的方法,收集了 100户家庭2019年家庭年收入数据(单位：万元)，绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区.(1)完 成 2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关.超 过 1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：其中=+，+P(K2.k

36、)0.10 00.0 5 00.0 100.0 0 1k2.7 0 63.8 4 16.6 3 510.8 28（2）根据这10 0 个样本数据，将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 20 20 年 9月 到 12月，每月从该县20 19 年家庭年收入不超过1.5 万元的家庭中选取4户作 为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求 X的分布列和数学期望E（X）.【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超 过 1.5 万元的频率为（0.5+0.4+（M）x 0.5 =0.5,所以超过1.5 万元的户数有10 0 x 0.5 =5 0 户，又因为平原地区家庭与

37、山区家庭的户数之比为3:2,抽取了 10 0 户，故平原地区的共有6 0 户，山区地区的共有4 0 户，又样本中家庭年收入超过1.5 万元的有10 户居住在山区，所以超过1.5 万元的有4 0 户居住在平原地区，不超过L 5 万元的有20 户住在平原地区，有 3 0 户住在山区地区，故 20 19 年家庭年收入与地区的列联表如下：所以有9 9.9%的把握认为该县20 19 年家庭年收入超过1.5 万元与地区有关;超 过 1.5 万元不超过1.5 万元总计平原地区4 0206 0山区103 04 0总计5 05 010 0则 KJ一逆 3=100 x(40 x30 7 0 x 2 0):竺 一.

38、6 6 7).8 28 ,+b)(c+d)(。+C)S +d)6 0 x 4 0 x 5 0 x 5 03（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为之，山区的概率为士,5 5X的可能取值为0,1,2,3,4,所以P（x=o）=”（少=笑5 5 623尸(X=l)=9 66 25 )P(X =2)=提)2令=会,J D OZ JP(X=3)=C：(|)3(|)=|,)J OZD 小原沙甘堞,5 5 625所以X的分布列为:X01234p166 259 66 252166 252166 258 16 25因为X服从二项分布X 8（4,|）,所以X的数学期望E（X）=4 x =/=2.4.21.（

39、1 2分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点M,N ,我 们 把 线 段 称为椭圆的通径.在平面直角坐标系x O y中，椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，通径长为3,圆O以椭圆E的短轴为直径，且通径被圆O截得的弦长为夜.（1）求椭圆E的标准方程和圆O的方程.（2）设直线/:y =fc v-l与椭圆E交于A,B两 点,与圆O交于P,0两点，是否存在实数%,使得P,0是线段45的三等分点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.V2 V2 3【解答】解：设 椭圆方程 为 鼻+氏=1（。匕 0）,M（c,-）,a2 b2 2所以，/=2 ,解得 a =2,b=-/3,c =1,a

40、1-b1+c22 9所以椭圆的方程为工+匕=1，圆O的方程为f +y 2=3.4 3（2）设 A.,%）,B（X2,y2）,y=kx-1联立y2，得（3+4 产-8 履-8 =0,+=18 k-3+4/-83+4+X2所以中 2 =设尸（七，见），Q小，”），f V =f c t -1.由I 2 ，得（1 +左）x -2丘一2 =0,X+y =3X 3+Z所以，印 4 =2k1 +22-2 +k2因为 I A 3 1=y/l +k2yl（x+x2）2-4XX2=J +1 2 4呷 臂,I PQ|=J l+k?J（X 3+X 4）2 4 刍%4 =J l+k?j-c ，当尸，。为线段A B的三等

41、分点是，|PQ|二g|A8|,所以行令去4.析4 d 1 +2/-3+4*r r r l,2+6 r 3+4k2 4/6m 以 1-k=y/l +2k2 1+K 3令g =xyKl+60人k2 3+4苦户随着公的增大而增大,所以当产=0时，g旃=3五.华,所以不存在实数3满足条件.2 2.（1 2分）已知函数/（x）=/（工+1）x.（1）求 函 数 的 极 值；(2)若数列”满足4 =2,。“+1=、4，求证：当 wN*时，a”v 4e,其中e是自然n对数的底数.【解答】解：(1)f(x)=ln(x+V)-x,/(%)的定义域是(T+oo),*-r(X)=-i=-,X 4-1 X +1当工(

42、一1,0)时，r(%)o,/在(一1,0)单调递增，当无=0时，/(幻=尸(0)=0,当X (0,+oo)时，/V)0 时，ln(x+1)-x v 0 ,即/(x +1)x ,/H(1 Hr)r,/4什=/曲n+ln(H-)lncin H ，n n n nrlnan+1-lruin ,显然q=2,=4 ,则。4 e,%4 e，当儿.3 时，有 lnan=(lnan-1%_ 1)+(lnan_1 lnan_2)+.+(Ina?-lna)1 1 1 r i 1 1 11cle-7 H-+H 1 4-1-F.H-1=2-2(n-1)2 5 2)2 f x 2 2 x 3(n-2)(/?-l)n-lnan 2,即 lnan Ine1,an e1,又/4 e ,当cN*时，4 4c成立.