2023年北京市高考理科数学试题及答案2.pdf

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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)第 I 卷 选 择 题 供 40分)本大题共8小题，每 题5分，共40分。在每题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。1,集合 P=XWZ|0 4X3,M=X/?|X2 4 9,那么 P M=(A)1,2(B)0,1,2(C x|0 x 3 (D x|0 x 07,设 不 等 式 组3 x-y +3 2 0表示的平面区域为D,假设指数函数y=的图象上存5x-3y+9幻，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记 J为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6725ab2 4?2 5 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;求 p,q的值；求

2、数学期望18,(本小题共1 3 分)函 A=(al,a2,.,an),B=(bl,h2,.,h)&Sn (/(x)=l n(l +x)-x +|x2(A:0).(1)当k=2,求曲线y =f(x)在点(1 J)处的切线方程；(2)求/(x)的单调区间.19,本小题共1 4 分)在平面直角坐标系x O y 中，点 B 与 点 关 于 原 点 0对称，P是动点，且 直 线 钎 与 8 P的斜率之积等于-L3 求动点P的轨迹方程；(2)设直线A P和 分 别 与 直 线 x =3 交于点M,N,问：是否存在点P使得与A P M V的面积相等？假设存在，求出点P的坐标：假设不存在，说明理由.20,(本

3、小题共1 3 分)集合 S =X|X =(xx2,.,xn),xi e 0,1,z =1,2，,n(n 2).对于，定义 A 与 B 的差为:A-B =(|q-可，|出 b2，,-2|)；A 与 8之间的距离为d(A,B)=为 q-用.1=1 证明：V A,B,C e S“，有 A-8 e S“，且 d(4-C,8-C)=(A,B)；(2)证明：V AB,C e S,(A,8)/(A,C),(8,C)三个数中至少有一个是偶数;设P q S，P中有皿m之2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为2(P).证明:Z(P”nm2(/?t-1)参考答案一，选择题B C.C.A.C.B.A.D.二、填

4、2s空题9 ,(-1,1).10,lo11,7T +0.030,312,5,13,(4,。)，y=G x14,4,三、解答题1 5 (I)/()=2 c os +s in2-4 c os=-l +-2 =-.3 3 3 3 4 4/(x)=2(2 c os2 x-l)+(l-c os2 x)-4 c os x=3 c os2 x-4 c os x-l 2 9 7=3(c os x-)2-R2 7因为C O S X -1川,所以当c os x =-l时，/(x)取最大值6;当C O S X =时，取最小值一 o1 6证明：设A C与B D交于点G,因为E F I I A G,且E F=1,AG=

5、-AC=1,所以四边形AG E F为平行四边形。所以AF I I E G。2因为E G u P平面BD E,A F.平面BD E,所以AF I I平面BD E。(I I)因为正方形A B C D和四边形AC E F所在的平面互相垂直,且C E _L AC,所以C E _L AC,所以C E J平面ABC D。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-x y z。那么C (0,0,0),A(&,V I,0),D 6,0,0),E 0,0,1),F (,立，1)。所以 CF=(也，,1),BE=2 2 2 2(0,一 也,1 ),D E=1 6,0,1 )。所以=0-1 +1=0,C尸 1=-1 +

6、0 +1 =0。所以 C F _L BE,C F D E,所以 C F _L平面 BD E(I l l)由(I I)知，。户=(巫，立，1),是平面B DE的一个法向量，设平面A B E的2 2法向量=(x,y,z),那么出,力，n-BE=O刖(x,y,z)(0,0,0)=0即 L(x,y,z).(0,-V 2,l)=0所以x=0,且 z=J y。令 y=l,那么z=正。所以n=(0,1,右),从而 c os (n,C F )n C F 也=HM=TT T因为二面角A-BE-D 为锐角，所以二面角A-BE-D 为一。61 7 解：事件A,表示“该生第i门课程取得优异成绩，i=l,2,3。由题意

7、可知(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件 J =0”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是(II)由题意可知，3 2整理得p q=。(III)由题意知，1 8 解：(I)当左=2时，/(x)=ln(l+x)-x+x2,f x)=-l+2 x.1 +x由 于/=ln(2),/=|,所以曲线丁=/(x)在 点(1,/)处的切线方程为y =ln 2 =g(x 1)。即3 x-2 y +2 1 n 2-3 =0(1 1)/(1)=J.+)_D,XG(_ 1,+8).当6 =0时,fx)=-.1+x 1+x因此在区间(-1,0)上，/,(x)o；在区间(0,田)上，/,(

8、x)0；所以/(X)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,”)；当0%0;1 +x k-b I -k因此，在区间(-1,0)和(,+8)上，/(x)0；在区间(0,)上，/(x)1 时，由/(力=-7-=0,=(-1,0)；1 +X ，得 K因此，在区间（-1,上 勺 和（0,+）上，/1（x）0,在区间（上 0）上，/,（x）0；kk即函数f（x）的单调递增区间为（一1，1）和（0,也），单调递减区间为（一，）。1 9,解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1,-1）。设P点坐标为（A,那么a=，软 户=告，由题意 得 廿.告 =一：，化简得：/+39=4,*

9、片 1）。即 p 点轨迹为：d+3 y 2=4,（xxl）(2)因 NAPB=NMPN,可得 sin N A P 3 =sin N A 7 P N ,又SB=；|%|P 8|sin N A P B,SAM/w=g|P M|/Wkin N M P N ,假设 SW B=S,MN,那么有|P A|P 8|=|PM|P N,即 高=需.设P点坐标为（x。，%）,那么有：号 号=号 解 得：=（,又因片+34=4,解得%=丁。故存在点P使得A/V由 与APMN的面积相等，此时P点坐标为2 0,解：(1)设 A =(q,%,8=(也,也),C =(q,C 2q,)e S因 4，e 0,l,故 B-4|W

10、0,1,=即 A-B =(|q 耳,一仇|,.“M又“也,q w 0,1 ,i=1,2,.,九当q =。时，有M-q|T 4 -C=旧一可.当 q =1 时，有|；-q I -bt-C；.|=|(1 -a.)-(1 -/；.)|=|a.-bt|故 d(A -C,6 _ C)=f 一 可=d(A B)i=l(2)设 A=(%M2,，4)，8 =3力2,力)C=(q,C2,c)s S“记 d(A B)=k,d C)=l,d(B,C)=h记0=(，)e S“，由第一问可知：即 的-力 中1的个数为k,ci-a中1的个数为I,。=1，2,“.,)设，是使打一=归一=1成立的i的个数，那么有“=/一2 i,由此可知，/，人不可能全为奇数，即(A B),或A,C),d(3,C)三个数中至少有一个是偶数。(3)显然P中会产生C；个距离，也就是说2(P)=g X (A 8),其 中Z(AB)表示PA.BGP A.BGP中每两个元素距离的总和。分别考察第i个位置，不妨设P中第，个位置一共出现了f,个1,那么自然有，-4个0,因此在这个位置上所产生的距离总和为以相一,)4仝-,(1 =1,2,那么n个位置的总和E =A,BGP=I 4 4.2即2(2)=苻 工 或4,8)4箸=5 A,fiePtnn2（m一 1）