2023年高二下期末考试数学大题突破含答案.pdf

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1、专业专心 专注2023年高二下期末考试大题突破年高二下期末考试大题突破解三角形1(2023长沙模拟)已知向量m=(-2，sin2x)，n=(cos2x，3)，且函数 f(x)=mn(1)求 f(x)的最小正周期及对称中心；(2)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A 为锐角，a=7若 f12A+12+1=73bsinC，且ABC的面积为3 32，求ABC的周长2(2023河西区校级模拟)在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+32a=c(1)求B的大小；(2)若c=3，a+b=2，求ABC的面积(3)已知sin+3=45，且为锐角，求sin-

2、6的值专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发3(2023新高考)记ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为3，D为BC的中点，且 AD=1(1)若ADC=3，求tanB；(2)若b2+c2=8，求b，c专业专心 专注4(2023沈河区校级模拟)在ABC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c-ba=cosBcosA(1)求角 A的大小；(2)若a=2，求中线 AD长的最大值(点D是边BC中点)5(2023新高考)已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB(1)求sinA；(2)设 AB=5，求 AB边上的高专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发6

3、(2023春南海区校级月考)已知ABC的三个内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且 AB AC+BA BC=2CACB(1)若cosAb=cosBa，判断ABC的形状并说明理由；(2)若ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围专业专心 专注立体几何1(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，AD=5DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在 AC上，BF AO(1)证明：EF平面 ADO；(2)证明：平面 ADO平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发2(2023包河区模拟)某同学参加

4、综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形 ABCD是边长为4的正方形，点G是半圆弧CD上的动点，且C，E，D，G四点共面(1)若点G为半圆弧CD的中点，求证：平面BFD平面BCG；(2)是否存在G点，使得直线CF与平面 BCG所成的角是3？若存在，确定G点位置；若不存在，请说明理由专业专心 专注3(2023西宁二模)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为 A1B1，AC的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)从条件：ABMN，条件：BM=

5、MN中选择一个作为已知，求直线 AB与平面BMN所成角的正弦值专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发专业专心 专注4(2023春辽宁期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AB=2，PA平面 ABC，ABC，PBC的面积分别为2，2 2(1)求 A到平面PBC的距离；(2)设D为PC的中点，平面PBC平面PAB，求二面角 A-BD-C的正弦值专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发5(2023大观区校级三模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面 ABCD，ADBC，N为PB的中点(1)若点M在 AD上，2AM=MD，AD=34BC，证明：MN平面PCD；(2)若PA=4，AB=AC=AD=5，B

6、C=6，求二面角D-AC-N的余弦值专业专心 专注6(2023新高考)如图，三棱锥 A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=60，E为BC中点(1)证明BCDA；(2)点F满足 EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发数列1(2023乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=11，S10=40(1)求an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和Tn2(2023甲卷)已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan(1)求an的通项公式；(2)求数列an+12n 的前n项和Tn专业专心 专注3(2023新高考)已知an

7、为等差数列，bn=an-6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为an，bn的前n项和，S4=32，T3=16(1)求an的通项公式；(2)证明：当n5时，TnSn4(2023全国)已知an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189(1)求an的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，求bn的前n项和Tn专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发5(2023开福区校级二模)已知数列an的前n项和为Sn(Sn0)，数列Sn的前n项积为Tn，且满足Sn+Tn=SnTn(nN*)(1)求证：1Sn-1 为等差数列；(2)记bn=1n2Sn，求数列bn的前2023项的和M6(2023厦门模拟

8、)已知数列an满足a1=1，an+1=an+2an，nN*(1)证明an-2an+1 是等比数列；(2)若bn=3an+1，求bn的前n项和Sn专业专心 专注概率1(2023甲卷)为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X，求 X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.52

9、7.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：mm对照组实验组(ii)根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：k00.100.050.010P(k2k0)2.7063.8416.635专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发2(2023全国)盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球(1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设 X为取

10、出的2个球上的数字之和，求随机变量 X的分布列及数学期望3(2023泉州模拟)为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3

11、局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率专业专心 专注4(2023广东模拟)已知盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球)；第二次比赛时从中任意取出1个()记第一次比赛时从盒中取出的3个球中旧球的个数为 X，求 X的分布列与数学期望；()求第二次比赛时取出的球为新球的概率专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发5(2023广西模拟)为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如表：成绩(分)40，5

12、0)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)；(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩 X近似地服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均分x，2近似为样本方差 s2，若-+2，参赛学生可获得“参赛先锋证书”若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)；试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”附：若 XN(，2)，则 P(-X+)0.6827，P(-2 X+2)0.9545，P(-30时，f(x)2l

13、na+32专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发2(2023乙卷)已知函数 f(x)=1x+aln(1+x)(1)当a=-1时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线 y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；(3)若 f(x)在(0，+)存在极值，求a的取值范围3(2023乙卷)已知函数 f(x)=1x+aln(1+x)(1)当a=-1时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(x)处的切线方程；(2)若函数 f(x)在(0，+)单调递增，求a的取值范围专业专心 专注4(2023东方校级模拟)已知a0，函数 f(x)=xex

14、-ax(1)当a=1时，求曲线 y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若 f(x)lnx-x+1恒成立，求实数a的取值范围专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发圆锥曲线1(2023甲卷)设抛物线C：y2=2px(p0)，直线x-2y+1=0与C交于 A，B两点，且|AB|=4 15(1)求 p；(2)F为 y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且MF NF=0，求MNF面积的最小值专业专心 专注2(2023乙卷)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率为53，点 A(-2，0)在C上(1)求C的方程；(2)过点(-2，3)的直线交C于点 P，Q两点，直线 AP，AQ与 y轴

15、的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发3(2023全国)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为2 23，直线 y=12交C于 A、B两点，|AB|=3 3(1)求C的方程；(2)记C的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为1的直线交C于G、H两点，求F2GH的周长4(2023大兴区校级模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点N(0，1)，且离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)直线l分别交椭圆C于 A、B两点，若线段 AB的中点M在直线 y=12上，求OAB面积的最大值专业专心 专注专业专心 专注2023年高二下期

16、末考试大题突破年高二下期末考试大题突破解三角形1(2023长沙模拟)已知向量m=(-2，sin2x)，n=(cos2x，3)，且函数 f(x)=mn(1)求 f(x)的最小正周期及对称中心；(2)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A 为锐角，a=7若 f12A+12+1=73bsinC，且ABC的面积为3 32，求ABC的周长【解析】：(1)f(x)=mn=-2cos2x+3sin2x=-1-cos2x+3sin2x=2sin 2x-6-1，由T=2=22=，故最小正周期为，由2x-6=k，kZ，x=12+k2，kZ，f(x)的对称中心为12+k2，-1，kZ(2

17、)由于 f12A+12+1=2sin A+6-6-1+1=2sinA，故2sinA=73bsinC，于是2a=73bc，又a=7，解得bc=6，所以SABC=12bcsinA=3 32，解得sinA=32，故 A=3或 A=23(舍去)，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，则7=b2+c2-1212，化简得：b2+c2=13，(b+c)2-2bc=13，b+c=5，ABC的周长为a+b+c=5+72(2023河西区校级模拟)在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+32a=c(1)求B的大小；(2)若c=3，a+b=2，求ABC的面积(3)已知sin+3=45，且

18、为锐角，求sin-6的值【解析】：(1)bcosA+32a=c，由正弦定理可得sinBcosA+32sinA=sinC，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，32sinA=sinAcosB，专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发sinA0，cosB=32，B(0，)，B=6；(2)B=6，c=3，由余弦定理可得cosB=a2+3-b22a3=32，整理可得a2-b2+3=3a，又a+b=2，解得a=b=1，SABC=12acosB=1213 12=34；(3)因为为锐角，所以3+356，又因为sin+3=450，所以cosA=12，因为 A(0，)，所以 A=3(2

19、)由(1)得 A=3，则cosA=b2+c2-a22bc=12，所以b2+c2=bc+42bc，即bc4，当且仅当b=c=2时等号成立，因为点D是边BC中点，所以2AD=AB+AC，两边平方可得：4|AD|2=|AB|2+|AC|2+2AB AC=b2+c2+2bccosA，则4|AD|2=b2+c2+bc=bc+4+bc=2bc+412，所以|AD|3，中线 AD长的最大值为35(2023新高考)已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB(1)求sinA；(2)设 AB=5，求 AB边上的高【解析】：(1)A+B=3C，A+B+C=，4C=，C=4，2sin(A-C)=sin

20、B，2sin(A-C)=sin-(A+C)=sin(A+C)，2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC=3cosAsinC，22sinA=322cosA，sinA=3cosA，即cosA=13sinA，又sin2A+cos2A=1，sin2A+19sin2A=1，解得sin2A=910，又 A(0，)，sinA0，sinA=3 1010；专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发(2)由(1)可知sinA=3 1010，cosA=13sinA=1010，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=3 101022+101022

21、=2 55，ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sin4=5 2，AC=5 2sinB=5 2 2 55=2 10，BC=5 2 sinA=5 2 3 1010=3 5，设 AB边上的高为h，则12ABh=12 ACBCsinC，52h=122 10 3 5 22，解得h=6，即 AB边上的高为66(2023春南海区校级月考)已知ABC的三个内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且 AB AC+BA BC=2CACB(1)若cosAb=cosBa，判断ABC的形状并说明理由；(2)若ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围【解析】：由 AB AC+BA BC=2CACB，利用数量积的

22、定义得，cbcosA+cacosB=2bacosC，由余弦定理得b2+c2-a22+a2+c2-b22=2a2+b2-c22，即a2+b2=2c2(1)由正弦定理及cosAb=cosBa得，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，因为2A，2B(0，2)，所以2A=2B或2A+2B=，当2A=2B时，ABC是等腰三角形，结合a2+b2=2c2，可得此时a=b=c，故ABC是等边三角形当2A+2B=，即 A+B=2时，ABC是直角三角形，这与a2+b2=2c2矛盾故ABC是等边三角形(2)在ABC是锐角三角形中，不妨设ab，由a2+b2=2c2得，2a2a2+b2=2c22

23、b2，于是acb又ABC是锐角三角形，a2+c2b2，即a2+a2+b22b2，即3a2b2，因此1ba3，由余弦定理得，cosC=a2+b2-c22ab=a2+b24ab=14ab+ba，令ba=t，则1t3，函数 y=14t+1t在1，3)上单调递增所以，cosC=14t+1t12，33 专业专心 专注立体几何1(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，AD=5DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在 AC上，BF AO(1)证明：EF平面 ADO；(2)证明：平面 ADO平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值【答案】

24、证明：(1)由题可知，|AC|=2 3，设 AF=AC，AB AC=|AB|AC|cosBAC=4，则 BF AO=(AC-AB)12AB+12AC=2|AC|2-12|AB|2+12-12AB AC=8-4=0，解得=12，OF AB，OF=12AB，而DE AB，DE=12AB，DEOF，DE=OF，四边形ODEF为平行四边形，EFOD，OD平面 ADO，EF平面 ADO，EF平面 ADO证明：(2)AO=AB2+OB2=6=PC=2OD，AD=5OD，AD2=AO2+OD2，即 AOOD，AOEF，BF AO，BFEF=F，AO平面BEF，AO平面 ADO，平面 ADO平面BEF解：(3

25、)设二面角D-AO-C的平面角为，AOOD，AOBF，为OD 和 BF的夹角，|BF|=12|AC|=3，|OD|=12|PC|=62，cos=BFOD|BF|OD|=12(OA-3OB)OD|BF|OD|=-32OB OD|BF|OD|=-323 62=-22，sin=22，二面角D-AO-C的正弦值为22专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发2(2023包河区模拟)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形 ABCD是边长为4的正方形，点G是半圆弧CD上的动点，且C，E，D，G四点共面(1)若点G为半圆弧CD的中点，求证

26、：平面BFD平面BCG；(2)是否存在G点，使得直线CF与平面 BCG所成的角是3？若存在，确定G点位置；若不存在，请说明理由【答案】证明：(1)连接EC，如图所示：若点G为半圆弧CD的中点，则ECD=GCD=45，所以ECG=90，即ECCG，因为BFEC，所以BFCG，又BFBC，BCCG=C，BC，CG面BCG，所以BF平面BCG，BF平面BFD，则平面BFD平面BCG；解：(2)假设存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为60，以 A为原点，AF，AB，AD 方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则F(4，0，0)，B(0，4，0)，C(0，4，4)，设GCD=，0

27、，2，则G(-4sincos，4-4cos2，4)，所以CF=(4，-4，-4)，BC=(0，0，4)，BG=(-4sincos，-4cos2，4)，专业专心 专注设平面BCG的法向量为m=(x，y，z)，由m BC=0m BG=0，得4z=0-4xsincos-4ycos2+4z=0，令 y=sin，则x=-cos，z=0，即m=(-cos，sin，0)，则|cosCF，m|=-4cos-4sin4 3 cos2+sin2=|sin+cos|3=32，整理得sin2=54，与sin20，1矛盾，所以不存在3(2023西宁二模)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，

28、平面BCC1B1平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为 A1B1，AC的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)从条件：ABMN，条件：BM=MN中选择一个作为已知，求直线 AB与平面BMN所成角的正弦值【答案】(1)证明：取 AB的中点为K，连接MK，NK，由三棱柱 ABC-A1B1C1得：四边形 ABB1A1为平行四边形，M是B1A1中点，则MKBB1，又MK平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，故MK平面BCC1B1，同理得NK平面BCC1B1，又NKMK=K，NK平面MKN，MK平面MKN，故平面MKN平面BCC1B1，MN平面MKN，故MN平面BCC1B1；(2)侧面

29、BCC1B1为正方形，故CBBB1，而CB平面BCC1B1，平面CBB1C1平面 ABB1A1，又平面CBB1C1平面 ABB1A1=BB1，故CB平面 ABB1A1，AB平面 ABB1A1，CB AB，又NKBC，NK AB，若选：ABMN，已证NK AB，又NKMN=N，NK平面MNK，MN平面MNK，故 AB平面MNK，MK平面MNK，故 ABMK，又MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直故可建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发则B(0，0，0)，A(0，2，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，故 BA=(0，2，0)，BN=(

30、1，1，0)，BM=(0，1，2)，设平面BNM的法向量为n=(x，y，z)，则n BN=x+y=0n BM=y+2z=0，取z=1，则n=(2，-2，1)，设直线 AB与平面BNM所成的角为，则sin=|cosn，BA|=-432=23若选：BM=MN，已证CB平面 ABB1A1，又NKBC，故NK平面 ABB1A1，而KM平面 ABB1A1，故NKKM，又BM=MN，NK=12BC，BK=12AB，AB=BC=2，故MKBMKN，MKB=MKN=90，MK AB，又MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则B(0，0，0)，A(0，2

31、，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，故 BA=(0，2，0)，BN=(1，1，0)，BM=(0，1，2)，设平面BNM的法向量为n=(x，y，z)，则n BN=x+y=0n BM=y+2z=0，取z=1，则n=(2，-2，1)，设直线 AB与平面BNM所成的角为，则sin=|cosn，BA|=-432=23专业专心 专注4(2023春辽宁期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AB=2，PA平面 ABC，ABC，PBC的面积分别为2，2 2(1)求 A到平面PBC的距离；(2)设D为PC的中点，平面PBC平面PAB，求二面角 A-BD-C的正弦值【解析】：(1)设点 A到平面PBC的距

32、离为h，因为在三棱锥P-ABC中，PA=AB=2，PA平面 ABC，所以VA-PBC=13SPBCh=VP-ABC=13SABCPA=43，即2 23h=43，解得h=2，所以点 A到平面PBC的距离为2(2)取PB的中点E，连接 AE，如图，因为PA=AB，所以 AEPB，又平面PBC平面PAB，平面PBC平面PAB=PB，所以 AE平面PBC，又因为BC平面PBC，所以 AEBC；又因为PA平面 ABC，且BC平面 ABC，所以PABC又 AEPA=A，所以BC平面PAB，又 AB平面PAB，所以BC AB以B为原点，分别以直线BC，BA为x，y轴，过B且平行于PA做z轴，建立如图所示的空

33、间直角坐标系，由(1)得 AE=2，所以 AP=AB=2，PB=2 2，又PBC面积为2 2，所以BC=2，所以 A(0，2，0)，P(0，2，2)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，所以PC的中点D(1，1，1)，所以 BD=(1，1，1)，BA=(0，2，0)，BC=(2，0，0)，设平面 ABD的一个法向量m=(x，y，z)，则m BD=x+y+z=0m BA=2y=0，所以平面 ABD的一个法向量m=(1，0，-1)，设平面BDC的一个法向量n=(a，b，c)，则m BD=a+b+c=0m BC=2a=0，所以平面BDC的一个法向量n=(0，1，-1)，则cosm，n=mn|m|n|

34、=12 2=12，sin=1-cos2=32，所以二面角 A-BD-C的正弦值为32专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发5(2023大观区校级三模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面 ABCD，ADBC，N为PB的中点(1)若点M在 AD上，2AM=MD，AD=34BC，证明：MN平面PCD；(2)若PA=4，AB=AC=AD=5，BC=6，求二面角D-AC-N的余弦值【解析】：(1)证明：如图所示：取PC中点F，连接NF，DF，因为MD=2AM，所以MD=23AD，又 AD=34BC，所以MD=12BC，因为 ADBC，所以MDBC，又因为N为PB的中点，所以NFBC且NF=12BC，即

35、有NFMD且NF=MD，所以四边形NFDM是平行四边形，所以MNDF，又MN平面PCD，DF平面PCD，所以MN平面PCD(2)连接NC，因为 AB=AC=5，所以ABC为等腰三角形，取BC中点Q，连接 AQ，则有 AQBC，又因为 ADBC，所以 AQ AD，又因为PA底面 ABCD，如图，以 AQ，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，因为PA=4，AB=AC=AD=5，BC=6，则有 A(0，0，0)，D(0，5，0)，C(4，3，0)，N 2，-32，2，所以 AN=2，-32，2，AC=(4，3，0)，专业专心 专注设平面 ACN的法向量为n=(x，y，z)，则n

36、AC=4x+3y=0n AN=2x-32y+2z=0，取n=(3，-4，-6)，因为PA底面 ABCD，取平面 ACD的法向量m=(0，0，1)，设二面角D-AC-N的大小为(为钝角)，则有cos=cosm，n=mn|m|n|=-661=-6 6161，即二面角D-AC-N的余弦值为-6 61616(2023新高考)如图，三棱锥 A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=60，E为BC中点(1)证明BCDA；(2)点F满足 EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值【答案】证明：(1)连接 AE，DE，DB=DC，E为BC中点DEBC，又DA=DB=DC，ADB=ADC=60，A

37、CD与ABD 均为等边三角形，AC=AB，AEBC，AEDE=E，BC平面 ADE，AD平面 ADE，BCDA(2)解：设DA=DB=DC=2，BC=2 2，DE=AE=2，AD=2，AE2+DE2=4=AD2，AEDE，又 AEBC，DEBC=E，AE平面BCD，以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发D(2，0，0)，A(0，0，2)，B(0，2，0)，E(0，0，0)，EF=DA，F(-2，0，2)，DA=(-2，0，2)，AB=(0，2，-2)，AF=(-2，0，0)，设平面DAB与平面 ABF的一个法向量分别为n1=(x1，y1，z1)，n2=(

38、x2，y2，z2)，则-2x1+2z1=02y1-2z1=0，令x1=1，解得 y1=z1=1，2y2-2z2=0-2x2=0，令 y2=1，解得x2=0，z2=1，故n1=(1，1，1)，n2=(0，1，1)，设二面角D-AB-F的平面角为，则|cos|=|n1 n2|n1|n2|=23 2=63，故sin=33，所以二面角D-AB-F的正弦值为33数列1(2023乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=11，S10=40(1)求an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和Tn【解析】：(1)在等差数列中，a2=11，S10=40a1+d=1110a1+1092d=40，即a1+d

39、=11a1+92d=4，得a1=13，d=-2，则an=13-2(n-1)=-2n+15(nN)(2)|an|=|-2n+15|=-2n+15，1n72n-15，n8，即1n7时，|an|=an，当n8时，|an|=-an，当1n7时，数列|an|的前n项和Tn=a1+an=13n+n(n-1)2(-2)=-n2+14n，当 n 8 时，数 列|an|的 前 n 项 和 Tn=a1+a7-an=-Sn+2(a1+a7)=-13n+n(n-1)2(-2)+213+127=n2-14n+982(2023甲卷)已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan(1)求an的通项公式；(2

40、)求数列an+12n 的前n项和Tn【解析】：(1)当n=1时，2S1=a1，解得a1=0，当n2时，2Sn-1=(n-1)an-1，2an=nan-(n-1)an-1，(n-1)an-1=(n-2)an，当n3时，可得anan-1=n-1n-2，专业专心 专注an=213243n-1n-2a2=n-1，当n=2或n=1时，a1=0，a2=1适合上式，an的通项公式为an=n-1；(2)由(1)可得an+12n=n2n，Tn=12+222+323+n2n，12Tn=122+223+324+n2n+1，12Tn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-1

41、2n-n2n+1，Tn=2-n+22n3(2023新高考)已知an为等差数列，bn=an-6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为an，bn的前n项和，S4=32，T3=16(1)求an的通项公式；(2)证明：当n5时，TnSn【解析】：(1)设等差数列an的公差为d，Sn，Tn为anbn的前n项和，S4=32，T3=16，则a1+a2+a3+a4=32a1-6+2a2+a3-6=16，即4a1+4(4-1)2d=32a2=7，解得a1=5d=2，故an=5+2(n-1)=2n+3；(2)证明：由(1)可知，bn=2n-3，n为奇数4n+6，n为偶数，Sn=(5+2n+3)n2=(n+4)

42、n，当n为偶数时，n5，Tn=-1+3+2(n-1)-3+14+22+4n+6=n2-1+2(n-1)-32+n2(14+4n+6)2=n2(14+6n)2=n(3n+7)2，Tn-Sn=n2-n20，当n为奇数时，n5，Tn=Tn-1+bn=(n-1)(3n+4)2+2n-3=3n2+5n-102，Tn-Sn=n2-3n-10225-15-102=0，故原式得证4(2023全国)已知an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189(1)求an的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，求bn的前n项和Tn【解析】：(1)an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189S62

43、S3，q1，专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发则a1(1-q3)1-q=21a1(1-q6)1-q=189，两式作商得1+q3=9，即q3=8，得q=2，a1=3，则an=32n-1，(nN)(2)bn=(-1)nan=(-1)n32n-1，当n2时，bnbn-1=(-1)n32n-1(-1)n-132n-2=-2，即bn是公比为-2的等比数列，首项b1=-3，则Tn=-31-(-2)n1-(-2)=-31-(-2)n3=-1+(-2)n5(2023开福区校级二模)已知数列an的前n项和为Sn(Sn0)，数列Sn的前n项积为Tn，且满足Sn+Tn=SnTn(nN*)(1)求证：1Sn-1

44、为等差数列；(2)记bn=1n2Sn，求数列bn的前2023项的和M【答案】(1)证明：因为Sn+Tn=SnTn(nN*)，当n=1时，S1+T1=S1T12a1=a21，解得a1=2或a1=0，又Sn0，所以a10，故a1=2，由Sn+Tn=SnTn，可得Sn1，所以Tn=SnSn-1，当n2时，Tn-1=Sn-1Sn-1-1所以TnTn-1=SnSn-1Sn-1-1Sn-1，即Sn=SnSn-1Sn-1-1Sn-1，所以1Sn-1=Sn-1Sn-1-1=1+1Sn-1-1，所以1Sn-1-1Sn-1-1=1所以1Sn-1 是以1S1-1=1为首项，1为公差的等差数列(2)解：由(1)得1S

45、n-1=1+(n-1)1=n，则Sn=n+1n，因为bn=1n2Sn=1n(n+1)=1n-1n+1，故M=1-12+12-13+12023-12024=202320246(2023厦门模拟)已知数列an满足a1=1，an+1=an+2an，nN*(1)证明an-2an+1 是等比数列；(2)若bn=3an+1，求bn的前n项和Sn专业专心 专注【答案】(1)证明：由题意得an+1-2an+1+1=an+2-2anan+2+an=-12an-2an+1，又因为a1-2a1+1=-120，所以an+1-2an+1+1an-2an+1=-12，所以an-2an+1 是以-12为首项，-12为公比的

46、等比数列(2)解：由(1)得an-2an+1=-12n，所以bn=3an+1=1-an-2an+1=1-12n，所以Sn=b1+b2+b3+bn=1-121+1-122+1-123+1-12n=1+1+1+1-121+-122+-123+-12n=n(1+1)2-121-12n1-12=n-12-12n+11-12=n+1-12n3概率1(2023甲卷)为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X，求 X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17

47、.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.527.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：mm对照组实验组(ii)根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：k00.100.050.010P(k2k0)2.7063.8416

48、.635【解析】：(1)根据题意可得 X=0，1，2，又P(X=0)=C020C220C240=1978，P(X=1)=C120C120C240=2039，P(X=2)=C220C020C240=1978，专业 专注 专心博观而约取 厚积而薄发 X的分布列为：X012P197820391978E(X)=01978+12039+21978=1；(2)(i)由于源数据已经排好，我们只需观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.4，21.5，23.2，23.6，故第20位数为23.2，第21位数为23.6

49、，m=23.2+23.62=23.4，补全列联表为：3.841，能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用2(2023全国)盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球(1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设 X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量 X的分布列及数学期望【解析】：(1)取到2个标有数字1的球的概率P=C22C24=16；(2)由题意可知，X所有可能的取值为2，3，4，5，P(X=2)=C22C24=16，P(X=3)=C12C21C24=13，P(X=4)C12C11C24=13，P(X=5)=C11C11C24=16，故 X的分布列为：X2345P16

50、131316故E(X)=216+313+413+516=723(2023泉州模拟)为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比