2021年广东省东莞市高考数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分。考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准

2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5分）已知集合A =x|）=，8 1 -3%xG N）,B=x-l x c b B.a b c C.b a c D.c b a4.（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）第1页 共2 1页正（主）视图-2-创 左）视图俯视图VS/rA.+24（V5+1）TIB.-+44C（后1）兀 24 一VST TD.+445.（5 分）已知两条相交直线?，及和三个不同的平面a,p,Y，则下列条件成立推不出a0 的

3、是（）A.若 m_La,m_L0C.若 2a,?0B.若 aY，0YD.若 mua,n c a,加仇x y+2 N 06.（5 分）已知x,y 满足约束条件x+y-m 之0,若 z=3x-4），的最大值为9,则z 的值*3 4 0为（）A.-32 B.-28 C.2 D.37.（5 分）下列命题为真命题的是（）A.BxoGR,8 尸 0C.*3A X）R,2X x lM 的否定为“Vx R,2飞,”D.VxCR,2x x2，r 的否定为“VxCR,8.（5 分）如图所示，正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去，得到一个树形图形，称其为“勾股树”.若某勾股

4、树共有1023个正方形，且最小的正方形的边长为三，则最大的正方形的边长为（）第2页 共2 1页二.多 选 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5分）已知三棱柱A B C-4 8 1。的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16m下列说法正确的是（）A.三棱柱A B C-A1 B1 C1 的体积 是 尊B.三棱柱ABC-Ai Bi Ci 的表面积是1 8C.直线AB1 与直线4cl成角的余弦值是个史26、-7 1 3D.点 A 到平面48c的距离是一21 0.（5分）已知向量3，尾是平面a内的一组基向量，。为 a内的定点，对于a内任意一点产，当 办=高+）届

5、时，则称有序实数对（X，y）为点尸的广义坐标.若点A、B 的广义坐标分别为（X I,y i）（X 2,”），关于下列命题正确的是（）A.线段A、8的中点的广义坐标为（主 上，空 及）B.A、B两点间的距离为J（X i 0）2 +（y i y 2）2C.向量。4 平行于向量。8 的充要条件是x i y 2=x 2），lD.向量。4 垂直于0 B 的充要条件是xy2+x2y=01 1.（5分）已知由样本数据（x i,y i）（i=l,2,3,，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2%-0.4 且亍=2,去除两个歧义点（-2,7）和（2,-7）后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的

6、是（）A.相关变量尤，y具有正相关关系B.去除歧义点后的回归直线方程为y =3 x -3.2C.去除歧义点后，随 x 值增加相关变量y值增加速度变小D.去除歧义点后，样 本（4,8.9）的残差为0.1 （附：4=V一 丫 （）第 3 页 共 2 1 页1 2.(5分)设函数f(x)=s i n (2 x+上单调递增7 TD.0）的离心率6=5，F i,尸 2分别是9 b2 3椭圆的左、右焦点，B i,比 分别是椭圆的上、下顶点，尸是椭圆上任意 一 点（不 与 Bi,8 2,重合），0 为坐标原点.（1）若线段P Q 的中点在y 轴上，求 器 的值；IPFJ（2）若直线P 8 i,尸治分别与x

7、轴交于点M,N,求证：|OM|CW|为定值.22.（12 分）设函数/（x）=-Mnx+ax2-lax.（1）若 a=0 时，求函数/（x）的单调递增区间；（2）若函数/（X）在 x=l 时取极大值，求实数a 的取值范围：（3）设函数/（X）的零点个数为?，试求小的最大值.第 6 页 共 2 1 页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合4=国 5=81-3巴 xCN,B=（x-x 4 ,则集合A C S 中元素的个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：；4 =石 3 y

8、8 1,x6N=x|xW4,x6N=0,1,2,3,4,B=x|-1 x c h B.a h c C.b a c D.cha【解答】解：:二=log y/s log y/s log 3=1,a 5=1,：.b ,VO=logsl logs2/5=.-.0cac,故选：C.第 7 页 共 21 页4.（5 分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（)例（左）榄图 1正（主）视图俯视图V57TA.+24(V5+l)7iB.-4-44C(二+1)兀 24V57TD.+44【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥体的三部分，画出图形，如图所示:4结合图中数据，计算该几何体的表面积是:5.

9、1S=4（S 底 面 圆+S 侧 面）+SAOCS/BOC=1 x（KX l2+nX lx V22+l2）+1 x lX 2+|x lX 2故选：C.（5 分）已知两条相交直线m,n和三个不同的平面a,0,丫，则下列条件成立推不出a/P的 是（）A.若，J_a,B.若 a Y，0YC.若加a,D.若 mua,“ua,20,n/【解答】解：由两条相交直线，”“和三个不同的平面a,。，丫，知：对于A,由机，a,利用面面平行的判定定理得a 由 故 A 正确；对于B,由 a 丫，0 丫，利用面面平行的判定定理得a B，故 8 正确；第8页 共2 1页对 于 C,若相a,m0,则 a 与 0 相交或平行

10、，故 C 错误；对于）,若 mua,u a,m0,仇 利用面面平行的判定定理得。0,故。正确.故选：C.x y+2 N 06.（5 分）已知x,y 满足约束条件 +y-m N 0,若 z=3x-4y的最大值为9,则根的值x 3 4 0为（）A.-32 B.-28 C.2 D.3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=3x-4v 的最大值为9,则 y=-左在y 轴上的截距最小，只有当直线丫=,-左过A 时即可，联立：；=0,解得A（3,k3）,代入 z=3x-4），得 3X 3-4X （%-3）=21-4%=9,即 m=3.故选：D.7.（5 分）下列命题为真命题的是（）A.BxoGR,&尸

11、0C.3xoeR,2。诏”的否定为“VxeR,2x xi）D.KVxeR,2XX2M 的否定为“Vx6R,2Wx2”【解答】解：因为=$尸（0,+8）,所以选项A：3xoR,（1）xo 0,logrtvGR,所以选项 8：VxeR,logx0,不正确；SxoGR,2，。以”的否定为“VxeR,满足命题的否定形式，正确；第9页 共2 1页“VxCR,2、/”的否定为“VxGR,不满足命题的否定形式，所以。不正确.故选：C.8.（5分）如图所示，正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去，得到一个树形图形，称其为“勾股树”.若某勾股树共有1023个正方形，且最小

12、的正方形的边长为三，则最大的正方形的边长为（）【解答】解：设最大的正方形的边长为由题意，正方形的边长构成以为。首项，以二2为公比的等比数列，已知某勾股树共有1023个正方形，则有1+2+2=2-1 =1023,解得”=10,由最小的正方形的边长为上，可得“X（孝）9=春，解得a=V2.故选：A.二.多 选 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5分）已知三棱柱ABC-4 8 1。的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16TT,下列说法正确的是（）95/3A.三棱柱ABC-A1B1C的体积是7 B.三棱柱A 8C-4 B IC 1的表面积是18C.直线AB1

13、与直线4 1 cl成角的余弦值是26V13D.点A到平面4 8 c的距离是一2【解答】解：三棱柱A 8C-4B 1。的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16n,如图所示：第1 0页 共2 1页对于A：设外接球的半径为R,则 4 n/?2=1 6 m 解得R=2.设三棱柱的高为，由于45=3,所以球心0到 A8 C 的中心的距离d=?，AB C 的中心到A 的距离r=|x a （|）2=V3,故专）2+产=产，解得=2,故 V=x3x3x 孚 x 2=故 A 正确；对于 8：S/;=2 x1x3x3x+3x3x2=+18,故 8 错误；对 于 C：在三棱柱AB C-A

14、iB iC i的一侧构造一个完全一样的三棱柱A8。-AiB iQ i,所以异面直线AB i与直线A1 C 1 成角即为A8 i与直线D B 所成的角,连接A i,在AO iB i中,由于。8|=3,A By=A Dt=V32+22=V1 3,则 COS44BIDI=4 8 2+B D 2 AD21 3+9-1 32x 7 1 3 x 33 7 1 32b,故 C正确;对于C：连接A1 8 和 4C,利用匕-418 c=匕T-ABC，得鼠 5 A4B C ,g AAJBC 八，解得=粤 力 半，故。错误.V43 N故选：AC.1 0.（5分）已知向量3，扇是平面a内的一组基向量，。为 a内的定点

15、，对于a内任意一点 P,当 后=x A+）届时，则称有序实数对（羽 y）为点尸的广义坐标.若点A、B的广义坐标分别为（x i,yi）（X2,”），关于下列命题正确的是（）A.线段A、8的中点的广义坐标为（小+%2%+丫 2）22第 1 1 页 共 2 1 页B.A、B 两点间的距离为J（Xi-2）2+（为一丫2）2C.向量。4平行于向量。8 的充要条件是xi）2=%2ylD.向量。力垂直于。B的充要条件是xi*+x2yi=0【解答】解：根据题意得，由中点坐标公式知A 正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；由向量平行的充要条件得C 正确；当向量3，1

16、 是相互垂直的单位向量时，。4与。8垂直的充要条件为xix2+yiy2=0,因此。不正确；故选：AC.11.（5 分）已知由样本数据（xi,y i）（i=l,2,3,，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为y=2%-0.4且亍=2,去除两个歧义点（-2,7）和（2,-7）后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（）A.相关变量x,y 具有正相关关系B.去除歧义点后的回归直线方程为y=3x-3.2C.去除歧义点后，随 x 值增加相关变量y 值增加速度变小D.去除歧义点后，样 本（4,8.9）的残差为0.1（附：el=y-y；）【解答】解：由5=2,代入y=2 x-0.4,得歹=2 x

17、2 0.4=3.6,.去除两个歧义点（-2,7）和（2,-7）后，得 到 新 的 元=等=2歹=主等=4.8,又得到新的回归直线的斜率为3,新的线性回归方程的a=4.8-3 x|=一 3.2,则去除两个歧义点后的线性回归方程为y=3 x-3.2,故 B 正确；又由斜率3 0,相关变量x,y 具有正相关关系，故 A 正确；且去除歧义点后，随 x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故 C 错误；当x=4 时，y=3 x 4-3.2=8.8,则去除歧义点后，样 本（4,8.9）的残差为8.9-8.8=0.1,故 D 正确.第 1 2 页 共 2 1 页故选：A B D.1 2.(5 分)设函数/(x

18、)=s in +cp),已知/(x)在(0,2 n)上有且仅有1 个极大值点,则下列四个结论中正确的有()A.f(x)在(0,2 n)内有5个零点B.f(x)在(0,2 n)有 2 个极小值点7 1C.f(x)在(0,)上单调递增10nD.ip 可以取万【解答】解：.函数/(x)=s in +(p)的最小正周期为7 =竿=兀，又函数/(x)在(0,2口)上有且仅有1 个极大值点，所以函数/(x)的图象如图所示，所以函数f (x)在(0.如)内 有 4 个零点，故选项A 错误；f(x)在(0,2K)内有2 个极小值点，故选项8正确；f(x)在(0,需)上单调递减，故选项C错误；由/(0)=s i

19、n(p=l,解得W=3+2/C7T,k E Z,故 p 可以取3 故选项。正确./2三.填 空 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)13.(5 分)若(1 -2x)4=ao+aix+a2x2+a3x3+a4 x4,贝：()+m+a 2+a 3=-15 .【解答】解：(1 -2x)4=0+。1 尤+2%2+。313+4无 4,令 X=l,可得 40+1+42+。3+。4=1.由通项公式4+1=噩(2)r(x)r,令 r=4,可得4=24=16.a()+m+Q 2+3=1 -16=-15故答案为-15.14.(5 分)若方程/+)2+的+2f c l 叶 4)叶 5 入=0 表示圆，则攵的

20、取值范围为(-8,1)u第 1 3 页 共 2 1 页(4,+8),【解答】解：根据题意，若方 程/+y2+My+2fcv+4y+5Z+入=0 表不圆，则入=0,方程为7+/+2 丘+4y+5A=0,即 Cx+k)2+(y+2)2=/?-5R4,必有F-5 Z+4 0,解可得&V1或 24,即 2 的取值范围为(-8,1)u(4,+8),故答案为：(-8,1 )U(4,+8).15.(5 分)ABC 中，内角 A,B,C 对的边长分别为，4 c,2cosBcosC(tanB+tanC)1=cosjBlanB+cosCtanC,则 cosA 的 最 小 值 是 一.-2-.sinB sinC【解

21、答】解：2cos8cosc(tan+tanC)=2cosBcosC(-+-),cosB cosC=2sin8cosc+2sinGcosB=2sin(B+C)=2sinA,cosBtanB+cosCtanC=sinB+sinC,所以 sinB+sinC=2sinA,由正弦定理得，b+c=2a,由仝昉生工田殂 A b2+c2-a2 庐+c2_(笑)2 3(b2+c2)1 3bc 1 1由余弦定理得,cosA=2 b c=一加 J=-4 4 -4 =2)当且仅当b=c=a 时取等号，此时A=*故答案为:16.(5 分)已知函数f(x)=acosxf g(x)=/+力比+2,若曲线(x)与 y=g(x

22、)在公共 点(0,m)处有公切线，则 a+b=2.【解答】解：V/(x)=acosx,g(x)=/+fer+2,:.f (x)=-asinji,g(x)=2x+b,.,曲线/(x)=cosx与曲线g(x)=/+公+2 在 交 点(0,m)处有公切线，f (0)=a=g(0)=2 且/(0)=0=g (x)=b,B|J a=2,b=3a+b=2故答案为：2.四.解 答 题(共 6 小题，满分70分)17.(10分)已知正项等比数列 所 的前项和为S”,6 7 1 =2,2s2=42+43.(1)求数列 的 的通项公式;第1 4页 共2 1页(2)设“=4,求数列 加 的前项和.an【解答】解：(

23、1)设数列 的公比为4(4 0),:252=42+43,.*.2(m+2)=aq+aiq,:q=2.*.an=2-2n-1=2n；(2)由(1)可得：bn=(2n-l)(1)n,设出 的前项和为T”,则7；=1 x +3 x 弓产+5 x (1)3+(2n -3)x 6尸-1 +(2n _ i)x 8)7 1,I 12 1鼻 1“1 n+1又 尸=1 X(-)+3 X (-)3+(2n -3)x (-)n+(2n -1)x (-)n+1,由 -得：-Tn=-+2x(-)2+2 x(-)3+-+2X (-)n-(2n -1)x (-)n+1,1即/1杷-(犷T=2+一(2n -2r211)X C

24、-)n+1,111 1即3%=3+1 _ g)n -2-(2n -1)x q)n+i,A Tn=3-4-(1)-(2n-1)x(1),：.Tn=3-(2n +3)X (1)n.18.(12 分)已知函数 f(x)=2V 3s i n x c o s x+2c o s2x -I,xE(0,n),Z k A B C 中，角 A、B、C的对边分别为，b,c,且5AABC=超(1)求/(无)的单调递减区间；(2)若/(C)=1,求三角形中。：b：。的值.【解答】解：(1)函数/(X)=2V 3s i n x c o s x+2c o s2x -1=3stn2x+cos2x=2sin(2x+看),7t

25、n 37 r令一+2kn 2x+2kn+(依Z),2 6 2,7 T 27 r解得一+/C 7 T%,AB/CD,A B=A C=A Z)=3,PA=CD=4,E为线段A B 上一点，AE=2EB,M为P C 的中点.(1)求证：E M 平面PAD.(2)求直线AM与平面P C E 所成角的正弦值.【解答】解：(1)证明：取P O 的中点N,连接M N、AN,为 P C 的中点,：.MN/CD,MN=*D=2.:AE=2EB,A 8=3,AB/CD,J.AE/CD,AE=2.J.MN/AE,MN=AE,，四边形A E M V 为平行四边形，：.EM/AN,平面B 4),A N u 平面%D,平

26、面 PAD.第 16 页共21页z(2)取 CD的中点F,连接AF,：AC=CD,：.AF1.CD,JAB/CD,：.AFAB.底面 ABC。，：.PA1AB,P A LA F,即 AP、AB、A尸两两垂直.以A 为原点，AF、AB、AP所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，L V5则 A(0,0,0),C(V5,2,0),E(0,2,0),P(0,0,4),M(,1,2),2一 V5 J.AM=(,1,2),PC=(V5,2,-4),PE=(0,2,-4).2设平面PCE的法向量为晶=(x,y,z),则网,=。,即 2 y二4z=0,(m-PE=0(2 y-4 z =0令

27、 y=2,贝 iJx=0,z=l,.m =(0,2,1).设直线AM与平面PCE所成角为0,T -t AM-m 2+2 8 亦则 sin0=|cos =-|=|-1=方AM-m J31+4X 百故直线AM 与平面PCE所成角的正弦值为 答.20.(12分)为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的2X 2列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合 计周做题时间不少于12小时6076周做题时间不足12小时64

28、第1 7页 共2 1页合 计1 8 0(1)请完成上面的2 X 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.0 0 1 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;(2)(i )若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于1 2 0 分的学生中随机抽取1 2 人，求这些人中周自主做数学题时间不少于1 2 小时的人数的期望.(i i)通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于1 2 0 分的学生中随机抽取1 2 人，这 1 2 人周自主做数学题时间的情况分三类，A 类：周自主做数学题时间大于等于1 6 小时的有4人：B类:周自主做数学题时间大于等于1 2 小时

29、小于1 6 小时的有 5人：C 类：周自主做数学题时间不足1 2 小时的有3人.若从这随机抽出的1 2 人中再随机抽取3人进一步了解情况，记 X为抽取的这3名同学中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求 X的数学期望.附：参考公式和数据：犬=2n(ad-be)(a+b)(c+d)+(a+c)(b+d)na+b+c+d.附表:P(片2如)0.1 0 00.0 5 00.0 1 00.0 0 50.0 0 1ko2.7 0 63.8 4 16.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8【解答】解：(1)由题中的数据可以直接填表,7-=180X(60X64 16X40)1 AL区-76x104x80

30、x100 29,15 10,828,学生本学期检测数学标准分数大于等于1 2 0 分学生本学期检测数学标准分数不足1 2 0 分合 计周做题时间不少于1 2 小时6 01 67 6周做题时间不足1 2 小时4 06 41 0 4合 计1 0 08 01 8 0二能在犯错误的概率不超过0.0 0 1 的前提下认为 高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;(2)(/)从全校本学期检测数学标准分数大于等于1 2 0 分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于1 2 小时的概率 为 盘=0.6,设 从 1 2 0 名学生中抽取1 2 人，这些人周做题不少于1 2 小时的人数为随机变量Y,第 1

31、8 页 共 2 1 页8(12,0.6),：.E(K)=12X0.6=7.2,即数学期望为7.2.(z7)X 可能取值为0,1,2,3,(x=o)=叫把L。C12 22P zY-n _ 血+C犯+c阻+c耙 _ io _ 5P*1)p -2 2-111C12P(X=2 骂堂i =2C4412P(x=3)=k i=i苗2 4 47 5 g I A i:*E(X)=0 x 瓦+lxyy+2 x 互+3 而=而X2 y2 221.(12分)已知焦点在x 轴上的椭圆;+方=1(b 0)的离心率=支，F 1,尸 2分别是9 b2 3椭圆的左、右焦点，B i,比 分别是椭圆的上、下顶点，尸是椭圆上任意 一

32、 点(不 与Bi,8 2,重合)，O 为坐标原点.(1)若 线 段 的 中 点 在 y 轴上，求 霜 的值；(2)若直线P B i,尸治分别与x 轴交于点M,N,求证：|OM|CW|为定值.【解答】解：由题意可得。=3,e=l，可得c=2,而 6 2=/-d=5,x2 y2所以椭圆的方程：Y+5=1；设线段尸为的中点为G因为。是线段为尸2的中点，所以。GPF2,轴，所以|PF2|=|,PFi=2a-PF2=苧，故 =磊，2 2(2)令 P(xo,y o),则 xoWO,包-+曳-=1,9 5即 5XO2=9(5-n2),易知 3i(0,V5),B2(0,-V5),所以/&p：岳a -o),x0

33、i B2P：y+通=石(%-o),x0令 y=0,得 XN=*%，yo+J5第 19页 共 21页所_ _以_可_ 证：OM ON=|-7-5-x7=01|V 5 x0|=|5 x02|=9.y o-V 5 y0+V 5 y0-52 2.（1 2 分）设函数/（x）=-Tflnx+a:?-lax.（1）若 a=0时，求函数/（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在 x=l 时取极大值，求实数”的取值范围；（3）设函数f G）的零点个数为?，试求 7 的最大值.【解答】解：（1）当。=0时，/（x）=-3阮什？，所以（x）=9+3/=3（空U），（1 分）由/（x）=0 得 x=l,当 x

34、e（0,1）时，f（x）0,所以函数f （x）的单调增区间为（1,+8）.（3分）（2）由题意得/（X）=+3x2+2ax-2 a =x2+（竽+l）x +1,令g（x）=/+（学+1）%+1,（x 0）,则（x）=g（x），2a Q当 一+1 0 即a 一5时，g（x）0恒成立，得f（x）在（0,1）上递减，在（1,+8）上递增，所以X=1 是函数/（X）的极小值点；当 A=（竽+1）2-4 0 恒成立，f（x）在（0,1）递减，在（1,+8）上递增，所以x=l是函数/（x）的极小值点；当=（当+1）2 4=0 即a=或a=|时，易得了（X）在（0,1）上递减，在（1,+8）上递增，所 以

35、x =1 是函数/（x ）的 极 小 值点；（6分）当=（当+1）2-4 0 时，解得a V-我 a*（舍），q当QV-时，设 g（X）的两个零点为X I,X 2，所以X 1X 2=1,不妨设0 筋九 2,又g（l）=竽+3 0,所以 O Vx i VI 1 2,故/（%）=|（x -xx）（%1）（%-x2）当无 （0,%1）时，/（X）0；当无 （1,X 2）时，/（X）0；：.f（X）在（0,X I）上递减，在（羽，1）上递增，在（1,X 2）上递减，在（X 2,+）上递增；所以1=1 是函数/（X）极大值点.第 2 0 页 共 2 1 页综上所述a V 2 （10分）（3）由（2）知当

36、a 2-|时，函数/（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，故函数/（X）至多有两个零点，欲使/（x）有两个零点，需f =l-a l,此时 f（x）=-Mnx+ax2-2ax-3lnx-lax,/（）3 Ina 2,当 a e 时，此时函数/（x）在（0,1）上恰有1个零点；又当 x2 时，f（x）=-3lnx+x3+ajc（x-2）-3/ir+x3,由（1）知 -3+e30,故此时函数了（X）在（1,+8）恰 有 1个零点；由此可知当a e 时，函数/（x）有两个零点.当QV-|时，由（2）知/（X）在（0,XI）上递减，在（XI,1）上递增，在（1,A2）上递减，在（X2,+8）上递增；而 OVxi V I,所以/Q i）=-3lnx1+%13+%!（%1 -2）0,此时函数/（x）也至多有两个零点.综上所述，函数f （x）的零点个数，w的最大值为2.（12分）第 2 1 页 共 2 1 页