2023年初二数学上学期知识点和典型例题总结.pdf

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1、全等三角形类型一:全等三角形性质的应用1、如图，A A B恒 丛ACE,AFAC,写出图中的相应边和相应角.思绪点拨：力生/IQ 4 8和/C是相应边，N Z是公共角，N 4和N 4是相应角，按相应边所对的角是相应角，相应角所对的边是相应边可求解.A 解析：/日和4C是相应边,/。和4E 8。和 是 相 应 边，/力和/力是相应角，/8和/C,N 4&?和 是 相 应 角.总结升华:已知两对相应顶点，那么以这两对相应顶点为顶点的角是相应角，第三对角是相应角；再由相应角所对的边是相应边，可找到相应边.已知两对相应边,第三对边是相应边，相应边所对的角是相应角3 举一反三:【变式1】如图，/日。丝/

2、8 问线段/和。相等吗？为什么?A【答案】证明：由/8四/8 得AB=DB,BC=BE,贝l A B-B E=D B-B C,即 AE=C D。【变式2】如右图，画 远 互 踵 ,AD=BCa证明:.AADEwACBF,A D=B C求证：A E C F A 答案】I NAED=NF.A E/7C FA2、如图，已知 ABC 之 D E F,NA=3 0 ,NB=50,B F=2,求 NDFE的度数与E C的长。A 思绪点拨：由全等三角形性质可知：NDFE=NACB,E C+CF=BF+F C,所以只需求NACB的度数与B F的长即可。解析：在AABC 中，4 ZACB=180-Z A-Z B

3、,又N A=3 0 ,N B =5 0 ,所以N A C B=10O 3 又由于 ABCADEF,A 所以NACB=NDFE,BC=EF（全等三角形相应角相等，相应边相等）。所以NDF E=1 0 0 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华:全等三角形的相应角相等,相应边相等。举一反三：A【变式1】如图所示，AACDAECD,ACEF之 BEF,NAC B=90.AAB;(2)EFAC.【答案】(1)由于 ACD之AECD,A 所以NADC=NEDC(全等三角形的相应角相等).由于NADC+NEDC=180,所以N求证：(1 )CDADC=NEDC=90.所以 CD_LAB.（2）由

4、于 A CEF gA BEF,所以N CF E=N BF E（全等三角形的相应角相等）.由于N CF E+N BF E=180 ,所以 N CF E=N BF E=90 3 由于N A C B=90,所以 N A C B=N BF E.所以EF A C.4 类型二：全等三角形的证明A 3、如图,A C=BD,DF=CE,N ECB=N F DA,求证：A DF gz BCE.A 思绪点拨：欲证A A DF 之Z BCE,由已知可知已具有一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过A C=BD而律 解析：;A C=B D（已知）A/.A B-BD=A B-A C（等式性质）即 A D=B

5、CAD=BC（已证）ZFDA=ZECB（已知）=（己知）_ _ _ _ _ _ _ _A.-.A DF A BCE（SAS）A 总结升华：运用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和环节如下：A（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，（2）证明这两个三角形全等；A（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等.4 举一反三：A【变式1】如图，已知A BDC,A B=DC,求证：A D BO 【答案】,:ABCDA Z 3=Z 4=已知）jz3=Z 4（BuE）在4A BD 和 CDB 中A|班=0：已知1 /.A A BCDB（S A S）.Z 1=Z2 （全等三角形相应角相等

6、）A .A DBC（内错角相等两直线平行）【变式2】如图，已知EB 1_ A D于 B,F C L A D 于C,且 EB=F C,AB=CD.A求证 AF=DE.A【答案】A D（已知），N EBD=90（垂直定义）A同理可证 N F C A =90 A/.Z EBD=Z F CA：A B=CD,BC=BCA/.A C=A B+BC=BC+CDA=BD在4A CF 和B E 中AA C=D B （己证）Z F C A=Z E B D （已证）F C=EB（已知）.F A D B E （S.A.S）A.AF=DE（全等三角形相应边相等）A类型三:综合应用A 4、如图,A D为 A BC的中线。

7、求证:A B+A O 2A D.思绪点拨：要证A B+A O 2 A D,由图想到：A B+BDA D,A C+CDA D,所以A B+A C+BO 2A D,所以不能直接证出。由2A D想到构造一条线段等于2 A D,即倍长中线。解析：延长A D至 E,使D E=A D,连接BEA 由于AD 为AAB C 的中线，所以 BD=CD.A 在 4A CD 和 A EBD 中，但.=CD（已证）A E,所以 A B+A C2A D.A 总结升华:通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三:A 【变式1】已知:如图，在 R t A A B C 中,A B=A C,Z BA C=90

8、 ,N 1=N 2,CE_ L BD 的延长线于 E,求证:BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA 交于F.AN BEC=90.A 在 A BEF 和 A BEC 中，rZ l=Z2,（己知）,BE=B E,（公共边）1/B&F =N B C.（已证）所以 A BEF 之 BEC（A S A）.所以 C E=FE=E LF.由于BE_ L CF,所以N B E F 二又由于N BA C=90,BE_ L CF.所以N BA C=N CA F =90,N 1+N B D A =90,N 1+N BF C=90.A 所以NB D A=Z B F C.A 在 A A BD 和 A A CF卜胡C=

9、ZC 4 F,（垂直定义）ABDA=Z B F C,（已证）中 A（已知）所以 A A BD 之 A A CF（A A S）所以B D=CF.所以 BD=2CE.A 5、如图，A B=CD,BE=DF,N B=N D,求证：(1)A E=CF,(2)A E CF,(3)NAFE=NCEFA 思绪点拨:(1)直接通过 A B E g A C D F 而得，先证明N A EB=N CF D,(3)由(1)(2)可证明4 A E F 之Z kCF E而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等.解析:(1)在4A BE 与Z kCDF 中 A B=CD（已知）,Z

10、B=Z D（已证）BE=DF （已知）a.A A BE A C DF （S A S）,A E=CF（全等三角形相应边相等）A（2）A EB=N CF D（全等三角形相应角相等）.A ECF（内错角相等，两直线平行）A（3）在4A EF 与4 C F E 中AA E=CF （己证）Z A E F=Z C F E （己证）EF =F E（公共边）.A EF A CF E（S A S）A N A F E=N CEF （全等三角形相应角相等）A 总结升华:在复杂问题中，常将已知全等三角形的相应角（边）作为鉴定另一对三角形全等的条件.举一反三：【变式1】如图，在a AB C 中，延长A C边上的中线BD

11、到 F,使D F=B D,延长A B 边上的中线CE到 G,使 EG=CE,求 证 A F=A G.【答案】在-A E=BE（已知）-N A E G=N B E C （对顶角相等）G E=CE（已知）.,.A G E A BCE(S A S)A G=BC（全等三角形相应边相等）在 A F D 与4CBD中 4AD=CD（己知）ZA D F=ZC D B（对顶角相等）FD=BD（已知）A F D A C B D（SAS）A相等）,-AF=AG（等量代换）：.A F=CB（全等三角形相应边6、如图 AB=AC,8口，人0于口，CE_LAB 于E,BD、CE 相交于 F.A求证：A F平分NBAC.

12、A 思绪点拨：若能证得得AD=AE,由于N A D B、NAEC都是直角，可证得R tA D F丝R t A E F,而要证AD=AE,就应先考虑Rt ABD R tA A E C,由题意已知A B=A C,NBAC是公共角，可证得R tZA B D gR tA A CE.解析：在RtAABD与R t AACE中ArZ B A D =ZC AE（公共角）4v Z A D B =Z A E C =90（垂直的定义）DA B=A C 4,L“CR tA A B D R tA A C E （A A S）A：.AD=AE（全等*三角形相应边相等）在 RtAADF 与 R t AAEF 中 rAF=AF

13、（公共边）AD=AE（己证）NDAF=NEAF（全等三角形相应角相等）A的定义）A 总结升华:条件和结论互相转化,/.R t A D F R tA A E F（HL）AAF平分NBAC（角平分线有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。A 举一反三:【变式1】求证:有两边和其中一边上的高相应相等的两个三角形全等.【答案】根据题意，画出图形，写出已知,求证.A已知：如图，在A A B C与AA B C，A D LB C于 D且 AD=A求证：A B C四 A B C 证明：在 RtZkABD 与 RtZkA B=（已知）|AD=A，D、（已知）.,.R t AABD 丝 RtZkA B（HL）中

14、.AB=A B,BC=B C,ADJLBC 于 D,D，D 中在aAOD和BO C中a，NB=N B（全等三角形相应角相等）4 在A A B C与AA，B C 中（AB=A/By（已知）.,N B=N B，（己证）B C=B，C，（已知）.,.A B C A Az B C （S A S）图,AC、BD相交于 0,AC=BD,NC=ND=90NC=ND=90.ABD、ZACB为直角三角形在 RtABD 和 RtAABC 中A.,.R tAABD R t AAB C （HL）.AD=BCA【变式2】已知，如求证：O LO DA【答案】fAB=AB（公用），D=A C（已知）AfZ D =Z C （

15、已知）I ZA O D =ZB O C （对顶角相等）AD=B C （己证）.,.AODABOC（A AS）A O D=0C.7 A A、/A B C中，AB=AC,D是底边B C上任意一点，DEAB,DFAC,C G,A B垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段D E、D F、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思绪点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径ADF=CGA 方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）作 DM_LCG 于M,/D E JLAB,CGAB,DMJLCG四边形E DMG是矩牍 DE=GMDM/ABNMDC=NBA,.AB=AO二.NB=NFCDA NMDC=NFC

16、D而 DMCG,DF A C解析:结论：DE+/.Z D M C=N CFDA、乙 DMC=C FD0,a有两个平方根，它们互为相反数解：（1）（-3）2和0 2有平方根，由于（-3）2和0 2是非负数。-0.01 2没有平方根，由于-0Q 1 2是负数。（2）只有对，由于一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例2、求下列各数的平方根：1 164 9(1)9(2)(3)0.36(4)例 3、设 返 三 臼,则下列结论对的的是()&A.|4.5a5.0B.5.0a5.5C.5 5 a 6.0|D.叵/石SL解析：(估算)由#二、厉 G废|,所以选 B【变式1

17、 1)1.2 5 的算术平方根是；平方根是.2)变式2 求下列各式中的曲(1)2=2 5|(2)|0-1y=9 3=-64、【答案】(1)/=5|0)x=4 或 x=-2(3)x=-4例 4、判断下列说法是否对的训的算术平方根是一 3;(2)1后I 的平方根是士 15.(3)当 x=0 或 2 时解析：(1)错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故I、-3)=加=3(2)I 乒I 表达 22 5 的算术平方根，即I 后 L 15.事实上，本题是求1 5 的平方根，故(3)注意到，当 心0时，石二|痂 工=Q 显然此式无意义,发生错误的因素是忽视了 负数没有平方根，故 后0,所以当x=2时，xl l=O.