2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明【含答案】.pdf

《2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明【含答案】.pdf（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年九年级中考数学高频考点突破圆的切线的证明1.如图，是。的直径，8 C 是。的弦，于点。，交BC于F,与过点5 的直线交于点、E,且BE=EF.(1)求证：8 E 是。的切线；(2)若 的 半 径 为 10,O D=6,求 B E 的长.2.如 图 1,在。中，Z C 为直径，。在 AB上，B 为 CD中点，过 B 作 8尸，/。于 F.(1)求证：8 F 为。的切线：(2)如图2,连接。并延长交Z 8 于 G,交。于 E,连接B E,若 Z G=/O=1,求。E13 .如图，已 知 是0。的直径，点尸在历1的延长线上，弦 平 分/尸8。，且于点D.(1)求证：尸。是。的切线.(2)若

2、 4 8=8CTM,B D=6 c m,求弧 Z C 的长.4.如图，在R t a N BC中，/C=90,Z B=3 0,点。为边N 2的中点，点。在边2 c上,以点。为圆心的圆过顶点C,与 边 交 于 点。.(1)求证：直线4 8是 的 切 线；(2)若A C=,求图中阴影部分的面积.5 .如图，在。中，O E L B C于点F,。为。上一点，连接D E,交4 c于点G,A G=AD.(1)求证：力。是。的切线；(2)若/=60,0 E=8,求 的 长.-26.如图，四边形/B C D是正方形，点4,点8在0。上，边D 4的延长线交OO于点E,对角线。8的 延 长 线 交 于 点 尸，连接

3、E尸并延长至点G,使N F B G=N F 4 B.(1)求证：8 G与。相切；(2)若。的半径为1,求4 F的长.7 .如图，已知四边形4尸8。中，NACB=NAPB=6 0 ,过4 B,C三点的。与尸/相切.(1)求证：P 8是。的切线；(2)若。的半径长为4c/n,求图中阴影部分的面积.8 .如图，为。的直径，过圆上一点。作。的切线C D交8 4的延长线于点C,过点。作0E/。交 于 点E,连接8 E.(1)直线8 E与 相 切 吗？并说明理由；(2)若。1=2,C D=4,求。E 的长.39.如图，在XBC 中，ABAC,N A4c=90,在 C8 上截取 C D=C 4,过点。作 Z

4、)E_ L48 于点、E,连接/。，以点/为圆心、/E的长为半径作。4(1)求证：8 c是。/的 切 线；(2)若 N C=5,B D=3,求。E 的长.10.如图，为。的直径，C,。为。上两点，BD=AD.连接/C，BC,AD,B D,过点D作DE/AB交C B的延长线于点E.(1)求证：直线。E是。的切线；(2)若 48=10,8 c=6,求 4D,8 E 的长.411.如图，在/8 C中，点。是8 c中点，以。为圆心，8 c为直径作圆刚好经过4点，延长8 c于点。，连接/D 已知N C/O=N 8.(1)求证：是。的切线;(2)若8。=8,t a o 8=工，求。的半径.212 .如图，

5、48 C内接于圆0,是圆。的直径，过圆。外一点。作。G8 C,D G 交线段Z C于点G,交线段月8于点E,交圆。于点尸，连接C R N4=ND.(1)求证：8。与圆。相切；(2)若 AE=0E,CF 平分 N/C8,BD=T2,O E 的长为.13 .如图，为。的直径，8 是。的弦，点E在Z 8的延长线上，连接OC.AD,CD/AB,CO/DE,4=2 2.5 .(1)求证：O E是。的切线；(2)当C D=2加 时，图 中 阴 影 部 分 的 周 长 为 (直接填空).-5-14.如图，已知/、B、C、。、E 是。上五点，。的直径8E=2代，Z B C D=12 0 ,A为言的中点，延长8

6、/到点P,使 8 Z=/P,连接产(1)求线段8。的长；(2)求证：直线尸E 是。的切线;(3)连接。尸，求 ta n/8 P o 的值.15.如图，在 RtZ/8C中，ZC=90,力。平分/8/C 交 8 c 于点。，。为 4 8 上一点，经过点/、。的。分别交边/8、/C 于点、F.(1)求证：8 c 是 的 切 线；(2)若 BE=4,s in B=l,求阴影部分的面积.6cDB16.如图，48 C内接于。，N 8是。的直径，过。外一点。作。G8 C,OG交线段4C于点G,交A B 于点、E,交。于点R连接08,CF,NA=ND.(1)求证：8。与。相切；(2)若 AE=OE,C/平 分

7、N 4C8,B D=6,求 O E 的长.17.已知N8是圆。的直径，点C是圆。上一点，点P为圆。外一点，且OP/BC,N P=N B A C.(1)求证：P A为圆O的切线：(2)如果O P=N 8=2,求4C的长.18.如图，是 以 为 直 径 的。的内接三角形，8。与。相切于点8,与ZC的延长线交于点。，E是8。的中点，CE交易1的延长线于点凡(1)求证：FC是。的切线；(2)若BD=4,2 E F=3 B E.求8尸的 长 和 的 半 径.19.如图，为直径，弦8 c平分NO8/,8。与。0交于点E,过 点C作5。的垂线于。.(1)求证：8 是O。的切线;8(2)如果 0 4=2,求。

8、E 的长.22 0.如图，。是 N 8 C的外接圆，Z C为直径，延长Z C到点,使得C E=B C,连接8 E,且Z B A E=NE.(1)求证：B E与 相 切.(2)如图2,过点。作CD_ L2 E于点。，连接N Z),若 4B=4,NBAE=30,求tan Z BAD.图1图29参考答案：1.【解答】(1)证明：8E=ER/./E F B=/E B F,:/C F D=/E F B,:/EBF=NCFD,：OB=OC,10：.ZOCB=ZOBCf9：AELOC,：.ZOCB+ZCFD=9Q,：.ZOBC+ZEBF=90,即NEBZ=90,TAB是直径，3 E是。的切线；(2)解：。0

9、的半径为10,.*.0/4=10,48=20,：AE-LOC9 0 0=6,4 0=VOA2-O D2=V102-62=8,V ZADO=ZEBA=90,ZDAO=ZBAEf：4DAOs/BAE,AD _ O D g p 8 _ 6*AB、的 隹：.BE=5.2.【解答】(1)证明：连接05,：.OB=OA,A Z 2=Z 3,；B为CD中点、,AZ1=Z2,AZ1=Z3,:AFMOB,：.ZOBF+ZF=SO,9BF.LADf：.ZF=90,：.ZOBF=90,半径 于9 8尸为O O 切线；(2)连接4 ,延长8 0 交 4E1于凡 为直径,：.ZDAE=ZDBE=90,：AFBO,：.Z

10、BHA=SO-ZDAH=90,-1 2-四边形ZEB为矩形，:AH=BF,AF=BH,设 DF=x,：.BH=AF=x+T,；OHLAE 于 H:AH=EH,：DO=EO，CW为4：中位线，：.OH=工/。=2，2 2：.OB=BH-O4=x+，2*：AFOB,：.Z4=Z7,t：AD=AG=9：.Z4=Z5,AZ5=Z6,Z6=Z7,:BG=OB=OA=X+L2AB=BG+AG=x+,2在RtZ4O”中，根据勾股定理得：AH2=AO2-OH2=X2+X：.BF2=AH2=x2+xf13在RtZ4必 中，根据勾股定理得：AF2+BF2=AB2,即(x+1)2+(x2+x)=(x+)2,2解得：

11、D F=x=L.23.【解答】(1)证明：连接O C,如图,：OC=OB,：/OCB=/OBC.:弦BC平分NPBD,：/OBC=NDBC,：.ZOCB=ZDBC.：.OC/BD,:BDLPD,：.OCPD,0C为。的半径，尸。是O O的切线；(2)解：连接O C,如图,14Dc由（1）知：OC/BD,：./PCO/PDB,.O C P OBD P B 4 P A+46 P A+8：.PA=4.：.PO=PA+OA=8.在 R t Z XO C尸中，V c o s Z CO P=P 2.=A,O P 2A ZC OP=60 .,.弧/c 的长=KP x _ l=H L.18 0 34.【解答】

12、（1）证明：连接O C,CD,V ZACB=90,Z 5=30,：.A C A B,ZT4=90-4=6 0 ,2.,。为Z 8 的中点，：.BD=AD=1.AB,2：.AD=AC,是等边三角形，A ZAD C ZACD=60,*./ZC8=90,；./O C O=90-60=30,：OD=OC,：.Z O D C ZZ)CO=30,ZAD O ZADC+ZODC=600+30=90,即 ODLAB,16过圆心O,.直线4 8 是。的切线:（2）解：由（1）可知：A C=A D=B D=A B,2又 A C=:.B D=A C=M，V Z 5=30,N B D O=N 4 D O=9 0 ,A

13、 Z 500=60,BO=2 DO,由勾股定理得：B O2 O D2+BD2,即（20。）2=002+（代）2,解得：0。=1 （负数舍去），所以阴影部分的面积S=S4BDO-S 扇形。E=X 1 X -60/=噂.212 360 2 65.【解答】（1）证明：连接8,如图，.,OE_L8C 于点尸,/.Z+ZFGE=90N F G E=N A G D,-17/.ZE+ZAGD=90.9：AG=AD,：.NAGD=/ADG.：.ZE+ZADG=90.：OD=OE,：.ZE=ZODEf：.ZODE+ZADG=90.即 NO%=90,：.ODLADfT。为。的半径，/。是O O的切线；(2)解：过

14、点。作。，比 于 点 儿 如图,则 DE=2DH.9：AG=AD,ZA=60,4G。为等边三角形,:/ADE=60.*：ZODA=90,18：.ZO D E30.在 中，.cosNOD=吗O D：.DH=ODcos30=8X 国=4 愿.2：.DE=2DH=Sy3.6.【解答】解：(1)连接3E,四边形力8 8 是正方形，:NBAE=90,8E 是圆。的直径，：/BAF+NEAF=90，/EAF=N EBF,ZFBG=ZFAB,：.ZFBG+ZEBF=90,：.ZO BG=90Q,故 BG 是圆O 的切线；(2)如图，连接0 4 OF,四 边 形 力 是 正 方 形，是圆的直径,：.ZEFD=

15、90,NFDE=45,NFED=45,A ZAOF=90,9：OA=OF=U：.AF2=AO2+FO2=+1=2,19:.A F=AF=-V2(舍 去).7.【解答】(1)证明：连接0 4 OB,OP,V ZACB=60 ,A ZAOB=2ZACB=20,：P A 与O O 相切于点儿A ZOJP=90,V ZJPS=60,:.NOBP=360-ZAOB-Z 0 A P-ZAPB=90,：0 3 是。的半径，是。的切线；(2)解：:N0AP=NOBP=90,OA=OB,OP=OP,：.RtO APRt/O BP(H L),20，ZAOP=NBOP=ZAOB=60,2：.AP=OA-tan60=

16、4 遮 (cm),阴影部分的面积=2ZOZP的面积-扇形ZO8的面积=2 X XAOAP-12 0 兀 X2 3 60=2X J1X4X4百-JAT T2 3=163 工3阴影部分的面积为167 3 -西 F38.【解答】解：(1)直线5E与。相切，理由：连接8,c o与。相切于点。，：.ZODE=90,:ADOE,:NADO=NDOE,/DAO=/EOB,：OD=OA,：.ZADO=ZDAOt：.ZDOE=ZEOBf：OD=OB,OE=OE,：./DOE/BOE(SA S),21：.40BE=NODE=90,是。的半径，.直线BE与。相切；（2）解法一：设。的半径为厂，在 RtOOC 中，O

17、N+De=OC2,.+4 2=（叶2）2,.尸=3,:AB=2r=6,/.BC=AC+AB2+6=8,由（1）得：OOE名8OE,:DE=BE,在 RtACE 中，BC2+BE2=CE2,82+52=（4+QE）2,：.64+DE2=（4W E）2,:DE=&,解法二：设。的半径为八在 RtaOOC 中，02+。2=。2,/+4 2=（什2）2,；l=3,：.0A=3,:ADOE,CA=CDAO DE 2=3 DE：.DE=6,的长为6.9.【解答】（1）证明：过点N作/F L C Q于点尸，如图,；CD=C4,：.ZCAD=ZCDA,V ZBAC=90,A ZBAD+ZCAD=9Q,-2 3

18、/.ZBAD+ZCDA=90.9：DEAB,：.ZBAD+ZADE=90,ZADE=ZCDA.9：AE.LDEf AFLCD,：.AE=AF,即N F为。力的半径，这样，直线8 c经过半圆/尸的外端R且垂直于半径力凡 3。是。4的切线；(2)解：CD=CA,AC=5,:CD=5,：.BC=BD+CD=S.*：DELAB,AC1.AB,：.DE/AC,.BD DE =,CB AC 3 D=E-8 5：.D E=-.8i o.【解答】(i)证明：连接o n24,/BD=A D A ZAOD ZBOD1ZAOB=90Q,2:ABI/DE,：.ZAOD=ZODE=90,.0。是。的半径，二直线Q E是

19、。的切线；(2)解：连接S,.7 8 为。的直径，:.NACB=NADB=90,*8=1 0,BC=6,:-AC=VAB2-BC2=V102-62=825：.AD=BD=妈=5 加，：NABD=NBAD=45,A ZACD=ZABD=45,AB/DE,：.ZABD=ZBDE=45,ZBDE=ZACD,*/四边形ADBC是圆内接四边形，NC4D+NC8D=180,：NCBD+/EBD=180,：.NEBD=/C4D,:BDEs/ACD,.BD=BE*AC AD 5 V 2 _ BE -.-=-,8 5 V 2 DDElL 2i5,一 ,4二/。的长为57历，BE的长为生.41 1.【解答】（1）

20、证明：连接/O,26 3C是直径，/.ZBAC=90,N 8+N 4co=90,9：OA=OC,：.ZACO=ZOAC,9：ZCAD=ZB.：.ZDAO=ZCAD+ZCAO=90,：.OAAD,川 是O。的切线；(2)解：:/C A D=/B,N4DC=NBD4：.ACDsLBAD,AD=CD=AC=1 丽 AD AB 2，:BD=8,.A D _ 1 一 ，8 2.=4,.8=XW=JLX4=2,2 2:.BC=BD-CD=8-2=6,OO的半径为3.1 2.【解答】（1）证明：如图1,延长。8至H,27:DG/BC,：.4C B H=4D,：4=/Z),NA=NCBH,：A B 是O。的直

21、径A ZACB=90,：.ZA+ZABC=90,:.NCBH+NABC=9Q,二 4 8 0=9 0 ,.8。与。相切；(2)解：解法一：如图2,连接。凡.C F Z A C B,：.NACF=ZBCF,第=髭J.OFYAB,：BDA.AB,：.OF/BD,:.E F O sg D B,OF=OE*BD BE：AE=OE,EB T28 如=工：.OF=4,：.BE=OE+OB=2+4=6,DE=VBD2+B E2=V 122+62=6 娓.解法二：如图2,连接OF,：AE=OE,：.OA=OF=2OE,RtZXOEF 中，ta n/O E F=2,OERtABED 中,ta n/O E F=2

22、,BE BE：.BE=6,由勾股定理得：D E=BI)2+BE2=寸1 2 2+6 2=6.故答案为：67 5.图229D1 3.【解答】(1)证明：连接。乙4=22.5,/.ZBOD=2ZA=45,TCDAB,：.ZCDO=ZBOD=45：.OFAB,JBDLAB,J.OF/BD,，EFOs/XEDB,如=丝 BD B E：AE=OE,Q L=X,EB 3.Q L=X,r T：.OF=2,：.BE=OE+OB=1+2=3,:DE=7BD2+B E2=7 62+32=3 心36解法二：如图2,连接。尸,AE=OE,：.OA=OF=2OE,RtZOEF 中，ta n/0 E F=W=2,OE中，

23、tan N O:.BE=3,由勾股定理得：DE=Dw图2D图11 7.【解答】（1）证明A ZACB=9Q,卯=坨=_ _=2,BE BEVBD2+BE2=:V 62+32=3 5-：.ZB是。的直径，A ZBAC+ZB=90Q,5L：OP/BC,：.NAOP=NB,：.ZBAC+ZAOP=90,NP=ABAC,N P+N 4O P=90 ,:.NP4O=90,：.PALOA,又/是G)O 的半径，：.P A 为。的切线；(2)解：由(1)得：ZPAO=ZACB=90,又,：NP=NBAC,OP=BA,：.O A P/B C A (A A S),.1,BC=OA=yAB=r,A C=VAB2-

24、BC2=722-12=V3-1 8.【解答】(1)证明：连接O C,.8。与。相切于点8,/.ZABD=90,：.ZCBE+ZOBC90,是。的直径,3 8.,./NC8=N 8CZ)=90,是8。中点，：.BE=CE,：.4BCE=4CBE,：OC=OB,：.ZOCB=ZOBC,：.ZBCE+ZOCB=90,：.ZOCE=90,：0 C是。的半径，.KC是。的切线；(2)解：BD=4,N 8C)=90，点 E 是 8。中点，:.BE=CE=LBD=2,2,：2EF=3BE,:.EF=3,在 RtZXPBE 中，BF=/EF2-BE2=V 5-由(1)得NOCF=N4BD=90,设 O C=x

25、,则 OF=BF-OB=娓-x,OF2-OC2=FC2,：.(V5-X)2-x2=M,解得：x=W L539O O的半径为以5：OB=OC,：.ZOCB=ZOBCf；BC 平分 NDB4：.ZOBC=/DBC,：./OCB=/DBC,：.OC/BD,*：BD1CD,：.OCl.CDf 。是半圆o上的一点,40.CZ）与半圆。相切;（2）解：如图连接/C、AE.V cosABD=,2；.N4BD=60,由（1）可知，N4BC=NCBD=3Q,在 RtZ/C8 中，V ZACB=90,N/8C=30,NB=4,.8C=/8cos30=2 如,在 Rt/ABE 中，V ZAEB=90,ZBAE=30

26、,AB=4,:.B E=LB=2,AE=2如,2在 RtACLB 中，V ZZ=90,ZCBD=30,8 c=2 ,:.C D=%C=a，BD=3,2：.DE=DB-BE=1.2 0.【解答】（1）证明：连接08,41E：OA=OB,工 NBAE=NOBA,:CE=BC,:乙E=LCBE,/NE=NBAE,：/OBA=NCBE,ZC是。的直径，/.ZABC=90,：.ZOBA+ZOBC=90,：.ZCBE+ZOBC=90,：.ZOBE=90,OB是O O的半径，3E与O O相切；(2)解：过点。作。弁，4 5,交力5的延长线于点R：CE=CB,CD工BE,42:.BD=DE=LBE,2ZBAE=NE,:BE=AB=4,：.BD=2,:NBAE=NE=30，：.ZEBF=ZBAE+ZE=60，在/中，=80sin6O=2XBF=BDcos60=2X A=l,2：.AF=AB+BF=4+=5,在 RtZADF 中，ta n/Z)/F=W=近,AF 5：.tanZ BAD的 值 为 返 .5 4344