2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）（附答案详解）.pdf

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1、2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5 月份）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021全国模拟题)已知集合4=x|9-x20,B=x|0 x-l 2,%2+2 6”的否定()A.3%2,x2+2 6 B.3 x 2,x2+2 6C.3 x 6D.3 x 2,x2+2 ko)0.0 5 00.0 1 00.0 0 1kq3.8 4 16.6 3 51 0.8 28第4页，共19页21.(20 21 全国模拟题)已知椭圆E：+，=l(a b 0)的左、右焦点分别为&(一c,0),F2(C,0),离 心 率 为 争 点。为椭圆E的上顶点，啖尸2是面积为1 的等腰直角三角形.(1

2、)求椭圆E的方程；(2)若存在一点P(&,0)，过 P点的直线/与椭圆E交于A,B 两 点,且 方=2 对,求X。的取值范围.22.(20 21 全国模拟题)已知函数/(%)=aex-%2-ax(a G R)的导函数为/(%).(1)当QVO时，判断f(%)的零点个数，并说明理由.(2)证明：V a 1,f(x)xlnx a 1.答案和解析1.【答案】B【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】解：4=x|-3%3,B=x|l x 4,CRA=(xx 3,(CRA)n B=3,4.故选：B.可求出集合A,B,然后进行补集和交集的运算即可.本题考查了集合的描述法和区间的定义，补集和交集的定义及运算

3、，考查了计算能力,属于基础题.2.【答案】B【知识点】复数的模【解析】解：由题意可得z=含=器2;)=+夕，.1Z|=JG)2+G)2=第.故 选:B.根据复数的基本运算法则进行化简，再运用向量模长公式，即可求解.本题主要考查复数模长的计算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.3.【答案】D【知识点】任意角的三角函数【解析】解：设。P与x轴正方向的夹角为。，则sinO=蓑，cos。=W设 Pi(cosB，sinB),则cos0=cos(0+g)=|cos0 y sin0=sin.=sin(0+1)=1sin0+故选：D.设OP与x轴正方向的夹角为0,由已知利用任意角的三角函数的定义可求sin。，

4、cos。的值，设P】(cos/?,sin),则根据两角和的正弦公式，余弦公式即可求解.本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.第 6 页，共 19页4.【答案】C【知识点】数列求和方法【解析】解：若即=而=V n +1 -V n,所以S 99=V 2-1 +V 3-V 2+.+V 1 0 0-V 99=V 1 0 0-1 =9.故选：C.直接利用裂项相消法的应用求出数列的和.本题考查的知识要点：裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.5.【答案】D【知识点】区别否命题与

5、命题的否定【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为m x 2,X2+2 6,故选：D.根据含有量词的命题的否定即可得到结论.本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.6.【答案】C【知识点】圆的一般方程【解析】解：设要求的圆的标准方程为(x-m)2+(y -n)2=r2,(2 m)2+n2=r2把4(2,0),B(3,2 b)，C(l,2+V 5)代入可得，j (3 -m)2+(2-V 3 -n)2=r2,1(1 m)2+(2+V 3 n)2=r2m =2求 得n =2,可得圆的方程为(-2)2+(y -2)2=4.r2=4再把点D(4,a)代入，求得a=2,故选：C.用打定系数法求圆的方

6、程，再把。点的坐标代入，可得。的值.本题主要考查用打定系数法求圆的方程，属于中档题.7.【答案】A【知识点】球的表面积和体积【解析】解：由题意，分别取A D,BC,E尸的中点，设为M,N,P,外接球半径为r,正方形A B C O的中点为0 1，设球心为O,可知球心。必在O iP直线上，且。止=1,设球心0到圆心距离为二,在A 0 P F中，OP2+PF2=OF2,所以，(V T T-1)2+1=N,在A010B中，由0。：+。/2=。&2,可得产+(2鱼)2=2,根据解得：=品，=答：故选：A.分别取A O,BC,E b的中点，外接球半径为r,正方形A 8 C Q的中点为0,设球心。到圆心距离

7、为/,构造直角三角形，根据勾股定理建立关系即可求解.本题考查球的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.8.【答案】C【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、不等式的恒成立问题【解析】解：不等式勿工 b Inx ax b+2a Inx ax+2a,x 6(0,+oo),令f(x)=Inx-ax+2a,x E(0,4-oo),丁，a SO 时，f(x)0,不存在b+2 a 满足题意，舍去.a 0时，/=a(xa),可得：函数/(X)在(0,6上单调递增，在6,+8)上单调递减.X=5时，函数/(X)取得极大值即最大值，f ()=Ina,-1+2a.2a+b Ina 1+

8、2a.令 g(a)=Ina 1+2a.g(a)=-+2=2),o、J a a可得a=泄，函数g(a)取得极小值即最小值，5(|)=仇2.则2Q+b的最小值为ln 2.第8页，共19页故选：c.不等式b i x b Inx-a x Inx-a%+2 a,x 6 (0,4-o o),令/(%)=b i%-a x +2 a,x G (0,+O Q),对。分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，可得函数人乃取得极大值即最大值/(=-Ina-1 +2 a.令g(a)=-Ina-1 +2 a.利用导数研究函数的单调性极值与最小值即可得出结论.本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不

9、等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9 .【答案】CD【知识点】命题及其关系【解析】解：对于4 a,b，m 为平面向量，a/b，b/c，,6)，则百 乙 故4错误；对于8：若 落b，下为平面向量，a l b，K lc)则五不(且不在同一条直线上)，故 B错误；对于 C：若|苍|=1,面=2,(a+b)l a，所以片+a-b-0 故五,b 1 cos6 =；1=：,则苍在E 方向上的投影为I 五|c o s 0=-；,故 C正确；对于。：在 A B C 中，M是45的中点，A C=3 A N，B N与 C M 交于点、P,所 以 荏=2荏 +而，得：A P =2A A M

10、+n A C =XA B+3 n A N，所以竺/=：，解得2 =：，M =p 所以4 =2 ，故 O正确；故选：CD.直接利用平面向量的共线和垂直的充要条件，向量数量积，向量的线性运算的应用判断A、B、C、Z)的结论.本题考查的知识要点：平面向量的共线和垂直的充要条件，向量数量积，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.1 0 .【答案】A BD【知识点】基本不等式【解析】解：因为正实数a,b 满足a +b =2,由基本不等式a b (g)2 =1,当且仅当a =b=1 时取等号，A 正确;因为(VH+Vfe)2 ，则/的系数为6,当(7 +取妥项时:(/+%+取

11、+C1)X4(则/的系数为6,所以小 的系数为1 2,故。错误.故 选:AB.根据选项，利用排列组合分别求解即可得出结论.本题主要考查二项式定理，；排列组合的应用，考查运算求解能力，属于中档题.第1 0页，共1 9页1 2 .【答案】A C【知识点】分段函数模型久K 为有理数,V m G Q,/(x +m)=/(%).且无最小正0,x 为无理数周期，故 A 正确；g(y/2)=0,g(2)=2,g(2y/2)=0,不单调，故 8 错误；若 久 1，小全为无理数，与为无理数即可；若X1，不只有一个为无理数，如血是无理数，X2 为葭即可；若修,应全为有理数，与为 空 即 可，故 C正确；取*1 =

12、2,贝！|。(刀 2)=土&，不存在这样%2，故。错误.故选：A C.根据新定义函数依次判断各个选项即可.本题考查分段函数的应用，考查新定义函数，考查数学抽象的核心素养，属于中档题.1 3 .【答案】?,1【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：x r o,勺，2 X+襄 尊 J 函数/(%)的值域为停,1 ,要使函数/(X)的图象与直线y =a 有交点，a e 哼,1 .故答案为：结合正弦函数的图象，求得/(%)的值域，即可得解.本题考查正弦函数的图象与性质，熟练掌握求正弦型函数的值域的方法是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.【答案】10【知识点】排列、组合的

13、综合应用【解析】解：根据题意，分2步进行分析：将4本书分为3组，两本相同的 诗歌鉴赏J)不分在同一组，有 废-1=5种分组方法；将分好的三组分给3个学生，甲同学不要 作文提分秘籍，有2种情况，则有5 x 2 =10种分配方法，故答案为：10.根据题意，分2步进行分析：将4本书分为3组，两本相同的 借歌鉴赏不分在同一组，将分好的三组分给3个学生，甲同学不要谁文提分秘籍，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.15.【答案】5+理3【知识点】利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：如图，设三个篮球的球心分别为A,B,C,排球的球心为D,则三棱锥

14、0 -4 BC为正三棱锥,且平面A8 C到地面的距离为Wcm,DO iT f f i A BC,O到平面A B C的距离为。，在 C D M中，D M=5遍c m，DC=15 c m,MC=10V3CTH.设NDMC=。，则c o s。=盍，sind=DO=5 V 5 s in 0 =手，所以排球上的点到地面的最小距离为篮球的半径+。-排球的半径=5 +皿至c m.3故答案为：5+理.3考虑三个篮球的球心和排球的球心构成一个正三棱锥，求得排球的球心到底面的距离,则所求最小值为此距离加上篮球与排球的半径的差.本题考查点到平面的距离的最小值，考查转化思想和运算能力，属于中档题.16.【答案】(|,

15、-2)【知识点】抛物线的性质及几何意义第 12页，共 19页【解析】解：设4(卬%)，B(尤 2，”)，直线AB的方程为刀=my+3由。2 =4%得y2 -4my 4t=,则yi+y2 =4m=-4 t,又因为kpA/P B=6,所 以 设 x/=6,将匕=4,x2=苧代入整理得y,2+2(%+y2)+j=0,即 4t+877i 4-=0,解得t=2 m +,11所以 =m y+t=m y +2 m +-=m(y+2)=令y=-2,得x=所以直线AB过定点G，2).故答案为：G，2).设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，然后结合韦达定理将斜率之积表示出来，构造出关于3，的方程，将 f 用加表

16、示出来，即可获解.本题考查直线与抛物线的位置关系以及直线过定点的问题，属于中档题.17.【答案】解：(1)选择条件：2sinA(acosB+bcosA)=百 c及正弦定理得，2sinA(sinA cosB+sinBcosA)=VSsinC,2sinA sinC=y/3sinC,且sMC*0,.4 V3 smA =，2又ABC为锐角三角形，4 话；选择条件：由4a2 3c2 =4a2 cos2。，化简得4a2 sme?=3c2,由正弦定理得,4sin2 4sin2 c=3s讥且sinC H 0,sinA =,且4BC为锐角三角形，2.nA 4=3选择条件：.而旅=四=生 吧=;帅 且 希 尼=b

17、ccos4，4cosA 4cosA 2 bccosA =-be,2A cos A=I，且ABC为锐角三角形，(2)v A B=2/B 4 C =g,A S4 A Be=|a c -A Bsinz.BA C=曰A C =哈 二 A C=3,：A D=(A B +A C),A D2=(A B+A C)2=(A B2+2A B-A C+A C2)=i(4+2 x2 x3 xi+9)=,【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)若选择条件：根据正弦定理可得出2s E 4(s i m 4c o s 8 +sinBeosA =W s t n C,然后可得出s i n A =归 进 而 得 出 A =g；若

18、选择条件：化简得出4a 2s i n C 2=3c 2,根据正弦定理即可求出s i =3，进而得出a =g 若选择条件：根据余弦定理可得出而-A C=bc,从而得出b c c o s A =bc,从而求出c o s Z=进而得出力=p(2)根据条件可求出A C =3,从而由而2=*荏+前 产进行数量积的运算即可求出A 的长度.本题考查了正余弦定理，向量数量积的运算及计算公式，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的儿何意义，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题.18.【答案】解:(1)由数列 2而 是以2 为首项，4 为公比的等比数列.得2而=2 x 4吁1=2 2 f所以即=2n 1.(

19、2)根据题意，当为偶数时，(勾+2+匕+1)-(%+垢.1)=12；又尻+瓦=4,所以 b+%.】是以4 为首项，12为公差的等差数列，此时为+bn_ i =4+1 2(1-1)=6 n-8.工 九则=(。2+瓦)+(%+%)+(b“-i +bn)=4+16 +12n 8 =y(4+当为奇数时，(%+2+b n+i)(g +b n-i)=1 2;又 无+坛=1 0,此 时 垢+垢-1 =10+12|(n +l)-2 =6 n-8,此则”=瓦+(/)2+%3)+(6 4+5)+(b n-1+n)=1+10+22+6/1 8 =第1 4页，共1 9页1+修(10+6n-8)=空 詈 生(若 卫,为

20、偶数所以，7n =田、田 -1 -：n+i,n 为奇数【知识点】数列求和方法【解析】(1)根据等比数列的通项可得2厮=2 4-1=2 2 1,进一步可得 6 的通项公式.(2)分n为奇数和偶数两种情况，用分组求和法即可求出数列 4 的前n项和.本题主要考查等比数列的通项以及分组求和法，考查推理和运算求解的能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于中档题.19.【答案】(1)证明：因为四边形A BC。为菱 不形，4 c交 8。于点0,所以4C J.8。，为、所以4 C1 B D,又所以4。=遮，/；又 P A =2,OP =1,可得。屋=。2+力。2,/.V -*7/则力。1 0 P,

21、又 O P C B D =0,0 P u 平面 P BD,；-二-BD u 平面 P BD,J所以4c J _ 平面P BD,又4c u 平面P A C,所以平面P A C，平面P B D；(2)解：因为P D =PB,。为 B O中点，所以0 P 1 B D,因为。P _ L 4C,A C Q B D =0,A C,8。u 平面 A BC,所以O P _ L 平面A BC,以 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 4(遮 0,0),0(0,-1,0),P(0,0,1),M(一等,0所 以 加=(0,1,1),R 4=(V3.0.-1).设平面P A D的法向量为沆=(x,y,z),

22、则.包=。,即胪-P A =0 v 3x z =0令z =V 5,则 =l,y =遮，故沆=(1,V5,b)，因为万？=(遮,1,0),两=(一 手,1,设平面AOM的法向量为元=(a,b,c),即V3a 4-6 =02V3,1-a+b +-c3 3=o令Q=1,可得=(1,一次,5 g),所以|C O S 涌 元|=黑=1+3+15Vl+3+3xVl+3+75553所以二面角P 4。一 M的余弦值为曳I 亘.【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】利用菱形的性质可证4CLBD,由勾股定理可证4。1 0 P,由线面垂直的判定定理即可证明；(2)建立合适的空间直角坐

23、标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面P A O 和 的 法 向 量，由向量的夹角公式求解即可.本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用以及二面角角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)4 班中选取1 名学生报名唱歌的概率是|,未报名唱歌的概率是|；8 班中选取1 名学生报名唱歌的概率是也未报名唱歌的概率是也由题意知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3,4；计算 P(X=0)=2x2=9，3-5X废=二2X二2P(X=2)=(-)2X(1)

24、2 +(-)2X(|)2 +CIX|X|XCIX|X1 =Z(P(X=3)=(|)2X xixi+C x|x|x(i)2=i,P(X=4)=(|)2X02=所以X 的分布列为:X01234P91 0 031 03 71 0 01512 5(2)根据题意填写列联表如下:第 16页，共 19页由表中数据，计算依=殁箫，。.99。6.6 3 5,班级选择情况合计唱歌非唱歌A 班2 03 05 08 班2 42 44 8合计4 45 498所以没有9 9%的把握认为唱歌节目的选择与班级有关.【知识点】独立性检验、离散型随机变量及其分布列【解析】（1）求出A 班、8 班中选取1 名学生报名唱歌的概率和未

25、报名唱歌的概率，计算随机变量X 的所有可能值对应的概率值，即可得出分布列；（2）根据题意填写列联表，计算K 2,对照附表得出结论.本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是中档题.2 1.【答案】解：（1）因为e=立，a 2所以Q =V 2 c,又Q2=/+C2,所以小=2 块，因为 O R F2 的面积为1,且为等腰直角三角形，所以=1,解得2 =2,b 2 =1,所以椭圆E的方程为卷+y 2 =1.（2）当直线I的斜率不为0 时，设直线/的方程为 =my+n，8（%2，%），x=m y +XQX2 2 1号+y =i得(m 2 +2)y2+2mxoy

26、+诏 一 2 =0,所以+及=-鬻,y/2 =髭,=4 m2%Q -4(m2+2)(%Q 2)=8(m2+2 XQ)0,所以?n?+2 诏，因 为 而=2幅，所以、2 =2%,所以3%=一 鬻，2资X p-2苏+2所以品2=M因 为 而=2万，所以点P不在椭圆内部,所以就2 0,8 m2%Q =9(m2+2)(诏-2)0,所以6 2 久 很 +13 XQ-1 8 m2 3 6 =0,所以m 2(W -1 8)=3 6-1 8*=1 8(2 -以)0,所以诏-1 8 0,所以诏 1 8,所以2 就 1 8,所以 3&Xo 一夜或应 Xo 3 7 2,当直线/的斜率为0时，y =0,%=%=。，所

27、以A(一夜,0),8(企,0),x0=-3 V 2-或者4(7 5,0),B(a,0),x0=3 V 2,综上，殉的取值范围是|-3迎，-夜)U (夜,3夜 .【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)由离心率为当，O R F?是面积为1的等腰直角三角形，列方程组，解得“，b,即可得出答案.(2)分两种情况：当直线/的斜率不为0时，当直线/的斜率为0时，讨论%。的取值范围.本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.2 2.【答案】解：(1)因为f(x)=ae*-一 Q%(Q R),所以r(%)=ae -2%-a,设9(%)=/(%)，则g(%)=aex-

28、2,当Q V 0时，g Q)v O,f Q)在R上单调递减.因为尸(0)=0,所以当 0时，f(x)单调递减，所以=/(0)=Q 0,f (乃没有零点(2)证明：令u(x)=%-1 -lnxf 则i/(x)=1 -=,当OVxVl时，1/(%)1时,1/(%)0,U(X)在区间(1,+8)上单调递增，所以“(%)v(l)=0,即)%X2,所以 e*xlnx 2%4-l ex%2%4-l.令九(%)=ex x2 x,(x)=ex-2x-1,设W(%)=hr(x),则w(%)=ex-2.当x (01 n 2)时，“(%)V 0,h(x)单调递减,当x W (仇2,+8)时,(p(x)0,/i(x)

29、单调递增.又九(0)=0,九(1)=e 3 0,所以6(1,2),使得九(&)=0,所以,当%(0*o)时,九(&)V 0，九 0)单调递减；当X E(%o，+8)时，(沏)0,九(%)单调递增.所以九(x)m i n =九(0)=e*o _ Q _&，又无(0)=0,即e 第。2%0 1 =0.所以/i(&)=ex0 -XQ-x0=-%o +x0+1,x0 G (1,2),所以九=九 Q o)h(2)=1,所以九(x)4-1 0,所以 e x2%4-l 0.因为Q 1,所以Q e*e*,又e”xlnx 2 x +l ex%2 x +1,所以ae -xlnx 2%4-1 ex%2%4-1 0,所以 ae*xlnx 2 x +1 0,aex 2x-a xlnx a 1.即证V a 1,/(%)xlnx a 1.【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)利用导数研究函数f(x)的单调性和最值即可得到结论；(2)不等式等价于ae*-仪 n x -2%+1 0,把放缩成1,把 h u 放缩成-1,所以有aex xlnx-2%+l ex%2%4-1,令九(x)=ex-%2%,只需证九(%)1 即可.本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性、最值、零点，考查隐零点在证明不等式中的应用，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题.