2021年高考数学冲刺-双曲线.pdf

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1、双曲线【考纲要求】1 .了解双曲线图形的实际背景及形成过程：2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3 .掌握双曲线的简单应用：4 .理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点勺、的距离之差的绝对值等于定长2。(|/JF|-|P F|=2 a|F F|)的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点尸、厂叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.I 2要点诠释：双曲线的定义中，常数2。应当满足的约束条件：|P F j|P F,|=2 a|F f J,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；若 常 数a满足约束条

2、件：|P q-|P F j =2 a 0),则此时的曲线是双曲线的靠 的一支；(3)若常数a满足约束条件：|尸勺卜|P/=2 a =Rq|,则此时的曲线是两条射线；(4)若常数a满足约束条件：|P F|-|P F|=2 a|F F2|1 则此时的曲线不存在.考点二、双曲线的标准方程X2 V2(1)当焦点在X轴上时，双曲线的标准方程：一 二=1(。0/0),其中C 2 =0 2+抗；Q 2 b2V2%2(2)当焦点在丁轴上时，双曲线的标准方程：-=1 (0,/?0),其中C2=Q2+02.Q 2 Z7 2要点诠释：(1)只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线

3、的标准方程；(2)在双曲线的两种标准方程中，都有C2=a2+2；(3)双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当X2的系数为正时，焦点在x轴上，双曲线的焦点坐标为(c,0),(-c,0)；当 2的系数为正时，焦点在y轴上，双曲线的焦点坐标为(0,c),(0,-c).考点三、双曲线的简单几何性质%2 V2双曲线一一 J=i m o,b o)的简单几何性质4 2 b2(1)范围：尤|尤 一。垢2。,y e 7?；(2)焦点(c,0),顶点(。,0),实轴长=2。，虚轴长=2 b,焦距=2 c；(3)离心率是e =1 ；a(4)渐近线：y=Lx.aV2 X2双曲线 =1 (a b 0

4、)的简单几何性质(1)范围：y|y W-a或y N a ,x e R.(2)焦点(0,士c),顶点(0,土a),实轴长=2 a,虚轴长=2 b,焦距=2 c；(3)离心率是0 =1；a(4)渐近线：y =x.b考点四、有关双曲线的渐近线的问题(1)己知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为三一=In渐近线方程=0n工g=0ny=2 x。2 b2 a2 b2ab a(2)己知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为尸3 =+土 提=0=双曲线可设为三一 维=入a a b。2 b2JQ2 V2 y 2(3)若 双 曲 线 与 二-二=1有公共渐近线，可设为二一2=入(九0,焦点在x轴上，入 2=九.

5、考点五、双曲线图像中线段的几何特征:双曲线9一 今=130/0)的图像如图所示:(1)实轴长44=2。，虚轴长2%焦 距 不=2 c,(2)离心率：e =_PMPF AF-2-=_ J _ L.PM AK2 1 I顶点到焦点的距离：|4 f|=|A F j=c-a,|4月=|A,q =a +c；(4)中结合定义俨R P F,|=2 a与余弦定理，将有关线段|Pq|、|PP,|、|勺工|和角结合起来.【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1 .根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与 双 曲 线 二 一 =1有共同的渐近线，且过点(-3,2#)；9 16(2)与双曲线二一=1有公共焦点，且过

6、点(3户,2)16 4【解析】X2 V2.(1)解法一：设双曲线的方程为一 一 J=1Inb _4a 3 9,.由题意，得 广，解 得/=/，6=4(-3)2 (2 寿”4-=19 164x2 V2所以双曲线的方程为 丁-=19 4X2 V2解法二：设所求双曲线方程为刀一二=九(九工0)，9 16将点（一3,2寿）代入得九=：,4X2 V2 1 4 x 2 V2.所以双曲线方程为4一 J 即k-r=l9 16 4 9 4（2）解法一：设双曲线方程为X?-产=1。2 匕2由题意易求。=2/又双曲线过点（3四,2）,包 一 金=1。2 h2又+从=（2/）2 ,4 2=12,2=8故所求双曲线的方

7、程为二一=1.T解法二：设双曲线方程为X216 k3,将点（3户,2）代入得k =4,所以双曲线方程为弁-三-=1.【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用 待 定 系 数 法 确 定 氏 在 第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.（1）求双曲线的方程，关键是求。、b,在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.（2）若已知双曲线的渐近线方程办 土 处=0,可设双曲线方程为4 2 X 2-。2 y 2=入（九工0）.

8、举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为3 x +2 y =0,且双曲线过点（8,6庄）.（2）虚轴长与实轴长的比为3:4,焦距为10.【解析】Y V Y2 y 2（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是E g =0,故设双曲线方程为彳-m=入，.点（8,6 J，）在双曲线上，8 2 （6/）2 、-二九，解得九二4,4 9X2 V2.所求双曲线方程为=1.16 3 6（2）由己知设a =4 A,。=3攵，则c =5 A （火 0）依题意2 c =10%=1 0,解得k =l.%2 V2 V2%2.双曲线方程为-2一肃=1或 土 =

9、1 ,16 9 16 9类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点尸和尸，且If f 1=2,又椭圆1 2 I 2长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比3:7.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求“P F的余弦值.I 2【解析】X2 V2,X2 V2U）设 椭 圆 方 程 为 云+反=1（。）双曲线方程万 一 瓦 二，A=4,(则c c .”，解 得，；=3:7.A=3.a A/C=。2 C2=3 6 ,8 2 =。2 =4 .故所求椭圆方程为丽+而“双曲线方程为T5=1.由对称性不妨设交点P在 第 一 象 限 设 欧 寸、

10、空叫.由椭圆、双曲线的定义有:V +V =1 4,1 2V -V=6.1 2,V =1 0,解 得?V =4.I 2由余弦定理有c o s V 2+V 2-2 4?)2 4 I-2-=2VV 51 2举一反三:【变 式I】设P为双曲线m噎=1上的一点，尸产是该双曲线的两个焦点，若 吠F/l=3:2,则 尸产的面积为（）1 2A.6事 B.12 C.12/D.24【解析】依据双曲线的定义有/1”=2 2,由 IP/1:1 P/1=3:2 得IP/1=6、IP/1=4,I 2 1 2又IF F h=(2 0所以 C 2=m+m2+4m,.C 2 m+机2+4 厂贝I J C 2=一 =-=5。2

11、m解 得m=2举一反三：丫 2 J 2【变 式1】已知双曲线=1与X轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为（0,b）,且。2 b?ABLBF,则双曲线的离心率为（）A.、-1 -+-7-3 8R、-1 -+-小-0 、-2-+-n-Dn、-2-+-6-2 2 4 4【答案】BX2 V2-/3 X 2.V 2【变式2】若椭圆一+二=1,(4 0)的离心率为：，则双曲线一一二=1 的离心率为a 2 b 2 2 ca biY2 丫2例 6.双 曲 线 一 一 二=1 (a l,b 0)的焦距为2 c,直线/过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线/的距离与点。2 /7 24(-1。)

12、到直线/的距离之和5，5 1：.求双曲线的离心率e的取值范围.(解析】直线I的方程为b x+a y-a b=0.由点到直线的距离公式，且 a l,得到点(1,0)到直线/的距离d=”一).1 J a 2+/?2,.b(a+1)同理得到点(1,0)到直线/的距离d =21 2+：2即 5 a -a2 2 2 c 2.于是得5 一1 2 2 e 2.即 4 e 4-2 5 e 2+2 5 W 0.解不等式，得士 We2W5.由于e l,所以e的取值范围是T e 4.举一反三:Y2 V 2【变 式 1】如图，尸和尸分别是双曲线一 一二=1(。0，匕 0)的两个焦点，A和 8是以。为圆心,1 2 a2 b2以|。勺|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 A3是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.节B.x/5C.里 0D.1 +V 32【解析】连接尸A,则 尸4尸 是直角三角形，且NbbA=3 0。,1 1 2 1 2令尸 4 二m，则 A”=J 3 m ,F F =2 m ,1 2 I 2即2。A F FA=(J 3-l ,2c F F =2m,2 1 1 22 c 2 产所以 e =+1 ,故选 D.2a 7 3-1