高等数学李伟版课后习题答案第三章.pdf

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1、习 题 3 1(A)1.判 断 下 列 叙 述 是 否 正 确，并 说 明 理 由：(1)函 数 的 极 值 与 最 值 是 不 同 的，最 值 一 定 是 极 值，但 极 值 未 必 是 最 值；(2)函 数 的 图 形 在 极 值 点 处 一 定 存 在 着 水 平 的 切 线；(3)连 续 函 数 的 零 点 定 理 与 罗 尔 定 理 都 可 以 用 来 判 断 函 数 是 否 存 在 零 点，二 者 没 有 差 别；(4)虽 然 拉 格 朗 日 中 值 公 式 是 一 个 等 式，但 将/(9进 行 放 大 或 缩 小 就 可 以 用 拉 格 朗 日 中 值 公 式 证 明 不 等

2、式，不 过 这 类 不 等 式 中 一 定 要 含(或 隐 含)有 某 函 数 的 两 个 值 的 差.答：(1)不 正 确.最 值 可 以 在 区 间 端 点 取 得，但 是 由 于 在 区 间 端 点 处 不 定 义 极 值，因 此 最 值 不 一 定 是 极 值；而 极 值 未 必 是 最 值 这 是 显 然 的.(2)不 正 确.例 如 y=疔 在 x=0 点 处 取 极 值，但 是 曲 线 在 点(0,0)却 没 有 水 平 切 线.(3)不 正 确.前 者 是 判 断 了(x)是 否 有 零 点 的，后 者 是 判 断/(X)是 否 有 零 点 的.(4)正 确.一 类 是 明 显

3、 含 有/3)-/(a)的；另 一 类 是 暗 含 着/(x)-/(/)的.2.验 证 函 数=6(1尸 在 区 间 0,2 上 满 足 罗 尔 定 理，并 求 出 定 理 中 的 4.解：显 然 y=e(j)2在 闭 区 间 0,2 上 连 续,在 开 区 间(0,2)内 可 导，且 y(0)=)，(2)=e,于 是 函 数 y=尸 在 区 间 0,2 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件，y(X)=-2(1-x)e(f尸,由 了(J=0,有 2(1=0,得 g=1,J e(0,2),所 以 定 理 的 结 论 也 成 立.3.验 证 函 数 y=3/+2x-l在 区 间-1,1 上 满

4、足 拉 格 朗 日 中 值 定 理，并 求 出 公 式 中 的 J.解：显 然 y=3x2+2x-l在 闭 区 间-1,1 连 续，在 开 区 间(-1,1)内 可 导，于 是 函 数 y=31+2x-1在 区 间-1,1 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件，y(x)=6x+2,.-=2,由=/但)，有 6J+2=2,得 J=0,1-(-1)1-(-1)(-1,1),所 以 定 理 的 结 论 也 成 立.4.对 函 数/(x)=x+cosx、g(x)=cosx在 区 间 0,上 验 证 柯 西 中 值 定 理 的 正 确 性，并 求 出 定 理 中 的 久解：显 然 函

5、数/(x)=x+cosx、g(x)=COSX在 闭 区 间 0,y 上 连 续，在 开 区 间(0，y)内 可 导，且/(x)=l-sinx,g(x)=-sinx,在 区 间(0,)内 g(x)w0,于 是 函 数/(x)=x+cosx、g(x)=COSX在 区 间 0,自 上 满 足 柯 西 定 理 的 条 件,/(万/2)/(0)万/(万/2)-0)_/片)gS/2)g(0)2 g(7r/2)-g(0)g4)*i 7t 1-sin自 1-=-2-sinj即 sinj=2,71由 于 46(0,-),得 J=arcsin2,所 以 定 理 的 结 论 也 成 立.2 7V5.在(一 8,+8

6、)内 证 明 arctanx+arccotx恒 为 常 数，并 验 证 arctanx+arccotx 三 一.证 明：/(x)=arctan x+arc cot x,显 然/(%)在(，+8)内 可 导,由 拉 格 朗 日 定 理 的 推 论，得 在(-8,+8)内 arctan x+arccot x 恒 为 常 数，rr 7T设 f(x)三 C,用 x=0代 入，得。=一，所 以 arctanx+arccotxm.2 26.不 求 出 函 数/(x)=x(x2-4)的 导 数，说 明/(x)=0有 几 个 实 根，并 指 出 所 在 区 间.解：显 然/(x)=x(x?-4)有 三 个 零

7、 点 x=0,x=2,用 这 三 点 作 两 个 区 间-2,0、0,2,在 闭 区 间-2,0 上/(x)连 续，在 开 区 间(-2,0)内/(x)可 导，又/(_2)=/(0)=0于 是/(x)在 2,0 满 足 罗 尔 定 理，所 以 至 少 有。e(-2,0),使 得/(4)=0,同 理 至 少 有&(0,2)，使 得/($)=0，所 以 f W=0至 少 有 两 个 实 根.又 因 为/(x)是 三 次 多 项 式，有/(X)时 二 次 多 项 式，于 是/。)=0是 二 次 代 数 方 程，由 代 数 基 本 定 理，得/(x)=0至 多 有 两 个 实 根.综 上，/(x)=0

8、恰 有 两 个 实 根，且 分 别 位 于 区 间(-2,0)与(0,2)内.7.证 明 下 列 不 等 式：(1)对 任 何 实 数 a,6,证 明|cosa-cosU引。一 4；X(2)当%0时，-ln(l+x)x.1+x证 明：(1)当=。时，|cosQ-cos/?|4|a 显 然 成 立.当。0时,函 数/Q)=ln(l+r)在 闭 区 间 0,一 上 连 续,X在 开 区 间(0,x)内 可 导，根 据 拉 格 朗 日 定 理，有 J G(0,X),使 得/)=.1+4r V V X因 为 0 J x,则 一 一 一 一=x,所 以 一 ln(l+x)x.1+x 1+J 1+0 1+

9、x8.若 函 数/(x)在 区 间(出)具 有 二 阶 导 数，且/(x,)=/(x2)=/(七)，其 中。当 x3 b,证 明 在 区 间(A.)内 至 少 有 点 自，使 得/C)=o.证 明：根 据 已 知，函 数/(X)在 区 间%,X 2 及，X 3 上 满 足 罗 尔 定 理,于 是 有 刍 6(知 x2),2 e(x2,x3)(其 中 刍 么)，所 得/)=0，/&)=0-再 根 据 已 知 及/()=/(,)，函 数/(x)在 区 间，勇 匕 满 足 罗 尔 定 理，所 以 有 2)C(X,X3),所 得/(J)=0,即 在 区 间(八 七)内 至 少 有 一 点 使 得/)=

10、0.习 题 3 1(B)1.在 2004年 北 京 国 际 马 拉 松 比 赛 中，我 国 运 动 员 以 2 小 时 19分 26秒 的 成 绩 夺 得 了 女 子 组 冠 军.试 用 微 分 中 值 定 理 说 明 她 在 比 赛 中 至 少 有 两 个 时 刻 的 速 度 恰 好 为 18.157km/h(马 拉 松 比 赛 距 离 全 长 为 42.195km).解：设 该 运 动 员 在 时 刻 f时 跑 了 s=s(f)(km),此 刻 才 速 度 为 v=v(f)=s(f)(km/h),为 解 决 问 题 的 需 要，假 定 s。)有 连 续 导 数.设 起 跑 时，=0,到 达

11、 终 点 时=%,则?0 2.3238888889,对 函 数 s(f)在 区 间 0,0 上 用 拉 格 朗 日 定 理，有 0 4 18.157.对 忧 f)在 区 间 0,切 及。/0】上 分 别 使 用 连 续 函 数 的 介 值 定 理(注 意 丫(0)=，v(ro)=O,则 数 值 18.157分 别 介 于 两 个 区 间 端 点 处 函 数 值 之 间)，于 是 有。6(0,9，是(00),使 得 v咯)=18.157,v(2)=18.157,这 表 明 该 运 动 员 在 比 赛 中 至 少 有 两 个 时 刻 的 速 度 恰 好 为 18.157km/h.2.若 函 数/(

12、x)在 闭 区 间 出，切 上 连 续，在 开 区 间(a,b)内 可 导，且/(x)0,证 明 方 程/)=0 在 开 区 间(a,b)内 至 多 有 一 个 实 根.证 明：采 用 反 证 法，若 方 程/(x)=0在 开 区 间(a,。)有 两 个(或 两 个 以 上)不 同 的 实 根 x,0矛 盾，所 以 方 程 f(x)=0在 开 区 间(a,b)内 至 多 有 个 实 根.(注：本 题 结 论 也 适 用 于 无 穷 区 间)3.证 明 方 程 _?+%-1=0 只 有 一 个 正 根.证 明：设/(x)=/+x-l(xe(-oo,+oo),则/(X)=4X4+1 0,根 据 上

13、 题 结 果，方 程/+x-1=0 在(一 8,+8)内 至 多 有 一 个 实 根.取 闭 区 间 0,1,函 数/(x)=x4+x-l 在 0,1 上 连 续，且/()=1 0,由 零 点 定 理，有 自(0,1),使 得/G)=0,从 而 方 程/+x l=0 在(0,+oo)内 至 少 有 一 个 实 根.综 上，方 程/+x 1=0 只 有 一 个 正 根，且 位 于 区 间(0,1)内.4.若 在(-8,+8)内 恒 有 尸(x)=%,证 明/(x)=Ax+b.证 明：(方 法 1)设 函 数 尸(x)=/(x)丘，则 尸(x)=/(x)人 三 0,根 据 拉 格 朗 日 定 理

14、的 推 论 尸(x)恒 为 常 数，设 尸(x)=/(x)丘 三 C,用 x=0 代 入，得。=/(0),记/(0)-b,则 f(x)=/(x)-fee=C=b,所 以/(x)=Ax+Z?.(方 法 2)记/(0)=b,Vx e(-oo,+oo),若 x=0,则 满 足 f(x)=kx+b i 若 x H 0,对 函 数/)以，=0,f=x 为 端 点 的 闭 区 间 上 用 拉 格 朗 日 定 理，则 有 自 介 于 0 与 x 之 间，使 得/(x)/(0)=/)(x 0),即/(x)-b=fcx,所 以/(x)=Ax+b.5.若 函 数/(x)在 区 间(0,+oo)可 导，且 满 足/

15、3)三 0,1)=1,证 明/(x)=Vx.证 明：设 函 数 尸(x)=1 警(xe(0,+oo),J X则 F(x)=.(X)6 一/。)/2五=2.(x)(x),山 20()一/(x)三 0,得 X 2xy/xF(x)三 0,根 据 拉 格 朗 日 定 理 的 推 论 尸(x)恒 为 常 数，设/。)=牛=。，用 X=1代 入,Vx且 由=得 C=l,所 以 F(x)=/兽=1,即/(x)=4.y/X6.证 明 下 列 不 等 式(1)当 x 0 时，证 明 e*l+x；(2)对 任 何 实 数 x,证 明 忖|arctan x.证 明：(1)取 函 数/(t)=e(f e 0,幻)显

16、然 函 数/在 区 间 0,x 上 满 足 拉 格 朗 日 定 理，则 有&e(0,x),使 得/(x)/(0)=/C)(x 0),即 el=e。，所 以 e*=l+e；xl+x.(2)当 x=0 时，显 然 凶 2|arctanx.当 x 力 0 时，取 函 数/Q)=arctanr,对/Q)在 以 f=0,f=x 为 端 点 的 闭 区 间 上 用 拉 格 朗 日 定 理，则 有 J 介 于。与 x 之 间，使 得/(%)/(0)=/(4)(x 0),即 X|x|arctan x=-,所 以 I arc tan x|=-0),且 M.在 闭 区 间 1,1 上 证 明|/(尤)|2M.证

17、明：对 V x w 1,1J,当 x=0 时，|/(0)|=M 2 M 不 等 式 成 立.当 x w O 时，根 据 已 知，函 数/在 以 f=0,f=x 为 端 点 的 区 间 上 满 足 拉 格 朗 日 定 理，则 有 J 介 于 0 与 x 之 间，使 得/(x)-/(0)=/G)(x-0),即/(x)-M=/e)x,所 以,f(x)=f)x+M,从 而 综 上，在 闭 区 间 1,1 上 恒 有，(x)|2M.8.若 函 数/(x)在 闭 区 间 0,0 上 连 续，在 开 区 间(0,。)内 可 导，且/(。)=0,证 明 在 开区 间(0,。)内 至 少 存 在 一 点 4,使

18、 得/)+彳)=0.证 明：设 函 数 F(x)=0Xx)(x e 0,a),则/(0)=0,尸(a)=0,再 根 据 已 知，函 数 一(x)在 区 间 0,满 足 罗 尔 定 理，则 有 J e(0,a),使 得 广 修)=0.而/6)=/(/+皤),于 是 f C)+歹)=0.所 以，在 开 区 间(0,。)内 至 少 存 在 一 点 4，使 得 了/)+3 修)=0.习 题 3 2(A)1.判 断 下 列 叙 述 是 否 正 确？并 说 明 理 由(1)洛 必 达 法 则 是 利 用 函 数 的 柯 西 中 值 定 理 得 到 的，因 此 不 能 利 用 洛 必 达 法 则 直 接 求

19、 数 列 极 限；(2)凡 属“9”，“巴”型 不 定 式，都 可 以 用 洛 必 达 法 则 来 求 其 的 极 限 值；0 00(3)型 如“0 8”，“8 8”，“0”,T，“8。”型 的 不 定 式,要 想 用 洛 必 达 法 则，需 先 通 过 变 形.比 如“0 8”型 要 变 型 成 为“9”,“艺”型，“8-8”，“0”，0 00“广”，“8”型 要 先 通 过 变 型，转 化 为“0.8”型 的 不 定 式，然 后 再 化 为 基 本 类 型.答：(1)正 确.因 为 数 列 是 离 散 型 变 量，对 它 是 不 能 求 导 的，要 想 对 数 列 的“不 定 式”极 限

20、使 用 洛 必 达 法 则，首 先 要 根 据“海 涅 定 理”将 数 列 极 限 转 换 为 普 通 函 数 极 限，然 后 再 使 用 洛 必 达 法 则.2.1 _ _x sin 八.r,2(2)不 正 确.如 lim-工=0(9 型)、1 血 陋 匕=-1(上 型)、lim)+*=13。sinx 0-8 cos1 一 x o o*-内 xC O(型)都 不 能 用 洛 比 达 法 则 求 得 极 限 值.00(3)正 确.可 参 见 本 节 3.其 他 类 型 的 不 定 式 极 限 的 求 法，但 是“8-8”型 通 常 是 直 接 0 00化 为“一，一”型.0 002.用 洛 必

21、 达 法 则 求 下 列 极 限：(1)lim-；(2)lim-(mn 0)；f e-x 3 xn-1/一、sin 3x、r 1-cos x(3)lim-；(4)lim-:-；f tan 5x e v+ex-2(5)(7)(9)2x tan xh m-；i sec x-1limxcot 2x；x f 0v Z1 1、lim(-；)；。x sin x(6)limtanxf/2 tan 3x(8)lim xarccotx；x-+00(10)lim(-)；f Inx x-1(II)lim xtanv；x-0+(12)lim(6)而/;(13)lim(cosx)；X T O(14)limn-ooInn

22、出 力 Inx-1 1/x 1解：(1)lim-=lim-=x e e x R+i e一 1.x-1 mx(2)lim-=lim-7l x l 一 I xTmn/八 sin 3x _ 3cos3x(3)lim-=lim-X T k tan 5x 工-5 sec 5x一 3 二 35x(-1)2-5/、1-cosx sinx cosx 1(4)lim-=lim-=lim-=.oe v 4-e-r-2 z o e e-oex+e-A 2(5)2x tan x 2x2 4x 4x,lim-=lim-=lim-=lim-=4.3 sec 九 一 1 A-0 sec x-1 sec x tan x x-

23、tan x tanx z sinx cos3xx.cos3x-3sin3x o(6)lim-=lim(-)=一 lim-=-lim-=3.x/2 tan3x sin3x cosx x-/2 cosx x-%/2-sin%X.1 1(7)limxcot2x=lim-=lim-=.so io tan 2x 2 sec2 2x 2arc cot x-l/(l+x2)x2(8)lim xarccotx=lim-=lim-=h m-=1.X T+0r 1/x.I T 0+1/工 2 rf0+所 以，limxtanx=e=1.x-0+(12)设 y=(J7)而 菽，则 lny=一 五,因 为 ln(l+x

24、)2 ln(l+x)1/x l im iI n y=1 l.im-I-n-x-=1 l.i.m-1-/-x-=1 l1i.m(Z114-xf”2 X T+8 n(l+x)Z-yl/a+x)2 J”所 以 x 2_ Ilim(正 严 i+*)=”=厩.XT+X(13)设 y=(cosx)，则 5 y=m c,sx,因 为 xlim In y=limxfO x-0In cosx-sinx-=lim-x xf02xcosx；,所 以 叫(cosx)一 _ _ 19=忑(14)根 据 海 涅 定 理,Inn Inx 1/x.2h m=lim=lim-产=lim i=X i Jx XT+CO 1/2 J

25、%XT+8 7X0.9 r 4-cin Y3.验 证 极 限 lim 乙 十 存 在,并 说 明 不 能 用 洛 必 达 法 则 求 得.x-2cosx 2x+sin x-2+(sin x)l x 2+0 八 解：h m-=lim-=-=2.xex-2cosx i-(2 cos x)/x 1-0因 为 极 限=l i m2+cosx不 存 在，因 为 此 极 限 不 能 用 洛 必 达 法 则 求 得.(x-2 cos x)l+2sinx4.验 证 极 限 lim*smQ/x)存 在,并 说 明 不 能 用 洛 必 达 法 则 求 得.2。sin x有 x2 sin(l/x).x.1 1 八

26、八 解：lim-=lim-limxsin=1x0=0.J。sinx“Tsinx x因 为 极 限 lim-sm(1/x)=limxf。(sinx)z io2xsin(l/x)-sin(l/x)Z 七“皿 口 丁“巾-i不 存 在，因 为 此 极 限 不 能 用 COSX洛 必 达 法 则 求 得.习 题 32(B)1.用 洛 必 达 法 则 求 下 列 极 限:c 1 1+%2 arctan x-in(1)lim-XT0 X3(2)x-arcsin xlim-sin x(3)lim(-)；x tan-x(4)limx(l+)x-e；X-8 X.6z(5)hm(sinx尸 x；XTO X 照 农

27、 普 解：（1）原 式 二 lim2 arctan x-ln(l+x)+ln(l-x)(2)2 1 1-4=lim.i。3(1-x4)43H-U r x arcsin x原 式=hm-2。X3lxi-m 01-1/V 1-X23x2i 3X27 1-X2lim.尹 二 Xf。3x2=limXTO-X2/23x2_62 2/、r t a n x-x r tan x+x tan x-x(3)原 式=hm-=lim-lim-z x tan x XTO x o x.tanx-x.sec2 x-1 2,.tan2 x 2=21im-；=2 lim-；二 hm；=.10 X3 D 3x2 3 10 X2

28、3.1.(1+/)，一 e”一(1+r)ln(l+r)(4)令 x=_,则 原 式 hm-=lim(l+r)z-；-t io t i.t(1+z)ln(l+z)1 ln(l+z)1 e.ln(l+z)e=elim-=e lim-=hm-=-7。t-o 2t 2 f o r 2八 sinx.9 61n(5)令 y=(史 贝 ijlny=一，因 为 X Xl1im.Ii n y=l i m(z-6-x-/-s-i-n-x-x-c-o-s-x-s-i-n-x-.)=3 lim-x-c-o-s-x-s-i-n-x-x-0 XTO 2%X X-0 x，O1=3h.m-x-s-in-x-=-1,所 广 以

29、 匚 hm(,-s-i-n-x-.)7=e _1=-1.3x2 x e(6)令 无“=即+册),则 也 猫=1 1 1(加+标)一 1112,再 令 f=L,因 为 2 x.n/一，i ci r ln(。+)In2hmInxn=lim xln(tzx+bx)-ln 2=lim-“T8 X T+O C/-0 ta1 na+hl In/?Ina+lnb,rr，后+孤、”加 荷 rr-=-=Indab,所 以 hm()w=e,nV=Nab.a1+b1 2 22.当 x 3 0时，若/(x)=e-(如 2+法+0 是 比 高 阶 的 无 穷 小，求 常 数。、b、c解：根 据 已 知，有 13-2产+

30、，)=0,山 分 母 极 限 为 零，则 有 分 子 极 限 也 为 零，1。x-于 是 lim e 5/+bx+c)=l c=0,得 c=l,此 时 x-0eA-(ax2+Z?x+c)ex-(2ax+b)八-人 八 口 汗 口 江 干,山 口 lim-=hm-=0,再 由 分 子 极 限 为 零，同 样 得 1。%2-。2x.1 U.T X T 1-e+”1+。)e(2ox+l)e 2。1 2。7b=l,进 而 hm-=hm-=lim-=-=0,得 x-o x2 1。2x xf0 2 2，所 以=；,b=T,c=l 时，当 x 0 时，/(x)=ex-(ax2+/?x+c)是 比/高 阶 的

31、 无 穷 小.3.若 函 数/(x)有 二 阶 导 数，且/(0)=0,r(0)=1,/(0)=2,求 极 限 1而,(2 一 芯 2 x解：丽 小 学-lim 1 J i m 尸 一 八 八。)=。D 12.0 2x 2-0 X-0 2(注：根 据 题 目 所 给 条 件，不 能 保 证 了(X)连 续，所 以 只 能 用 一 次 洛 比 达 法 则，再 用 二 阶 导 数 的 分 析 定 义)习 题 3 3(A)1.判 断 下 列 叙 述 是 否 正 确？并 说 明 理 由：(1)只 要 函 数 在 点 小 有 阶 导 数，就 一 定 能 写 出 该 函 数 的 泰 勒 多 项 式.一 个

32、 函 数 的 泰 勒 多 项 式 永 远 都 不 会 与 这 个 函 数 恒 等，二 者 相 差 个 不 恒 为 零 的 余 项；(2)一 个 函 数 在 某 点 附 近 展 开 带 有 拉 格 朗 日 余 项 的 阶 泰 勒 公 式 是 它 的 次 泰 勒 多 项 式 加 上 与 该 函 数 的 阶 导 数 有 关 的 所 谓 拉 格 朗 日 型 的 余 项；(3)在 应 用 泰 勒 公 式 时、一 般 用 带 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式 比 较 方 便.答：(1)前 者 正 确，其 根 据 是 泰 勒 多 项 式 的 定 义；后 者 不 正 确.当/(x)本 身 是 一

33、 个 次 多 项 式 时，有 R.(x)三 0,这 时 函 数 的 泰 勒 多 项 式 恒 等 于 这 个 函 数.(2)不 正 确.拉 格 朗 日 型 的 余 项 与 函 数/(x)的”+1阶 导 数 有 关.(3)不 正 确.利 用 泰 勒 公 式 求 极 限 时 就 要 用 带 有 皮 亚 诺 余 项 的 泰 勒 公 式，一 般 在 对 余 项 进 行 定 量 分 析 时 使 用 带 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式，在 对 余 项 进 行 定 性 分 析 时 使 用 带皮 亚 诺 型 余 项 的 泰 勒 公 式.2.写 出 函 数/(x)=arctanx的 带 有 佩 亚

34、 诺 型 余 项 的 三 阶 麦 克 劳 林 公 式.解：因 为/(x)=1=7一-7x式，尸(x)=-2+:6 x2于 是 l+x(1+X)(1+X)/(0)=0,/(0)=1,/(0)=0,尸(0)=-2，代 入 到 小)=/(。)+八。)等，+守(马 中，得 arctanx-x-o(x).33.按 x-1的 乘 基 形 式 改 写 多 项 式 f(x)=x4+x3+x2+x+l.解：因 为/(x)=4x3+3/+2x+l,fx)=2x2+6x+2,/(x)=24x+6,/(4)(X)=2 4,更 高 阶 导 数 都 为 零,于 是/=5,/XI)=10,1r(1)=20,/(1)=3 0

35、,尸 的(0)=24,将 其 带 入 到/(x)=/+/(l)(x 1)+萼(x+空(x 炉+11 2(x+&(x)中,得/(X)=5+10(x 1)+10(x _ 1)2+5(x _ 1)3+(x _ 1)4(其 中 R4(X)=/5!（x 1）5恒 为 零）.X4.将 函 数/（%）=在 x=l点 展 开 为 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 三 阶 泰 勒 公 式.X+1解：因 为 小）d,则 小）=31 r八）=舒 分）=备 1 1 1 3于 是/=彳，/（1）=:，:（0）=-二，/（1）=三，将 其 带 入 到 2 4 4 8小+川）（i）+q v i）2+?（-5）中，得 X

36、1 x-1-=-1-1+x 2 45.写 出 函 数/（x）=xe的 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 阶 麦 克 劳 林 公 式.解：因 为/“)(x)=e*(x+&)(k=L2,3,，n,+1)(参 见 习 题 2.5(B)3),于 是 小 叱,八 段=汗/将 其 带 入 到 f(x)=f(O)+f(O)x+1+二 1 x+R,(x),得 2!！x3-F+2!2xex=X+Xx+(+1+-把 m/I(n-1)!-(+1)!-(0 6 1).6.将 函 数/（幻=!按。+1）的 乘 募 展 开 为 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 阶 泰 勒 公 式.X解：因 为 尸）*）=(一

37、 1)晨!xk+i,于 是 好(一 1)=一%！(k=0,1,2,3,，n,+1),5+1)(J)(77+1)!-1 严&(x)叱=能+1严(-上 1严+2（X+1）”，将 其 代 入 到 中 小)=止 1)+八 7)(、+1)+勺。+1)4-+中。+1).十(小 得-=-l-(x+l)-(x+l)2-(x+1)+(-1)k 1)(0 介 于 _ 与 X 之 间).习 题 33(B)1.为 了 修 建 跨 越 沙 漠 的 高 速 公 路，测 量 员 测 量 海 拔 高 度 差 时，必 须 考 虑 地 球 是 一 个 球 体 而 表 面 不 是 水 平，从 而 对 测 量 的 结 果 加 以 修

38、 正.（1）如 果 A 表 示 地 球 的 半 径，L 是 高 速 公 路 的 长 度.证 明 修 正 量 为 C=R see-R.R（2）利 用 泰 勒 公 式 证 明 c L2 5L4C x-1-7,2R 2 4*（3）当 高 速 公 路 长 100公 里 时，比 较（1）和（2）中 两 个 修 正 量（地 球 半 径 取 6370公 里）.证 明：（1）由 乙=/?1,有 又 在 直 角 三 角 形。0 8 中,Rcosa=一，于 是 R+CL C Lsec=sec 7=1+一,由 此 得 C=Rsec-R.R R R(2)先 将/(x)=secx展 开 为 4阶 麦 克 劳 林 公 式

39、，为 此 求 得/(x)=secxtanx,f(x)=secxtan2 x+sec3 x,/(x)=secx tan3 x+5sec3 x tan x，f(4)(x)=secxtan4 x+18secx3 tan2 x 4-5sec5 x,/(0)=1,/(0)=0,/(0)=1,尸(0)=0,/“)(o)=5,于 是 secx=1+x2+-x4+7?4(x)；当 忖 1 时，secx 1+x 2-5-X424,得 s e c*l+L2 5L42+24/?4，于 是 C=7?56上 一 R 2RL2 5L4-1-R R 2R 2 4*(3)按 公 式 C=R sec R计 算，得 修 正 量

40、为。0.785010135,R(1)1 5L4按 公 式 C。一+一 计 算，得 修 正 量 为 C 27?247?0.785009957,它 们 相 差 大 约 为。一 C(2)0.000000178.2.写 出 函 数/(x)=e 3 的 带 佩 亚 诺 型 余 项 的 2 阶 麦 克 劳 林 公 式.2.3 n解：由 e=1+f+o()，令 t2!3!n，得 2xe 2=ee 2=e l-2 4 6X X X22!+22-4 i-23-6!+(一)九 2 2M2n n-e l-+-+-+(-l)n2!4!6!x2(2)!+o(x2n)9+。y 2 4 6按 规 律，由 于 2 项 的 后

41、 一 项 为 了 2+2,所 以 余 项 也 可 以 用。(2|).3.写 出 函 数/(x)=sin2%的 带 皮 亚 诺 型 余 项 的 2加 阶 麦 克 劳 林 公 式.解：sin2 x-1-1cos2x2 2=x2-x43x2n,+o(x2m),(2x)2,(2x)4(2x)62!4!6!H-J6+45(-1尸 2 2 m(2/n)!,(l)，(2x)2n,(2m)!+o(22mx2m)同 上 一 题，余 项 也 可 以 用。（2卅+1）.（注 意：像 2、3 题 用 变 量 代 换 写 泰 勒 公 式 的 方 法 只 使 用 于 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 泰 勒 公 式，不

42、 适 用 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式，否 则 得 到 的 余 项 不 再 是 拉 格 朗 日 型 余 项）4.应 用 三 阶 泰 勒 公 式 计 算 下 列 各 数 的 近 似 值，并 估 计 误 差：（1）V30；（2）sin 180.解：（1）取 函 数/。）=加 工，展 开 为 三 阶 麦 克 劳 林 公 式，有/(x)=Vl+x,x x2 5x 10 x41+-+-,3 9 81 35-V(l+)版=必 27+3=3 必 1+1/9,现 取 x=l/9,V30 3(1+-+27 729 59049误 差 为 10-5,3,9V30 3(1+-+-)x 3(1

43、+0.037037-0.001372+0.000085)=3.10725；27 729 590497T(2)用 sinx的 麦 克 劳 林 公 式，取 x=18=土，得 10.,c。兀 1/万、3 COS(V)/乃、5 r.,1-,c。兀 17%、3sin 18=-(一 尸+(一，则 sml8-(一)310 3!10 5!10 10 3!101 万 误 差 为|&|目(东)5=2.55x10-5sin 18 0.31416-0.00517=0.30899 0.3090.5.利 用 泰 勒 公 式 求 下 列 极 限：cosx-+/12 er sinx-x(l+x)(1)h m-；(2)h m-

44、；-J。/io x2 sinx解:X1 X41-+(1)原 式=lim 2_ 亚.108+。(/)+/1223-3!=.方/360+。(=工 3 尤 6 360(2)原 式=limX T Ol+x+x/2+o(x2)x/6+0(/)X.x3/3+o(x3)h m-7 x3236.设 函 数/(x)在 区 间 a,切 上 有 二 阶 连 续 导 数，证 明：有 自 色，。)使 得/()+/S)-2/(?)=/.2 4证 明：将 函 数 y=/(x)在 x=专 点 展 开 为 一 阶 泰 勒 公 式，有/(X)=/(/)+/00)(%-/)+工(万 一/)2.(介 于 X 与 X。之 间)分 别

45、用 X=a、x=6代 入 上 式，得 f(a)=/(X。)+广(%)(a-)(a-丁)2a+1+,a+b a-b+/(。一)2z a+b(。7 0,且 lim/(D=l,用 泰 勒 公 式 证 明/(x)Nx.XT。X证 明：由 函 数/(x)可 导，及 lim/92=l,得/(0)=0,r(0)=1,10 x将/(x)展 开 为 一 阶 麦 克 劳 林 公 式，有/(X)=X+工 畀 工 2(J介 于 0 与 X之 间)，由/(x)。,得/(X)=X+/-2 2 X.8.设 函 数/(x)在 区 间 0,2上 二 次 可 微，/(0)=/，且 对 任 何 xe0,2,证 明|:.证 明：对

46、任 何 xe0,2,将 函 数 y=/(f)在 f=x点 展 开 为 一 阶 泰 勒 公 式，有 f(t)=f W+/(x)(f-X)+/某。一 x)2.(J介 于 X 与 f 之 间)分 别 用 f=0、f=2代 入 上 式，得。)-,(m+号-3/=/+/(犬)(2-x)+(2-x)2,(X 么 0(/,(x)=3 220.(2)前 者 正 确，后 者 不 正 确.驻 点 与 不 可 导 点 是 取 得 极 值 必 要 条 件 不 是 充 分 条 件，如 函 数 y=%3有 驻 点 x=0,而 y=/在 x=0点 不 取 极 值；又 如 函 数 y=我 有 不 可 导 点x=0,而 旷=我

47、 在 x=0 点 也 不 取 极 值.(3)前 者 不 正 确，后 者 正 确.第 一 充 分 条 件 对 连 续 函 数 的 不 可 导 点 也 适 用.(4)不 正 确.函 数 的 最 大(小)值 点 可 以 是 闭 区 间 端 点，这 时 的 最 值 点 就 不 是 极 值 点.2.证 明 函 数/(x)=x arcsinx在 1,1 上 单 调 减 少.解：在 开 区 间(一 1,1)内，/(x)=l-2,+00),单 减 区 间 为：0,2,x 取 值 范 围(-03,0 0 0,2 2 2,+oo)(x)的 符 号+00+函 数 V 状 况 0-4极 大 值 为：y(0)=0,极

48、小 值 为：y(2)=-4.(2)定 义 域 为(一 0 0,0)U(0,+o o),y x2-1内 函 数 没 有 不 可 导 点.单 增 区 间 为:(8,-1 1,+8),2，由;/=0,得 驻 点 工=1,在 定 义 域 XX 取 值 范 围(-0 0,-1 1-1.0)(0,11 1,+00)y(x)的 符 号+0 0+函 数 y 状 况-2 2单 减 区 间 为：1,0)、(0,1,极 大 值 为：y(-l)=-2,极 小 值 为：y(D=2.（3）定 义 域 为（一 8,+8）,y单 增 区 间 为：1,+8）,单 减 区 间 为：（-00,-1,2（“沙,由 y=0,得 驻 点

49、 x=-l,不 可 导 点 x=0.3.疗 X 取 值 范 围(-00,-1-1-1.0 0 0,4oo)的 符 号 0+X+函 数 1y 状 况-1 连 续 无 极 大 值，极 小 值 为：y（-l）=-l.(4)定 义 域 为(-00,0)U(0,+oo),y=e 2),由 y=o,得 驻 点 彳=2,在 定 义 x域 内 函 数 没 有 不 可 导 点.单 增 区 间 为：（-00,0）、2,+00）,单 减 区 间 为：（0,2,无 极 大 值，极 小 值 为：y（2）=e2/4.（5）定 义 域 为（-1,+oo）,y=1+x不 可 导 点.单 增 区 间 为：（-L 0,单 减 区

50、 间 为：0,+8）,极 大 值 为：），（0）=0,无 极 小 值.（6）定 义 域 为（-oo,l）U（1，+8），单 增 区 间 为：（1,+00）,单 减 区 间 为：（00,1）,既 无 极 大 值，也 无 极 小 值.X 取 值 范 围(-00,0)2 2 2,+00)（X）的 符 号+一 0+函 数 y 状 况 e2/4由 y=o,得 驻 点 x=o,在 定 义 域 内 函 数 没 有 X 取 值 范 围(-1 0 00,+oo)（X）的 符 号+0函 数 y 状 况 0在 定 义 域 内 ywO,且 没 有 不 可 导 点.x2-1X 取 值 范 围(-00,-1)(1,+8)