2021年高考数学上海卷 真题+答案解析.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学 上 海 卷考生注意：1.本试卷共4 页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号.一、填空题：本大题共12小题，满分54分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4 分,第7 题至第12题每个空格填对得5 分,否则一律得零分.1.已知 N =1+i,22=2+3i,贝（J z+Z2=.D C2.已知 A =x 2

2、x 1,B =-1,0,1,则 A G/=_.T-A3.己知圆/+”2 2 4g=o,则 该 圆 的 圆 心 坐 标 为./4.如图，正方形A B C D的边长为3,则 盛 就=./6.已知二项式（x+a）5展开式中,x2项的系数为80,则aA B（第 4 题图）z W 37.已知实数l、y满 足 08.已知 断 为无穷等比数列,幻=3,an的各项和为9,bT,=a2 n,则数列bn的各项和为.9.在圆柱中，底面圆半径为1,高为2,上顶面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点,绕着底面圆周转.则A B C的 面 积 的 取 值 范 围 为.10.有 4 个不同的馆，甲、乙 2 个人每人选2

3、个 去 参 观,求 恰 有 一 个 馆 相 同 的 概 率 为.11.已知抛物线：y2=2px（p 0）,若第一象限的4、B两点在抛物线上,焦点为F,AF =2,BF =4,AB=3,则直线A B的斜率为.12.己知出 N*（C =1,2,，9）,对任意的左e N*（2 W卜W 8）,四=a+1 或 稣=ak+1-1 中有且仅有一个成立，且=6,a.g=9.则+a2 H-F的最小值为.二、选择题：本大题共有4 题，满分20分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否则一律得零分.13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）.A：y=ix

4、B：y=x3 C：y=log3 x D：y=3x=-4t314.已知参数方程 t -1,1,下列选项的图中,符合该方程的是（）.y=/1 5 .函数/（T）=2 +3 s i n,%e 0,自，对意 e 0.g，都存在 x2 0,自，使得/（叫）+2/（g+。）=3 恒成立，则。可以是（）.3 4 C 6 7A：-7 T B：-7 T C：-7 T D：-7 T5 5 5 51 6 .两两不同的1,2，3,?，9 2,嵋 满 足 叫+以=%2 +沙 2 =%3 +期 3,且 满 足 叫?/1,%2 V 2,算 3 0.下列一定成立的是（）.A：叫+1 3 2/2 B：%1 +3 V 2 2 C

5、：X1X3 谴 D：叫出3 境三、解答题：本大题共有5 题，满分7 6 分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1 7 .（本小题满分1 4 分,第1 小题满分6分，第 2小题满分8分）如图，在长方体加3。一4%。1。1 中，已知A B =B C =2,AA1=3.（1）若点P是 棱 上 的 动 点,求 三 棱 锥C -PA D的体积；求直线ABY与平面A C C r A y的夹角大小.18.(本小题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知在中，力、B、C所对边分别为a、b、c,且a=3,b=2c.27r(1)若4=，求4 B C的面积；若2 sin 3 -

6、sin C=1,求力B C的周长.19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)己知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元,该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.(1)求2021年起前20季度营业额的总和；(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?20.(本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)72椭 圆y +?/2=1,F i,F2分别为左右焦点,过点P(m,0)(m -x/2)的直线交椭圆于点A,B且点A,3在工轴的上方,4在 的 中 间.(1)若B是

7、上顶点,|祸|=|两求m;(2)若瓦才瓦才=且。到/的 距 离 为 底 求/的 直 线 方 程；315(3)求证：对任意的m 6,使得FXA /BF-2的直线有且仅有一条.21.(木小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)如果对任意Xi,X2 R,当 为 一 万e S时，都有叫)-6 S,则称/(x)是S关联的.(1)判断和证明/(乃=2/-1是Z+关联的吗？是 0,1关联的吗？(2)/(x)是 3关联的,在0,3)上有/(x)=炉 一 2x,解不等式2 0),若第一象限的4、B两点在抛物线上,焦点为F,AF =2,BF =4,AB=3,则直线A B的斜率为.答案

8、：苧.解法一：设 4(叫,阴),3(出2,沙2),则 AF =X 1 4-1 =2,BF =g+3=4,所以|叫g|=2.由 AB=+A r 2 M g l=3,且 k 0,解得 k-解法二：由抛物线的定义可得4 4 1 =2,A B i =4.由 罂 =：,得”=4 3 =3.所以 c o s/4 831 =昨=,则 tanN A B B i =东 即 kA B=卓1 2,已知明 N*(i =1,2,9),对任意的k e N*(2 W k W 8),=。人-1 +1或 四=Q k+i 1中有且仅有一个成立，且Q 1 =6,=9.则Q i +Q 2 H-。9的最小值为.答案：31.解析：令/=

9、ak+1-Q k,则依题意：bk和bk+1中，仅有1个为1 (即只能隔项为1).若 瓦=均=a=加=1,则=6,。2 =7,。31,。42,1,。62,aj2 1,as2 2,ag=9;此时,Q，1 +。2 +,+。9的最小值为31.若 电=/=%=坛=1,则Q 2 2 1,。32,Q 4 2 1,。52 2,的 1,22,。8=8,。9=9；此时，Q i +Q 2 H-卜的的最小值为32.综上,Q i +。2 +,+。9的最小值为31.二、选择题：本大题共有4 题，满分2（）分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否则一律得零分.1 3

10、 .下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）.A：y=-3x B：y=x3 C：y=lo g3 x D：y=3X答案：A.解析：选项B、C、D均为增函数.c 3 1 一4/1 4 .己知参数方程（te -1 口，下列选项的图中，符合该方程的是（）.y=2t/l t2解析：特殊值法.当沙=0时，力=0,1,1,对应的立=0,-1,1.1 5 .函数/（a;）=2 +3 s in x,a:0,对意叫 0,寸，都存在的 0,自，使得/（叫）+2/（x2+9）=3 恒成立，则。可以是（）.3C 4r 7A:-7T B:-7T C：7T D:-7T5-）5 5答案：D.解析：因为的）+2/（畋+。）=3

11、,所以2/（立 2 +。）=3 /（3），所以/（x2因为叼）2,5 ,所以e -1,1 ,又因为存在畋,所以-1,1 C+。）=3-y）.畋+办IT 7T因为g 仇-+0 ,所以当。=三不时，3 +-7 T%3-27T1-O1-11（舍去）；当e4 n.7 T 4 1 3 35 时,彳+8”=m7 r ：7T,且+：7T 7T7T（舍去）.5 5 6 5 2 61 6 .两两不同的6,岔 2,工 3,m,y2,y3满 足%+以=数+公=%+“3,且 满 足 叫 yi,2 外，g 0.下列一定成立的是（）.A:1 1+1 3 2?2 B:1 1 +二3 D:1 1二3 V 6答案：A.解析：设

12、 叫+以=%2+期 2=，3+阴=4当 6 0时,g =匕一”.设 g（z）=x（b x）=x2+bx,因为 0,设 0 叫 g V%所以 9（立）=+bx.因为g（叫）+或 均=2g（g）,又因为根据二次函数的凹凸性,在 0,刍上,上凸函数,所以9（7 1）+9（的）2g（妆），即 g（巴尹）9（的）.因为在（0,1）上递增，所 以 巴 初，故 3+磔 2x2.同理b,b=8 V 2-2 V 5 所以 Cc=4 0 遍 +3sinC 3 3、缶口卜 A.r c i c 2 2 5/2/5 1 4/2 /5当 B 为钝角时，sin A=sin（B+。）=sin B cos C+cos Bsin

13、C=-x-x-=-o o 00 J由正弦定理高bsin Bc Zf3 4V 2+V 5,8/2+2/5 g、|c r=o初，得 C =-3,b=-3.所以=4 6 +4+3.综上,CABC=4 0一 通+3或4收+通+3.19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元,以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元,该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.(1)求2021年起前20季度营业额的总和；(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?解：(1)前20个季度每个季度的营业额为以1.1为首项,

14、0.05为公差的等差数列.因此，总营业额为20 x 19.一20 x 1.1+-x 0.05=31.5 亿兀.(2)假设今年第一季度往后的第n(n&Z+)季度的利润首次超过该季度营业额的18%,则需要求解0.16 x(1+4%)n (1.1+0.05n)-18%.令/(n)=0.16 x(1+4%)n-(1.1+0.05n)x 18%,n e Z+,即要解/(n)0,则 n 2 时,/(n)-f(n -1)=0.0064 x(1+4%)n-1-0.009.令/(n)-f(n-1)0,解得 n10,即 1 W n W 9 时,/(n)递减;n 2 10 时,递增.由于/(I)0的 解 只 可 能

15、 在10时取得.经检验,/(24)0,因此今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的18%.20.(本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)于2椭 圆 全+/=1,F l,F2分别为左右焦点,过点F(m,0)(m 一，5)的直线交椭圆于点A,3且点4,3在重轴的上方,4在P,8的中间.(1)若B是上顶点，|褐|=|两求m;(2)若 瓦L瓦t =,且。到，的距离为之，正,求I的直线方程；3 15(3)求证：对任意的m 6,使得FiA/BF-2的直线有且仅有一条.解：(1)易得焦点坐标分别是6(1,0),E(l,0),8(0,1

16、).因为|砒=PFi=*，所以m=-1-y/2.(2)设点 4C O S 4s i n。),则FIA.2幺=(gc o s。+l)(v c o s J 1)+s i n20=2 c o s2 J 1+s i n2o从而c o s20 =解得c o s 9 =(力在P,5的中间由图像可知),所以4乎,?).J J O O设/过 点4的直线方程是a =f a r +斗/，(后0),原点O到直线I的距离O O化简可得3 A:?-10 f c +3 =0,解得k =3或k =O故直线I的方程为沙=3/+(舍去，因为立上截距不满足)或？=卜+.O O 7(3)直线与椭圆联立y=kx k m，得(1+2

17、f c2)x2-4Mm z+2k2m2-2 =0,由韦达定理得21+72=4 f c2m 2k2m2-2-rr-z-.-:因为F、A I/B F2,所以(改一 1)仍=(x i +1加2,将直线方程代入得(X2 l)(f c o：i k m)=(叫+l)(f c a：2 km),化简得n-数=一7/从而可得1+2 f cz化简得4k2m -2 f c2m2+1=0,整理可得k2=-当n z -%/2时,每个k2仅有一解.4 m 2 m2所以对任意的m -0,使得FXA/B F，z的直线有且仅有一条.2 1.(本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)如果对任意仅1

18、,2 2 R,当 叫 g S时，都有f(X 1)-f(x2)e S,则称f(x)是S关联的.(1)判 断 和 证 明=2%1是Z+关联的吗？是 0,1关联的吗？(2)/(x)是 3 关联的,在 0,3)上有f=x2-2x,解不等式2 W f(x)W 3;(3)了 是 1关联的，且 是 0,+8)关联 当且仅当“劝 悬 1,2 关联的”.解：(1)若立1 X2 Z+,此时/(g)f(s?2)=2 a?i 1 (2/2 1)=2(a；i 工2)Z+.所以/(H)=2 c -1是Z+关联的.对 叫 一立2 e 0,1,令工1-2 =1,则/(叫)-/(7 2)=2(X 1-/2)=2 任 0,1.所

19、以f=2 x-l不是 0,1关联的.(2)由题设条件知,对V a:e R,有/Q+3)/(=3.当0 w /3时,f(x)=(x-I)2-1.设G e 3(f c -i),3 f e),则由知下列等式成立.f -/(7-3)=3,f(x-3)-f(x-6)=3,f(x 3(k 2)f(x 3(f c-1)=3.相加得：f(x)=f(x-3(f c-1)+3 g -1).注意到 a;-3(f c-1)e 0,3),结合(2)式有f(x)=a;(3f c-2)2+3f c-4,a;3(f c-1),3f c).易知 V a r e 3(2 1),3机 /(*)3f c-4,3k).当我 W 0 时

20、,3k W 0 3.故只需考虑k=1,左=2两种情形.k=1时,/(工)=(x-I)2-l,x&0,3),利用单调性易知2 W /(工)W 3的 解 集 为 人+1 W h 3.A =2时,=(X-4)2+2,X e 3,6),利用单调性易知24/W 3的解集为3v 5.综上所述,不等式2 W f(x)W 3的 解 集 为 人+1 W/W 5.(3)是 1 关联的，且 是 0,+o o)关联”=A台 f(x+1)-/(2)=l,/(x 4-A a?)-/(a r)0，其中0,a:R.“f(工)是 1,2关联的“e B=1 w /(工 +A r)f(x)W 2,其中 1 W W 2.先证必要性，

21、即A a B.由条件知f(x)在R上单调不减,令ff(Ax)=f(x+A r)-f(x),其亦是Ar的单调不减函数.对 1 W W 2,有g(A r)g(l)=f(x+1)-f(x)=1,。(-W 9(2)=fx+2)-f(x+1)+f(x+1)-/(?)=2.即当 1 w W 2 时，有 1 w +)-/(x)w 2.再证充分性，即B 0 4由题设条件知：1 (2时，1 W /(#+/)-f(x)(2.令#=1,则有1 4/(c+1)/(c)W 2,亦有1 W/Q+2-1)W 2.，两式相加得2(+2)-/(c)W 4.令/=2,则有1(/+2)/(c)(2.由 ，知2=f(x+2)f(x)=f(x+2)f(x+1)+f(x+1)/(x).再由，知/(+1)/=1,V i R.最后，当C e 1,2时,1 W f(工 一 1 +/)-f(x-1)W 2.结合 f(x)-f(x-1)=1,则有/(I +(/-1)-/(x)+121,即 f(x+(A r r 1)f(x)0,即 f(x+)fx)2 0,0.至此,命题得证.点评：第一问帮助学生理解“关联”这个新概念;第二问在(1)的基础上,考查学生应用新概念解决熟悉问题的能力；第三问在(2)的基础上更上一层楼,考查学生应用新概念解决抽象数学问题的能力.