2021届高考数学强基计划模拟题18附答案解析.pdf

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1、2021届高考数学强基计划模拟题18一、单 空 题（本大题共8小题，共 40.0 分）1 .定理：若D E 是A A B C 的中位线，则有S f D E：SA B C=1：4.类比平面几何这个定理可知：若三棱锥4-B C D 有中截面E F G 平面B C D,则 截 得 三 棱 锥 的 体 积 与 原 三 棱 锥 体 积 之 比 为.2.已知命题：在平面直角坐标系中，,豳 酬 1 的顶点魂f 喷和 僦 几 噂，顶点B 在椭圆 出=箕就勒耻涉隗益=府 二 1 可 上，椭圆的离心率是e,则.油 书 嬴.=1,类比上述：?1 缸M 点 般命题有：在平面直角坐标系中，叙 蜴 的 顶 点 题-4 顾

2、和露窗43 顶点B 在双曲线.-4=蜘 料 鹤 即 口 声=渥 开 晦 上,双 曲 线 的 离 心 率 是 e,则 一.3 .中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指痣小子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6 6 1 3 用算筹表示就是：_|_ T _川，则728 8 用算筹 式 可 表 示 为.1 2 3 4 5 6

3、 7 8 9纵式 I II III Illi H ill T T I !机式=三 至 三J=L 去4,表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第/列的数为切.则表中的数52共出现_ _ _ _ _ _ 次.234567357911134710131619591317212561116212631 71319253137 .5.观察下列式子：1 _ 13 3；3 1 5 5,1 +=2.3 1 5 3 5 7,l+=i.3 1 5 3 5 6 3 9,则可以归纳，当n e N*时，有式子.6.在平面几何中，有射影定理：“在AABC中，AB 1 A C,点4在BC边上的

4、射影为C,有AB?=BD,B C.类比平面儿何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥4 BCD中，4。平面4 B C,点4在底面BCD上的射影为。，则有4 5 6C7.在十进制数中的运算规律是“满十进一”，类比这个运算规律,算53伊）x 26e）=_.（运算结果必须用八进制数表示）8.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 33进行八进制的四则运算，请计7 8 9 1011 12 13 14 15根据以上规律，数阵中第n(n N 3)行的从左至右的第3个数是.二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)9.将正整数作如下分组：(1),(2,3),(4

5、,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),，分别计算各组包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测工+53+55+52它1的结果，并用数学归纳法证明.Si=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=1554=7+8+9+10=34,55=11+12+13+14+15=65,56=16+17+18+19+20+21=111,k110.(本小题满分12分)已知数列上J 满 足 对=-，&u=不 丁，%G威.猜想数列岳 的单调性，并证明你的结论.11.猜想J 2n个个(n e N*)的值.参考答案及解析1.答案：匕-EFG：匕-BCD=

6、1：8解析：解：AABC中，若DE是4 8 C的中位线，则有SAADE：S ABC=1：4；由面积的性质类比推理到体积的性质，类比这一性质，推理出：若三棱锥A-BCD有中截面EFG平面B C D,则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为A-EFG:A-BCD=1：8 故答案为：匕-EFG：匕-BCD=1：8.由已知“若。E是AZBC的中位线，则有S-D E：S-BC=1：4”可以类比这一性质，推理出若三棱锥4-BCD中，有中截面EFG 平面B C D,则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式.本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查类比推理，类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性

7、或一致性，然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，是中档题.域 逑端 年 端 即 窗 1 施叫普 睥 条sr 1解析：试题分析：在椭圆中 .U.!=-,而 在 双 曲 线 中卸魄嫌 怒|叫 盟&色 巴 空 阍 解 一|叫 卜 舐，所以有画 磊 晶 匐【城M盛 隹;蝴 饿.康 曲考点：本小题主要考查类比推理.点评：正确理解所给命题的本质是正确解题的关键.3答案：Ti i i nr解析：解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位,十万位用横式表示，则7288用 算 筹 可 表 示 为 丁|X川，故答案为:-mi n-根据新定义直接判断即可.本题考查了新定义的

8、运用，考查学生对图形的认识，属于基础题.4.答案：4解析：解：。所表示第般行第九列的数，由题意知第n行是首项为Ti+l,公差为n的等差数列，ann=(n+1)+(n 1)x n=n2+1.第i行第7列的数记为4”.那么每一组i与/的解就是表中一个数.因为第一行数组成的数列&/0=12)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以4“=2+0-1)x 1=/+1,所 以 第/列 数 组 成 的 数 列=12)是以/+1为首项，公差为/的等差数列，所以4“=/+1+(i-1)X/=+1.令=ij+1=52,即=51=1 x 51=17 x 3=3 x 17=51 x 1,故表中52共出现4次.故答案为：

9、4.斯”表示第几行第ri列的数，由题意知第7 1行是首项为n+1,公差为建 的等差数列，由此能求出ann；利用观察法及定义可知第1行 数 组 成 的 数 列=1,2,)是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第/列数组成的数列4/(i=12)是以1+1为首项，公差为/的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果.此题考查行列模型的等差数列的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的性质.1n5答案：/专+?+4n2-1 2n+l解析：解：观察下列式子:1 1-=1x3 31x3 3x5 5,1,1,1 34 H =一1x3-3x5-5x7 7-1-+,-1-,-1-,-1-=一41X

10、3 3x5 5x7 7x9 9可以得到等式的左侧的项数与等式的个数相对应，分子是1,分母是连续的两个奇数的乘积，右侧分母是左侧分母最大的一个奇数，分子是等式的个数，当nN*时，有式子9 圭+”+念7n2n+l故答案为：+卷+域-*-*-4n2-1n2n+l观察已知条件，找出规律即可写出结果.本题考查归纳推理，找出规律是解题的关键.6.答案：S晨BC=SBCO S&BCD解析：解：由已知在平面几何中，若4 B C中，AB 1AC,AD 1 B C,。是垂足，贝 I B 2 =BDBC,我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A-B C D中，4 D 1面A B C,4。JL面B C D,。为垂足，

11、则 S3 BC=SABC。,S&BCD-故答案为鹿4 8 c =S 4 8 c o -S&BCD这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，(如图所示)若 A B C中，ABLAC,AD 1 BC,D是垂足，则Z B?=BD-BC,我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥4 -B CD中，AD 1面4 8 C,4 0 _ L面B C D,。为垂足，=ABCO ABCD类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)

12、.7.答案:1 6 6 2(8)解析：解：5 3伊)x 2 6伊)=(5 x 8 +3)X (2 X 8 +6)=4 3 X 2 2 =9 4 6(1 0)=1 6 6 2(8).故答案为：1 6 6 2(8).根据八进制数转化为十进制数，计算后转化八进制数，进而得到答案.本题考查的知识点是其它进制，其中正确理解八进制数转化为十进制数的规则，是解答的关键，属于基础题.8答案：日 尹解析：解：由排列的规律可得，第n-l行结束的时候排了l +2 +3 +(n-l)=生产个数.所以n行从左向右的第3个 数 空 生+3 =贮=蛆.2 2故答案为之三蛆.先找到数的分布规律，求出第7 1行结束的时候一共出

13、现的数的个数，再求第7 1+1行从左向右的第3个数即可.本题借助于一个三角形数阵考查了数列的应用，是道基础题.9.答案：解：由Si=1 =14 S+S3=1 +1 5 =1 6 =24 S+S3+S$=8 1 =34,猜想S+S3+S5+.+5271-1=M，兀 6 N*；证明：当n=l时，Si=14=l,猜想成立，假设n=e N*)时，S1+S3+S5+-.+S2 k_1=k4,k N *.当7 1 =fc+1 时，S+S3+$5+$2上-1+Szk+l=k*+2k+l=k?+(2卜2+k+1)+(2/f2+k +2)+(2 f c2+3 k +1)1=k2+-(2k2+k +1)+(2k2

14、+3 k +l)(2/c +1)=k4+(2k2+2k+l)(2/c +1)=/C4+4/C2+1+4k3+4 k +2 k 2 +1 =(k2+2k+l)2=(k +l)4,综上可得n=k+1也成立，则S+S3+S5+.+Szn-i=n4,n E N *.解析：计算 I，S1+S3,S1+S 3+S 5,猜想 S 1+S 3+S 5+.+52.-1=标，n N*；运用数学归纳法证明，注意由n=k推导n=k+l也成立，运用完全平方公式.本题考查数学归纳法的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题.10.答案：见解析。解析：试题分析：写出数列前几项，观察发现规律，然后用数学归纳法证明，注意数学归

15、纳法的步骤.下面用数学归纳法证明：(1)当 匠T时，已证命题成立.(2)假设当R二不时命题成立，即卜-易 知 区 0,那么1 +xj t+i 1 +*m m|Q+%+i)(i+j+3)1 1=1 +X与q 1 +X(1 +“兽-1 )(1 +%+3)(1 +%乂1 +三 区-1 X 1 +X裁+2乂1 +X2k3)即忸8 D X?g)一?也就是说，当|=左+1时命题也成立.结合(1)和(2)知命题成立.考点：数学归纳法1 1.答案：解：V11-2=炳=3=3 x 1V llll-2 2 =V1089=33=3 X 11V111111-222=333=3 x 111可得到规律：当被开方数中有2n个1减去n个2时，算术平方根为n个3故 原 式 值 为*Ln解析：首先由题意可得当被开放方数是2个1减1个2时，得到1个3,当被开方数是4个1减去2个2时,得到2个3,被开方数中6个1减去3个2时，得3个3,即可得到规律：当被开方数中2n个1减去n个2时，得到n个3,则问题得解.本题考查归纳推理，通过写出前三个特殊的值，归纳写出原式的值.属于中档题.