2023年北师大八年级数学下册图形的平移和旋转知识点.pdf

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1、3.1 生活中的平移一、新知要点(1)平 移 的 概 念(2)平 移 的 特 点(3)平移的基本性质火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中，哪些没有发生改变？哪些发生了变化？这种运动就叫做什么？1.图形的平移例1 ：下图中的图形A向右平移了 6格得到图形A(1)平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这 样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。(2)平移的特点：平移是指整个图形平行移动,涉及图形的每一条线段,每一个点。通过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离

2、。平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。例2、观测下图aA BE沿射线XY的方向平移一定距离后成为aC D F。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。一XA1BE7YC声DF（3）平移的基本性质：通过平移，相应点所连的线段平行且相等，相应线段平行且相等，相应角相等。二、新 知 巩 固（练习）1 .平移改变的是图形的（）A 位置 B大小C 形状 D 位置、大小和形状2 .通过平移，相应点所连的线段（）A 平行 B 相等 C平行且相等 D既不平行,又不相等3 .通过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离，下面说法对的的是()A不同的点移动的距离不同B 既也许相同

3、也也许不同C 不同的点移动的距离相同 D无法拟定4 .如图，四边形A B C D 平移后得到四边形E F G H,填空(1)C D=(2)Z F=(3)IIE=,(4 )ZD=_ _ _ _ _,(5 )DH=5 .如图,若线段C D 是由线段A B 平移而得到的,则线段C D、AB关系是.6.试着做一做:(1)把图形向右平移7格后得到(2)把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。的图形涂上颜色。三、归纳小结 通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。(在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。)总结出了平移的性质。(平移不改变图形的形状和大小。通过平移,相应点所连的线

4、段平行且相等;相应线段平行且相等，相应角相等。）四、课外作业:1 .将长度为3 c m 的线段向上平移2 0 c m,所得线段的长度是（）A 3 c mB 2 3 c mC 2 0cmD 1 7 c m2.关于平移的说法，下列对的的是（）A通过平移相应线段相等;B通过平移相应角也许会改变DC通过平移相应点所连的线段不相等;通过平移图形会改变、3 .把可以平移到黑色U i位置的 白 涂 上 颜色。u a a口 4 .把图中的三角形A B C（可记为 A B C）向右平移6个格子,画出所得的 A B C .二、新知要点1 .平移图形的规律,作图的顺序；2 .平行线的作法及相应点的连结;3 .平移三

5、要素:原图形位置，平移方向，平移距离。例 1:观测理解平移后的图形。J1/1辛fff/口修i格it)/ff1ill 评稀黑例 2：把 图 中 的 三 角 形 A B C（可记为A A B C）向 右 平 移 8个格子，画出所得的解：（1）、通 过 平 移 的 图 形 与 本 来 的 图 形 的 相 应 线 段 ，相应角,图形的形状和大小都。（2）、平移的相应点所连线段 o（3）、其 中 BC与 B C的关系是（位置关系和数量关系）。线段AB与 A B的关系是（位置关系和数量关系）。若 A C=5,则 A C =，若/B A C=6 0，则N B A C =。若 A B C 周长为3 0,则AA

6、，Q C周长为。若a A B C 面积为S,则4 A B C面积为。例 3 :画出平移后的图形。通过操作我们发现：1 .在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。2 .在方格纸上平移图形时,可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置,先分别描出各点，再把各点按本来的顺序连接起来,成为按规定平移后得到的新图形。3 .用平移的方式画一排或一列图形时可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。4 .平移图形或物体时，可以一次平移，

7、也可以两次平移，物体的方向都不会改变。例 4：如图，通过平移，a A B C 的顶点A移到了点D,请作出平移后的三角形。A分析：由于A与 D是相应点,而平移的相应点的连线段平行且相等所以平移方向一一射线A D,平移距 离 一一 线 段 A D 的 长，作法：1.分别过点B、C沿 AD方向作线段BE、C F,使它们与AD平行且相等A2.顺 次 连 结 D 、E F参考图三、新知巩固1 .分别画出将口向下平移4 格，向左平移8 格后得到的图形。f分析：5其分别画出将口向下平7侈4 格、向左平，移8 格后得到的图 员先要分别描出口z g个顶点向下平移4 格、向左平移8 格后的新位置上的四个顶点,再把

8、四个顶点顺次连接起来，就得到符合题意规定的图形。2.画出花瓶向上平移4 格后的图形，再 3.画出三角形向右平移6 格后的图形,画出它继续向左平移7 格后的图形。再画出梯形向下平移5 格后的图形四、归纳小结 通过本节课的学习我们学会了平移作图。拟定一个图形平移后的位置所需条件为：图形本来的位置；平移的方向；平移的距离。五、课外作业1.下列说法对的的是()A由平移得到的两个图形的相应点连线长度不一定相等B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看 作“火车沿着铁轨方向的平移”C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升,他快乐地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”D在图形平

9、移过程中，图形上也许会有不动点2.画画做做想想V涂上颜色。(1)移 6 格后得到的平移2格后的图形3 .如图，已知A B C,画出 A B C 沿 P Q 方向平移2 cm 后的 B C4 .二年级同学表演节目，1 1 个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节目的男女生一共有多少人？3.3生活中的旋转一、知识回顾下列现象哪些是平移？H_Ij平移的特点有哪些？平移是指整个图形平行移动，涉及图形的每一条线段，每一个点.通过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。平常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转

10、木马）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1）上面情景中的转动现象，有什么共同特性？（2）钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变?风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢？二、新知要点1.旋转在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。注意：”将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此,旋转具有不改变图形的大小和形状的特性。例1.如图，假如把钟表的

11、指针看做三角形O AB,它 绕0点按顺时 芝 型旋转得到AO E F,在这个旋转过程中：BAO(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)通过旋转，点A、B分别移动到什么位置?解：(1 )旋 转 中 心 是 0 ,N A 0 E、Z B O F 等 都 是 旋 转角.(2)通过旋转,点A 和点B 分别移动到点E和点F的置。2.旋转的性质(1)相应点到旋转中心的距离相等；(2)相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等；(4)图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。三、新知巩固1.如图所示,假如把钟表的指针看作四边形AO B C,它绕0点按顺时针方向旋转得到四边形D O E

12、F。在这个旋转过程中(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)通过旋转，点A、B 分别移到什么位置？A O与D O 的长有什么关系？B 0 与 E 0 呢？(4 )Z AO D 与 N B O E 有什么大小关系？2.在正方形 AB C D 中，Z 1 =Z 2 =3 0 ,试把A AD E 绕点A 顺时针旋转9 0 ,观测整个图形中角与角之间,线段与线段之间,存在哪些相等的关系？探 索 D E ,B F ,A F之间 的关系四、归纳小结结 识了旋转的图形；旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向;旋转图形的性质。五、课外作业1 .平移不改变图形的_ _ _ _ _ _ _只改变图形的位置

13、。故此若将线段A B向右平移3 c m,得到线段C D,假如A B=5 c m,则 C D =2 .下列关于旋转和平移的说法对的的是()A 旋转使图形的形状发生改变B 由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C 平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D相应点到旋转中心距离相等3.如图,正方形ABCD可以当作由三角形_ _ _ _ _ _旋转而成的，其旋转中心为 点，旋转角度依次为,，4.下列现象哪些是平移,哪些是旋转。左图中的头像，是一个顽皮的小孩,正在嬉皮笑脸地开玩笑。倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人?他是什么样的表情?3.4简朴的旋转作图一、知识回顾1.旋转的概念2.旋转的三要素3.

14、旋转的性质如图，在方格上作出“小旗子”绕 0 点按顺时针方向旋转9 0 度后的图案,并简述理由。二、新知要点简朴图形的旋转作图两种情况：给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小;给出定点和图形的一个特殊点旋转后的相应点。作图环节：作出图形的几个关键点旋转后的相应点；顺次连接各点得到旋转后的图形。例 1.如图,ABC绕C点旋转后，顶点A的相应点为点D*D,试拟定顶点B相应点的位置，以及旋转后的三角形.人分析：绕 C点旋转,A点的相应点是D点，那么旋转角就B是/A C D,根据相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即NB C B =N ACD,又由相应点到旋转中心的距离相等，即 C B=C

15、B ,就可拟定B的位置，如图所示.解：(1)连结C D(2)以 C B 为一边作N B C E,使得NB C E=NA C D E。(3)在射线C E 上截取C B =C B /则夕即为所求的B的相应点.1At(4)连结D B 则A D B C就是AABC绕 C点旋转后的图形。例 2.如图，四边形A B C D 是边长为1 的正方形,且D E=；,4 -PA B F是aADE的旋转图形./(1)旋转中心是哪一点？F B c(2)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？(4 )假如连结E F,那么A A E F是如何的三角形?分析：由4ABF是4 A D E 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角

16、，规定 A F 的长度,根据旋转前后的相应线段相等,只规定A E 的长度，由勾股定理很容易得到。4ABF与A A D E 是完全重合的，所以它是直角三角形.解：(1)旋转中心是A点(2 ):A B F 是由A A D E 旋转而成的，B 是 D的相应点.,.Z D A B=9 0 就是旋转角(3)V A D=1 ,D E =14.相应点到旋转中心的距离相等且F 是E的相应点 A口后.A F=-4(4)V Z E A F=9 0 (与旋转角相等)且A F=A E.E A F 是等腰直角三角形.三、新知巩固1 .平面图形的旋转一般情况下改变图形的()A位置 o B大小 C形状“D性质2 .9点钟时

17、，钟表的时针和分针之间的夹角是()A 3 0 oB 4 5 C 6 0 o D 9 0 3.将平行四边形A B C D旋转到平行四边形A B C D 的位置，下列结论错误的是()A.A B=A B B.A B A B C.Z A=Z AZ。D.A B C A A,B C4.做一做在 图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转9 0度,请作出旋转后的图案.图 1四、归纳小结 图形的旋转 图形旋转的性质 简朴图形的旋转作图环节五、课外作业1 .钟表上的指针随时间的变化而移动,这可以看作是数学上的_ _ _ _ _。2 .菱 形 A B C D 绕点。沿逆时针方向旋转到四边形ABCD,则

18、四边形A 6 C 。是3 .A B C 绕一点旋转到A A B C ,则a A B C 和A A B C的关系是。4 .钟表的时针通过2 0分钟,旋转了 度。5.图 形 的 旋 转 只 改 变 图 形 的,而 不 改 变 图 形 的。6 .在图中,将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转9 0。，请作出旋转后的图案。7 .将一个等腰直角三角形/8 C （如图2 ZA是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。(1)45(2)90(3)13 5 (4)1808.将下面的图案绕点。顺时针方向旋转90度,作出旋转后的图形。图 3对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换

19、与它们有哪些共性和区别？3.5他们是如何变过来的一、知识回顾i .平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移2.平移的性质：1.平移不改变图形的大小和形状。2.相应点所连的线平行且相等。相应线段平行且相等。相应角相等。3.旋转的概念:4.旋转的性质5.轴对称的概念6.轴对称的性质观测下列图形是怎么变过来的?二、新知要点例 1：下图由四部分组成,每部分都涉及两个小“十”字，其中一部分能通过适当的旋转得到其他三部分吗？能通过平移吗?能通过轴对称吗？尚有其它方式吗？iJ LA.y iJ DK LA.IJ L/VX T X T解析：(1)整 个 图 形 可 以 看

20、 做 是 由 十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成;(2)整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；(3)整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转9 0 度前后的图形共同组成；(4)整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式,它们是此后设计图案的重要手段。例2:“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？三、新知巩固1.如何将下图中的甲图变成乙图案?假如一

21、个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分可以重合,那么这个图形叫做轴对称图形对 称 轴例：如何将下图中的甲图变成乙图案?2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形通过如何的变化而得到的？看一看:下列三幅图案分别是由什么“基本图形”通过平移或旋转而得到的?1.2.试一试:如何将下图中的甲图变成乙图?做一做：如图，在 正 方 形 力 中,E是/1 的中点,F 是 8 A 延长线上的一点,2(1)求证：/VIBE丝/尸.(2)阅读下列材料:如图，把ABC沿直线平移线段8 c 的长度，可以变到 EC。的位置；如图，以3 c 为轴把aA BC 翻 折 180,可以变到OB C的位置；如图，

22、以点A 为中心，把ABC旋 转 180。，可以变到4比 的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.(1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE变到AO尸的位置？(2)指出图中线段8E与。尸之间的关系.1.旋转的三要素(1)旋转中心;(2)旋转方向；(3)旋转角度。三、解答题9.下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点。旋转而互相得到的图形并说明旋转的角度.1 1 .如图，菱 形A B C D是菱形AB C D绕 点0顺时针旋转9 0。后得到的，你能作出旋转前的图形吗

23、？1 2 .R t z AB C,绕 它 的 锐 角 顶 点A分别逆时针旋转9 0 ,1 8 0 和顺时针旋转9 0 ,A(1)试作出R t A B C 旋转后的三角形;(2)将所得的所有三角形当作一个图形，你将得到如何的图形？1 3 .如图,将右面的扇形绕点0按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形:(1)9 0 ；(2)1 8 0 你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？1 4 .如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.3.6 简朴的图案设计图案设计：图案的设计是由基本图形通过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。2.中心对称

24、把一个图形绕着某一点旋转1 8 0。,假如它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的相应点叫做关于中心的对称点。3.中心对称图形假如把一个图形绕着某一点旋转18 0 后能与自身重合,那么我们就说，这个图形是中心对称图形。4.中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，相应线段平行（或者在同一直线上）且相等。5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋 转 180后不变的字是在 字 母“X”、V”、Z”、H”中绕某点旋转（

25、旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是3.如图,两块完全重合的正方形纸片,假如上面的一块统正方形的中心。作 0 9 0 的旋转，那么旋转时露出的4 A B C 的 面 积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表达S与 n 的关系的图象大体是图中的（）5.如图是跷跷板示意图，模 板 A B 通 过 点 O,且可以绕点O 上下转动，假如NOCA=90,/C AO=2 5,（1）画出在空中划过的线；（2）上下最多可以转动多少角度？三：【课 后 训 练】5 .如图，A A BC是直角三角形,BC是斜边，WA A BP绕点A逆时针旋转后，能与A A CP，重合，已知A P=3,则P P，的长度

26、为（）A.3B.3 7 2 C.5&D.46 .A BC是等腰直角三角形，如图，A B=A C,N B A C=9 0。,D是BC上一点,A A CD通过旋转到达 A B E的位置,则其旋转角的度数为（）A.9 0 B.1 2 0 C.6 0 D.4 5 7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左 平 移6格、修感妫后令桁听丽二个因案的关系.8 .如图，已知N AO B,规定把其往正东方向平移3 c m,规定留画痕,写作法9.已知边长为1个单位的等边三角形AB C,将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转3 0 作出这个图形;（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转6 0、9 0、1 2 0,作出

27、这些图形.1 0 .如图，在 A A BC 中，A B=A C ,/B A C=4(T,AD 是/BA C 的平分线，D E J _ A B,D F L A C,垂足分别是E、F,请你用对称和旋转的知识回答下列问题:(1)4A D E 和4D FA关于直线AD对称吗？为什么？(2)把4BDE绕点D顺时针旋转160。后能否与4 C D F 重合？为什么？(3)把4BDE绕点D 旋转多少度后，此时的4 B DE和4CDF关于直线BC对称？(二)：【谋 前 练 习 3.4 简朴的旋转作图四、应用拓展例3.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK 方一为一边作正方形A K L M,使L、M在A K的同旁，A B连 接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、相应点的知识来说明.解：:四 边 形A B C D、四边形A K L M是正方形.*.AB=AD,A K=A M,且NBAD=NKAM 为旋转角且为 90A A A D M是以A为旋转中心，Z B A D为旋转角由 A B K旋转而成的.BK=DM