《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案3.pdf

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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）吉 林 大 学 南 岭 校 区 2011年 12月 题 号-2 2 1二 四 五 六 总 分 得 分 得 分-一.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.匕 更 的 幅 角 是（）；22.L(T+i)的 主 值 是(3./(。)=(1+Zz-sin z4.z=0是 4 的(Z5./(z)=；,Re4/(z),oo=(）；）；）极 点；）；二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.解 析 函 数/（z）=（%,）+（x,y）的 导 函 数 为（）；(A)fz)=ux+iuy.(B)fz=ux-iuy.(C)fX

2、z)=ux+ivy.(D)fz)=uy+ivx.2.C 是 正 向 圆 周|W=3,如 果 函 数/（z）=（），则./（z）dz=o.372(A)(D)3(2)283.如 果 级 数 在 z=2 点 收 敛，则 级 数 在 n=l(A)z=-2 点 条 件 收 敛；(B)z=2i点 绝 对 收 敛；(C)Z=l+i 点 绝 对 收 敛；(D)z=1+21点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是()(A)如 果 函 数/(z)在 点 可 导，则/(z)在 Z。点 一 定 解 析；(B)如 果 z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 解 析，则，/(z)dz=O(C)如 果/(Z)

3、dz=O,则 函 数/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(D)函 数/(z)=(,、)+zv(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 u(x,y)u(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)8 为 sin 的 可 去 奇 点；co为 sin z的 本 性 奇 点；8 为 p 的 孤 立 奇 点;(D)sinz00为-的 孤 立 奇 点 sin z三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 1 0分，共 计 4 0分)(1)设/(z)=+处 2+j(c%2+dxy+y 2)是 解

4、 析 函 数，求 a,b,c,d.z.计 算 I 二 一 R y d z 其 中 C 是 正 向 圆 周：|z|=2；r z(z-l)1 1（3）1 5z1d 算 4=3（1+名 2）2（2+Z，）Td z，/、z 2-1)(Z+2)3(Z 3)2(4)函 数/(z)=U-会 一?-在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇(sm 改)点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.得 分 四、(本 题 14分)将 函 数/(力=一 一 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数;-z(z-1)(1)0|z-l|l,(2)0|z|l,(3)1|z|o o得 分 五.（本

5、题 1 0分）用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题（%）-（%）+4y（%）=exy（o）=y（o）=i六、（本 题 6分）求/）=e 一 削（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:眸 S 犷复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）答 案 及 评 分 标 准 一.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.匕 必 的 幅 角 是（一 工+2攵 肛=0,1,2）；2 311 c 32.L（T+i）的 主 值 是（-ln 2+-z）；3./=7,/（0）=（0）,1+Zz-sin z4.z=0是 4 的（一 级）极 点；Z5.

6、/（z）=；,Re5/（z）,co=（-1）；二.选 择 题（每 题 4 分，共 2 4分）1.解 析 函 数/（z）=（x,y）+iv（x,y）的 导 函 数 为（B）；(A)f(z)=ux+iuy；(B)f(z)=ux-iuy.(O fr(z)=Ux+lVy.(D)fz)=uy+ivx.2.C 是 正 向 圆 周|z|=3,如 果 函 数/(z)=(D)，则/(z)dz=O.(A)力(B)*(d)占 co3.如 果 级 数 在 z=2 点 收 敛，则 级 数 在（C）n=l（A）z=-2 点 条 件 收 敛；（B）z=2i 点 绝 对 收 敛；（O Z=l+i点 绝 对 收 敛；（D）Z=

7、l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是（B）（A）如 果 函 数/（z）在 Z。点 可 导，则/（z）在 Z。点 一 定 解 析;(B)如 果/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 解 析，则 4/(z)dz=O(C)如 果/(z)废=0,则 函 数/(z)在 C 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(D)函 数/(z)=(,y)+iv(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 u(x,y)u(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是(D).(4)、8 为 s in-的 可 去 奇 点；

8、(3)、00为 sinz的 本 性 奇 点；z(C)、8 为 二 彳 的 孤 立 奇 点.(。)、8 为 一 的 孤 立 奇 点；sin-5mzz三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 10分，共 4 0分)(1).设/(Z)=炉+。町+勿 2+j(c/+dxy+/)是 解 析 函 数，求 a,b,c,d.解：因 为/(Z)解 析，由 C-R条 件 du _ dv du _ dvdx dy dy dx2 x+ay=dx+2 y a x+2 b y=-2 c x-d y,a=2,d=2,a=-2c,2b=d,c=l,b=-1,给 出 C-R条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，

9、结 果 正 确 2 分。(2).计 算、2 dz其 中 C 是 正 向 圆 周:47(z T)z解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数 计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程 因 为 函 数 在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 Z=0,Z2=l，分 别 以 马 逐 2(z-D-z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 Cf,C2且 位 于 C 内工(z-1Z=2加(幺)zdz=艺 dz+%(Z-I/+2me(z 5=2mz=0无 论 采 用 那 种 方 法 给 出 公 式 至

10、 少 给 一 半 分，其 他 酌 情 给 分。(3).i=3(1+Z2)2(2+Z4)3 D Z解：设/(z)在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：闫 3内，由 留 数 定 理 1 5j 3 V 7；K d z=-2m.R es(z),8士 卜 3(l+z2)-(2+z4)3=2力 R e s d)4 z z(与 5_ 4 _ L(1+3)2(2+()4)3 Zz z-(5 分)-(8 分)-修 二 1 一 有 唯 一 的 孤 立 奇 点 z=0,R e s g)g,o=l i m 旧)g=l i mn 2,2L 4 n3=1Z Z z o Z Z-0 U+Z)(2Z+1)Z15

11、cf-rrdz=2m-(io 分)X=3(1+Z2)2(2+Z4)3(4)函 数/(z)=-.一(z-3)2在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇(sin 改)点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.解：f(z)=z(z，l)(z+2)：(z3):的 奇 点 为 k,k=0,1,2,3,，8(sin 7iz)(1)z=0,士 1,23,为(sin位:)=三 级 零 点，(2)z=0,2=1,为/()的 二 级 极 点，”是 人 力 的 可 去 奇 点，(3)Z=3为/(z)的 一 级 极 点，(4)z=2,3,4i,为/(z)的 三 级 极 点;(5)8 为 f(z)

12、的 非 孤 立 奇 点。备 注：给 出 全 部 奇 点 给 5 分，其 他 酌 情 给 分。四、(本 题 14分)将 函 数/(z)=在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数;z(z-1)(1)0|z-1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|00解(1)当 0 上 一 11/=al 1、=z 1 1z(z-1)(z-1)(zT+1)1 8而 D Y0 0江(-1)此-1严 n=00 04)=(-1 严 北-1广 2H=0(2)当 0 忖 16 分 j(z 1)一 N(一)10分(3)当 1 闫 81 2 1 产 1/仁)二/(1)=尹-14分 Z n=0 z=o z每 步 可 以 酌

13、 情 给 分。五.(本 题 10分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题:y”(x)_ 5y(x)+4y(x)=exJ(o)=i=y(o)=i解：对 y(x)的 Laplace变 换 记 做 L(s),依 据 Laplace变 换 性 质 有 S2L(S)-5-1-5(51(5)-1)+4L(5)=(5 分)5+1整 理 得，/、1 1L(s)=-+-(5+1)(5-1)(5-4)5-11 1,1 1”小、10(5+1)6(5-1)15(5-4)5-11 5 1-1-1-10(5+1)6(5-1)15(5-4)六（6 分）求/。）=/你 0）的 傅 立 叶 变

14、换，并 由 此 证 明:解：尸(切=口”划 出(0)-3 分 尸(0)=-3。*力+e-e-dt(6 0)=f?出+F e-+i6),dt(P 0)=2(夕)0 10)p-lCD 0户(吊)=万 二+方 L=尸(0)-4 分 P-ia)/3+ia)j32+a)2f(t)=eia tF(o)d(D(夕 0)-5 分=5”含 加 如。)71(cos旗+isin&M o(0)cosajt,i3-d(o+p+a)兀，/、2B rH costar,c、方=辟 京 8)6 分复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（B）吉 林 大 学 南 岭 校 区 2011年 1 2月 题 号*二 四 五 六

15、 总 分 得 分 填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.上 匚 的 幅 角 是（22.。1（一+，）的 主 值 是（）；）；3.。=（）,/（z）=%2+2%一 丁 2+，（“/+2孙+y2）在 复 平 面 内 处 处 解 析.4.5.八 z-sin zZ=U 是 一 j一 的(z-z)=；，Res(z)o 二(）极 点;）；二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.解 析 函 数/（z）=（,y）+4（%,y）的 导 函 数 为（）；(A)f(z)=uy+ivx.(B)f(z)=ux-illy.(C)fXz)=ux+ivy.(D)fz)=ux+iuy.2.C

16、是 正 向 圆 周 目=2,如 果 函 数/（z）=（），则/(z)dz=0.(A)；(B)；(C)z-1 z-1(z-1)23(D)(z-1)23.如 果 级 数 cz在 z=2i点 收 敛，则 级 数 在 n=(A)z=-2点 条 件 收 敛；(B)z=-2i点 绝 对 收 敛；(C)z=l+i点 绝 对 收 敛；(D)z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是()(A)如 果 函 数/(z)在 Zo点 可 导，则/(z)在 Z。点 一 定 解 析；(B)如 果，/(z)dz=O,其 中 C 复 平 面 内 正 向 封 闭 曲 线，则/Q)在 C所 围 成 的 区

17、域 内 一 定 解 析；(C)函 数/(z)在 Z。点 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 该 点 的 邻 域 内 一 定 可 以 展 开 成 为 Z-Z。的 幕 级 数，而 且 展 开 式 是 唯 一 的；(D)函 数/(z)=(x,y)+in(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是“(X,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)、Inz是 复 平 面 上 的 多 值 函 数；(B)、cosz是 无 界 函 数；(C)、sinz 是 复 平 面 上 的 有 界 函 数；(D)、是 周

18、期 函 数.三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 8 分，共 计 50分)(1)设/(z)=(x,y)+i(*2+g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0,求 g(y),u(x,y),f(z).(2).计 算 九 2.；二 1)2 dz.其 中 C 是 正 向 圆 周 M=2；2 _ 计 算 其 中 C 是 正 向 圆 周|z|=2；（4）.利 用 留 数 计 算 1，(z l)(z 2)2d z.其 中 C 是 正 向 圆 周 目=3；(5)函 数 f(N)=z d)Q+2)3(sin发 尸 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇 点？，如 果 有 极 点，请

19、 指 出 它 的 级.得 分|四、(本 题 12分)将 函 数/(z)=F 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级-z,(z-l)(1)0|z-l|1,(2)0|z|1,(3)l|z|0 0五.(本 题 1 0分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题 y(x)-5y(x)+4y(%)=y(0)=y(0)=1得 分 六、（本 题 8分）求/=。一 用（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题 简 答 及 评 分 标 准（B）吉 林 大 学 南 岭 校 区 2011年 1 2月 题 号*二 四 五

20、 六 总 分 得 分 填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1 一/_ j r1.的 幅 角 是(一 一+2%乃,A=01,2广,)；2 42.七(一 1一，)的 主 值 是(U n 2 产)；2 43.=/(0)=(o)；4.小)=三 学，Res z),0=(o)Z5./(z)=7,Res(z),co=(o)；二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 1 5分）1.1 2 2 是 解 析 函 数/(2)=(%,)+川(,丁)的 实 部，则(A);(A)f,(z)=2(x+iy)i(B)ff(z)=2(x-iy).(O f X z)=2(y+ix);(D)ff(z)=2(y-ix

21、).2.C 是 正 向 圆 周 M=2,如 果 函 数/(Z)=(A)，则 j/(z)dzwo.1 1(C)7；(D)jTT(z 3)(z 1)OP3.如 果 级 数 在 z=2i点 收 敛,n=l（A）z=-2点 条 件 收 敛；则 级 数 在（C）(B)(C)Z=l+i点 绝 对 收 敛；(D)z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是(C)(A)如 果 函 数/(z)在 Z。点 可 导，则”z)在 Z。点 一 定 解 析;(B)如 果，/(z)dz=O,其 中 C 复 平 面 内 正 向 封 闭 曲 线，则/(z)在 C所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；

22、(C)函 数/(z)在 Z。点 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 该 点 的 邻 域 内 一 定 可 以 展 开 成 为 z-Z。的 塞 级 数，而 且 展 开 式 是 唯 一 的；(D)函 数/(z)=(X,y)+y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 w(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是(C).(A)Inz是 复 平 面 上 的 多 值 函 数；(B)cosz是 无 界 函 数;(C)sinz是 复 平 面 上 的 有 界 函 数；(D)/是 周 期 函 数.三.按 要 求 完 成 下

23、 列 各 题(每 小 题 1 0分，共 计 4 0分)(1)求。，C,d 使/(z)=/+axy+by2+i(cx2+dxy+:/)是 解 析 函 数,解：因 为/(Z)解 析，由 C-R条 件 du _ dvdx dydu _ dvdy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-2cx-dy,a=2,d=2,Q=2c,2b=-d,c=1,。=1,给 出 C-R条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，结 果 正 确 2 分。i z(z-i)2 d z其 中 C 是 正 向 圆 周 M=2；解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数

24、计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程因 为 函 数/(z)=在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 曷=0典 2=1，分 别 以 Zj,Z2(z-i)Z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 g 2 且 位 于 C 内 dz=13 d z+M z I)?=2 m(-yZ+2m 二 U-1)2=0z=0(3).计 算 其 中 C 是 正 向 圆 周|z|=2；1解：设/(z)在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：忖 2内，由 留 数 定 理/(z)d z-2m R e s(z),o o=2mc_xz|=21|z|=0的 三

25、级 零 点,z=1,为/(z)的 二 级 极 点，z=-2是/(z)的 可 去 奇 点,z=0,2,3,4，为/(z)的 三 级 极 点;朗 级 数;8 为/(Z)的 非 孤 立 奇 点。给 出 全 部 奇 点 给 5 分。其 他 酌 情 给 分。四、(本 题 14分)将 函 数/(z)=r 7 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 z(z+l)(1)0|z+l|l,(2)0|z|l,(3)1|z|00(1)0|z+1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|oo解(1)当 0|z+l|l/(z)=1?(z+l)(z+l)(l-(z+l)1 8 8而 v=(z+irr=Z a+尸(1 一(z+1

26、)=0”=08/(Z)=Z(Z+l)”2-6 分 n=0(2)当 0(忖 11 1 8=71=010分(3)当 1|z|oof(z)=1 1Z(z+D z3(l+l)z1 00 1 00/(z)=3 Z(,)=Z(T)Z M=0 Z n=01n+3z14分得 分 五.（本 题 1 0分）用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题 卜（%）+2/（x）-3y（x）=exL（o）=o,y（o）=i解：对 y（x）的 Laplace变 换 记 做 L（s）,依 据 Laplace变 换 性 质 有 71S2L(S)-1+2sL(s)-3L(s)=5+1（5 分）整 理 得

27、5+2LG)(S+1)(5-1)(5+4)（7 分）y(x)=-;e4 8 8(10 分)得 分 六、（本 题 6 分）求/=小 1,1的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:104-00 rsin 6 9 cos,-dco=CD0%W1l/(口)=e-i Mdt2 分 e-M.e-eo-e,2 sin=-=I-=-4 分-i o),CO CD-1f(t)=-ei(0，F)da)_ 5 分 71 coSin 69,dcoI r c c s in co F-(cos。/+i sin m MG71 卜 CO sin6 9 cos6 9?,i 产 sin s i n,-aco+-do)co 71 coH i-6 分 得 分