《复变函数与积分变换》期末考试试卷a及答案1.pdf

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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）一.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1y 的 幅 角 是（)；2.LH(-1+Z)的 主 值 是）；3.，=占，/(0)=();z-sin z4.z=0 是-4 的(R e s,oo=();）极 点；5.二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1.解 析 函 数/（2）=（了,）+/（乂/）的 导 函 数 为（）;(A)f(z)=ux+iuy.(B)f(z)=ux-i uy.(C)/Z(z)=Ux+i vy.(D)fz.)=uy+ivx.2.C 是 正 向 圆 周|z|=3,如 果 函 数/(z)=(),则 j

2、/(z)dz=o.(A)3z-23(z 1)z-2(C)3(z-1)(z-2)2(D)3(z-2尸 003.如 果 级 数 E%z”在 z=2 点 收 敛，则 级 数 在 n=l（A）z=-2 点 条 件 收 敛；（B）z=2 i 点 绝 对 收 敛；（O Z=l+i点 绝 对 收 敛；（D）Z=l+2i点 一 定 发 散.4.下 列 结 论 正 确 的 是（）（A）如 果 函 数/（Z）在 Zo点 可 导,则/（Z）在 Zo点 一 定 解 析;(B)如 果/(z)在 C所 围 成 的 区 域 内 解 析，则 4/(z)dz=。(C)如 果&/(Z)dz=O,则 函 数/(z)在 C所 围 成

3、 的 区 域 内 一 定 解 析；(D)函 数/)=N(北 丁)+山(羽,)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是”(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)8 为 sin的 可 去 奇 点；co为 sin z的 本 性 奇 点；z(C)8 为 一 1T的 孤 立 奇 点；00为 的 孤 立 奇 点.sin-sin zz得 分 I-H 三，按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 10分，共 计 4 0分)(1)设/(z)=%2+axy+by2+icx+dxy+y?)是 解 析 函 数，求 a,b

4、,C,d.(2).计 算 z(z dz其 中 C是 正 向 圆 周：|z|=2；(3)z15计 算 1=3(1+7 2(2+/)y d z乙、ZQ 2-1)(Z+2)3(Z-3)2(4)函 数/(z)=-n-在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇(sin 改)点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.得 分 四、(本 题 14分)将 函 数 z)=/一 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数;-z(Z-1)(1)0|z-l|l,(2)0|z|l,(3)l|z|oo得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问

5、题 y(%)-5y(x)+4y(x)=y(0)=y(0)=1六、（本 题 6 分）求/（）=e 一 如（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:,器 加 犷 复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题（A）答 案 及 评 分 标 准 一.填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1.上 点 的 幅 角 是（2+2丘 4=0,1,2）；2.L 及（T+i）的 主 值 是 2 3 3；i(不 ln2+彳，*3./(z)=2，-)(0)=(0),4.z=0 是 2 4 1+Zz-sin z 14 的(一 级)极 点；5./(z)=一,Res(z),oo=(T)；Z z二.选

6、 择 题(每 题 3 分，共 1 5分)1-5 B D C B D三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 1 0分，共 4 0分)(1).设/(z)=/+axy+外+i(c%2+dxy+2)是 解 析 函 数，求 a,b,c,d.解：因 为/(Z)解 析，由 C-R条 件 du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-2 cx-dy,a=2,d=2,a=-2c,2。=d,c=-1,/?=1,给 出 C-R 条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，结 果 正 确 2 分。（2）.计 算 dz其 中 C 是 正 向 圆 周:口 一 1人

7、 解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数 计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程 因 为 函 数/（Z）=在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 Z 尸。2=1,分 别 以 力 逐 2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 Cl,C2且 位 于 C 内=2m（y+2 7 d e=2mz,（z l）2 z=l/z=O无 论 采 用 那 种 方 法 给 出 公 式 至 少 给 一 半 分，其 他 酌 情 给 分。(3).15H(1+Z2)2(2+Z4)3dz解：设/(z)

8、在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：目 3内，由 留 数 定 理 15汇 3 k 而 再 出 二 一 2.艮 回(5分)=27Re5/()-(8 分)z z(I)1 5z z(l+-L)2(2+(-)4)3 zz z片 4 z(l+?)2i(2z4+l)3有 唯 一 的 孤 立 奇 点 z=0,Resg)go=lim 抬)3=lim 限 开:斤 上 市=iZ Z Z T O Z Z go(1+Z)(2z+1)q,-、-rrdz=2初-(io 分)加 3(I+Z2)2(2+Z，3 7R(4)函 数/(z)=(zl)(z：2)Q 一 3 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类

9、型 的 奇(sin 改)点？，如 果 有 极 点，请 指 出 它 的 级.解：z)=(.T)(Z+2)：(Z-3)2 的 奇 点 为 z=k,k=0,1,2,3,，8(sinz)(1)z=V,无=0,1,2,3,为(s i n=0的 三 级 零 点，(2)z=0,z=l,为/(z)的 二 级 极 点，z=2是/(z)的 可 去 奇 点，(3)z=3为/(z)的 一 级 极 点，(4)2，-3,4，为/(Z)的 三 级 极 点；(5)8 为/(Z)的 非 孤 立 奇 点。备 注：给 出 全 部 奇 点 给 5 分，其 他 酌 情 给 分。四、(本 题 14分)将 函 数/(=在 以 下 区 域

10、内 展 开 成 罗 朗 级 数；z(Z-1)(1)0|z-1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|00解：（1）当 0 上 一 11f 二 _ IT rr=-7 7:-77z(z-1)(z-1)(z-1+1)1 f f i f t-r=E(-i r u-i r r(z-1+1)Zo00=Z(-D(z T 尸 n=000/(z)=Z(T 严(I L6 分=0(2)当 0忖 1/(z)=z(z-1)00=士 V1 d_2n=0(3)当 1 忖 81 1 810分 f(z)=z2(Z 1)/(z)=1 d8)1=ZZ H=O Z 100/i=0 n=0 Z+314分 z1每 步 可 以 酌 情 给

11、分。五.（本 题 1 0分）用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题:y(x)-5y(x)+4y(x)=exy(0)=1=y(0)=1解：对 y(x)的 Laplace变 换 记 做 L(s),依 据 Laplace变 换 性 质 有 S2L(S)-5-1-5(.y(.v)-1)+4L(.v)=1(5 分)5+1整 理 得1 1L(s)=-4-(5 4-1)(5-1)(5-4)5-11二+10(5+1)6(5-1)15(5-4)5-11 5 1-+-+-（7 分）10(5+1)6(5-1)15(5-4)y(x)=-1-1，+9 e，+e4x10 6 15六、(6分)

12、求/(，)=e 一 削(1 0)的 傅 立 叶 变 换,谓 取=犷（10分）并 由 此 证 明:解：尸（q）=匚 e”制 市（夕 0）3 分 尸（。）=山+.e e d t(0 0)=ep-i(o)tdt+e-(fi+im)tdt(小 0)e(-ia)tP-i(o+0 0尸（。）=P+ia)00(夕 0)2Bp-ia)3+ico 俨+苏(/0)014 分 8 0)-5 分 金 匚*晨 加 8。）1兀(coscot+isinait)dci)(尸 0)coscot.i 产 力 s in,于-+-d a)+匕 J夕-+-苏-T do(W0)器 迹 如。）6 分理 缪 土 二 则复 变 函 数 与 积

13、 分 变 换 期 末 试 题(B)一.填 空 题(每 小 题 3 分，共 计 15分)1.匕 的 幅 角 是()；2.L(一+i)的 主 值 是 2()；3.=(),/(Z)=x2+2xy-y2+i(ax2+2xy+y2)在 复 平 面 内 处 处 解 IO是 z一-si3 一 n z的()极 点；5./(z)=一 i,Z ZR e5/(z),oo=()；二.选 择 题(每 小 题 3 分，共 计 15分)1.解 析 函 数/(z)=(,y)+zv(x,y)的 导 函 数 为()；(A)fXz)=uy+ivxi(B)f(z)=ux-iuy.(C)f(z)=ux+ivy.(D)/()=%+%.2

14、.C 是 正 向 圆 周|z|=2,如 果 函 数 z)=(),则，/(z)dz=O.(A)-3=-；(B)3与?；(C)3?；(D)3z-1 z-l3.如 果 级 数 在 z=2i点 收 敛，n=l(A)z=-2点 条 件 收 敛；(C)z=l+i点 绝 对 收 敛；4.下 列 结 论 正 确 的 是()(z-1)(z-l)则 级 数 在(B)z=-2i点 绝 对 收 敛;(D)z=l+2i点 一 定 发 散.(A)如 果 函 数/(Z)在 Zo点 可 导，则/(Z)在 Zo点 一 定 解 析;(B)如 果，/(z)废=0,其 中 C 复 平 面 内 正 向 封 闭 曲 线，则/(z)在 C

15、 所 围 成 的 区 域 内 一 定 解 析；(C)函 数 z)在 Z。点 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 该 点 的 邻 域 内 一 定 可 以 展 开 成 为 z-Zo的 幕 级 数，而 且 展 开 式 是 唯 一 的；(D)函 数/(z)=(x,y)+iv(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是 M(x,y)、v(x,y)在 该 区 域 内 均 为 调 和 函 数.5.下 列 结 论 不 正 确 的 是().(A)、Inz是 复 平 面 上 的 多 值 函 数；(B)、COSZ是 无 界 函 数；(C)、sinz是 复 平 面 上 的 有 界 函

16、数；(D)、/是 周 期 函 数.得 分 I M 三.按 要 求 完 成 下 列 各 题(每 小 题 8 分，共 计 50分)(1)设 f(N)=(x,y)+i(x2+g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0,求 g(y),u(x,y),f(z).(2).计 算 2 八/.、上 仁+I)(z7)y d z.其 中 C 是 正 向 圆 周 忖=2；（3）,计 算(1 Z)d z,其 中 c 是 正 向 圆 周|z|=2；（4）.利 用 留 数 计 算 口 _ _2）2 d Z-其 中 C 是 正 向 圆 周 忖=3；，/、Z(Z2-1)(Z+2)3(5)函 数/(幻=-一 寻 一 在 扩 充

17、复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇 点？，如 果(sinz)有 极 点，请 指 出 它 的 级.得 分 四、(本 题 12分)将 函 数/(z)=F _ _ n 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级 z(Z-1)(1)o|z-l|l,(2)0|z|1,(3)1|z|00得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题-1 f/(x)-5 y(x)+4 y(x)=y(0)=y(0)=1六、（本 题 8分）求=（夕 0）的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:得 分 复 变 函 数 与 积 分 变 换 期 末 试 题 简 答

18、及 评 分 标 准（B）J-1 填 空 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）1.匕 的 幅 角 是（一 至+2履,k=0l,2,）；2.L（一 1一，）的 2 4主 值 是（gln2-吁）；3./（=+/，/（。）=（0）；4./（）=-,R e s（z）,O=（o）；5./=3,z、zRe5/（z）,oo=（o）；得 分 二.选 择 题（每 小 题 3 分，共 计 15分）得 分 1-5 A A C C C三.按 要 求 完 成 下 列 各 题（每 小 题 10分，共 计 40分）(1)求 a,b,c,d使/仁)=%2+。孙+勿 2+j(c%2+d孙+/)是 解 析 函 数,解：因 为/

19、(z)解 析，由 c-R条 件 du _ dv du _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-2cx-dy,Q=2,d=2,a=-2c2b=d,c=1,/?=1,给 出 C-R条 件 6 分，正 确 求 导 给 2 分，结 果 正 确 2 分。(2)-i z(z-i)2 d z其 中 C 是 正 向 圆 周 忖=2；解：本 题 可 以 用 柯 西 公 式 柯 西 高 阶 导 数 公 式 计 算 也 可 用 留 数 计 算 洛 朗 展 开 计 算,仅 给 出 用 前 者 计 算 过 程 因 为 函 数/=在 复 平 面 内 只 有 两 个 奇 点 Z尸 0 2=1，

20、分 别 以 Z,Z2(z-l)z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 臼 勺 且 位 于 C 内 1I dz=2 m d yz,二 出+i z;、rdz二 2(Z 1)+2m 二 U-D2=0z=0(3).计 算,一 7匕(l-z)d z,其 中 C 是 正 向 圆 周 用=2；1解：设/(z)在 有 限 复 平 面 内 所 有 奇 点 均 在：目 2 内，由 留 数 定 理 j,/(z)dz=-2力 Res/(z),8=2而 c_1-(5 分)1|2|00 24 一)一 z ez _ z ezz-z2(l+Z2!?于+)(1+!+4+3+)Z Z Z1 1十 一 1 1

21、 1-(?+Z H-1-1-2!3!z 4!z、“1 1 1、7,0(1+-r+f1)z z Z,c-(1+1+1+1 一 号 t 2!3!3r8 dz=-2 力，/、(z2-l)(z+2)3(4)函 数/(z)=-一 一 在 扩 充 复 平 面 上 有 什 么 类 型 的 奇 点？，如 果 有(sinz)极 点，请 指 出 它 的 级./(z)的 奇 点 为 z=%,%=0,1,2,3,，ooz k,k 0,l,2,3,为(sinz)3=0的 三 级 零 点,朗 级 数;z=1,为/的 二 级 极 点，z=-2是/的 可 去 奇 点，z=0,2,-3,4，为 f(z)的 三 级 极 点;00

22、为/(N)的 非 孤 立 奇 点。给 出 全 部 奇 点 给 5 分。其 他 酌 情 给 分。四、(本 题 14分)将 函 数/(Z)=7 7 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 z(Z+1)(1)0|z+l|l,(2)o|z|1,(3)l|z|oo(1)0|+1|1,(2)0|1,(3)1|oo解：(1)当 0|z+l|(z+i)T00/(Z)=Z(Z+1)7-6 分 72=0(2)当 0忖 113 Z(T)ZZ=o00=Z(-1 L 10 分/?=0(3)当 1 忖 8/、1 1j(Z)=Z(Z+D,3(1+1)Zi 1 3 1 z)=Z(S=Z(T)三 Z n=0 Z=0 Z14分 得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变 换 求 解 常 微 分 方 程 定 解 问 题 i的 傅 立 叶 变 换，并 由 此 证 明:6 3%花 猿;解：F=r e-iMf(t)d tU-00F C D)=e-oxdt2 分-icot ico C c：一 八 e.e-e 2 sin 6 9-=i-=-ico,co co-14分171-8-1 1 ei(0t-s-in-c-o-dc,oT V%C O5分 71gsin。-(cos co t+ismca)da)c o2 产 sin0cosm,i 产 sinosinm,I-dco-dco7 1 C D 兀 二 C D-6 分 得 分