2021年高考全国卷3理科数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分。考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准

2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 12小题，满分60分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合 A =x|x2 0 ,B=AGZ|-2 x 2 ,那么 4nB=（）A.0,1 B.x|0 2 2.（5分）已知i 为虚数单位，复数z=2-3 i,A.第一象限 B.第二象限3.（5 分）若=l o g n 0.8,b=c=2-2A.a c b B.a b c4.（5分）下列命题中的假命题是（）A.3 x6 R,s i n x=V2C.VxG R,/eo5.（5 分）如图，在 A B C 中，AD1.AB,A

3、DC.-1,0 D.0,1,2 则 在 复 平 面 中 所 对 应 的 点 在（）l+lC.第三象限 D.第四象限则其大小关系是（）C.c a b D.b c aB.3 6 R,lnx=V2D.VxG R,2 2 02,DC=3 B D,贝的值为（）C.1 2 D.1 6第1页 共1 5页A 塔 口 遮A.-B.2 21 1C.-4 D.-2 27.(5 分)已 知 即 是公差为2 的等差数列,S,为 斯 的前项和，若 S3=m+5,则。8=()A.10 B.12C.15 D.16(|，x 0则/(7(2)=()A.-4 B.1C.-D.-829.(5 分)已 知ABC 中，AB=3,BC=5

4、,。=7,则 s in 8=()A-B-T1V3C.-D.2 210.(5 分)已知函数f(x)=X C I n，】，则J：f(x)dx=()(VI-x2,x e(0,1nnnA.2+T T B.-C.-2+2 D.-22 2 411.(5 分)已知双曲线C；。一 展=1的两个焦点分别为F i，F i,双曲线C 上一点P 在 x轴上的射影为 Q,且|PQ|F1F2|=|PF1|PF2|，则|PFI|+|PF2|=()A.2V7 B.2V10 C.10 D.2012.(5 分)已知/(x)是 R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为/(x),且当x 0 时，满足/(x)+2xf(x)0,则不等式

5、(x-1)/(-x)的解集为()1 1A.(2/+8)B.(-co,2)C.(-8,o)D.(0,+)二,填 空 题(共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分)%013.(5 分)设 x,y 满足约束条件x+y S 3 ,则目标函数z=系的最大值是.,x+2 y 414.(5 分)己 知 x l,则x+三的最小值为15.(5 分)二 项 式(置+；尸的展开式中，所有有理项(系数为有理数，x 的次数为整数的A/X项)的 系 数 之 和 为:把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有种.(用数字作答)T T16.(5 分)倾斜角为一的直线过抛物线y2=2x的焦点凡 交抛物线于A、8 两点

6、，则依8|=4三.解 答 题(共 5 小题，满分60分，每小题12分)第 2 页 共 1 5 页17.(12分)已 知 前 项 和 为 的数列 斯 中，m=5.(I)若 即 是等比数列，53=35,求 斯 的通项公式；(I I)若 即 是等差数列，S5=S6,求 S 的最大值.18.(12 分)在A8C 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边.在(2a-c)cosB=bcosC；旧 盛 BC=2SM8C；sinB+sin(B+刍=遮这三个条件中任选一个，作出解答.(1)求角8 的值；(2)若ABC为锐角三角形，且 8=1,求aABC的面积的取值范围.19.(12分)某班主任对本班40

7、名同学每天参加课外活动的时间(分钟)进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，如图所示：(1)求实数。的值以及参加课外活动时间在 10,2 0)中的人数；(2)从每天参加活动不少于40 分钟的人中任选3 人，用 X 表示参加课外活动不少于50分钟的人数，求 X 的分布列和数学期望.20.(12 分)己知函数/(x)=ln(x+1),g(x)=axe,t/GR.(1)若 函 数(x)=?-x-2 f (x),求函数(x)的单调区间；(2)若 对 任 意 的+8),不等式/(x)(x)恒成立，求实数a 的取值范围.21.(12分)已知椭圆C：各，=l(a b 0)离心率为点点A,8,E 分别是C 的

8、左，右，上，下顶点，且四边形AQ8E的面积为6代.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知F 是 C 的右焦点，过尸的直线交椭圆C 于 P,。两点，记直线AP,8Q 的交点为7,求证：点 7 横坐标为定值.四.解 答 题(共 1 小题，满 分 10分，每小题10分)22.(10 分)在平面直角坐标系中，曲线C 的 参 数 方 程 为 出e(8 为参数)，以坐第3页 共1 5页标原点0 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为psin(0+)=V3.(I)求曲线C 的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)射线。尸的极坐标方程为0=%若射线O P与曲线C 的交点为4(异于点O),

9、与直线/的交点为B,求线段A 8的长.第 4 页 共 1 5 页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析选 择 题（共 12小题，满分60分，每小题5 分）1.(5 分)已知集合4=%|%20,B=x G Z|-2 x 2,那么 A G 3=()A.0,1)B.闵0 2 C.-1,0D.0,1,2)【解答】解：,A=4r20,B=-1,0,lb/.A nB=0,1.故选：A.2.（5 分）己知i 为虚数单位，复数z=2-3 i,则在复平面 中 号 所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解 答】解：复数z=2-3/,则 在 复 平 面 中(

10、2-l)z(2 i)(2 3i)1 8l1+i1+i1+i(1-8 i)(lT)(1+0(1-0故选：C.7-2=-2一一-#9 斤 对 应 的 点 T7，管9在第三象限3.（5 分）若 a=k）gn0.8,b=（1）-2,c=2-2,则其大小关系是（）A.a c h B.ahc=2-2 0,:a cb.故 选:A.4.(5 分)下列命题中的假命题是()A.3xER,sinx=V2C.VxER,x2。【解答】解：当 在 R 时，sinxq-C.cah D.hc0,InxER,iCSxER,hu=V2,8 正确;V VxGR,7 2 0,故。正确；VxGR,2x 0,.xER,2120 成立，故

11、。正确.第5页 共1 5页故选：A.5.（5 分）如图，在ABC 中，AD1.AB,AD=2,DC=3 R D,则 品 的 值 为（）【解答】解：尻=3薪，C.AC-AD=3（AD-A6）,：.AC=4AD-3ABf 且 AO_LA8,AD=2,：.AC-AD=4AD-3AB）-AD=4AD2=4 x 4=16.故选：D.6.（5 分）c o s（一为）=（）A.一堂 B.C.D.-2 2 2 2【解答】解：cos（-5）=C O S-=3 3 2故选：D.7.（5分）已知 是公差为2的等差数列，S,为 斯 的前项和，若S 3=m+5,则。8=（）A.10 B.12 C.15 D.16【解答】

12、解：根据题意，斯 是公差为2 的等差数列，若 S3=l+5，即。1+2+3=。1+5，则有 3ai+3d=2 i+4 d,变形可得 ai=d=2,则 08=41+7=16,故选：D.停,x 0第 6 页 共 1 5 页1 1A.-4 B.-4 C.-2 2D.-8【解答】解:函数f G),%o)=-(-1 )92=-41，J2 4/(/2)=f(一1分=42=-8.故选：D.9.(5 分)己 知 A B C 中，AB=3,B C=5,C4=7,则 sin 8=()A.-i B.-C.I2 2 2【解答】解：由A 8=3,B C=5,CA=7,q2 .J-2 _ lo+(-cosx)1%故选：D

13、.1 1.(5 分)已知双曲线C：?一。=1 的两个焦点分别为人，尸 2,双曲线C上一点尸在无第7页 共1 5页轴上的射影为。，且|PQ|FF2|=|PF1|,|PF2|，则|PF|+|P尸 2|=（）A.2V7 B.2V10 C.10 D.20【解答】解：由题意可得a=2,b=/3,c=y/7,PQJ_x轴，且因为。卜|F1尸 2|=|PQ 卜 仍 尸 2|，所以P FIF 2 为直角三角形，PFVPFi，所以|P&产+PF22=4c2=28,又因为|PFi|-|PF2|=2a=4,所以IPF/2+PF22-2PFr PF2=16,所以|PF i|P尸 2|=6,所以|PFJ+PF2=y/P

14、F12+PF22+2PF1 PF2=2同.12.(5 分)已知f(x)是 R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为/(x),且当x 0 时，满 足/(X)+2xf(x)0,则不等式 e 2xf (x-1)/(-%)的解集为()11A.(1,+00)B.(-00,1)C.(-8,0)D.(0,+8)【解答】解：由题意：不等式a-1)/(-x)可化为：/(x-1)/(x)e2AT,两边同乘以(工一炉得：e(x-1)2y(x l)ex2/(%),令Zi(x)=e M/(x),易知该函数为偶函数，因为 Q)=e/(x)+2 x f(x),结合/(x)+2xf(x)0(x 0),所 以 访(x)0,(x

15、0)所以 (x)在(0,+8)上是单调增函数，结合该函数为偶函数，故(X-1)2 /,解得故选：B.第 8 页 共 1 5 页二.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）%01 3.（5分）设x,y 满足约束条件 +yM3,则目标函数z =*的 最 大 值 是 二U+2 y 4%0【解答】解：作出X，y满足约束条件x+yW 3对应的平面区域如图：,X+2 y 4z =备的几何意义为平面区域内的点到定点。（-1，0）的斜率，由图象知AO的斜率最大，其中A （0,3）,则z =品 =3,故答案为：3.11 4.（5分）已知比 1,则x+、的 最 小 值 为 3【解答】解：”1,当且仅当

16、x=2 时，等号成立.故x+斤的最小值为3.X 1故答案为：3.1 5.（5分）二项式（进+；）6 的展开式中，所有有理项（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的 系 数 之 和 为 3 2 ；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有1升种.（用数字作答）【解答】解：二项式（正+更尸的展开式中，通项公式为7 加=。工铝，令=为整y/X2数，r=0,1,2,，6,第9页 共1 5页可得 r=0,2,4,6,所 有 有理项（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为/+量+猿+魔=25=32.展开式共有7 项，其中有4 个有理项，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻，即把3 个

17、无理项排列好，再把4 个有理项插入，方法共有Aj-At=144种，故答案为：32；144.JT16.（5 分）倾斜角为一的直线过抛物线尸=标的焦点F,交抛物线于A、B两 点,则HB|=441【解答】解：抛物线2=2x,焦 点/（10）,.直 线 的 方 程 为：尸联立方程卜=一；，消去y 得：4/-1 2 x+l=0,（y2=2x设 A（x i，y i）,B（X2，”），.Xl+X2=3,/.AB=x+x2+l=4,故答案为：4.三.解 答 题（共 5 小题，满分60分，每小题12分）17.（12分）已知前项和为S 的数列 斯 中，0=5.（I）若 是等比数列，S3=35,求 “的通项公式；（

18、I I）若 斯 是等差数列，S5=S6,求 S的最大值.【解答】解：（I）是等比数列，且 ai=5,53=35,设其公比为4，则 5+5g+5才=3 5,解得g=2,或 q=-3.当 4=2 时，an=5 x 271-1；当 q=-3 时，Q nuS xC-B T.（I I）若 斯 是等差数列，且 S5=S6,得“6=0，又 0=5,公差d=-1,则等差数列的前项和分=5n+与2 x（-l）=-1 n2+n,第1 0页 共1 5页其对称轴方程为n=芸，V n G N*,；.当”=5 或 6 时，（5）m a x=5.18.（12 分）在 A B C 中，a,，c 分别为角 A,B,C 所对的边

19、.在（2 a -c）c o s B=c o s C；8点 品=2 SMBC；s iz iB +s 讥（B+令=遮 这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角3的值；（2）若 A B C 为锐角三角形，且 b=l,求 A B C 的面积的取值范围.【解答】解：（1）若选择条件，由正弦定理得：2 s inA c o s B -s inC c o s B=s inB c o s C,即 2 s inA c o s B=s inC c o s B+s inB c o s C=s in(B+C)=s inA,又.A E (0,n),可得 s inA 0,*cosB=2，由B (0,T T)f 可得B 可

20、.若选择条件，VV3M-B C=2 sAABC，yj3accosB=2 )acsinB,/.sinB =y/ScosB j：B 6(0,I T),t a nB=V 3,可得B=g.若选择条件，；sinB +斗 cosB=V 3,:.sinB +cosB=1,可得s in(8 +5)=1,*B 6 (0 T T)/可得B+g (石，-g-)j B+左=3,O L可得B=J,（2）由正弦定理得:a b c 2sinA sinB sinC 后 C L275sinA,sinC,，S =acsinB =sinAsin1212再.锐角三角形A B C,第1 1页 共15页f 0 4 y _ _.I tr

21、_ 4 o V C =竽 -4 V*6 2：.2 A-l&(1,为，.s e 噜,为19.(12 分)某班主任对本班4 0 名同学每天参加课外活动的时间(分钟)进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，如图所示：(1)求实数“的值以及参加课外活动时间在 10,2 0)中的人数；(2)从每天参加活动不少于4 0分钟的人中任选3人，用 X表示参加课外活动不少于5 0分钟的人数，求 X 的分布列和数学期望.【解答】【解析】解：(1)因为所有小矩形面积之和等于1,所以可得方程 1 0a+0.02 X 1 0+0.03 75 XI 0+0,01 75 X 1 0+1 0=1,解得 4=0.01 2 5,由

22、于参加课外活动时间在 1 0,2 0)内的频率等于0.01 2 5 X1 0=0.1 2 5,因此参加课外活动时间在 1 0,2 0)中的人数为4 0X0.1 2 5=5.(2)依题意，参加课外活动时间在 4 0,5 0),1 5 0,6 0)的人数分别为7 人和5人，随机变量X 的取值可能为0,1,2,3.因为 P (X=0)=尊=,P(X=I)=系，P(X=2)=1=义，P(X=c12L12C123 一任-工一 G 一 22所以X 的分布列为:X0123P7442144722122第12页 共15页7 21 7 1 5E(X)=x 正+1 x 而+2 x 三+3 x 茏=不2 0.(1 2

23、 分)已知函数，(x)=ln(x+1),g (x)=axex,aER.(1)若函数力(x)=jr-x-2 f(x),求函数人(x)的单调区间；(2)若对任意的xE 0,+8),不等式/a)W g (x)恒成立，求实数。的取值范围.【解答】解：(1)由题意得 h(x)=/-x-2 f(x)=/-x-2 ln(x+l),函数的定义域是(-1,+8),故/?(x)=2%7-鲁=0噌T),令h(x)=0,解得：x=l或1=一2 (舍)，故当-1 VxVl 时，hf(x)1 时，h(x)0,h(x)递增,故函数 G)在(-1,1)递减，在(1,+8)递增；(2)对任意工a 0,+8),不等式/a)W g

24、 (x)恒成立=对任意元1 0,+8),f(x)-g(x)0,故 厂(x)在 0,+o o)递增，又 尸(0)=0,故当x 2 0时，F(%)2 0,不合题意；当a 0时，(z)当时，Vx0,：.a(x+1)V1,2 x故 尸(x)=上 蛆 苧，-W O,故 尸(x)在 0,+O O)上递减,X+1故当X 2 0时，F(x)W F(0)=0,符合题意；()当 O Va Vl 时，记 年(x)=1 -a(x+1)2ex(xO),贝i j(p (x)=-a(x+1)(x+3)显然(p (x)0,09 p -1)0,故存在唯一的 xo W (0,-1),使得(p (xo)=0,第1 3页 共1 5页

25、F（x）=a:e 0,F（x）在 0,x（）上单调递增，故当0 WxVx（）时，F（x）2F（0）=0,不符合题意，综上：即实数。的取值范围是 1,+8）.21.（12分）已知椭圆C：,+=l（a b 0）离心率为|,点A,B,D,E 分别是C 的左,右，上，下顶点，且四边形AO8E的面积为6V.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知尸是C 的右焦点，过尸的直线交椭圆C 于 P,。两点，记直线AP,BQ的交点为T,求证：点 7 横坐标为定值.【解答】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c,根据题意,(C _2a-3 e=3j”a.2b=6府 解 得 卜=产 =a2 b2x2 y2所以椭圆的方程为g

26、+(=l(2)证明：由(1)知 A(-3,0),B(3,0),F(2,0),设 了（x（）,x）,P（XI,yi）,Q（必 N 2），由kTA=kPA，得含=言，kTB=kQB，得气=气，XQ3%2-3两式相除得配-3 _ yr X2-3Xo+3 久 i+3 y2产2 y/又.x i2,y/。1-3)(必+3)yi29 5 9 5当 5%1-3故-=-,%1+3 9工旦工0-3 yi%2-3 5 (X1-3)(X2-3)于是-7=-7*-=一丁-勺+3 Xi+3 y2 9 y，2由于直线PQ经过点F,故设直线尸。的方程为x=m）42,联立椭圆的方程可得（5w?+9）V+20 叫 丫-25=0,

27、（20m二 一 尹，%儿=一 而 彳第1 4页 共1 5页所口-，以、，-x-o-3-=一5 （-X-I-3-）-（-X-2-3-）=一5 （-m-y-i-l-X-m-y-z-l-）=-5%o+3 9 yry2 9 yry2 9-2丫1丫2-m 0 1+、2）+1 _ 5邛（-5小2+9）一 叫7 n2+9）+l _ 1B =95mz+9解得xo=9所以点T 横坐标为定值四.解 答 题（共 1 小题，满 分 10分，每小题10分）2 2.（1 0分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为;（。为参数），以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为psi n（。+亨）

28、=V 3.（1）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；（2）射线O P的极坐标方程为9=今 若射线O 尸与曲线C的交点为A （异于点O）,与直线/的交点为B,求线段AB的长.【解答】解：（1）由L t；f 转换为直角坐标方程为了+（y-1）2=1,由直线/的极坐标方程为psi n（0+J）=遮.X=pcosdy=psind,转换为直角坐标方程为：V 3x+y-2 V 3 =0.x2+y2=p2（2）曲线C的方程可化为/+/-2 y=0,所以曲线C的极坐标方程为p=2si n0,由题意设A （pi，g）,B 3,第，将。=着代入P=2si n。，得到pi =1.将。=年代入psi n（。+引=V 3 得 到 P 2=6，所以H8|=|pi -p2|=W-l.第 1 5 页 共 1 5 页