2021年高考数学模拟训练卷 (三十六)(含答案解析).pdf

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1、2021年高考数学模拟训练卷（36）一、单项选择题（本大题共1 2 小题，共 6 0.（）分）1.若4 =x 2 x 3 ,B=xx2-4 ax+3a2 0 ,且4 U B 则实数。的取值范围是（）A.1 a 2 B.1 a 2 C.1 a 3 D.1 a 0,b 0）的左焦点是耳，P 是双曲线右支上的点，若线段PF 1 与 y 轴的交点例恰好为P 4的中点，且|OM|=a,则该双曲线的离心率为（）A.V2 B.V3 C.2 D.31 2.函数/1（x）=（*-+2c o s 7 r x（-2 x 0,*1 4 .设 实 数 满 足 卜-y -2 0,做 9的最小值是_ _ _ _ _.（y

2、-2 ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282 0.已知离心率为苧的椭圆C+=l(a b 0)过点(或净，A,B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点 P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合.(I)求椭圆C的标准方程;(n)若直线P 4与)，轴交于N,直线P B与X轴交于M,试探究|4 M|BN|是否为定值？若是,请求出该定值；若不是，请说明理由.2 1 .已知函数/(x)=e。*-x (a e R,e为自然对数的底数)，gx-In x +mx+1.(1)若/(x)有两个零点，求实数a的取值范

3、围：(2)当a =1时，x /(x)+幻2 9(支)对任意的x 6 (0,+8)恒成立，求实数机的取值范围.2 2 .在平面直角坐标系x O y中，曲线G：/+y 2 -2 y=o,倾斜角为擀的直线/过点M(-2,0),以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为*6(。-；)y/2.(1)求G和C2交点的直角坐标；(2)若直线/与G交于A,B两点，求+的值.2 3.设函数f(x)=|x-a|+|x 2|(a 2的解集；(2)若不等式/(x)x恒成立，求实数a的取值范围.【答案与解析】1.答案：B解析：解：.,/=%|2%3 ,B=xx2 4 ax+3a2 Q,即Q 0

4、时，则B=xa x 3 a ,由A UB,得：J -解得l W a W 2.当3 a =a,即a =0时，则B=0,此时4 a B不成立：当3 a a,即a 0,则8 =x 3 a x a,即a 0时，则B=(xa x 3 a ；当3 a =a,即a =0时，则B=0；当3 a a,即a 0,则B=x|3 a x a .由此分别由A B进行讨论，能求出结果.本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集性质的合理运用.2.答案：B解析：本题考查了与面积有关的几何概型的概率计算问题，是基础题.设小正方形边长为1,据已知求出大正方形边长，根据儿何概率计算公式，求出中间小正方形区

5、域的面积与大正方形面积的比值即可.解：设E H=1,AE=x,贝吟=乎，所x2=x+l,解得“等，大 正 方 形 的 边 长 为+Q+1)2=V 2%2+2%+1,将X =亨 代 入 得 到J x2+(X +1)2=遮+5,大正方形的面积为2 4+5,小正方形的面积为1，所以该点取自小正方形内的概率为康=土 券=1-竿，故选员3.答案：C解析:该题考查复数的基本概念、充要条件.属基础题，利用纯虚数的定义，先判断充分性再判断必要性.解：当m=2时，复数z =：3 =i为纯虚数，满足充分性；当复数Z =察=2-m+(；+2no i是纯虚数时,有小一2=0,解得m=2,满足必要性.21 5综上，“m

6、=2”是“复数z =%(i 为虚数单位)是纯虚数”的充要条件，21故选C.4.答案：B解析：根据题意，分析可得函数/(%)在 R上单调递增，且/(一1)=一1)=-1,进而可得1)|W 1,则l S f(x 1)S 1，即I S x-I S 1,解可得尤的取值范围，即可得答案.本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性以及单调性，属于基础题.解：根据题意，奇函数f(x)在 0,+8)上单调递增，且/(1)=1,则函数f(x)在(-8,0 上单调递增，且-1)=-1,则函数“X)在 R上单调递增，若|/(x-1)|W 1,则-1 4 /(x-1)4 1,即一1 4 x 1 4 1,解可得：0 W

7、X W 2,即x 的取值范围为 0,2；故选：B.5.答案：A解析:本题考查平面向量的坐标运算考查向量的数量积的问题，属于基础题.以A为坐标原点，A C,4 8 所在直线为x 轴、)，轴建立平面直角坐标系.由条件分别求出祝，丽 的坐标继而可求出结果.解：以4为坐标原点，AC,A 8 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.由4 B=4 C =2,且点O为斜边B C 上的中点，所以C(2,0),8(0,2),0(1,1),又 祠=2而，所以 M(2,2).所 以 祝=(0,2)，M B =(-2,0)，所 以 祝 丽=0.故选4.6.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后计算并

8、输出，S =2+4 +6+20 1 8 的值.故选：B.模拟程序的运行过程，求出该程序运行后输出的S 值，即可得解.本题考查了循环结构的应用问题，是基础题.7.答案：D解析：本题考查排列、组合的综合应用，两个计数原理的综合应用，属于中档题.根据题意可将6 名同学分为3 组进行排序，组内人数分配有1 组 4人，其余2 组每组1 人；1 组 3 人,1 组 2 人，1 组 1 人；每组2 人这三种情况，分别计算再相加可得答案.解：因为6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，每个场馆至少安排1名，则可将6 名同学分为3 组进行排序，组内人数分配有三种情况：1 组 4人，其余2

9、 组每组1 人，有空笋=9 0 种分组方法，力2 1 组 3 人，1 组 2 人，1 组 1 人，有叱废盘 房=3 6 0 种分组方法，每 组 2 人，有%券 咫=9 0 种分组方法.所以一共有90+3 60+90=54 0种不同的安排方法.故选D8.答案：C解析：解：函数y=sin4 x的图象向左平移看个单位，得到y=sin4(x+勺的图象，就是y=sin(4 x+W)的图象，故=g故选：C.利用函数图象的平移，求出函数的解析式，与已知解析式比较，即可得到0 的值.本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，注意平移的方向，基本知识的考查题目.9.答案：D解析：本题考查线面平行的判定，棱锥体积的

10、求法，立体几何中最短距离问题，直线与平面所成角，属于较难题.平面GDB平面ABiDi，利用面面平行的性质可得DP平面ABiDi，A 正确；根据棱锥的体积公式可得三棱锥P-4 D D 1 的体积为Jx l x：=g 8 正确；点 P 为 BC的中点时，DP L BCi，此时OP最小，可得DP=1DB2 一管)2=争 c 正确；力 P 与平面力DD14 所成角。的正弦值为蓝解得sinOe管 料 由?。出 的距离，即为1,S必 皿=%故 三 棱 锥 的 体 积 为:x 1=g B正 确;当点P为 BC的中点时，DPJ.BG，此时OP最小，所以DP=JDB2 _(嗯2=j 2-i =y 故 c 正确；

11、DP与平面4 DD14 所成角。的正弦值为表，而曰 DP/2，所以s i n J 住，料又因为渔 更，3 2所以不存在点P,使得。尸与平面4。劣4所成角的大小为最故选。.10.答案：D解析：本题主要考查了导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图像的变化，属于中档题；首先设切点为(X o,%),得k =也=四 丝，又根据导数的几何意义可得k =3 靖。+2,4 0 XQ从而得出军竺=3靖。+2,即得出=1,再根据题意可以求解.XO解：设/(x)=3 蜡+2 的图像过原点的切线斜率为切点坐标为(沏,%),由题意可得切线斜率k =也=军 空，xo XQ又根据导数的几何意义可得k =3 蛾。+2,从

12、而得出军丝=3 蜡。+2,即得出=1,XO再由。的意义可得/(x)=3 靖+2 图像的切线顺时针旋转角。后落在了 X 轴上，故有 t a n。=k=：k 3，故选。.11.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，确定I P F 2 I =2 a,|P a|=4 a,PF21.F1F2,是关键.由题意，设右焦点是F z，则|P F z|=2 a,PF1 =4 a,由勾股定理可得1 6 a 2 =4 a 2 +4 c?,即可求出双曲线的离心率.解：由题意，设右焦点是尸 2，则|P 2 l =2 a，|P&|=4 a,PF2 1 F1F2,由勾股定理可得1 6 a 2 =4 a 2

13、 +4 c2,：.e=-=V 3,a故选8.12.答案:C解析：本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数.构造函数g(x)=-2cosnx,确定函数/(x)=+2cosnx-2 x 4)图象关于直线x =1 对称，利用一2 x 4 时，函数g(x)=(|)|x-1|,/i(x)=-2C O S7T X图象的交点共有6个，即可得到函数/(x)=(|)|x-1 1+2C O S7T X(-2 x 4)的所有零点之和.解：构造函数g(x)=-2cosnx,v -2 x 4 时，函数g(x)=-2C O S T T X图象都关于直线=1 对称，二函数/(x)=+

14、2 c o s 7 r x(-2 x 4)图象关于直线x =1 对称，v -2 x 4时，函数g(x)=-2 c o s w x 图象的交点共有 6 个，；函数/(x)=(1)|z-1 1+2cosnx(-2 x 0,解：由约束条件x-y-2 W 0,作出可行域如图:.y-2 0,可知当取B(l,2)时(=2时W =左取得最小值，其最小值为云.故答案为友15.答案：|解析：本题考查抛物线的概念及直线与抛物线的应用，属于基础题.根据抛物线的定义，结合|4F|=2,求出A 的坐标，然后求出4尸的方程代入抛物线方程，求出B 点的横坐标即可得到结论.解：抛物线的焦点尸,0),准线方程为X=-点设 4(

15、x,y),则由抛物线定义可得|4日=*+；=2,故 =|,此 时 y=土百，取4(|,旬，则直线4 F 的方程为y=遍 一 3,代入y2=2 x,得3/-5 x+=(),解得X=：(舍)或x=；,则|BF|=：+；=1，乙 o o Z 3故答案为|.16.答案:b解析：本题考查余弦定理及面积公式,结合余弦定理和三角形面积公式将四边形ABDC的面积用/B 4C 的三角函数表示即可求解.解：设/B4C=e,则由已知和余弦定理有 BC1=AB2+AC2-2AB-ACcosO=a2+b2-2而（.、，又ABC。为等边三角形，所以 SA urn=-BC=-（a2+6-2abcos0）又 SAA”=加 i

16、i身，所以 SAB DC=SBCD+SABC=+）+ab（gsin。+/）+absin（g ）又0 0 几,所 以-0-：,当 ri=1 时，axb2+尻=bi，v 尻=1,b2=.,%=2,又 的；是公差为3 的等差数列，an=3n 1；（口）由（1）知：（371-1泡+1+%+1=71%即 3 瓦+i=bni即数列%是 以 1为首项，以；为公比的等比数列，与 的前 项和sn=皆=|(1-3-)=|-提.解析：此题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前项和公式.(1)令 =1可得的=2,结合 即 是公差为3 的等差数列，可得 an 的通项公式；(口)由(I)可得：数列%是 以

17、1为首项，以!为公比的等比数列，进而求得%的前项和18.答案：解：证明：依题意，在A2MN中，AM=2,AN=1,=或由余弦定理及勾股定理得MN?+HN2=AM2,AN 1 M N,即PN 1 MN,在图2 PNC中，PN=1,NC=2,PC=V5.PC2=PN2+NC2,PN 1 NC,MN CNC=N,：.PN JL平面 BCNM,：PN u 平面 P M N,；.平面PMN 1 平面 BCNM.(2)解：以N 为坐标原点，NM为x 轴，NC为 y 轴，NP为 z 轴，建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),M(V3,0,0),D(y,|,0),C(0,2,0),PM=(V3,0,-1),

18、MD=(-y,|,0)，定=(2，T)，DC=设平面MPD的一个法向量沆=(x,y,z),则m-PM-V3x z=0一m 8,3 八，取y=l,得记=（遮3）,m MD=-x+-y =02 2设平面PQC的法向量元=(a,b,c),（n PC=2b c=0则t 6 a_ 4 c，取Q=l，得元=（1,次,2遮）,In-DC=-a 4-Z?=0I 2 2设二面角M PO C的平面角为氏 由图知。是钝角，A|7nn|873 239 COSd=-,=f=-.|7n|-|n|4V13 13二面角M-PD-C的余弦值为一笔I解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面

19、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(1)推导出A N 1 M N,即PN_LMN,PN 1 N C,从而PN 平面B C N M,由此能证明平面PMN J 平 面BCNM.(2)以N为坐标原点，NM为x轴，NC为)，轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-P D-C的余弦值.19.答案：解：(1)由题中表格数据可得2 x 2列联表如下：将列表中的数据代入公式计算得:不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数10455540岁以上人数153045合计2575100V的观测值k=x is产 x 3.030 0,知x 0,/(乃有两个零点o a=号有

20、两个相异实根，令G(x)=竽，则G(X)=，由G(%)0得：0%V e,由G(x)e,G(x)在(0,e)单调递增，在(e,+8)单调递减，*,G(%)max=G(e)=又,G(l)=0,当0 V x 1时，G(x)1时，G(x)0,当 T +8时，G(x)0,/。)有两个零点时，实数的取值范围为(0曲)；(2)当a=1时，f(x)=ex xf 原命题等价于xe Inx+m x+1对一切%G(0,+8)恒成立，=m 4 e”等 一 对一切 G(0,+8)恒成立，令F Q)=靖 一等一0),m 0,九(%)在(0,+8)上单增,又 h(l)=e 0,fig)=e2 一 i -1=0,：,3x0

21、e Q/1)，使h(%o)=。即诏e*。+lnx0=0，当 E(0,&)时，h(x)0,即尸(X)在(O,X o)递减，在(3,+8)递增,二 F(x)min=F(x(j)=ex-lnx0 1由 知 帝 心 -l n%o W。=-詈=套 呜=(呜)e 脸,函数*(%)=xe%在(0,+8)单调递增,*x0 I n 1PX0=l n%0 x0-1%_ zo _2_=_ L+i _ _ L=i,F(x)min=eA m 0),利用导数研究函数的单调性，得最值求解即可.22.答案：解：(1)曲线的极坐标方程为厚3 一：)g，-1化为直角坐标系的方程为x+y -2 =0,联立 誉/茎=。，消去 X 得，y2-3 y +2 =0,解得y =1或 2,故 C i 和C?交点的坐标为(0,2),(1,1).(2)依题意，直线/的参数方程为 2+tcos；u=2,或 馨x 2,或E-l+x-2 2,解得原不等式解集为(-x J)U(a+x).a +2 -2x,x a,(2)因为a V 2,所以/(%)=区一0 +优一2|=2-a,a x 2.作出函数/(x)的图象如图所示：点M(2,2 -a),则k0M=q-.由图可知，若不等式/(%)尤恒成立，则k M l，即 苛 1，解得a x 恒成立，则解出即可.