高考数学(真题+模拟新题分类汇编)立体几何文.pdf
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1、立 体 几 何 G 1 空 间 几 何 体 的 结 构 8.Gl,G612013 北 京 卷 如 图 1-2,在 正 方 体 ABCDA B C D 中,P 为 对 角 线 B 5 的 三 等 分 点,P 到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有()A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 8.B 解 析 设 棱 长 为 1,;.BP=卓,D F=K 兴.联 结 AD,BD,CD(,得 0 0 ABD W ZXCBDQ BBDi,、与 ZABDi=NCBDi=ZB.BDi,且 cos NABM=看,联 结 AP,PC,PBi,则 有 AABP丝 ZXCBP丝 BiBP,.AP=
2、CP=BF=个,同 理 DP=AF=GP=1,A P 到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有 4 个.18.Gl,G4,G5 2013 广 东 卷 如 图 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中,D,E分 别 是 AB,AC上 的 点,F 是 BC的 中 点,AF与 DE交 于 点 G,将 AABF沿 AF折 起,得 到 如 图 1(1)证 明:DE 平 面 BCF;(2)证 明:CFJ_平 面 ABF;2 当 人 口=不 时,求 三 棱 锥 F-DEG的 体 积.18.解:G 2 空 间 几 何 体 的 三 视 图 和 直 观 图 10.G2,G712013 北 京
3、 卷 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 1 3 所 示,该 四 棱 锥 的 体 积 为 图 1一 310.3 解 析 正 视 图 的 长 为 3,侧 视 图 的 长 为 3,因 此,该 四 棱 锥 底 面 是 边 长 为 3 的 正 方 形,且 高 为 1,因 此 V=;X(3X3)Xl=3.18.G2,G42013 福 建 卷 如 图 1-3,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,PD_L平 面 ABCD,AB/7DC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,NPAD=60.(1)当 正 视 方 向 与 向 量 前 的 方 向 相 同 时,画 出 四 棱 锥 P-ABCD的 正 视 图(要
4、 求 标 出 尺 寸,并 写 出 演 算 过 程);(2)若 M 为 PA的 中 点,求 证:DM 平 面 PBC;(3)求 三 棱 锥 D-PBC的 体 积.18.解:(1)在 梯 形 ABCD中,过 点 C 作 CE_LAB,垂 足 为 E.由 已 知 得,四 边 形 ADCE为 矩 形,AE=CD=3,在 RtBEC中,由 BC=5,CE=4,依 勾 股 定 理 得 BE=3,从 而 AB=6.又 由 PDJ_平 面 ABCD得,PD1AD.从 而 在 RtaPDA 中,由 AD=4,NPAD=60,得 PD=4正 视 图 如 图 所 示.(2)方 法 一:取 PB中 点 N,联 结 M
5、N,CN.在 APAB中,是 PA中 点,;.MN AB,MN=%B又 CD AB,C D=3,,MN CD,MN=CD,四 边 形 MNCD为 平 行 四 边 形,DM CN.又 DM 平 面 PBC,CN 平 面 PBC,.DM 平 面 PBC.方 法 二:取 AB的 中 点 E,联 结 ME,DE.在 梯 形 ABCD 中,BE CD,且 BE=CD,四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形,DE BC.又 DE 平 面 PBC,BC 平 面 PBC,.DE 平 面 PBC.又 在 4PAB 中,ME/7PB,ME 平 面 PBC,PB 平 面 P B C,平 面 PBC.又 D E
6、A M E=E,平 面 DME 平 面 PBC.又 DM 平 面 DME,;.DM 平 面 PBC.(3)VD-PBC=VP-DBC=TSADBC PD,又 S&)BC=6,PD=4 4,所 以 VI)_PBC=8 5.6.G2 2013 广 东 卷 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 1 2所 示,则 该 三 棱 锥 的 体 积 是()H-J-M*-1-*3,故 输 出 s=4,选 C.7.G2E2013 湖 南 卷 已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1,其 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形,侧 视 图 是 一 个 面 积 为 m 的 矩 形,则 该 正 方 体 的
7、 正 视 图 的 面 积 等 于()A.坐 B.1C.誓 工 D.啦 7.D 解 析 由 题 可 知,其 俯 视 图 恰 好 是 正 方 形,而 侧 视 图 和 正 视 图 则 应 该 都 是 正 方 体 的 对 角 面,故 面 积 为 选 D.8.G212013 江 西 卷 一 几 何 体 的 三 视 图 如 图 12所 示,则 该 几 何 体 的 体 积 为()F-6 今 正(主)视 图 川 忖 1*侧(左)视 图 俯 视 图 图 1一 2A.200+9 冗 B.200+18 nC.140+9 n D.140+18n8.A 解 析 该 几 何 体 上 面 是 半 圆 柱,下 面 是 长 方
8、 体,半 圆 柱 体 积 为:口 302=911,长 方 体 体 积 为 10X5X4=200.故 选 A.13.G2E2013 辽 宁 卷 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 13所 示,则 该 几 何 体 的 体 积 是.13.16JI-16 解 析 由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 一 个 圆 柱 里 面 挖 去 了 一 个 长 方 体,所 以 该 几 何 体 的 体 积 为 V=4 J t X 4-16=16 n 16.9.G2E2013 新 课 标 全 国 卷 H 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 0-xyz中 的 坐 标 分 别 是(1,
9、0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正 视 图 时,以 zOx平 面 为 投 影 面,则 得 到 的 正 视 图 可 以 为()9.A 解 析 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz中 画 出 三 棱 锥,由 已 知 可 知 三 棱 锥 O-ABC为 题 中 所 描 叙 的 四 面 体,而 其 在 zOx平 面 上 的 投 影 为 正 方 形 EBDO,故 选 A.图 144.G2E2013-山 东 卷 一 个 四 棱 锥 的 侧 棱 长 都 相 等,底 面 是 正 方 形,其 正(主)视 图 如 图 1一 1所 示,则 该 四
10、 棱 锥 侧 面 积 和 体 积 分 别 是()22图 I TA.4 乖,8 B.4 季,?o8C.4(邓+1),-D.8,84.B 解 析 由 正 视 图 知 该 几 何 体 的 高 为 2,底 面 边 长 为 2,斜 高 为 1 2 2+1=4,.侧 1 8面 积=4 X$X 2 X m=4 m,体 积 为 鼻 X 2 X 2 X 2=不 乙 O 012.G212013 陕 西 卷 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1 2所 示,则 其 套 面 积 为.主 视 图 左 视 图 俯 视 图 图 1一 212.3 m 解 析 由 三 视 图 得 该 几 何 体 为 半 径 为 1 的 半
11、 个 球,则 表 面 积 为 半 球 面+底 面 圆,代 入 数 据 计 算 为 S=|x4n Xl2+JI X=3 n.11.G2 2013 新 课 标 全 国 卷 I 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1 3所 示,则 该 几 何 体 的 体 积 为()图 1一 3A.16+8 页 B.8+8 nC.16+16 J t D.8+1 6 J T11.A 解 析 该 空 间 几 何 体 的 下 半 部 分 是 一 个 底 面 半 径 为 2,母 线 长 为 4 的 半 圆 柱,上 半 部 分 是 一 个 底 面 边 长 为 2、高 为 4 的 正 四 棱 柱.这 个 空 间 几 何 体
12、的 体 积 是 n X4X4+2X2X4=16+8n.5.G2 2013 浙 江 卷 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图(单 位:cm)如 图 1-1 所 示,则 该 几 何 体 的 体 积 是()图 5.B 解 析 此 直 观 图 是 由 一 个 长 方 体 挖 去 一 个 三 棱 锥 而 得,如 图 所 示 其 体 积 为 3X6X6-|x|x 3X4X4=108-8=100(cm3).所 以 选 择 B.19.G2和 G512013 重 庆 卷 如 图 14所 示,四 棱 锥 PABCD中,PA,底 面 ABCD,PA=2 小,BC=CD=2,NACB=NACD=rpo(1)求 证:
13、BD_L平 面 PAC;(2)若 侧 棱 PC上 的 点 E满 足 PF=7FC,求 三 棱 锥 P-BDE的 体 积.p图 1419.解:(1)证 明:因 为 BC=CD,即 aBCD为 等 腰 三 角 形,又 NACB=NACD,故 BDLAC.因 为 PAJ_底 面 ABCD,所 以 PA_LBD,从 而 BD与 平 面 PAC内 两 条 相 交 直 线 PA,AC都 垂 直,所 以 BDJ_平 面 PAC.(2)三 棱 锥 P-BCD 的 底 面 BCD 的 面 积 SABCD=BC CD sinZBCD=1 2 2 sin*=4.由 PAJ_底 面 ABCD,得 Vp-BCD=1 S
14、ABCD PA=-X3X2 班=2.o o由 PF=7FC,得 三 棱 锥 F-BCD的 高 为 PA,故/一 毗 6包$PA=;X小 x1x2小=;,o o o o o 41 7所 以 Vp-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-7=78.G2和 G7 2013 重 庆 卷 某 儿 何 体 的 三 视 图 如 图 13 所 示,则 该 几 何 体 的 表 面 积 为)A.180 B.200 C.220 D.2408.D 解 析 该 几 何 体 为 直 四 棱 柱,其 高 为 10,底 面 是 上 底 为 2,下 底 为 8,高 为 4,其 腰 为 5 的 等 腰 梯 形,所 以 底 面 面
15、 积 和 为 T(2+8)X4X2=40.四 个 侧 面 的 面 积 和 为(2+8+5X2)X10=200,所 以 该 直 四 棱 柱 的 表 面 积 为 S=40+200=240,故 选 D.G 3 平 面 的 基 本 性 质、空 间 两 条 直 线 G 4 空 间 中 的 平 行 关 系 17.G4,G5,G72013 北 京 卷 如 图 1一 5,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,AB CD,ABAD,CD=2AB,平 面 PAD,底 面 ABCD,PAAD,E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点.求 证:(1)PAL底 面 ABCD;(2)BE 平 面 PAD;(3)平 面
16、BEF_L平 面 PCD.图 1517.证 明:(1)因 为 平 面 PAD,底 面 ABCD,且 PA垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线 AD,所 以 PAL底 面 ABCD.因 为 AB CD,CD=2AB,E 为 CD的 中 点,所 以 AB DE,且 AB=DE,所 以 ABED为 平 行 四 边 形,所 以 BE AD.又 因 为 BE 平 面 PAD,AD 平 面 PAD,所 以 BE 平 面 PAD.因 为 ABJ_AD,而 且 ABED为 平 行 四 边 形,所 以 BE_LCD,ADCD.由 知 PAL底 面 ABCD,所 以 PACD.又 因 为 ADCPA=A,所
17、 以 CDJ_平 面 PAD,所 以 CDJ_PD.因 为 E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点,所 以 PD EF,所 以 CDJ_EF,所 以 CDL平 面 BEF,所 以 平 面 BEF_L平 面 PCD.18.G2,G412013 福 建 卷 如 图 1 一 3,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,PD,平 面 ABCD,AB DC,AB1AD,BC=5,DC=3,AD=4,ZPAD=60.(1)当 正 视 方 向 与 向 量 而 的 方 向 相 同 时,画 出 四 棱 锥 P-ABCD的 正 视 图(要 求 标 出 尺 寸,并 写 出 演 算 过 程);(2)若 M 为 PA
18、的 中 点,求 证:DM 平 面 PBC;(3)求 三 棱 锥 DPBC的 体 积.18.解:(1)在 梯 形 ABCD中,过 点 C 作 CE_LAB,垂 足 为 E.由 已 知 得,四 边 形 ADCE为 矩 形,AE=CD=3,在 RtBEC中,由 BC=5,CE=4,依 勾 股 定 理 得 BE=3,从 而 AB=6.又 由 PDJ_平 面 ABCD得,PDAD.从 而 在 Rt/XPDA 中,由 AD=4,ZPAD=60,得 P D=4 i正 视 图 如 图 所 示.(2)方 法 一:取 PB 中 点 N,联 结 MN,CN.在 APAB 中,是 PA 中 点,;.MN AB,MN=
19、;AB=3.又 CD AB,CD=3,MN CD,MN=CD,四 边 形 MNCD为 平 行 四 边 形,DM CN.又 DM 平 面 PBC,CN 平 面 PBC,-DM 平 面 PBC.PNC;方 法 二:取 AB的 中 点 E,联 结 ME,DE.在 梯 形 ABCD 中,BE CD,且 BE=CD,四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形,DE BC.又 DE 平 面 PBC,BC 平 面 PBC,.DE 平 面 PBC.又 在 APAB中,又 PB,ME 平 面 PBC,PB 平 面 P B C,平 面 PBC.又 DEC1ME=E,.平 面 DME 平 面 PBC.又 DM 平
20、面 DME,;.DM 平 面 PBC.(3)V|)-Inc=V P-D B C=TS A D B C,PD,J又 S A O B C=6,P D=4 镉,所 以 收=8 m.18.Gl,G4,G52013 广 东 卷 如 图 1-4(1),在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中,D,E分 别 是 AB,AC上 的 点,F 是 BC的 中 点,AF与 DE交 于 点 G,将 4ABF沿 AF折 起,得 到 如 图 1一 4(2)所 示 的 三 棱 锥 A-BCF,其 中 BC=4AC图 14(1)证 明:DE 平 面 BCF;(2)证 明:CFJ_平 面 ABF;2 当 AD=-b
21、 b 求 三 棱 锥 F-DEG的 体 积.18.解:8.G4、G5E2013 广 东 卷 设 1 为 直 线,a,p 是 两 个 不 同 的 平 面,下 列 命 题 中 正 确 的 是()A.若 1 a,1 B,贝 I J a BB.若 1,a,1 P,则 a BC.若 1J,a,1(3,贝 I J a BD.若 a _L B,1/a,贝 l j 1J.B8.B 解 析 根 据 空 间 平 行、垂 直 关 系 的 判 定 和 性 质,易 知 选 B.16.G4,G5E2013 江 苏 卷 如 图 1-2,在 三 棱 锥 S-ABC中,平 面 SAB_L平 面 SBC,AB1BC,AS=AB.
22、过 A 作 AF1.SB,垂 足 为 F,点 E,G 分 别 是 棱 SA,SC的 中 点.求 证:(1)平 面 EFG 平 面 ABC;(2)BCSA.图 1一 216.证 明:因 为 AS=AB,AF1SB,垂 足 为 F,所 以 F 是 SB的 中 点.又 因 为 E 是 SA的 中 点,所 以 EF AB.因 为 EF 平 面 ABC,AB 平 面 ABC,所 以 EF 平 面 ABC.同 理 EG 平 面 ABC,又 EFAEG=E,所 以 平 面 EFG 平 面 ABC.(2)因 为 平 面 SABL平 面 SBC,且 交 线 为 SB,又 AF 平 面 SAB,AF1SB,所 以
23、 AFL平 面 SBC.因 为 BC 平 面 SBC,所 以 AF_LBC.又 因 为 AB_LBC,AFAAB=A,AF,AB 平 面 SAB,所 以 BCJ_平 面 SAB.因 为 SA 平 面 SAB,所 以 BC_LSA.15.G4 2013 江 西 卷 如 图 1 5所 示,正 方 体 的 底 面 与 正 四 面 体 的 底 面 在 同 一 平 面 a上,且 AB CD,则 直 线 EF与 正 方 体 的 六 个 面 所 在 的 平 面 相 交 的 平 面 个 数 为.15.4 解 析 直 线 E F 与 正 方 体 左 右 两 个 面 平 行,与 其 他 四 个 面 相 交.图 1
24、一 418.G4,G5 2013 辽 宁 卷 如 图 1-4,AB是 圆 0 的 直 径,PA垂 直 圆 0 所 在 的 平 面,C是 圆。上 的 点.(1)求 证:BC_L平 面 PAC;(2)设 Q 为 PA的 中 点,G 为 AOC的 重 心,求 证:QG 平 面 PBC.18.证 明:(1)由 AB是 圆 0 的 直 径,得 ACLBC.由 PAL平 面 ABC,BC 平 面 ABC,得 PA1BC.又 PAC1AC=A,PA 平 面 PAC,AC 平 面 PAC,所 以 BC_L平 面 PAC.联 结 0G并 延 长 交 AC于 M,联 结 QM,QO,由 G 为 AA0C的 重 心
25、,得 M 为 AC中 点,由 Q 为 PA中 点,得 QM PC.又 0 为 AB中 点,得 OM BC.因 为 QMC1MO=M,QM 平 面 QMO.M0 平 面 QMO,BCnPC=C,BC 平 面 PBC,PC 平 面 PBC,所 以 平 面 QMO 平 面 PBC.因 为 QG 平 面 QMO,所 以 QG 平 面 PBC.18.G4,G7,G U 2013 新 课 标 全 国 卷 U 如 图,直 三 棱 柱 A BC-ABG中,D,E 分 别 是 AB,BBi的 中 点.证 明:BG 平 面 ACD;设 AA尸 AC=CB=2,A B=2,求 三 棱 锥 CADE的 体 积.图 1
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