2023艺术生新高考数学讲义 第17讲 数列求和（学生版+解析版）.pdf

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1、第 17讲 数 列 求 和【知 识 点 总 结】求 数 列 前”项 和 的 常 见 方 法 如 下：（1）公 式 法：对 于 等 差、等 比 数 列，直 接 利 用 前 项 和 公 式.（2）错 位 相 减 法：数 列 的 通 项 公 式 为 可 也,或 虫 的 形 式，其 中“为 等 差 数 列，包 为 等 比 数 列.bn（3）分 组 求 和 法：数 列 的 通 项 公 式 为 4+”的 形 式，其 中“和 2 满 足 不 同 的 求 和 公 式.常 见 于 4 为 等 差 数 列，2 为 等 比 数 列 或 者 凡 与 分 别 是 数 列 的 奇 数 项 和 偶 数 项，并 满 足 不

2、同 的 规 律.（4）裂 项 相 消 法：将 数 列 恒 等 变 形 为 连 续 两 项 或 相 隔 若 干 项 之 差 的 形 式，进 行 消 项.（5）倒 序 相 加：应 用 于 等 差 数 列 或 转 化 为 等 差 数 列 的 数 列 求 和.【典 型 例 题】例 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）数 列 4 的 通 项 公 式=1，它 的 前 项 和 S“=9,则=（)A.9 B.10 C.99 D.100例 2.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 4 中，2%-%3=1，且 4，%T，4+5成 等 比 数 列，则 数 列

3、（-1）。的 前 21项 和 为（）A.12 B.21 C.11 D.31例 3.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 诙 满 足:atl+=an-an-（论 2,ai=l,02=2,S”为 数 列 的 前 项 和,则 S202=（）A.3 B.2 C.1 D.0、1 1 1例 4.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列%的 前 几 项 和 为？=3,S4=10,贝”三+不+不 二 例 5.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习）己 知 数 列 4 的 前 项 和 S,=2+2_4（eN.）,函 数/*）对 一 切 实 数 x总 有/(x)

4、+/(l-x)=l,数 列 2 满 足 bn=/(0)+/(-!-)+/(-)+.+生 口)+/.分 别 求 数 列、也 的 n n n通 项 公 式.例 6.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 4 为 等 差 数 列，为 等 比 数 列，且 满 足 4=1,=2,4=4(4-回=4(6 3-6 2).（1）求 q 和 色 的 通 项 公 式；（2）对 任 意 的 正 整 数 n,设%=ah,t,求 数 列%的 前 项 和 5,1.例 7.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）数 列 4 的 前 项 和 为 S“，q=l,a“+i=2S“+l.（1）求 4,s,；（2）设

5、 尸 内，数 列 圾 的 前 项 和 为 证 明：例 8.（2021福 建 永 安 市 第 三 中 学 高 中 校 高 三 期 中）已 知 数 列 4 是 前 项 和 为 5“=2向-2（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式；（2）令 2=q,+log2 4，求 数 列 的 前 项 和 7；.【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 函 数/（x）=（x-i y+l,利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 的 方 法，可 求 得 f（5）+/（T）+/（0）+/（6）+/（7）（）.25A.25 B.

6、26 C.13 D.22.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数 y=/（x）满 足+x）=l,若 数 列 4 满 足 4=f（o）+/（：）+/（：+j（F）+/a），则 数 列 的 前 20 项 和 为（）A.100 B.105 C.110 D.1153.(2020全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 x)=x+s i n G-3,则 康 卜(嘉 W 募 卜+端)的 值 为 A.4033 B.-4033C.8066 D.-80664.(2021全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 等 比 数 列 m 的 前 项 和 为 S“若&=7,5 6=6 3,则

7、数 列 斯 的 前 n 项 和 为()A.-3+(/7+1)x2 B.3+(+1)x2”C.1+(+1)x2 D.1+(-1)x25.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)化 简 5.=+(-1)*2+(-2 2 2+2、22+2-1的 结 果 是()A.2向+一 2 B.2向 一+2C.2-n-2 D.2n+1-26.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）根 据 预 测，某 地 第（乂*）个 月 共 享 单 车 的 投 放 量 和 损 失 量 分 别 为 耳 和 5/t4+15 1 的 前 项 和 S“为 8.（2022.江 苏.高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 a 的 通

8、项 公 式 为=sin?彳，nwN*,其 前 项 和 为 邑，则 52侬=9.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）设 数 歹!6 有?T o g（“+i）2 0 0 6,则 一+_+一=.a a2“2 0 0 5三、解 答 题 10.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 斯 的 前 项 和 为 S”,0=5,nSn+i-（n+1）Sn=n2+n.（1）求 证：数 列 1 为 等 差 数 列；（2）令 bn=2nan,求 数 列 仇 的 前 项 和 Tn.11.（2022河 北 高 三 专 题 练 习）己 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S,且 S e=S“+a,

9、+l,.请 在 4+%=13；成 等 比 数 列；兀=6 5,这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 上 而 题 干 中，并 解 答 下 面 问 题.（1）求 数 列。,的 通 项 公 式；（2）求 数 列 墨 的 前 项 和 却 注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.12.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）有 一 正 项 等 比 数 列“的 公 比 为 前 项 和 为 S“满 足 2 4=64,S3=14.设 瓦=k）g2a“V）.（1）求 s,s 的 值，并 求 出 数 列 小 的 通 项 公 式；（2）判 断 数 列 与

10、是 否 为 等 差 数 列，并 说 明 理 由；（3）记 I=一,求 数 列 6 的 前 n 项 和 T,.13.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列%满 足 24+5的+8 3+（3-1）4,=小 詈.（1）求 数 列。,的 通 项 公 式；（2）设=2所 忸+君；2），求 数 列 帆 的 前 项 和 4.14.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列%的 前“项 和 为 且 满 足 2a,=$,+（毛）.（1）求 证：数 列 他”+1 是 等 比 数 列；记+）-,求 数 列 口 的 前 项 和 小 15.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已

11、 知 数 列%的 前 项 和 为 S“，且 满 足 2%-S“=1（W N*）.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式：（2）设=（._ 麓，_）,数 列 出 的 前”项 和 为 7,，求 证：|7；,1.16.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 5“=2 4-2；2%=4+4-4；S,邑+2,。成 等 差 数 列 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 的 问 题 中，并 解 答.问 题：数 列。“是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，前“项 和 为 Snt Cl=2,且 _.（1）求 数 列 小 的 通 项 公 式；T右 m-1+“一 1（n w

12、N*）,求 数 列 6 的 前 夕 项 和 A.17.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）设 数 列 叫 的 前 项 和 为 S.,已 知 6=2 且 数 列 是 以 为 公 差 的 等 差 数 列.（1）求 数 列 见 的 通 项 公 式；2 u（2）设 数 列 他,的 前 项 和 为 7；,求 证：Tnn+-.1218.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 等 比 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，=1,S,M+2S,I=3 S“（*2）.（1）求 数 列。,的 通 项 公 式：（2）令 2=襄,求 数 列 也,的 前 项 和 7；.19.（2022 全 国 高 三

13、 专 题 练 习）设 等 比 数 列 a“的 前 项 和 为 S“，已 知 邑=4 q,且+2,2%,%成 等 差 数 列.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式；（2）设 数 列，满 足 d=,求 数 列 低 的 前 项 和 7；.20.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 叫，色,满 足 勺=22,3 T=4（k e N）blk_x,砥,%“成 等 差 数 列.（1）证 明：伪 是 等 比 数 列；,、+2,、（2）数 列 q 满 足 c=.（+）（a J，记 数 列 c“的 前 n项 和 为 S”，求 5“21.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 正 项

14、数 列 可 中，4=1,，且 况 乜=&士（之 2）.%an+。（1）求 叫 的 通 项 公 式；（2）求 数 列，一-1的 前”项 和 S,.I A+%J22.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 等 差 数 列 4 的 前 八 项 和 为 S“，数 列,为 正 项 等 比 数 列，其 满 足q=4=2,S4=a5+b3,%+4=8.（1）求 数 列 q 和 色 的 通 项 公 式：（2）若,求 数 列 q 的 前 项 和 在%=一+,c“=a”b”,这 三 个 条 件 中 任 一 个 补 充 在 第（2）问 中；并 对 其 求 解.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解

15、答，按 第 一 个 解 答 计 分.23.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 q 满 足 公 差 d（）,前 n 项 的 和 为 S“，53=2a4,卬，%+2,2 4 成 等 比 数 列.（1）求 4 的 通 项 公 式；（2）若.二（二 1）“（2+5）,求 数 列 出 的 前 100项 的 和 7；0G.24.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列%满 足 4=2,an+l=2an+2+l.（1）证 明：数 列 畀 为 等 差 数 列；a 1 1 1 c（2）设 4=才，证 明:京+5+炉 2.25.（2021 全 国 高 三 专 题 练

16、习）设 斯 是 等 差 数 列，（G M）；是 等 比 数 列，公 比 大 于 0,其 前 项 和 为 Sn（n 用 N*）.已 知&=1,A=为+2,b5=a3+a 5,67=04+206.(1)求 S“与 a”；(2)若.=同,求 数 列 的 前”项 和 7；.26.(2021全 国 全 国 模 拟 预 测)已 知 数 列%满 足。“+%+2=2。,用，且 4=1,as+a7=22.(1)求 数 列,的 通 项 公 式；(2)记 在 区 间(3,3加)(?*)上，4 的 项 数 为 小 求 数 列 也“的 前?项 和.27.(2021海 南 二 中 高 三 阶 段 练 习)递 增 等 差

17、数 列%中，4%=T 6,%+4=。.(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)求 数 列 2 4+4 前 项 和 5“28.(2021河 南 高 三 阶 段 练 习(文)已 知-3,1,3,5 中 的 3个 数 为 等 差 数 列 6 的 前 3项，且 99不 在 数 列 4,中，101在 数 列%中.(1)求 数 列 a,的 通 项 M；(2)设 包=匚，求 数 列 瓦 的 前”项 和 S”.an+an+229.（2021全 国 高 三 专 题 练 习）设 数 列 也,是 公 差 大 于 零 的 等 差 数 列，已 知 q=3,婿=a4+24.（1）求 数 列 的 通 项 公 式；设 数

18、 列 间 满 足 海 产”线 鬻,求+cosa”;r（为 偶 数）30.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 数 列 q 中，=2,at l=2a.（1）求;（2）若=+外,求 数 列 优 的 前 5 项 的 和 卜第 17讲 数 列 求 和【知 识 点 总 结】求 数 列 前”项 和 的 常 见 方 法 如 下：(1)公 式 法：对 于 等 差、等 比 数 列，直 接 利 用 前”项 和 公 式.(2)错 位 相 减 法：数 列 的 通 项 公 式 为 可 也 或%的 形 式，其 中,为 等 差 数 列，为 等 比 数 列.b“(3)分 组 求 和 法：数 列 的 通 项

19、公 式 为 4+”的 形 式，其 中“和 2 满 足 不 同 的 求 和 公 式.常 见 于 4 为 等 差 数 列，2 为 等 比 数 列 或 者 凡 与 分 别 是 数 列 的 奇 数 项 和 偶 数 项，并 满 足 不 同 的 规 律.(4)裂 项 相 消 法：将 数 列 恒 等 变 形 为 连 续 两 项 或 相 隔 若 干 项 之 差 的 形 式，进 行 消 项.(5)倒 序 相 加：应 用 于 等 差 数 列 或 转 化 为 等 差 数 列 的 数 列 求 和.【典 型 例 题】例 1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)数 列 4 的 通 项 公 式%=+，它 的 前”项

20、和 S“=9,则=()A.9 B.10 C.99 D.100【答 案】C【详 解】数 列%的 通 项 公 式=Vrt+l-y/n则 Sn+-+l+l-1=9.解 得=99.故 选：C.例 2.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 公 差 大 于。的 等 差 数 列 q 中，2%-q=1，且 4，3-1，&+5成 等 比 数 列，则 数 列(-1)%的 前 21项 和 为()A.12 B.21 C.II D.31【答 案】B【详 解】由 题 意，公 差”大 于 0 的 等 差 数 列 4 中，2%-3=1，可 得 2q+12d(q+1)=1,即 q=1,由 q,a,-l,4+5 成 等

21、比 数 列，可 得(色 叶=(%+5),即 为(1+24-1)2=1+54+5,解 得=2 或 d=-j(舍 去)，所 以 数 列 的 通 项 公 式 4=l+2(l)=2wT eN+,所 以 数 列(-1广 的 前 2 1项 和 为：S)=4-火+%一/+,+%g-+2=(1 3)+(5-7)+(37-39)+41=-2x10+41=21.故 选：B.例 3.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 小 满 足：an+=an-an.(n2,nW W),a=,2=2,S 为 数 列 为 的 前 n 项 和，则 5 2 0 2 1=()A.3 B.2 C.1 D.0【答 案】C【

22、详 解】.斯+1 dl=l,42=2,a3=1,674=-1,6Z5=-2,676=-1,4 7=1,。8=2,故 数 列 外 是 周 期 为 6 的 周 期 数 列，且 每 连 续 6 项 的 和 为 0,故 52021=336乂 0+。2017+42018+1 2 0 2 1=1+4 2+3+4+5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.故 选：C.,、1 1 1例 4.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 等 差 数 列,的 前 项 和 为 S,%=3=1 0,则 3+?+7=J d2，【答 案】3【详 解】解：设 公 差 为 4,因 为“3=3,54=1 0,所 以 匕 解

23、得 所 以 4=，所 以 s=出 4a,+6 J=10 a=1 2例 5.(2021全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列%的 前 项 和 S=2 2 _ 4 5 e M),函 数 例 x)对 一 切 实 数 x总 有 x)+/(I-x)=1,数 列 也,满 足 b=/(0)+f(-)+/(-)+.+/(-)+/.分 别 求 数 列 6、2 的 n n n通 项 公 式.【详 解】当=1,4=S=21*2 4=4当 22,a,=S-5_,=（2+2-4）-（2+,-4）=2+|”=1 时 满 足 上 式，故=2+,（ne/V-）；/（x）+C（I）=l.,.）+/（?）=0）+J+僧+

24、争+/.=i）+f（F）+f（泪+/（1）+/（0）,7+1.+，得 2b“=+l.也=例 6.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知%为 等 差 数 列，论,为 等 比 数 列，且 满 足 4=1,4=2吗=4（%一%）也=4他 一 8）.（1）求 4 和 2 的 通 项 公 式；（2）对 任 意 的 正 整 数，设 g=。也，求 数 列%的 前 项 和 S”.【详 解】（1）设 等 差 数 列 q 的 公 差 为 止 等 比 数 列 2 的 公 比 为（?,由 4=1,%=4（6-42），则 l+3d=4d,可 得=1,所 以 4,=1+一 1=,因 为 a=2也=4（4 么）

25、，所 以 2/=4（2/-2g）,整 理 得 0-2）2=0,解 得 q=2,所 以,=2X2T=2；(2)c=n-2,S=1X2+2 X 22+3 X 23+L+n-2,25=1X22+2 X 23+3 X 24+L+n-2+l,两 式 相 减，得 2(1-2)-S=1X2+22+23+24+L+2-n-2+l-n-2+1=(l-n)-2,+l-2 1-2所 以 S,=(l)x2“+2.例 7.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）数 列 a“的 前 项 和 为 S，.=1,a+l=2S+l.（1）求%,s“；（2）设=裳-，数 列 也,的 前 项 和 为，.证 明：Tn 2)一 得:

26、%=3”“5 2 2)令=1时,%=2q+1=3=3q满 足 上 式 数 列%是 为 为 首 项，3为 公 比 的 等 比 数 列.a=ax-q=y-S.q(i w)i-q1-3 3-11-3 2（2）证 明：由 得：。“=3 T 5=1；也=4 3T 2SB,”一(3-1)(3e-1)一 3 1 3-1 3,+|-1:.Tn=b,+b2+-+bn2 M J 1 1 13l2-8+8-26+3-l-3,+l-l1 2 3 3+2-3：.Tn-3又 7;为 递 增 数 列 4.3 17=(3-1)(9-1)=4.-?；-4 3例 8.(2021,福 建 永 安 市 第 三 中 学 高 中 校 高

27、 三 期 中)己 知 数 列%是 前 项 和 为 5,=2”-2(1)求 数 列 4 的 通 项 公 式；(2)令 d=a“+log2a“，求 数 列 的 前 项 和 7“.【详 解】(1)V 5=2n+-2当 2 2 时，an=S-S_,=2-2-(2-2)=2当=1时，q=2满 足 上 式，所 以 数 列 的 通 项 公 式 为 例=2”.(2)由(1)得,4=2+lo g 2(2)=2+,则/=(2+1)+(22+2)+(23+3)+.+(2+)=(2+2+2,+2)+(1+2+3+)2(1 2”)(1+几)=-1-1-2 2【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.(2021 全

28、国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 函 数 x)=(x-l)3+l,利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 的 方 法，可 求 得-5)+/(T)+/(0)+6)+7)().A.25 B.26 C.13 D.2【答 案】C【分 析】先 根 据 已 知 条 件 求 出/(x)+/(2-x)=2,再 利 用 倒 序 相 加 法 求 和 即 可.【详 解】解：=:.f(2-x)=(2-x)-l?+l=(l-x)3+l,BP/(X)+/(2-X)=2,设，=/(5)+T)+/(3)+0)+6)+7),则 f=/+/+5)+/(0)+/(T)+5),则+得：2r=/(

29、-5)+/(7)+/()+/(6)+-+/(7)+/(-5)=2xl3=26,故=13.故 选：C.2.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)己 知 函 数 y=/(x)满 足/。)+/(1-幻=1,若 数 列%满 足 4=。)+/()+/月+/(汩+/M 则 数 列 4 的 前 20项 和 为()A.100 B.105 C.110 D.115【答 案】D【分 析】根 据 函 数 y=f(x)满 足/(x)+/(l-幻=1,利 用 倒 序 相 加 法 求 出 耳，再 求 前 20项 和.【详 解】因 为 函 数 y=/(x)满 足“x)+/(i-x)=i,4,=八 0)+巾)+/电+/(筌

30、|+削，.可=阿+/呼)+/(一 卜+卜/(0)，由+可 得 勿=+1,an=-,(2o+n所 以 数 列 4 是 首 项 为 1,公 差 为 的 等 差 数 列，其 前 20项 和 为 戈 二=5，2-,故 选：D.【点 睛】本 题 上 要 考 查 函 数 的 性 质 及 倒 序 相 加 法 求 和，属 于 基 础 题.3.(2020全 国 高 三 专 题 练 习)己 知 函 数/(x)=x+sin;rx 3,则 40332017的 值 为 A.4033 B.-4033C.8066 D.-8066【答 案】D【详 解】试 题 分 析：/(x)+/(2-x)=x+s in x-3+2-x+s

31、in(2-x)-3=-4,所 以 原 式=(-4=-8066.考 点：函 数 求 值，倒 序 求 和 法.【思 路 点 晴】本 题 主 要 考 查 函 数 求 值 与 倒 序 相 加 法.注 意 到 原 式 中 第 一 个 自 变 量 加 上 最 后 一 个 自 变 量 的 值 为 2,依 此 类 推，第 二 个 自 变 量 加 上 倒 数 第 二 个 自 变 量 的 值 也 是 2,故 考 虑/(力+/(2-力 是 不 是 定 值.通 过 算，可 以 得 到，(x)+/(2 x)=T,每 两 个 数 的 和 是 其 中 l)+l)=T J(l)=2,所 以 原 式 等 价 于 4033个-2

32、 即-8066.4.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 等 比 数 列 3 的 前“项 和 为 S”若 S3=7,&=6 3,则 数 列 跖 的 前 n 项 和 为()A.-3+(+1)x2 B.3+(+1)x2”C.1+(+1)x2 D.1+(”-1)x2”【答 案】D【分 析】利 用 已 知 条 件 列 出 方 程 组 求 解 即 可 得 4,4,求 出 数 列 小 的 通 项 公 式，再 利 用 错 位 相 减 法 求 和 即 可.【详 解】设 等 比 数 列(3 的 公 比 为 g,易 知#1,“1-7)5 3=4 1=7所 以 由 题 设 得，1 一 q4(1-力

33、 S 一-=63i-q两 式 相 除 得 1+/=9,解 得 q=2,进 而 可 得 41=1，所 以 an=aqn-l=2n-,所 以“=X 2T.设 数 例 m 的 前 项 和 为 7；,则 Tn=1 x20+2x21+3x2.+/ix2-,24=1x21+2x22+3x23+”x2,1-2两 式 作 差 得-A=1+2+22+2-L X 2=二-x2=-1+(1-)x2,1-2故 T=l+(n-l)x2.故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 求 等 比 数 列 的 通 项 公 式 问 题 以 及 利 用 错 位 相 减 法 求 和 的 问 题.属 于 较 易 题.5.(202

34、2 全 国 高 三 专 题 练 习)化 简 5“=+5-1)*2+(-222+2、22+2-1的 结 果 是()A.2+n-2 B.2+-n+2C.2-n-2 D.2n+-w-2【答 案】D【分 析】用 错 位 相 减 法 求 和.【详 解】S“=+(-1)X 2+(“-2)X 22+2 X 2-2+2 T,(1)2S“=x2+(”-1)x22+(-2)x23+.+2x2i+2”,(2)(2)-(1)得：S=-n+2+22+-+2-+2n=-n+2(l2)=-/7+2+l-2=2t-n-2.1-2故 选：D.6.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)根 据 预 测，某 地 第 个 月 共

35、 享 单 车 的 投 放 量 和 损 失 量 分 别 为%和 5/+15 14A.421 B.451 C.439 D.935【答 案】D【分 析】根 据 题 意 求 出 前 四 个 月 的 共 享 单 车 投 放 量，减 去 前 四 个 月 的 损 失 量，即 为 第 四 个 月 底 的 共 享 单 车 的 保 有 量.【详 解】由 题 意 可 得 该 地 第 4 个 月 底 的 共 享 单 车 的 保 有 量 为(4+/+%+4)-(4+匕 2+4+a)=(20+95+420+4 3 0)-(6+7+8+9)=965-30=935故 选：D.二、填 空 题 7.(2022 上 海 高 三 专

36、 题 练 习)已 知 数 列/满 足+3%+3 3。3+3&=(e N*),则 数 列-的 前 n 项 和 S为 _.log3t7.log3a+lJ【答 案】【分 析】由 3q+32a2+33a3+3。“=(”e N*)与 3q+32%+33%+a.=n-两 式 相 减，得 出 为=,进 而 得 出,；-1的 通 项 公 式，再 由 裂 项 相 消 法 求 和 即 可.log3-log3a+1J【详 解】当 2 时,由+3d+3，%+3 a“=e N),得 3al+34+3%3+3=n 1,两 式 相 减，得 q=，又 4=g，适 合，所 以故 答 案 为：Sn=-n+8.(2022 江 苏

37、高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 a,的 通 项 公 式 4=sin2e N”,其 前 项 和 为 S“，则 S2()2()=【答 案】1010【分 析】计 算 前 4 项，结 合 周 期 得 出 202。.【详 解】1 兀 T 2几 A1-COS 2 11 WTk 1 1,周 期 un 1=71=4a=-一 一 cos+-2 2 2 2 2.2 万 1.、兀，.o 37r 1.2 八 4=sn=,a2=sin_=l,a3=sn=,a4=sirr 万 二 052O2o=54x5O5-505+l+1+0 p 0 l 0故 答 案 为：1010【点 睛】关 键 点 睛：解 决 本 题 的 关

38、 键 在 于 推 理 得 出 数 列。,J 是 周 期 数 列，再 由 周 期 性 得 出$2020.9.(2022 上 海.高 三 专 题 练 习)设 数 列 4 有 4=1。&川)2006,则 一+=.a a2“2005【答 案】log2 M62006!【分 析】根 据 对 数 性 质 化 简 计 算 即 可.【详 解】a=1。&向,2006=-=log2006(n+1)4 1。&,旬 2006所 以+=l g zoos 2+Iog2006 3+-+log2006 20064 a2。2005=l g 2006(2 x 3 x x 2006)=log2006 2006!故 答 案 为：Iog

39、2oo6 2006!【点 睛】本 题 考 查 利 用 对 数 性 质 进 行 化 简，考 查 基 本 分 析 化 简 能 力，属 基 础 题.三、解 答 题 10.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 为 的 前 项 和 为 S”0=5,，S+1-(n+1)S,产 层+.(1)求 证：数 列 为 等 差 数 列；(2)令 bn=2a,求 数 列 瓦 的 前 n 项 和 T,.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)T“=(2+1)2+|-2.【分 析】(1)利 用 等 差 数 列 的 定 义 证 明 即 可.(2)利 用 错 位 相 减 法 即 可 求 解.【详 解】(1

40、)证 明：由 S“+i-(+1)SA=+得 一 四;-=1 又*=5,n+n 1所 以 数 列 是 首 项 为 5,公 差 为 1的 等 差 数 列.(2)由(1)可 知&=5+(止 1)=+4,所 以 S尸 层+4几 n当 N2 时，an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(-1)=2/7+3.又 0=5 也 符 合 上 式，所 以 产 2+3(),所 以 瓦=(2+3)2”,所 以 4=5x2+7x22+9x23+3)2，2r,=5x22+7x23+9x24+.+(2+1)2+(2+3)-2,+1,所 以 得 Tn=(2,1+3)2w+,-10-(23+24+2用)=(2+3)2

41、用-10-2(1-2|)1-2=(2+3)2+,-10-(2+2-8)=(2/7+1)2n+l-2.11.(2022 河 北 高 三 专 题 练 习)己 知 数 列 4“的 前”项 和 为 5“，且 S“M=S“+4+1,.请 在“+%=13；卬 4，%;成 等 比 数 列；品=65,这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 上 而 题 干 中，并 解 答 下 面 问 题.(1)求 数 列 a,的 通 项 公 式；(2)求 数 列 仔)的 前“项 和 I.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.+3【答 案】(1)答 案 见 解 析；(2)

42、4=3-夕.【分 析】根 据 S.与 an的 关 系 可 得 a,为 等 差 数 列，(1)选，利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 基 本 量 的 计 算 即 可 求 解；选，利 用 等 比 中 项 以 及 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 求 解；选，利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 即 可 求 解.(2)利 用 错 位 相 减 法 即 可 求 解.【详 解】因 为 5m=S“+4+l,所 以 S向-S“=a“+1,即 1=4+1,所 以 数 列%是 首 项 为,公 差 为 1 的 等 差 数 列，其 公 差 d=l.(1)选.由 4+%=13,得 q+3d+

43、q+6d=13,即 2q=13-9d,所 以 2q=13-9x1=4,解 得 q=2.所 以。=ax+(l)d=2+(n-l)x 1=n+,即 数 列 4 的 通 项 公 式 为 4=+1.选.由 4，4，ai，成 等 比 数 列，得(q+2d)2=q(7,+6d),则+4qd+4d2+6/，所 以 q=2,所 以=4+(-l)d=2+(/2 l)xl=A2+l.选.10 x9因 为 E 0=1+号 一 x d=1 Oq+45 d,所 以 104+45x1=6 5,所 以 4=2,所 以=a=2+(-l)xl=+l.由 题 可 知 圻*,所 以(=|+捻+摄+竽,所 以;q=最+5+假+/+黑

44、,两 式 相 减，得=1+*+/+上+J+L U 4+2 2(2 22 231 I=+X2 2i-X21-H+1 3+32所 以 刀,=3-展.12.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)有 一 正 项 等 比 数 列 飙 的 公 比 为 g,前 项 和 为 S”满 足 2四=64,S3=14.设 bn=10g2斯(”6 N*).(1)求 0,S 的 值，并 求 出 数 列 小 的 通 项 公 式；(2)判 断 数 列 d 是 否 为 等 差 数 列，并 说 明 理 由；(3)记，,=/,求 数 列 的 的 前 项 和 7k。典+1【答 案】(1)0=2,42=4,a=2x2-=2(eV

45、)；(2)瓦 是 以 1为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列,理 由 见 解 析；(3)T=.+1【分 析】(1)利 用 等 比 中 项 以 及 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 求 解.(2)利 用 等 差 数 列 的 定 义 即 可 证 明.(3)利 用 裂 项 求 和 法 即 可 求 解.【详 解】(1)由 2 4=64,得 a；=64.又*.*斯 0,/.“3=8.;S3=aI+。2+3，/.i+42+8=14,，+。同 二 6，8.即 m(1+q)=6,/(1+夕)=6,BP 32-4-4=02解 得 1=2或 行 下(舍 去)./.t/i=2,2=4,=2x2=2

46、.（2）数 列 为 为 等 差 数 列,理 由 如 下:由（1）知 斯=23/./?/j=log2/?=log22/,=n,bn+1=+1 i bn+1 bn=1.又 b 1 瓦 是 以 1为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 歹 I j.1 1 1 1（3）由（2）口 知，bn=n,/.cw=b也 用=7（几+=1）=-n-n+7 1,n+113.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列/满 足 2 4+5%+8 6+（3-1）凡=当 由.（1）求 数 列%的 通 项 公 式;（2）设=2（忸+丽 3 石,求 数 列 的 前 项 和 7；.i71 4【答 案】1,=2向-

47、五*-万【分 析】（1）由 2al+54+&4+（3九 _1）。=九（九+1）,可 得 当 之 2时，24+54+8%+-+（3-4）1=也 二 0,两 式 相 减 化 简 可 得（2 2）,再 验 证 是 否 满 足,2 3/2 1 2（2）由（1）得 然 后 利 用 分 组 求 和 和 裂 项 相 消 求 和 法 求【详 解】解：（1）数 列 为 满 足 24+54+8%+（3”-1”=叫 少 1 22时，2q+54+84+（3-4“_=,八-/、n（n+n（n 一，得：（3-1=-=n,故 见=舟（叫；当=1时，解 得 q=；,首 项 符 合 通 项,n3-1由（1）得：b,=2+-3a

48、l i（3n+2）=2+3-r=2+（3-1）（3+2）1 13-1 3+2所 以 7；=(2i+22+2)+(g+厂 1+3/?-l 3n+22 x(2 1)J2-1 2 3+233+2 214.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 为 的 前 项 和 为 S“,且 满 足 2a“=S“+(eN,).(1)求 证：数 列 区+1 是 等 比 数 列；记%g式-+1),求 数 列 匕，的 前 项 和 小 3 2n 3【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)-T7.4 2(+1)(+2)【分 析】(1)先 求 出 q=1,然 后 当.2时，4“=S,-S,I化 简 可 得

49、 4,=2q_1+1,两 边 加 1可 得 4+1=求+1),从 而 可 证 得 数 列,+1 是 等 比 数 列；由 得%+1=2,则 可 得 勃=(5)1 二+广 五-)，然 后 利 用 裂 项 相 消 求 和 法 可 求 得(【详 解】(1)证 明：由 2q,=S“+(neN*),可 得 2q=S|+1=4+1,解 得 q=l,”.2时,q,=S“-511T=2a-n-2a_t+n-,可 得 q=2%+1,则 为+1=2(%+1),所 以 数 列,+1 是 首 项 和 公 比 均 为 2 的 等 比 数 列；(2)由(1)可 得 a“+l=2,=_I _二 1=1 J I _ _ 1_*

50、log2(a7,+l)-log2(an+2+1)log2 2n-log2 2n+2(+2)2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1、所 以 工=-(1 一 一+-+-+.+-+-)“2 3 2 4 3 5 n-+1 n+2I 2n+32 2+1 n+2)4-2(+1)(+2).15.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S“，且 满 足 2a“-S“=l（eN*）.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式：（2）设=（._ 初 一），数 列 他 的 前 项 和 为 心 求 证：17；,1.【答 案】（1）4=2 小；（2）证 明 见 解