2016小升初数学易考30个题型汇总及知识点大全.pdf

《2016小升初数学易考30个题型汇总及知识点大全.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016小升初数学易考30个题型汇总及知识点大全.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2016 小升初数学易考30 个题型汇总及知识点大全LT2016小升初数学易考30个题型汇总及知识点大全一、工程问题1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率9/80X5=45/80表示5小时后进水虽1-45/80=35/80表示还要的进水量35/80+(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。2+修一条水渠，单独修.甲队需要20天完成*乙队需要30天完成，如果

2、两队合作*由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意知，甲的工效为1/20,乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因为，要求#两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。设合作时间为太天_则甲独做时间为（16-x)天1/20*(16-x)+7/100 x=lx=10答：甲乙

3、最短合作10天3+件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量（1/4+1/5)X2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作置。根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作童为U所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量el/10+2=l/20表示乙的工作效率，1+1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。答：乙单独完成需要20

4、小时。4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如杲第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天，已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？解：由题意可知，1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲=1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲X0*5=l(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）1/甲=1/乙+1/甲X0.5C因为前面的工作量都相等）得到1/甲=1/乙X2又因为1/乙=1/17所以

5、1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天答：甲单独做这项工程要8.5天完成。5+师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5,这批零件共有多少个？答案为300个120+(4/5+2)=300个可以这样想：师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。6.批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽f平均每人栽几棵？答案是15棵算式：1+C1/6-1/10)=15棵7.个池上装有3根水

6、管。甲管为进水管f乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完s现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙，丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管f而不开丙管，多少分钟将水放完？答案为45分钟&1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水，1/2+18=1/36表示甲每分钟进水最后就是1+(1/20-1/36=45分钟，8.某工程队需要在规定日期内完成*若由甲队去做*恰好如期完成，若乙队去做*要超过规定日期三

7、天完成*若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为6天解；由“若乙队去做，要超过规定曰期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量=甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是h2甲1乙分别做全部的的工作时间比是2:3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3+(3-2)X2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：1/x+l/(x+2)X2+l/(x+2)X(x-2)=1解得x=6二、数字数位问题9.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数1234567892005,这个多位数除以9余数是多少？解;首先研宄能

8、被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除依次类推：T1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除1CT19,2029_9(T99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+，+90=450它有能被9整除同样的道理，10CT900百位上的数字之和为4500同样被9整除也就是说广999这些连续的自然数的各个位上的数宇之和可以被9整除；同样的道理：10001999这些连续的自然数中百位、十位、个位

9、上的数字之和可以被9整除这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005从10001999千位上一共999个al”的和是999,也能整除；200020012002200320042005的各位数字之和是27,也刚好整除，最后答案为余数为10+A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值.解：（A-B)/(A+B=(A+B-2B)/(A+B)=l-2*B/(A+B)前面的1不会变了，只霱求后面的最小值，此时（A-B)/(A+B)最 大。对于B/(A+B)取最小时，（A+B)/B取最大f问题转化为求(A+B)/B的最大值。(A+B)

10、/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/10011.己知A.B+C都是非0自然数fA/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少？答案为6.375或6.4375因为A/2+B/4+C/168A+4B4C/166,4,所以84+48扣102,4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102,也4 5 有可能是 103。当是 102 时，102/16 6.375 当是 103时， 103/166.4375 12一个三位数的各位数字之和是17. 其中十位数字比个位数字大1. 如果把这个三位

11、数的百位数字与个位数字对调 , 得到一个新的三位数 , 则新的三位数比原三位数大198, 求原数 . 答案为 476 解：设原数个位为a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a 198 解得 a6，则 a+17 16-2a4 答：原数为 476。13 一个两位数 , 在它的前面写上3, 所组成的三位数比原两位数的7倍多 24, 求原来的两位数 . 答案为 24 解：设该两位数为a，则该三位数为 300+a 7a+24300+a a24 答：该两位数为24。14把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数, 它与原数

12、相加 , 和恰好是某自然数的平方 , 这个和是多少 ? 答案为 121 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a 11（a+b）因为这个和是一个平方数，可以确定a+b11 因此这个和就是1111121 答：它们的和为121。15一个六位数的末位数字是2, 如果把 2 移到首位 , 原数就是新数的3 倍, 求原数 . 答案为 85714 解：设原六位数为abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）再设 abcde（五位数） 为 x，则原六位数就是 10 x+2，新六位数就是 200000+x 根据题意得，（2

13、00000+x）310 x+2 解得 x85714 所以原数就是 857142 16有一个四位数 , 个位数字与百位数字的和是12, 十位数字与千位数字的和是9, 如果个位数字与百位数字互换 , 千位数字与十位数字互换, 新数就比原数增加2376,求原数 . 答案为 3963 解：设原四位数为abcd，则新数为 cdab，且 d+b12，a+c9 根据“新数就比原数增加2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观察abcd 2376 cdab 根据 d+b12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d3，b9；或 d8，b4 时

14、成立。先取 d3，b9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。根据 a+c9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、 5。再观察竖式中的十位， 便可知只有当 c6， a3 时成立。再代入竖式的千位， 成立。得到： abcd3963 再取 d8，b4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。17如果现在是上午的10 点 21 分, 那么在经过 28799.99(一共有 20 个 9) 分钟之后的时间将是几点几分 ? 答案是 10：20 解：（287999（ 20 个 9）+1）/60/24 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1 分钟，

15、所以现在时间是10：20 三、排列组合问题18有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A 768种B 32 种C 24 种D 2 的 10 次方种解：根据乘法原理，分两步：第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有54321 120 种不同的排法，但是因为是6 围成一个首尾相接的圈，就会产生5 个 5 个重复，因此实际排法只有1205 24 种。第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2 种排法，总共又22222 32 种综合两步，就有2432768 种。19. 若把英语单词 hello的字母写错了 , 则可能出现的错误共有( ) A 119种B

16、 36 种C 59 种D 48种解：全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59 四、追及问题20慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，快车车长 140 米，车速每秒行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？答案为 53 秒算式是（ 140+125)(22 -17)=53 秒可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。21在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是

17、每秒5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？答案为 100 米300（ 5-4.4 ）500 秒，表示追及时间5500 2500 米，表示甲追到乙时所行的路程2500300 8 圈100 米，表示甲追及总路程为8 圈还多 100 米，就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。22一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57 秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，( 轨道是直的 ), 声音每秒传 340米，求火车的速度（得出保留整数）答案为 22 米/ 秒算式：1360(1360340+57）22 米/ 秒关键理解：人在听到声音后57秒

18、才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出13603404 秒的路程。也就是1360 米一共用了 4+5761 秒。23猎犬发现在离它10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9 步，但是兔子的动作快，猎犬跑2 步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。答案是猎犬至少跑60 米才能追上。解：由“猎犬跑5 步的路程，兔子要跑9 步”可知当猎犬每步a 米，则兔子每步5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑3 步”可知同一时间，猎犬跑2a 米，兔子可跑 5/9a*3 5/3a 米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a

19、6：5，也就是说当猎犬跑60 米时候，兔子跑 50 米，本来相差的 10 米刚好追完。24AB两地, 甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5, 如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使 ,40 分钟后两人相遇 , 相遇后各自继续前行 , 这样，乙到达 A地比甲到达 B地要晚多少分钟 ? 答案： 18 分钟解：设全程为 1, 甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40 x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟, 乙需 90 分钟故得解25一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6 小时；逆流 8 小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离

20、？答案是 96 千米解：（ 1/6-1/8 ）21/48 表示水速的分率21/48 96千米，表示总路程26快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33 千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8 小时，求甲乙两地的路程。7 答案是 198 千米解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 时间比为 3：4 所以快车行全程的时间为8/4*3 6 小时6*33198 千米27 小华从甲地到乙地 ,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车; 从乙地返回甲地 ,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,结果慢了半小时 . 已知, 骑车每小时 12 千米, 乘车每小时 30

21、 千米, 问: 甲乙两地相距多少千米 ? 答案是 37.5 千米解：把路程看成1，得到时间系数去时时间系数： 1/312+2/330返回时间系数：3/512+2/530两者之差： （3/512+2/530） - （1/312+2/330） =1/75 相当于 1/2 小时去时时间：1/2（1/312）1/75 和 1/2（2/330）1/75 路程：12 1/2（1/312）1/75+301/2（2/330） 1/75 =37.5（千米）五、比例问题28甲乙两人在河边钓鱼 , 甲钓了三条 , 乙钓了两条 , 正准备吃 , 有一个人请求跟他们一起吃, 于是三人将五条鱼平分了 , 为了表示感谢 ,

22、 过路人留下 10元, 甲、乙怎么分？答案：甲收 8 元，乙收 2 元。解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10 元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值 6 元。又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*618 元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资2*612 元。而甲乙两人吃了的价值都是10 元，所以，甲还可以收回18-108 元乙还可以收回 12-102元刚好就是客人出的钱。29一种商品，今年的成本比去年增加了10 分之 1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？答案是 22/25 最好画线段图思考：把去年原来成本看成

23、20 份，利润看成 5 份， 则今年的成本提高1/10 ， 就是 22 份，利润下降了 2/5 ，今年的利润只有3 份。增加的成本 2 份刚好是下降利润的2 份。售价都是 25 份。所以，今年的成本占售价的 22/25 。30一个圆柱的底面周长减少25% ，要使体积增加 1/3 ，现在的高和原来的高度比是多少？答案为 64：27 解：根据“周长减少25”，可知周长是原来的3/4 ，那么半径也是原来的3/4 ，则面积是原来的9/16 。根据“体积增加1/3”，可知体积是原来的4/3 。体积底面积高现在的高是4/39/16 64/27 ，也就是说现在的高是原来的高的64/27 或者现在的高： 原来

24、的高 64/27 ：164：27 8 小学奥数 29 个知识点大全一、和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件：几个数的和与差、几个数的和与倍数、几个数的差与倍数公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系公式：(和差)2=较小数较小数差 =较大数和较小数 =较大数： (和差)2=较大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数和(倍数 1)=小数小数倍数 =大数和小数 =大数差(倍数 -1)= 小数小数倍数 =大数小数差 =大数2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那

25、个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树，在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树，封闭曲线上植树基本公式：棵数 =段数 1 棵距段数 =总长棵数=段数 1 棵距段数 =总长棵数=段数棵距段数 =总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题9 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的

26、差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基

27、本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 =（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量

28、=较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量；8周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均数10 基本公式：平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. 基准数法：根据给出的数之间

29、的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10抽屉原理抽屉原则一：如果把（ n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放

30、有2 个物体。抽屉原则二：如果把n 个物体放在 m个抽屉里，其中nm ，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m整除时。理解知识点： X 表示不超过 X的最大整数。例4.351=4 ；0.321=0 ；2.9999=2 ；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义

31、的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其

32、中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式： sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式： n= (an+ a1)d 1；11 项数 =（末项 - 首项）公差 1；公差公式： d =（ana1）（ n1）；公差 =（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢10进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2 表示20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4 。=An10n-1+

33、An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意： N0= ；N =N （其中 N是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 +A322+A221+A120注意： An不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数， 直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2 的

34、n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n 类方法中有 mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1 步有 m1种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2种方法不管前面n-1 步用哪种方法，第n 步总有 mn种方法，那么完成这

35、件任务共有： m1 m2.mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+ +（点数一1）；数角规律 =1+2+3+ +（射线数一1）；数长方形规律：个数 =长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数 =11+22+33+行数列数15质数与合数质数：一个数除了1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，

36、也叫做素数。12 合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式： N=， 其中 a1、 a2、 a3an 都是合数 N的质因数，且 a1a2a3 an。求约数个数的公式： P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数a 能够被 b 整除， a叫做 b 的倍数，

37、b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m 。例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作（ 12，18）=6；求最大公约数基本

38、方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12、24、36、48；18 的倍数有： 18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是36，记作 12 ，18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数

39、的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“ | ”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5 整除。2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除。3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。13 4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、

40、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性质：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（a-b）也能被

41、 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb, 那么 r 叫做 a除以 b 的余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则c|a-b 或 c|b-a 。a与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余

42、数的和除以c 的余数。a与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以c 的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m的余数相同，则称a、b 对于模 m同余。已知三个整数a、b、m ，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m同余，记作 ab(modm)，读作 a 同余于 b 模 m 。二、同余的性质：自身性： aa(modm)；对称性：若 ab(modm)，则 ba(modm)；传递性：若 ab(modm)，bc(modm)，则 ac(mod m) 和差性：若 ab(modm)，cd(modm)，则 a+cb+d(modm)

43、，a- cb -d(mod m)；相乘性：若 ab(mod m)，cd(modm)，则 acbd(modm)；乘方性：若 ab(modm)，则 anbn(modm)；同倍性 : 若 ab(mod m)，整数 c，则 acbc(modm c) ；三、关于乘方的预备知识：若 A=a b，则 MA=Mab=（Ma ）b 若 B=c+d则 MB=Mc+d=McMd四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M ，n 表示 M的各个数位上数字的和，则M n(mod9) 或（mod 3）；一个自然数 M ， X表示 M的各个奇数位上数字的和， Y表示 M的各个偶数数位上数字的和， 则 M Y -X或

44、 M 11- （X-Y）(mod 11)；14 五、费尔马小定理： 如果 p是质数（素数），a 是自然数， 且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(modp) 20分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一

45、类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。 C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率

46、关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）

47、后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22完全平方数完全平方数特征：1. 末位数字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。15 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方

48、差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y ）完全平方和公式：（ X+Y ）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（ X-Y）2=X2-2XY+Y2 23比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘 )，ad=bc。正比例：若 A扩大或缩小几倍， B也扩大或缩小几倍（ AB的商不变时），则A与 B成正比。反比例：若 A扩大或缩小几倍， B也缩小或扩大

49、几倍（ AB的积不变时），则A与 B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。24综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式：路程 =速度时间；路程时间=速度；路程速度 =时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程 =（船速 +水速）顺水时间逆水行程 =（船速 - 水速）逆水时间顺水速度 =船速+水速逆水速度 =船速-水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度）2水

50、速=（顺水速度 - 逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。25工程问题基本公式：工作总量 =工作效率工作时间工作效率 =工作总量工作时间工作时间 =工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工