2023年勾股定理知识点归纳总结梳理.pdf

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1、勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在 Rt ABC中，c b a2 2 2；面积，两种计算面积的方法。2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？有一个内角为直角的三角形是直角三角形；两个内角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长为 a、b、c 满足c b a2 2 2，那么这个三角形是直角三角形 3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4互逆命题的概念 如果一个命题

2、的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5.勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即2 2 2a b c 中，a，b，c 为正整数时，称 a，b，c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17；9,40,41 等 6.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，

3、推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S 正方形 正方形 ABCD，2 214()2ab b a c，化简可证 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 214 22S ab c ab c 大正方形面积为2 2 2()2 S a b a ab b 所以2 2 2a b c 方法三：1()()2S a b a b 梯形，21 12S 22 2ADE ABES S ab c 梯形，化简得证 cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA一典型例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 Rt A

4、BC中，C=90(1)已知 a=6，c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图 B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则 AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 中，.求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D，则有，再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出 BC的长.举一反三【变式 1】如图，已知：，于P.求证：.【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB

5、=4，CD=2。求：四边形 ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH 如图所示，点 D 在离厂门中线 0

6、.8 米处，且 CD，与地面交于 H（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分 请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 解：如图，在 R

7、t中，底面周长的一半 cm，根据勾股定理得（提问：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为 cm 类型四：利用勾股定理作长为 的线段 5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。举一反三【变式】在数轴上表示 的点。解析：可以把 看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 AC OA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧

8、与数轴的交点 B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为 a、

9、b、c，且满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式 1】四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。【变式 2】已知:ABC的三边分别为 m 2 n2,2mn,m 2+n2(m,n 为正整数,且 m n),判断 ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a 2+b2=c2 即可 证明：所以 ABC是直角三角形.【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC中点，F 为 AB上一点，且

10、 BF=AB。请问 FE与 DE是否垂直?请说明。经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求

11、 n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，【变式 5】四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN 30，点 A 处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向

12、行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m,小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m),CD 120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h 5m/

13、s t 120m 5m/s 24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 _步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+4 7(m)设走“捷径”的路长为 xm，则 故少走的路长为 7 5 2(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】4【

14、变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段 AC的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DE DF，若 BE=12，CF=5 求线

15、段 EF的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD 总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法 4、如图所示，已知 ABC中，C=90，A=60，求、的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出 和 的值。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D落在 BC边的点 F处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF的长。