2023年北京市房山区高考数学一模试卷及答案解析.pdf

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1、2023年北京市房山区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共10小题，共 40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合4=x|-1 x 1,B-x0%3 ,则/U B=（）A.0,1）B.0,1 C.（-1 3 D.（-1,3）2.在。一 夕 的展开式中，/的系数是（）A.8 B.8 C.4 D.43.已知数列 册 对任意n W N*满足%+的=1+1，且%=1,则等于（）A.2 B.3 C.4 D.54.是 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线C：y2=钛 的焦点为F,抛物线C上一点P到点尸的距离为3,则

2、点P到原点的距离为（）A.2 B.3 C.25/2 D.2V36.已知直线y+1=-2）与圆（X-1）2+（y-1）2=9相交于M,N两点.则|MN|的最小值为（）A.V5 B.2V5 C.4 D.67.已知函数/Q）同时满足以下两个条件：对任意实数x,都有f（x）+/（-%）=0；对任意实数X1，x2,当 1+%2芋0时，都 有 党 警2 0 则函数“X）的解析式可能为（）A./（%）=2x B./（x）=-2 x C./（x）=2X D.f（x）=-2X8.在 ABC中，4C=90。,4c=BC=&,P为A ABC所在平面内的动点，且PC=1,则|方+而|的最大值为（）A.16 B.10

3、C.8 D.49.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S（t）=S（）eKt描述血氧饱和度S（t）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中So为初始血氧饱和度，K为参数,已知So=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间(单位：时)为()(精确到0.1,参考数据:6 2 a o.6 9,I n 3 k l.1 0)A.0.3 B,0.5 C.0.7 D.0.91 0.如图，已知正方体A B C。4 B i G D i，

4、则下列结论中正确的是()A.与三条直线4B,C C,。遇1 所成的角都相等的直线有且仅有一条B.与三条直线A B,C C i，。送1 所成的角都相等的平面有且仅有一个C.到三条直线A B,CG，D M 1 的距离都相等的点恰有两个D.到三条直线4B,C C 1，。遇1 的距离都相等的点有无数个二、填空题(本大题共5 小题，共 25.0 分)1 1 .在复平面内复数z 对应点的坐标为(0,1),则(l +i)-z=.1 2.能够说明“设a,b,c 是任意实数，若a b c,则a c l,方程/(x)=a恰有3个实数根；3 x0e R+,使得/(一的)一/(殉)=。；若实数%1 x2 x3 0,0

5、 p +0)过点(0,1),且离心率为，a b2(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线1与椭圆E相切，过点M(1,O)作直线/的垂线，垂足为N,。为坐标原点，证明：|0N|为定值.20.(本小题15.0分)已知函数/(%)=ax (a+l)lnx(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1)处的切线方程；(2)若y=/(x)在 =2处取得极值，求/(%)的单调区间；(3)求证：当0 a l 在区间 l,e 上无解.21.(本小题15.0分)如果数列 即 对任意的n G N*,an+2-an+1 an+1-an,则称 a j 为“速增数列”.(1)判断数列 2 是否为“速增数列”？说明理

6、由；(2)若数列 an 为“速增数列”,且任意项a n C Z,的=1,。2=3,以=2 0 2 3,求正整数k的最大值；(3)己知项数为2k(kN 2,k C Z)的数列%是“速增数列”，且 匕 的所有项的和等于匕 若%=2%，n=1,2,3,，2 k,证明：ckck+1 2.答案和解析1.【答案】c【解析】解：集合4 =x|-1 x 1,B-x|0 x 3 ,则4 U B=x|-1(一2 尸 X4-2 r,取4 2 r=2,则r=1,系数为 x(-2)=-8.故选：A.直接利用二项式定理计算即可.本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.3 .【答案】D【解析】解：由题意可得,。2 =+

7、Q1=2,。3 =。2 +=2 +1=3,=3 +1=4,=4+1 =5.故选：D.由数列递推公式依次计算&，。3,。4,。5,即可得答案.本题主要考查数列的递推式，属于基础题.4 .【答案】A【解析】解：当O V x /时，tanx 6 (0,1),满足te rn%V 1,充分性；取 =乎，满足=不 满 足 不 必 要 性.4 4故 0 V x ,是 tmx r的充分而不必要条件.故选：A.当0 x ：时，ttmxe(O,l),满足t a n x l,充分性，取x=含十算得到不必要性，得到答案.本题主要考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：:抛物线

8、C：y 2 =府 的准线为 =-1,设P(x(),y o),PF =x0 1)-3,x0=2,y o =8,点 P 到原点的距离为V?”=2 V3.故选：D.由抛物线的定义，将抛物线C 上一点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点P 的坐标，进而得出点P到原点的距离.本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题.6 .【答案】C【解析】解：由 圆 的 方 程 1)2 +(y 1)2 =9,可知圆心4(1,1),半径R=3,直线y +1=m(x-2)过定点B(2,-l),因为(2 -1尸+(1-1)2 =5 9,则定点8(2,1)在圆内，则点 8(2,-1)和圆心4(1,1)连线的长度

9、为 d =V(2-l)2+(-l-l)2=V5,当圆心到直线M N 距离最大时，弦长M N 最小，此时4 B 1 M N,由圆的弦长公式可得|MN|=2 V/?2-d2=2 J 3 2 -(近/=4-故选：C.先求出圆心4(1,1)和半径，以及直线的定点8(2,-1),利用圆的几何特征可得到当A B J.MN时，|MN|最小.本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题.7 .【答案】B【解析】解：对任意实数X,都有/(x)+/(-%)=0,故函数为奇函数；对任意实数%,X 2,当%+尤 2*0时，都有产2)0,即 驾 笠 o,即智户 AB=(0,1,0)P 到直线4 B 的距离d =|4

10、|J l -c o s2 =V(a -l)2+2a2-/(;.鲁：7(a-l)2+a2,同理可得P 到直线C C i 和。14的距离为，(a -+a 2,故 QB】上的点到三条直线4 B,CG，的距离相等，故有无数个点到三条直线AB,C C ,。送1 的距离相等，故 C错误，O正确.故选：D.利用空间几何体的性质，逐项判断即可.本题考查空间几何体的性持，考查线面角，点到线的距离，属中档题.1 1 .【答案】i-1【解析】解：因为复数z在复平面内对应点的坐标为(0,1),所以z=i,所以(1 +i)-z=(l +i)-i =i +i2=i-l.故答案为：i 1.根据复数的几何意义表示复数z,然后

11、利用复数乘法运算法则计算.本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.1 2.【答案】一2,-1,0【解析】解：若a 0时，ac be；当c =0时，ac=be；当c be；“设a,b,c是任意实数，若a b c,则a c 1,方程/(x)=a恰有3个实数根，故正确；对 于 ,当x()eR+时，使得有f(To)=/(Xo)成立，即y =/-4 x +1与y =|/n x|有交点，这显然成立，故正确；对于，不妨设互不相等的实数X,x2,%3%4满 足%2%3 即-)右=lnx4,x3=，Z%41 1所以(3+3)(这一打)=一4(2-多)，由图可知，x4e(l,e,1 1 1而y

12、 =x在x e(l,e上单调递减，所以一打弓一e,0),X 44 e所以(%i +%2)(X3-7*)=一 五 -4)W (0,4 e-3，贝I J Q1+X2)(X3-X4)的最大值为4 e-故正确.故答案为：(3)(4).画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.本题主要考查函数的零点与方程根的关系，分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.16.【答案】解：由条件可知，号=兀，解得3=2；(2)由(1)可知，/(x)=sin(2x+(p)(s 0,0 (p 7r),若选择条件：/(%)是偶函数，所以2 x 0+0=+kn,k G Z,因为 0 (p 71

13、,所以8 =p所以/(%)=sin(2x+)=COS2X9所以g(x)=cos2x 2sin2x=cos2x+cos2x 1=2cos2x 1,令一Jr+2kn 2x 2knf k E Z,解得一+ku%kn,k E Z,函数g(%)的递增区间是一与+兀/扪,c Z；若选择条件：f(x)图象过点(也1),则 照)=sin(2 x 3+卬)=1,则g+W =5+2k7r,k C Z,即w 屋+2k7r,keZ,因为0 0 兀，所以8=1所以/(%)=Sin(2x+1),所以g(x)=sin(2x+*)-2sin2x=-sin2x+|cos2x+cos2x 1=-sin2x+|cos2x 1=V3

14、sin(2x+货-1,令一 +2/C T T MA=(V2,-2,0).DP=(0,0,2).PD 1平面4BCD,.平面ABC。的法向量为而=(0,0,2),设平面4PM的法向量为元=(x,y,z),贝%厢=缶-2y=0 取(四，L2)平面力BCD与平面APM所成角的余弦值为：Icos -底 包|cos|-瓦 阿 1夕一 7 由(2)可知平面力PM的法向量为元=(疯,1,2),|cos|=手，。到平面4PM 的距离为|DP|cos =2=【解析】(1)根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可

15、；(3)利用空间点到直线距离公式进行求解即可.本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，向量法求解点面距问题，属中档题.18.【答案】解：共 10份书卷，准确率低于80%有6份，.所求概率为P=卷=|；(2)正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，4 =。，1，2，又(乂 =。)=加3制-0)=管=机”-2)=等=X的分布列为：*E(X)=0 x 4-lx +2 x =；X012P274717(3)此次公益讲座的宣传效果很好，理由如下:讲座前的平均准确率为:65%+60%+70%+100%+65%+75%+90%+85%+80%+60%_1075%,讲座后的

16、平均准确率为：90%+85%+80%+95%+85%：；5%+95%+1 0 0%+85%+90%=8 9%)平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.【解析】(1)共10份书卷，准确率低于80%有6份，计算概率即可.(2)X的取值可能是0,1,2,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(3)讲座前的平均准确率为7 5%,讲座后的平均准确率为8 9%,提升明显，得到答案.本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，平均数的概念,属中档题.19.【答案】解：(1)因为椭圆过点B(0,l),所以b=l,又6=或，a2=b2+c2,所以=四!=K =得到a=&

17、,2Q 7 Q 2 7a2 22所以椭圆E的标准方程为/+y 2 =1;证明：(2)当直线斜率/存在且不为0时，设直线 的方程为y=kx+7n(k#0),联立直线/和椭圆E的方程得，-+yNTy 2消去y 并整理，得(2k?+i)x2+4kmx+2m2-2 =0,因为直线/与椭圆E有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，4=16k2m2-4(2/+1)(2*-2)=0,化简整理得瓶2=2 1 +1,因为直线MN与 垂直，所以直线MN的方程为y=联立得丫=一X*一1),解得.y=kx+m*l km一 l+Q.Np i m k+m.-1+k2所以|ON|2=(l km)2+(k+m)2 _ k

18、2m2+k2+m2+l _(fc2+l)(m2+l)_ m2+l(1+k2)2-(1+k2)2-(l+/c2)2-1+fc22把m2=2/+1 代入上式得，|ON=箸 罟=2,所以|O N|=&,为定值;当直线/斜率为0时，直线八y=+l,过点M(l,0)作直线/的垂线，则垂线方程为=1,此时N(l,l)或N(l,-1),|ON|=应，为定值；当直线/斜率不存在时.，直线I：x=士四，过点M(l,0)作直线1的垂线，则垂线方程为y=0,此时N(&,0)或N(迎,0),|O N|=V I,为定值;综上所述，ON=V 2,为定值.【解析】(1)利用椭圆过点8(0,1),得到b=l,再由椭圆的离心率

19、为亨，求出a 的值，从而求到椭圆E的标准方程；(2)对直线，的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出|。/7|=四，得到结论.本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.20.【答案】解：(1)由/1(x)=ax-(a+l)/nx-0,可得尸(X)=a-丝+3 =，-(l)x+l =(a x?(x T),当。=0时-，/(I)=-/n l-1=-1,(1)=0,y=f (x)在点(L f(l)处的切线方程为y=-1；(2)因为y=/(x)在x=2处取得极值，所以尸(2)=宇=0,解得a=检验如下：令/(X)=(红 一?/)=0,解得=2或%=1,

20、若0 c x 2 时,则/(x)0；若l x 2,则尸)0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2),故y=/(x)在 =2处取得极小值，满足题意，故f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2)；(3)证明：由(1)知1(x)=(a x-?x T),由0 a 1,因x e l,e ,当;e时，当 G(l,e)时,/(X)0,即函数/Q)在 l,e 上单调递减,f(x)m a x=f =a-l 1不成立，即不等式/(%)1在区间 l,e 上无解；当l ：e 时，当l x 3 时，/(x)0,当，%0,即/(%)在(1,，)上递减

21、，在,e)上递增，于是得f(x)在 l,e 上的最大值为/(I)或/(e),而/(I)=a 1 1,/(e)=ae (a+1)：，/(e)1=a(e 1)2 (e 1)2 1=e-3-i 0,BP/(e)1 不成立，即不等式f(x)1 在区间 l,e 上无解，所以当0 a 1 在区间 l,e 上无解.【解析】(1)根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程：(2)根据/(2)=0 可求出a=i,并对其进行检验即可求解；(3)分;e 和1 ;2 ,故册+2 一 n+i%+1 一厮，数列 2 警是“速增数列”.(2)%=1,a2 3,ak 2 0 2 3,当k N 2 时，=2 0 2 3

22、=(以Q 一 i)+(以一1 以-2)+(。2 。1)+Q i -1 +2 +3 +k 1+k,即2 0 2 3 k Z,当k =6 3 时，若 电=2 0 1 6,当k =6 4 时，零=2 0 8 0,故正整数k 的最大值为6 3.(3)证 明:bk+2-bk+1 bk+1-bk bk-bk.x,故尻+2 -尻+i 尻一瓦-i，即 bk+2+bk-i bk+bk+i；bk+3 bk+2 bk+2 bk+1 bk+1-bk bk-尻_】瓦-i -bk-2故瓦+3 -bk+2 bk-i 瓦_ 2，即与+3 +bk-2 bk-i+bk+2 瓦+bk+1,同理可得：b2k-m+1+bm bk+bk+1,m e N*,1 m k(bk+bk+1),故瓦+bk+i 1,ckcf c+1=2bk x 2 久+1 =2 k+bk+i 2n,得到答案.(2)根据题意得到2 0 2 3 二 笔 由，k Z,计算当k =6 4 时，笔 由=2 0 8 0,当k =6 5 时，尹 2 =2 1 4 5,得到答案.(3)证明B-m+i+%瓦+瓦+1，得到%卜(如+煤+力，得到氏+瓦+1 bk+尻+i是解题的关键.