概率论课后习题答案1～7章.pdf

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1、事 件 发 生 的 概 率.习 题 一 1.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.2.设 A,B,。为 三 个 事 件，试 用 A,B,。的 运 算 关 系 式 表 示 下 列 事 件:【解】PCAUB UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3+-=4 4 3 12 47.从 52张 扑 克 牌 中 任 意 取 出 13张，问 有 5 张 黑 桃，3 张 红 心，3 张 方 块，2 张 梅 花 的 概 率 是 多 少？(1)A 发 生，B,。都 不 发 生;【解】p=C|3C13C|3C13/C52(2)A 与 8 发 生，C

2、不 发 生;(3)A,B,C 都 发 生：(4)A,B,c 至 少 有 一 个 发 生:(5)A,B,C 都 不 发 生：(6)A,B,C 不 都 发 生；(7)4,B,C 至 多 有 2 个 发 生;(8)4,B,C 至 少 有 2 个 发 生.8.对 一 个 五 人 学 习 小 组 考 虑 生 日 问 题:(1)求 五 个 人 的 生 日 都 在 星 期 日 的 概 率；(2)求 五 个 人 的 生 日 都 不 在 星 期 日 的 概 率;(3)求 五 个 人 的 生 日 不 都 在 星 期 日 的 概 率.【解】(1)设 A产 五 个 人 的 生 日 都 在 星 期 LI,基 本 事 件

3、 总 数 为 7:有 利 事 件 仅 1个，故【解】(1)A B C(2)AB C(3)ABC1 1P(A|)=-7=()75 7(亦 可 用 独 立 性 求 解,下 同)(4)A U 8 U C=AB c u A B C UA BC U A BCUA B CUA8 C U A B C=ABC(5)A B C=A UBUC(6)ABC(7)A B C U A B CUA8 C U AB CU4 BC U 4 8。UABC=ABC=A u B u C)ABUBCJCA=AB C UA B CU A BCUABC3.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案 4.设 4,B 为 随 机 事 件，且 P

4、(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求 P(A B).设 心=五 个 人 生 日 都 不 在 星 期 I，有 利 事 件 数 为 65,故 65 6P(A，)=(一 一 75 7(3)设 4=五 个 人 的 生 日 不 都 在 星 期 日 1P(A3)=l-P(4|)=l-(-)79.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.10.一 批 产 品 共 N 件，其 中 M 件 正 品.从 中 随 机 地 取 出 件(x N).试 求 其 中 恰 有 切 件(阳 W M)正 品(记 为 A)的 概 率.如 果:(1)件 是 同 时 取 出 的：(2)件 是 无 放 回 逐 件 取 出 的；(3)件

5、 是 有 放 回 逐 件 取 出 的.【解】P(A B)=l-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设 A,5 是 两 事 件,且 户(A)=0.6,4(3)=0.7,求:(I)在 什 么 条 件 下 P(AB)取 到 最 大 值？(2)在 什 么 条 件 下 尸(AB)取 到 最 小 值？【解】夕(2)由 于 是 无 放 回 逐 件 取 出，可 用 排 列 法 计 算.样 本 点 总 数 有 P：种，次 抽 取 中 有 加 次 为 正 品 的 组 合 数 为 C：种.对 于 固 定 的 一 种 正 品 与 次 品 的 抽 取 次 序，从 M 件 正 品 中 取

6、 m 件 的 排 列 数 有 P；种 从 N-M 件 次 品 中 取 件【解】(1)当 A3=A时，P(A8)取 到 最 大 值 为 0.6.(2)当 A L J 8 9 时,P(AB)取 到 最 小 值 为 0.3.6.设 A,B,C 为 三 事 件，且 P(A)=P(8)=1/4,P(C)=1/3 且 P(A8)=P(8C)=0,P(AC)=1/12,求 A,8,C 至 少 有 一 的 排 列 数 为 种，故 Tn-inP=V-p;由 于 无 放 回 逐 渐 抽 取 也 可 以 看 成 一 次 取 出，故 上 述 概 率 也 可 写 成 尸(44)=P(4)P(4)=0.7 X 0.8=0

7、.56P(A)=r n-mMcF可 以 看 出，用 第 二 种 方 法 简 便 得 多.(3)由 于 是 有 放 回 的 抽 取，每 次 都 有 N 种 取 法，故 所 有 可 能 的 取 法 总 数 为 种，次 抽 取 中 有 加 次 为 正 品 的 组 合 数 尸(a U 4)=,7+0.8-0.7 X 0.8=0.94(3)P(A A2 U*)=0.8x0.3+0.2 x 0.7=0.38为 C；种，对 于 固 定 的 一 种 正、次 品 的 抽 取 次 序，m 次 取 得 正 品,都 有 M 种 取 法,共 有 A T 种 取 法，-相 次 取 得 次 品，每 次 都 有 N-M 种

8、取 法，共 有(N-M)种 取 法，故 15.掷 一 枚 均 匀 硬 币 直 到 出 现 3 次 正 而 才 停 止.(1)问 正 好 在 第 6 次 停 止 的 概 率;P(A)=(N-M)i/N(2)问 正 好 在 第 6 次 停 止 的 情 况 下，第 5 次 也 是 出 现 正 面 的 概 率.01 0 1,1 5【解】A=C5(-)(-)此 题 也 可 用 贝 努 里 概 型，共 做 了 m 重 贝 努 里 试 验，每 次 取 得 正 品 M的 概 率 为 一，则 取 得 机 件 正 品 的 概 率 为 NP1明)5 1 25/32 51 6.甲、乙 两 个 篮 球 运 动 员，投

9、篮 命 中 率 分 别 为().7及 0.6,每 人 各 投 11.略.见 教 材 习 题 参 考 答 案.12.50只 钾 钉 随 机 地 取 来 用 在 10个 部 件 上，其 中 有 3 个 钾 钉 强 度 太 弱.每 个 部 件 用 3只 钾 钉.若 符 3只 强 度 太 弱 的 钾 钉 都 装 在 个 部 件 上，则 这 个 部 件 强 度 就 太 弱.求 发 生 一 个 部 件 强 度 太 弱 的 概 率 是 多 少？【解】设 4=发 生 一 个 部 件 强 度 太 弱 尸(田=。/。=康 13.个 袋 内 装 有 大 小 相 同 的 7 个 球，其 中 4 个 是 门 球，3 个

10、 是 黑 球，从 中 次 抽 取 3 个，计 算 至 少 有 两 个 是 白 球 的 概 率.【解】设 4=恰 有 i个 白 球 2,3)，燃 人 与 小 互 斥.了 3 次，求 二 人 进 球 数 相 等 的 概 率.【解】设 A尸 甲 进 i球,i=0,1,2,3,5=乙 进 i球=0,1,23则 3P(U 4 吗)=(03)3(0.4)3+C；0.7X(0.3)2C；0.6X(0.4)2+i=0-C；C；18尸 A,=二 一,C；35P(A,)1=色 C-35故 22P(4U A3)=P(A2)+P(4)=14.有 甲、乙 两 批 种 子，发 芽 率 分 别 为 0.8和 0.7,在 两

11、 批 种 子 中 各 随 机 取 一 粒，求：(1)两 粒 都 发 芽 的 概 率：(2)至 少 有 粒 发 芽 的 概 率；(3)恰 有 粒 发 芽 的 概 率.【解】设 4=第，批 种 子 中 的 一 粒 发 芽,(/=1.2)(1)C“0.7)2 x 0.3C；(0.6)2 o 4+(o，)3(0 6)3=0.3207617.从 5 双 不 同 的 鞋 子 中 任 取 4 只，求 这 4 只 鞋 子 中 至 少 有 两 只 鞋 了 配 成 双 的 概 率.(解 0 1=13r C：。=百 18.某 地 某 天 下 雪 的 概 率 为 0.3,下 雨 的 概 率 为 0.5,既 下 雪 又

12、 下 雨 的 概 率 为 0.1.求：(1)在 下 雨 条 件 下 下 雪 的 概 率：(2)这 天 下 雨 或 下 雪 的 概 率.【解】设 4=(下 雨,8=下 雪).(1)P(BA)=P(AB)_ 0.1P(A)-O5=0.2p(A JB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.719.已 知 一 个 家 庭 有 3个 小 孩，且 其 中 一 个 为 女 孩，求 至 少 有 一 个 男 孩 的 概 率(小 孩 为 男 为 女 是 等 可 能 的).【解】设 人=其 中 个 为 女 孩,8=至 少 有 个 男 孩,样 本 点 总 数 为 2、8,故 产(a4)=P(A

13、B)6/8 6P(A)7/8 7或 在 缩 减 样 本 空 间 中 求，此 时 样 本 点 总 数 为 7.P(B|A)=,20.已 知 5%的 男 人 和 0.25%的 女 人 是 色 盲，现 随 机 地 挑 选 一 人，此 人 恰 为 色 盲，问 此 人 是 男 人 的 概 率(假 设 男 人 和 女 人 各 占 人 数 的 一 半).【解】设 4=此 人 是 男 人,8=此 人 是 色 盲),则 由 贝 叶 斯 公 式 P(A|B)-P(A B)-P(A)P(5|A)1 P(B)P(A)P(B I A)+P(A)P(BA)0.5x0,05 20-0.5 x 0.05+0.5 x 0.00

14、25-IT2 1.两 人 约 定 上 午 9:00-10:0 0 在 公 园 会 面，求 一 人 要 等 另 一 人 半【解】设 两 人 到 达 时 刻 为 乂 居 则 0Wx,yW60.事 件”一 人 要 等 另 一 人 半 小 时 以 上”等 价 于 k-.yt30.如 图 阴 影 部 分 所 示.p_3O2_l2 2.从(0,1)中 随 机 地 取 两 个 数，求:6(1)两 个 数 之 和 小 于 一 的 概 率：51(2)两 个 数 之 积 小 于 一 的 概 率.4【解】设 两 数 为 x,y,则 0 xjyl.6(1)x+y.J44p=1-i 1 1=11=0.68,1 251

15、衍 V一.4小 时 以 上 的 概 率.1 f1 1)1 l i edx dy=-+-ln2元 J 4 22 3.设 尸(A)=0.3,P(8)=0.4,P(A 5)=0.5,求 尸(B I AU 8)解】P(45)_ P(A)-(A-尸(A U 8)-P(A)+P(B)_ P(AB)P(B A J B)=0.2x0.!0.8x0.94-0.2x0,1=0.0270237即 考 试 及 格 的 学 生 中 不 努 力 学 习 的 学 生 仅 占 2.702%(2)乖)=g=旷 尸(致 十 1 P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.7-0.5 _ 1-0.7+0.6-0.5-42

16、 4.在 一 个 盒 中 装 有 1 5个 乒 乓 球，其 中 有 9 个 新 球，在 第 一 次 比 赛 中 任 意 取 出 3 个 球，比 赛 后 放 回 原 盒 中：第 二 次 比 赛 同 样 任 意 取 出 3 个 球，求 第 二 次 取 出 的 3 个 球 均 为 新 球 的 概 率.【解】设 4尸 第 一 次 取 出 的 3 个 球 中 有 i 个 新 球,i=0,l,2 3.8=（第 二 次 取 出 的 3 球 均 为 新 球 由 全 概 率 公 式，有 3P（8）=Z P（8|4）P（A,）=00.8x0 0.8x0.14-0.2x0.94=0.307713即 考 试 不 及

17、格 的 学 生 中 努 力 学 习 的 学 生 占 30.77%.2 6.将 两 信 息 分 别 编 码 为 A 和 8 传 递 出 来，接 收 站 收 到 时，A 被 误 收 作 B 的 概 率 为 0.0 2.而 B 被 误 收 作 A 的 概 率 为 0.01.信 息 4 与 6传 递 的 频 繁 程 度 为 2：1.若 接 收 站 收 到 的 信 息 是 A,试 问 原 发 信 息 是 A 的 概 率 是 多 少？【解】设 4=原 发 信 息 是 可，则=原 发 信 息 是 8）C=收 到 信 息 是 4,则=收 到 信 息 是 8 由 贝 叶 斯 公 式，得 一 p）a A）P（C+

18、c（q A）3 zi3 1 2 z-i3 Jy _ y y/6 J.L y-o-十-十-3 3 zi3 zi3 1 5 匕 35。15 3 3 z13“2/牧 0.柄 1内 文 0.01=0.99492=0.0892 7.在 已 有 两 个 球 的 箱 子 中 再 放 一 白 球，然 后 任 意 取 出 一 球，若 发 现 2 5.按 以 往 概 率 论 考 试 结 果 分 析，努 力 学 习 的 学 生 有 90%的 可 能 考 试 及 格，不 努 力 学 习 的 学 生 有 90%的 可 能 考 试 不 及 格.据 调 查，学 生 中 有 80%的 人 是 努 力 学 习 的，试 问：（I

19、）考 试 及 格 的 学 生 有 多 大 可 能 是 不 努 力 学 习 的 人？（2）考 试 不 及 格 的 学 生 有 多 大 可 能 是 努 力 学 习 的 人？这 球 为 白 球，试 求 箱 子 中 原 有 一 白 球 的 概 率（箱 中 原 有 什 么 球 是 等 可 能 的 颜 色 只 有 黑、白 两 种）【解】设 4产 箱 中 原 有 i 个 白 球 3=0,1 2）,由 题 设 条 件 如 P（4,）1=一,i=0,l,2.又 设 8=抽 出 一 球 为 门 球.由 贝 叶 斯 公 式 知【解】设 4=被 调 查 学 生 是 努 力 学 习 的）,则 A=被 调 查 学 生 是

20、 不 努 力 学 习 的.由 题 意 知 P（4）=0.8,P（A）=0 2,又 设 8=被 调 P(A=3./网 4)P(A J(同 A,)P(AJ1=0查 学 生 考 试 及 格.由 题 意 知 P（filA）=0.9,P（B A）=0.9,故 Fh贝 叶 斯 公 式 知(衲 P0 P呻)_P(B)尸(A)尸(B|A)+P(A)尸(即)_2/3X1/3_ 173x1/3+2/3x1/3+1x1/3-32 8.某 工 厂 生 产 的 产 品 中 96%是 合 格 品，检 查 产 品 时，一 个 合 格 品 被 误 认 为 是 次 品 的 概 率 为 0.02,一 个 次 品 被 误 认 为

21、是 合 格 品 的 概 率 为 0.0 5,求 在 被 检 查 后 认 为 是 合 格 品 产 品 确 是 合 格 品 的 概 率.【解】设 A=产 品 确 为 合 格 品,8=产 品 被 认 为 是 合 格 品 由 贝 叶 斯 公 式 得P(AB)_ P(A)P(用 4)P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)证】尸(AIB)=P(A I 8)即 P(AB)_ P(AB)P(B)一/(另)0.96x0.980.96 x 0.98+0.04 x 0.05=0.9982 9.某 保 险 公 司 把 被 保 险 人 分 为 三 类：“谨 慎 的”，“一 般 的，“冒 失 的”.统 计 资

22、 料 表 明，上 述 三 种 人 在 一 年 内 发 生 事 故 的 概 率 依 次 为 亦 即 P(AB)P(B)=尸(4 历 P(6)P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)0.05,0.15和 030；如 果“谨 慎 的”被 保 险 人 占 20%,“般 的”占 因 此 50%,“冒 失 的”占 30%,现 知 某 被 保 险 人 在 一 年 内 出 了 事 故，则 他 是“谨 慎 的 的 概 率 是 多 少？P(AB)=P(A)P(B)【解】设 4=该 客 户 是“谨 慎 的”卜 B=（该 客 户 是“一 般 的 故 4 与 B 相 互 独 立.C=（该 客 户 是“冒 失

23、 的,。=该 客 户 在 一 年 内 出 了 事 故）则 由 贝 叶 斯 公 式 得 13 3.三 人 独 立 地 破 译 一 个 密 码，他 们 能 破 译 的 概 率 分 别 为 一，513P(AIO)=P(AD)P(A)P(D I A)-.求 将 此 密 码 破 译 出 的 概 率.P(D)P(A)P(D I A)+P(B)P(D B)+P，人 能 破 译（i=123），则 P(心 A,)=I-=1-P(Q P(1)P(4)/=10.2x0.050.0570.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.33 0.加 工 某 一 零 件 需 要 经 过 四 道 工 序，设 第 一、二、三、

24、四 道 工 序 的 次 品 率 分 别 为 O.O20.O3OO5Q.O3,假 定 各 道 工 序 是 相 互 独 立 的,4 2 3“=1 x x=0.65 3 43 4.甲、乙、丙 三 人 独 立 地 向 同 一 飞 机 射 击，设 击 中 的 概 率 分 别 是 求 加 工 出 来 的 零 件 的 次 品 率.0.4.0.5.0.7,若 只 有 一 人 击 中，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为 02；若 有【解】设 4=第 i道 工 序 出 次 品）（0 2 3,4）.P(UA)=I-(AAA)=1二 1-尸（4）2 4）尸（4）尸（4）=1-0.98 x 0.97 x 0.95

25、x 0.97=0.12431.设 每 次 射 击 的 命 中 率 为 0.2,问 至 少 必 须 进 行 多 少 次 独 立 射 击 才 能 使 至 少 击 中 一 次 的 概 率 不 小 于 0.9?【解】设 必 须 进 行 次 独 立 射 击.1一（0.8）”0.9即 为（0.8）n 0.1故“211至 少 必 须 进 行 11次 独 3 射 击.32.证 明：若 P（A I 8）=P（A I B）,则 A,B 相 互 独 立.两 人 击 中，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为 0.6：若 三 人 都 击 中，则 飞 机 一 定 被 击 落，求：飞 机 被 击 落 的 概 率.【解】设

26、 A=（飞 机 被 击 落）,8=恰 有 i人 击 中 飞 机）,i=O,1,2,3由 全 概 率 公 式，得 3P（A）=P（AIB,）P）/=0=（0.4X0.5X0.3+0.6X0,5X0.3+0.6X0.5X0,7）02+（0.4 X 0.5 X 03+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7）0.6+0.4 X0.5 X 0.7=0.4583 5.已 知 某 种 疾 病 患 者 的 痊 愈 率 为 2 5%,为 试 验 一 种 新 药 是 否 有 效，把 它 给 10个 病 人 服 用，H 规 定 若 10个 病 人 中 至 少 有 四 人 治 好 则 认 为

27、这 种 药 有 效，反 之 则 认 为 无 效，求：（1）虽 然 新 药 有 效，且 把 治 愈 率 提 高 到 3 5%,但 通 过 试 验 被 否 定 的 概 率.（2）新 药 完 全 无 效，但 通 过 试 验 被 认 为 有 效 的 概 率.3【解】（1）=2；0（0.35）“0.65严 一=0.5138k=010(2)必=Z Co(0.25)(0.75严*=0.2241k=436.一 架 升 降 机 开 始 时 有 6 位 乘 客，并 等 可 能 地 停 于 十 层 楼 的 每 一 层.试 求 下 列 事 件 的 概 率：（1）A=某 指 定 的 层 有 两 位 乘 客 离 开”；（

28、2）B=没 有 两 位 及 两 位 以 上 的 乘 客 在 同 一 层 离 开”：（3）C=恰 有 两 位 乘 客 在 同 一 层 离 开“：（4）。=至 少 有 两 位 乘 客 在 同 一 层 离 开”.【解】由 于 每 位 乘 客 均 可 在 10层 楼 中 的 任 层 离 开，故 所 有 可 能 结 果 为 1（?种.C94（1）P（A）=L,也 可 由 6 重 贝 努 里 模 型：106（黯 帝（2）6 个 人 在 十 层 中 任 意 六 层 离 开，故(2)p2=3!(-3)!2:-3(D!(3)p 1=5-1)!：！1.，3!(-2)!=；P 2=.3n n3 8.将 线 段 0,

29、任 意 折 成 三 折，试 求 这 三 折 线 段 能 构 成 三 角 形 的 概 率【解】设 这 二 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由 04f,0yfl,0d-x-）a-x-yx+(a-x-y)yy+(a-x-y)x构 成 的 图 形，即 0 x 2（3）由 于 没 有 规 定 在 哪 一 层 离 开，故 可 在 十 层 中 的 任 一 层 离 开，有 c；（）种 可,能 结 果，再 从 六 人 中 选 二 人 在 该 层 离 开，有 C：种 离 开 方 式.其 余 4 人 4不 能 再 有 两 人 同 时 离 开 的 情 况，因 此 可 包 含 以 下 三 种 离 开 方

30、 式：4 人 中 有 3 个 人 在 同 一 层 离 开，另 一 人 在 其 余 8 层 中 任 一 层 离 开，共 有 C；C：C；种 可 能 结 果；4人 同 时 离 开，有 C；种 可 能 结 果；4 个 人 都 不 在 同 一 层 离 开,有 P；种 可 能 结 果，故 P（C）=C o C；（C C；+C P；）/1。6（4）D=B.故 p6P（D）=1-P（B）=1一 一 日 10637.个 朋 友 随 机 地 围 绕 圆 桌 而 坐，求 下 列 事 件 的 概 率：（1）甲、乙 两 人 坐 在 一 起，且 乙 坐 在 甲 的 左 边 的 概 率：（2）甲、乙、丙 三 人 坐 在

31、起 的 概 率；（3）如 果“个 人 并 排 坐 在 长 桌 的 一 边，求 上 述 事 件 的 概 率.1【解】P i=-n-10 y 2av x+y a21如 图 阴 影 部 分 所 示，故 所 求 概 率 为 39.某 人 有 把 钥 匙，其 中 只 有 一 把 能 开 他 的 门.他 逐 个 将 它 们 去 试 开（抽 样 是 无 放 回 的）.证 明 试 开 左 次 a=i,2,/）才 能 把 门 打 开 的 概 率 与 b 无 关.p l 1【证】。=亮 二 一,女=1,2,P：40.把 一 个 表 面 涂 有 颜 色 的 立 方 体 等 分 为 一 下 个 小 立 方 体，在 这

32、 阻 小 立 方 体 中，随 机 地 取 出 一 个，试 求 它 有 i面 涂 有 颜 色 的 概 率 产（A）6=01,2,3）.【解】设 4=（小 立 方 体 有 i而 涂 有 颜 色）,r=O,l,2,3.在 1千 个 小 立 方 体 中，只 有 位 于 原 立 方 体 的 角 上 的 小 立 方 体 是 三 面 有 色 的，这 样 的 小 立 方 体 共 有 8 个.只 有 位 于 原 立 方 体 的 楂 上（除 去 八 个 角 外）的 小 立 方 体 是 两 面 涂 色 的，这 样 的 小 立 方 体 共 有 12X8=96个.同 理，原 立 方 体 的 六 个 面 上（除 去 棱）

33、的 小 立 方 体 是 一 面 涂 色 的，共 有 8X8X6=384个.其 余 1（X）0-（8+96+384）=512个 内 部 的 小 立 方 体 是 无 色 的，故 所 求 概 率 为 尸（4）=P（A2）=512WOO96WOO0.512,P(AJ0.096,P(A4)=0.384.1000Q=0.008.100041.对 任 意 的 随 机 事:件 A,B,C,试 证 P(AB)+P(AC)-P(BC)WP(A).(证 P(A)PA(B U C)=P(AB U AC)=P(43)+P(4C)P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)42.将 3个 球 随 机 地 放 入 4 个

34、 杯 子 中 去，求 杯 中 球 的 最 大 个 数 分 别 为 1,2,3 的 概 率.【解】设 4=杯 中 球 的 最 大 个 数 为 n i.2,3.将 3 个 球 随 机 放 入 4 个 杯 子 中，全 部 可 能 放 法 有 4种，杯 中 球 的 最 大 个 数 为 I 时，每 个 杯 中 最 多 放 一 球，故 玖 4)C：3!3-4=8而 杯 中 球 的 最 大 个 数 为 3,即 三 个 球 全 放 入 一 个 杯 中，故 P(4)=*C1 116因 3 1P(A0)=l-P(Al)-P(A.)=l-o lo或 此 916P(A)=91643.将 一 枚 均 匀 硬 币 掷 2

35、 次，求 出 现 正 面 次 数 多 于 反 面 次 数 的 概 率.【解】掷 2 次 硬 币，可 能 出 现：4=正 面 次 数 多 于 反 面 次 数,8=正 面 次 数 少 于 反 而 次 数,C=正 而 次 数 等 于 反 面 次 数.4 B,C两 两 互 斥.可 用 对 称 性 来 解 决.由 于 硬 币 是 均 匀 的，故 P(4)=P(5).所 以 由 I n 重 贝 努 里 试 验 中 正 面 出 现 次 的 概 率 为 p=44.掷 次 均 匀 硬 币，求 出 现 正 面 次 数 多 于 反 面 次 数 的 概 率.【解】设 4=出 现 正 而 次 数 多 于 反 面 次 数

36、,8=出 现 反 面 次 数 多 于 正 面 次 数),由 对 称 性 知 尸(A)=P(8)(1)当 为 奇 数 时，正、反 面 次 数 不 会 相 等.由 P(A)+P(5)=1 得 尸(A)=P(3)=0.5(2)当 为 偶 数 时，由 上 题 知 1 巳 1p(A)=-i-c(-rj45.设 甲 掷 均 匀 硬 币+1次，乙 掷“次，求 甲 掷 出 正 面 次 数 多 于 乙 掷 出 正 面 次 数 的 概 率.【解】令 甲 小 甲 掷 出 的 正 面 次 数，甲 片 甲 掷 出 的 反 面 次 数.乙 片 乙 掷 出 的 正 面 次 数，乙 反=乙 掷 出 的 反 面 次 数.显 然

37、 有(甲 命)=(甲#W 乙 正)=(+1-甲 反-乙 反)=(甲 反 2 1+乙 反)=(甲 Q 乙 反)由 对 称 性 知 P(甲 Q 乙 Q=P(甲 心 乙 反)1因 此 P(甲 乙 正)二 一 246.证 明“确 定 的 原 则”(Sure-thing)：若 P(AIC)2P(BIC),P(川 C)2 P(B lC),则 P(A)2 P.【证】由 P(AIC)2 P(B,得 P(AC)P(BC)P(C)-P(C)即 有 P(AC)P(BC)同 理 由 P(AIC)P(BIC),得 P(AC)P(BC),故 P(A)=尸(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)47.一 列 火

38、 车 共 有 节 车 厢，有 个 旅 客 上 火 车 并 随 意 地 选 择 车 厢.求 每 一 节 车 厢 内 至 少 有 一 个 旅 客 的 概 率.【解】设 4产 第 i 节 车 厢 是 空 的),行=1,则 故 p(A)=|i-q尸(4)=()*n nP(A,.A.)=(1-1)Xp(4 d)=(i _-其 中 八 上,i”-i是 1，2,，中 的 任 打-1个.显 然 节 车 厢 全 空 的 概 率 是 零，于 是 S1=P(4)=()Y(1-与 片 几 几$2=Z1夕 向 7 7 1s,i=z P(4M 4,)W：T(I yl/j/2-4n,I0.试 证 明：不 论 0如 何 小，

39、只 要 不 断 地 独 立 地 重 复 做 此 试 验，则 A 迟 早 会 出 现 的 概 率 为 1.【证】在 前 次 试 验 中，A 至 少 出 现 一 次 的 概 率 为 1-（1-）”-1（00）49.袋 中 装 有 用 只 正 品 硬 币，只 次 品 硬 币（次 品 硬 币 的 两 面 均 印 有 国 徽）.在 袋 中 任 取 只，将 它 投 掷 r次，已 知 每 次 都 得 到 国 徽.试 问,m，一、n由 题 知 P(B)=-,P(B)=-m+n 1 P 6)=彳，尸 6)=1则 由 贝 叶 斯 公 式 知 P(B I A)=色 2=P(B)P(A1B)P(A)P(B)P(AB)

40、+P(B)P(AB)m 1_ 加+2 _ mm 1,n m+2rnm+n 2 m+n50.巴 拿 赫（Banach）火 柴 盒 问 题：某 数 学 家 有 甲、乙 两 盒 火 柴，每 盒 有 N 根 火 柴，每 次 用 火 柴 时 他 在 两 盒 中 任 取 盒 并 从 中 任 取 根.试 求 他 首 次 发 现 一 盒 空 时 另 一 盒 恰 有 r根 的 概 率 是 多 少？第 一 次 用 完 一 盒 火 柴 时（不 是 发 现 空）而 另 一 盒 恰 有 根 的 概 率 又 有 多 少？【解】以 S、a 记 火 柴 取 自 不 同 两 盒 的 事 件，则 有=P（B2）=g.（i）发 现

41、 一 盒 已 空，另 一 盒 恰 剩 根，说 明 已 取 了 2n-r次,设“次 取 自 名 盒（已 空），-r 次 取 自 B2盒，第 2-r+l次 拿 起 B,，发 现 已 空。把 取 2n-r次 火 柴 视 作 2n-r重 贝 努 里 试 验,则 所 求 概 率 为 P=2.吗）1 尹 C L/式 中 2 反 映 S 与&盒 的 对 称 性（即 也 可 以 是 历 盒 先 取 空）.（2）前 2-1次 取 火 柴,有-1次 取 自 一 盒，g 次 取 自 历 盒，第 2-一 次 取 自 小 盒，故 概 率 为 51.求 重 贝 努 里 试 验 中 A 出 现 奇 数 次 的 概 率.【解

42、】设 在 一 次 试 验 中 A 出 现 的 概 率 为 p.则 由（4+P）”=C：p W+C；pd+C2 广 2+c：p Z。=1（q-P）n=C%W+C；pqz+*产 _+（T）C：p 以 上 两 式 相 减 得 所 求 概 率 为 这 只 硬 币 是 正 品 的 概 率 是 多 少？【解】设 八=投 掷 硬 币/次 都 得 到 国 徽 8=这 只 硬 币 为 正 品 P|=C；pq5+C：p30T+=g”(q-p)=1n-(i-2p)n故 尸(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)故 P(A)=P(B)若 要 求 在 n 重 贝 努 里 试 验 中 A 出 现 偶 数 次 的 概 率，

43、则 只 要 招 两 式 相 加，即 得，2=；U+(1-2p).52.设 A,B 是 任 意 两 个 随 机 事 件，求 P(A+3)(A+B)(A+B)(A+8)的 值.【解】因 为(A U 8)n(A UB)=AB A B(A U 8)n(AU B A B U A B所 求(A+8)(A+8)(A+8)(A+8)(ABUAB)n(AB+B)=0故 所 求 值 为 0.53.设 两 两 相 互 独 立 的:事 件，A,B 和 C满 足 条 件:ABC=6,P(A)=P(B)=P(C)1/2,J3.P(A U B U C)=9/16,求 P(A).解 由 由 4 8 的 独 立 性，及、式 有

44、=1 P(A)P(B)+P(A)P(8)=1-2P(A)+P(A)2=fl-P(A)2故 1 P(A)=；2 4故 2(4)=或 尸(4)=一(舍 去)2即 P(A)=.355.随 机 地 向 半 圆 Ovyv y j 2 a X-X2(a 为 正 常 数)内 掷 点，点 落 在 半 圆 内 任 何 区 域 的 概 率 与 区 域 的 面 积 成 正 比，则 原 点 和 该 点 的 连 线 与 x 轴 的 夹 角 小 于 兀/4的 概 率 为 多 少？1【解】利 用 几 何 概 率 来 求，图 中 半 圆 面 积 为 一 n片.阴 影 部 分 面 积 为 2711 2 2-4-CI4 2故 所

45、 求 概 率 为 产(A U 8 U C)=P(A)+P(B)+尸(C)-P(A8)-P(AC)-P(BC)+P(A+-a2P=-=3P(A)3P(A)2=当 lo1 2 Tia21 1 I 2兀 5 6.设 10件 产 品 中 有 4 件 不 合 格 品，从 中 任 取 两 件，已 知 所 取 两 件 故 P(A)=一 或 一，按 题 设 P(.A)一，故 P(A)=一 4 4 2 4产 品 中 有 件 是 不 合 格 品，求 另 件 也 是 不 合 格 品 的 概 率.【解】设 4=两 件 中 至 少 有 件 是 不 合 格 品,8=另 件 也 是 不 合 54.设 两 个 相 互 独 立

46、 的 事 件 A 和 B 都 不 发 生 的 概 率 为 1/9,A 发 生 B 不 格 品 发 生 的 概 率 与 B 发 生 A 不 发 生 的 概 率 相 等，求 P(A).(解 P(而)=P(AU8)=1-P(AU8)=9P(A B)=P(A B)C；P(BIA)=-V=-P(A),C(5c：。57.设 有 来 自 三 个 地 区 的 各 10名、15名 和 2 5名 考 生 的 报 名 表,其 中 女 生 的 报 名 表 分 别 为 3份、7 份 和 5份.随 机 地 取 一 个 地 区 的 报 名 表，从 中 先 后 抽 出 两 份.（1）求 先 抽 到 的 一 份 是 女 生 表

47、 的 概 率 p;（2）已 知 后 抽 到 的 一 份 是 男 生 表，求 先 抽 到 的 一 份 是 女 生 表 的 概 率 q.【解】设 4=报 名 表 是 取 自 第 i 区 的 考 生，i=L 2 3B产 第 j次 取 出 的 是 女 生 表）,六 1 2则 P（4）=；,i=1,2,33 7 5股=而 尸 区 I A）=-,P（B1IA3）=-（1）3 1 3 7 5 29p=P（B1）=y p（B|A,.）=-（+）=tr 1,3 10 15 25 90习 题 二 I.一 袋 中 有 5 只 乒 乓 球，编 号 为 1,2,3,4,5,在 其 中 同 时 取 3只，以 X 表 示

48、取 出 的 3只 球 中 的 最 大 号 码，写 出 随 机 变 量 X 的 分 布 律.【解】X=3,4,5136so.s-1一c3一Cclc(2)q-PB B2)=P（用 吊 2）尸（当）故 所 求 分 布 律 为 X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设 在 15只 同 类 型 零 件 中 有 2 只 为 次 品，在 其 中 取 3 次，每 次 任 取 1只，作 不 放 回 抽 样，以 X 表 示 取 出 的 次 品 个 数，求：（1）X 的 分 布 律：（2）X 的 分 布 函 数 并 作 图；（3）1 3 3PX-,P l X-,P l X-,P l X 0,P(AIB)=l,

49、试 比 较 尸(4U B)与 P(A)的 大 小.（2006研 考）解 因 为 P(A UB)=P(A)+P(B)-P(A UP(AB)=P(B)P(AB)=P(B)所 以【解】X=0,1,2故 X 的 分 布 律 为 P(x=o)=*C3=丝 22C：5 35CC2 12P(X=1)=1 1，.O1 35P(X=2)=C1 J.1C：5 35X 0 1 2p 223512 135 35(2)当 xvO 时,F(x)=P(XWx)=0产(A U 8)=P(A)+P(B)一 P(B)=尸(A).22当 OWxl 时，F(x)=P(XW x)=P(X=O)=3534当 lWx2)=P(X=2)+P

50、(X=3)=0.8964.(1)设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 故 X 的 分 布 函 数 当 x 3 2 时，F(x)=P(XW x)=10,x 0220 x lF(x)=,355341 x 2(3)小 月 二 核 啜,p(ix|)(|)-F(l)=-=035 353 3 12P(1X)=P(X=1)+P(1%-)=34P(1 X 0 为 常 数，试 确 定 常 数 a.(2)设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 PX=k=t/N,k=1,2,，N,试 确 定 常 数 a.【解】(1)由 分 布 律 的 性 质 知 0 0 8：k1=Z P(X=攵)=。=。/k=0 k=0