2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变.pdf

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1、2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4: 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）、几何证明选讲：选修 41 ; 几何证明选讲1. （ 2016 江苏）如图，在 ABC 中， / ABC=90 , BD 丄 AC, D 为垂足， E 是 BC 的中点 , 求证： / EDC= / ABD.【答案】详见解析【解析】试题分析 : 关由直曲三角形斜边上中线性贡DE = BC = EC再由ZEDC = AECD ,&CZ）与ZDSC互余、ZASD与ADBC互余，等角关系；SD = ECD,从而得证试题解析：证明 : 在UDR和中因为ZADC=9叭月D丄JC,厶为

2、公共角 ,所以 吐lEZBs 述C,于=在RtDC中#因为 龙是月 。的中 点ED = EC,从而ZEDC = ZC所认 ZEDC 二 3D考点：相似三角形【名师点睛】 1?相似三角形的证明方法：（1）先找两对内角对应相等；（2）若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，就要证明三边对应成比例. 2 ?利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用. 1 3. （2016 全国I文、理）如图 , OAB 是等腰三角形，/ AOB=120 以O 为圆心 ,- OA 为半径

3、作圆（I） 证明：直线 AB 与 O 相切；（II）点 C,D 在O O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB/ CD./vD(第21-AM)【答案】（I）见解析（II）见解析【解析】试題分析 ：设E是 a 的中点 ?先溯厶OE = 可得0E = + 虫0即0到直线A3的距离等于圆0的半径 ，所 以直线 乃与O0相切 *）设0是A.B.C.D四点 所在圆 的圆心作直线69：证明O01丄AB:OO丄CD.由此可证明AB / CD .试题解析： （I）设E是衣 的中点，连结0E,因为Q4 二0B= ZAOB= 120匕所以0E 丄血 ,AOE= 60 ,1 在Rt.lAOE中,0E AO

4、,即O到直线AB的距离等于圆O的半径 ,所以直线AB与O O相切 . 2 （H）因为OA=2OD,所以O不是A, B,C,D四点所在圆的圆心，设0是A,B,C,D四点所在圆的圆心作直线OO. 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OO _ AB . 同理可证，OO _CD ?所以AB /CD .考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好长度关系”与角度关系的转化熟悉相关定理与性质? 该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理CDO0B4.

5、 （2016 全国n文、理）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE = DG，过D点作DF _ CE，垂足为F ?（I ）证明：B,C,G, F四点共圆；（n ）若AB =1, E为DA的中点，求四边形BCGF的面积 . 1 【答案】(I)详见解析；(n).2 【解析】试题分析K I HiEADG 戸- 岛 CSF 再证M)GF - NCBFt可得 ZCGF + ZC5/7即得B:C:G:F四点共圆 $ (II)由由玖 CGF四点 共圆 可得FGFB再证明RZCG?ZFG.根据四边形BCGF 的面积 S 是 AGC5 面积的 2 倍求得结论 .试题解析：

6、因为 DF 丄 EG 所以则有迪 FSH/g 碧=备=碧所以ADGF?NCRF,由此可得 ZZGF = ZCBF,由此ZCGF+ZCBF=180 . B. C.G, F ffl 点共鳳( II) 由B,C,G,F 四点共圆，CG _CB 知FG _ FB，连结GB , 由G 为Rt DFC 斜边CD 的中点，知GF = GC，故Rt BCG ?- Rt BFG,因此四边形BCGF的面积S 是GCB面积S GCB的 2 倍，即1 1 1 S = 2S GCB = 2 1 2 2 2 考点：三角形相似、全等，四点共圆DE【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对

7、应角和对应边?证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题?相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等 .5. （2016 全国川文、理）如图，L O中 AB 的中点为P，弦PC, PD分别交AB于E, F两点. （I ）若.PFB =2. PCD，求.PCD 的大小；（II ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G , 证明OG _ CD .【答案】（I）60 ； （n ）见解析 .【解祈】试题分析： I）根掳条件可证明FP与打仞是互补的， 然后结合ZPFSCD与三角形内角和定理， 不难求得ZPCD的大小；（口） 由（I的证明可知GE尺D四点共圆 然后根据用

8、线段的垂直平分g綁G为四边形CEQ的外接圆圆心，则可知G在线段CD的垂直平分线上， 由此可证瞬果 .试题 解析：（I ）连结PB ；RC ,则ZBFD = ZPBA+ ZBPD. ZPCD = ZPCB + BCD .因为 乔=丽， 所, 又凸 PD = ABCD ,所以ZBFD = CD .又ZPFD + ZBFD = 18吧APFB = 2ZPCD f所以3Z PCD -180%（n）因为.PCD =/BFD，所以 .PCD . EFD =180 ,由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上 , 又在DF的垂直平分线上，故G就是过C, D,F, E四点的圆的圆心，所以G在C

9、D的垂直平分线上，又O也在CD的垂 直平分线上，因此OG_CD . 考点： 1、圆周角定理； 2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆 . 【方法点拨】（ 1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等. 6. （ 2016 天津文、理）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E, BE=2AE=2, BD=ED贝懺段因此ZPCD=60 .CE的长为皓案】竽【解析】试题分析：设CE

10、=x，则由相交弦定理得DE CE =AE BE ,2 DE ，又x 2 BD = DE ，所以AC = AE =1，因为AB 是x 直径，则BC=32-122 2 , AD 二9-宕，167在圆中：BCE : ：DAE，则竺二EC，即2、；2_= ，解得x =22AD AE 1 3 考点：相交弦定理【名师点睛】 1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形T比例式T等积式” ? 在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握. 2 ?应用相交弦定理、切

11、割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. 二、坐标系与参数方程：选修 4-4 : 坐标系与参数方程1. （2016 北京理）在极坐标系中，直线cos3s inv -1=0与圆/ =2cosr交于 A , B 两点，则| AB | =_ .【答案】 2【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：x - -1 = 0 H? （x-1）1 + 二 1 圓 5因此肿 J 故填： 2-考点：极坐标方程与直角方程的互相转化【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x二匸COST, y二?sin n 即可.

12、 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x = x 二Qcosr, y 二?sin 以及：? = ；x2 y2, tan 二=（x = 0），同时要掌握必要的技巧. !x=cos 日，_2. （ 2016 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t为参y=t2167数），椭圆 C 的参数方程为. （二为参数） .设直线 I 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长 .【答案】y = 2sin J 【解析】试髓分析：刹用三角消元将参数方程严詈严普通方程于 +丄 J 再将直线数方程代入求y 2n&4解得 q = 0,宅：=-三,最后根瘵玄长

13、公式或两点间距离公式求弦长节试题解析：解；椭圆c 的普通方程为x;+=b 将直 线/ 的裁数方程 -斗考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法. 2 ?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响 . i x = a cost 3. ( 2016 全国I文、理 ) 在直角坐标系x) y 中，曲线 Ci的参数方程为( t 为参数 ,a= 1 +asi nt 0). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：p=4cos。. (I)说明 Ci是哪

14、一种曲线拼将 Ci的方程化为极坐标方程；(II)直线 C3的极坐标方程为二 -0,其中 :-0满足 tan0=2,若曲线 Ci与 C?的公共点都在C3上，求 a. 【答案】 (I) 圆,：-2 -2sin J 1 -a2=0 ( II) 1 【解析】试题分析：先把化为直角坐标方程再化为极坐标方程5(2)C; IX-j1= 1 +flsnfJ = 2x:C1： Q方程相握得4x-2j-l-o1=0：S就是 / G的方程对照可得* 1. f x a cost 2试题解析：( ( t 均为参数 ) ，.? x2+(y1)=a2y =1 +asin t2 2 2? C1为以 0, 1 为圆心 ,a 为

15、半径的圆 . 方程为x y -2y a =0 x2十y2= P2, y = Psin T ,?俨2Psin日+1 a2=0 即为G 的极坐标方程 C2: P =4cos,两边同乘P得俨=4cos 日：俨 =乂2+ 丫2，卩 cos = x：x2+y2=4x,即( x_2j+y2=4 C3 : 化为普通方程为y =2x, 由题意： G 和C2的公共方程所在直线即为C3=1,即7r + i6f=0 , 解彳寻斤 =。，x = .+ v = -116一得： 4x _2y ? 1 _a2 =0 , 即为 C32-1 - a 0 ,? a =1 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师

16、点睛】互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.4. （2016 全国n文、理）在直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为（x ? 6）2? y2=25. （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；X =t cosa i（n）直线 l 的参数方程是（t为参数），I 与 C 交于A,B两点，|AB|=10，求 I 的斜率. 【答案】（I） Y ?12TCOS 11 =0; （n）_3 【解折】试题分析 ：（I）禾? X=pcos3可得c的概坐标方程 ；（II）先求直线f的极坐标方程 , 将1 的扳坐标方程代

17、入c的极坐标方程得到关于P的一 元二 方程/?2+12/JCOS? + ll = 0.?再根据丰达定理, 弦长公式求出cos空，进而求得tan復即可求 得直线I的斜率 .试题解析：（I）由X二卜COSH y二卜si nr可得 C 的极坐标方程：21co 10. （II）在（ I）中建立的极坐标系中，直线I 的极坐标方程为v -，（二R）由A, B所对应的极径分别为?, ?2,将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得Y 12：、cos： 11 =0. 于是2 - i12cos：d =11, | AB Fl J - 二2 戶（? 2）2 -4 匚打h 144cos2 -44, 由| AB | =

18、 .10 得cos2： = 3, tan 8 y =tsin :-所以 l 的斜率为a=I3 3 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一?在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围?要注意转化的等价性.5. （2016 全国川文、理）在直角坐标系xOy中，曲线 G 的参数方程为x=.3cos：.（：.为参数），以y =s ino（坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为Tsin （ - ）=22

19、.4 （I）写出 G 的普通方程和C2的直角坐标方程；（II ）设点P在G上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标 .2 3 1 【答案】（I） G的普通方程为 - y2=1, C2的直角坐标方程为x，y-4 = 0 ；（n）（- ，一）.3 2 2 【解析】试题 分析：（1）利用同角三角函魏基本关系中的平方关系化曲线G的参数方程普通 方程，利用公式pc0s& = xpn& = y代入 曲线q的根坐标方程即可j （U）利用参数 方程表 示出点P的坐标 , 然后利 用点到直线的距离公式建立 | PQ |= d （a）的三角函数表 达式， 然后求出最值与相应的点P坐标即可 ?2x 试题解

20、析：（I） G的普通方程为y2 =1, C2的直角坐标方程为x，y-4 = 0. 5 分3 （n）由题意，可设点P的直角坐标为（.3cos，sin），因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d（）的最小值，当且仅当=2k （k?Z）时，dC ）取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为6 3 1 （3,1）. . 10 分2 2 考点： 1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程. 【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为（acos，bcos），将其转化为三角问题进行求解 . 6. （

21、2016 上海理）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（d(：) | ” 3 cost sin -41 丌5)-2|(A) 匸=6 5cos (B) =6 5sin 二(C) =6_5cos 【答案】 D【答案】(1) 见解析(11) -, ”35, 【解析】 试题分析 : 依次取斤 = 2 = 1 乙一， 结合图降可知只有左=6-皿圧 満足，选 D?考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法?本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等?三、不等式选讲选：选修 4-5 :

22、不等式选讲, a a1. (2016 江苏 ) 设 a 0, |x-1|v , |y-2|v ，求证： |2x+y-4|v a.3 3【答案】试题分析：利用含绝对值的三角不等式|a+ b|w |a|+ |bl进行放缩证明试题解析：证明：因为仪- 1|：旦,| y-2|丄3 3a a所以|2x y 4|=|2(x 1) (y-2)吃2| x -1| |y 2|：2 a a-a-3 3考点：含绝对值的不等式证明【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a| |b|w|a |w|a|+ |b|,通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件?将绝对值不 等式

23、与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向. 2. (2016 全国I文、理 ) 已知函数f(X )= x+1 - 2x 3 ?(I)在答题卡第 (24) 题图中画出y = f x的图像；(II)求不等式f (x )1的解集 . 厂113 PX【解析】x4, xW-L试题分折：(D取绝对 11 得分段函数/(x)=-2,-lx|撚后作囲 (11) 用窸点分4-xf x-l 2区间法分券类求解撚后取并集试题解析：如图所示: x-4 ?x W -13/(x)=W -lx 1X-1.|X-4|1TW得或x3* 1当-1 rLif 得工1

24、或xy1 x 1 一解得 工5 或JC 3 x 3或 x 沁综上, 心或1*3或“5；?加 | 汀解集为 Y；J1,3JQ,- 口考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等?解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式?1 1 3.( 2016 全国n文、理 ) 已知函数f(x)=|x | | -| , M为不等式f(x)：2的解集 . (I)求M ;(n)证明：当a, b M 时，|a ? b|：|1 ? ab|.【答案】( I) M二x|_1：x“ ； (n)

25、详见解析 . 【解析】试题 分析： 分x-|, 一 詁和 三种 ?情况去掉绝对值，再解不等式/(x)采用平方作券去，再进行因式分解进而可证当s 张M时 确定/-1和1-，的符号，从而证明不等式0+凸k |1+胡成立 . 1 -2x, x W 一，2 1 1试题解析： ( I) f(x)=1, x ,2 212x, x 兰一.i 21当x 时，由f (x) =: 2 得2x :：2,解得X ? -1 ；七1 1当一J：x”：c时，f(X) ：2 ; 2 21 当x _ 时，由f (x) : 2 得2x : 2,解得x 1. 所以f (x) : 2 的解集M 二x | -1 ：x : 1. CII

26、)由知 , 当a,beM时， 从而S+硏-(1+谢=宀沪一 / 沪一1= & -1)(1一， ) o,因此 | a+划 b0时，等号成立，对|a |b aba|+ b，如果a bc0，当且仅当a|b且ab 一0时左边等号成立，当且仅当ab冬0时右边等号成立 . 【解析】四、矩阵与变换选修 4-2 : 矩阵与变换1. （2016 江苏）.10-V 矩阵 B 的逆矩阵 B =2 ，求矩阵 AB. 2 1 1 盘一 yb-d1 L2 2=0 12c Id= -j J所以、B -c = 0.1d 1考点：逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则: d特征值及特征向量也是如此11试题分析：先求逆矩阵的逆：B =卩0 ，再根据矩阵运算求矩阵AB. 试题解析：解：设B = * bcd，则B1B = a _c 五、优选法与试验设计初步选修 4-7 : 优选法与试验设计初步。因此， AS -14丄10 -1|A| -c |A| a a b I e fl ae+bg af ,(|A|=ad bc 式0) ：l dI =；| “ + 二-c d | g h | ce dg cf Z类似求矩阵A| |A|一