惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题含答案.pdf

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1、数学试题第 1页，共 5页图 1图 2惠州市惠州市 2024 届高三届高三第一次调研考试第一次调研考试试题试题数数学学全卷满分 150 分，时间 120 分钟注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，

2、共分，共 40 分。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1.已知集合*|,6Ux xxN，1,2,3A，3,5B，求UAB（）AB4,6C1,2,3,5D1,2,3,4,5,62已知复数 z 满足(1)1zii，则 z 的虚部是（）A2Bi 2C1Di3若443243210(2)xa xa xa xa xa，则43210aaaaa（）A1B1C15D154设Ra，则“1a”是“21a”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件5蚊香（如图 1）具有悠久

3、的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关某校数学社团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D，由此得到第 1 段圆弧AD，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到如图 2 所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A14B18C30D44数学试题第 2页，共 5页6甲乙两位游客慕名来到惠州旅游，准备分别从惠州西湖、博罗罗浮山、龙门南昆山、惠东盐洲岛和大亚湾红树林 5 个景点中各随

4、机选择其中一个景点游玩，记事件 A：甲和乙选择的景点不同，事件 B：甲和乙恰好一人选择罗浮山，则()P B A（）A15B25C925D9207设O为坐标原点，12,F F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为3，过2F作一条渐近线的垂线，垂足为P，则1|PFOP（）A62B2C3D68已知定义在R上的奇函数 f x满足2fxfx，且当0,1x时 fx，则不等式 sinf xx在3,3上的解集为（）A 2,02,3B1,3C1,2D 3,20,2二、多选题：二、多选题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。在每

5、小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知2log ea，ln2b，121log3c，则下列关系式中，正确的是（）AabBacCcaD+=2a b10下列说法正确的是（）A残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精确度越高B在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数C数据 1，3，4，5，7，9，11，16 的第 75 百分位数为 9D某校有男女学生共 1500 人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为 1

6、00 的样本，若样本中男生有 55 人，则该校女生有 675 人11若过点1,P可作 3 条直线与函数 1 exf xx的图象相切，则实数可以是（）A4eB2eC1eD0数学试题第 3页，共 5页12已知棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D，以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A球O的半径12R B球O在正方体外部分的体积大于213C若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则1 3,4 4PA PB D若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则1 7,4 4PA PB 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 4 小题，每

7、题小题，每题 5 分，共分，共 20 分。分。13.若3sin5，,2，则tan_.14已知函数 f x满足+12f xf x，则 f x的解析式可以是_（写出满足条件的一个解析式即可）15已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，点P在 BC 边上（包括端点），则AD AP 的取值范围是_.16已知O为坐标原点，点1,1A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点0,1B的直线交抛物线C于,P Q两点，则OPOQBPBQ的取值范围是_.四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17

8、.（本小题满分 10 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知cos3 sinbbAaB（1）求A；（2）若21a，4b，求ABC的面积数学试题第 4页，共 5页18.（本小题满分 12 分）设等差数列na的公差为d，且12da，59a（1）求数列na的通项公式；（2）设数列 nb满足1 12 22332nnnnaba ba b，求 nb的前n项和nS19（本小题满分 12 分）如图，在五面体ABCDE中，AD 平面ABC，/AD BE，2ADBE，ABBC.（1）问：在线段CD上是否存在点P，使得PE 平面ACD？若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由（2）若

9、3AB，2AC，2AD，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值20（本小题满分 12 分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛 决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得5分，没有平局 三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为4.0，5.0，75.0，各项目比赛结果相互独立甲、乙获得冠军的概率分别记为1p，2p（1）用 X 表示教师乙的总得分，求 X 的分布列与期望；（2）如果22121220.15pppp，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别请根据上述要求判断甲、乙获得冠军的

10、实力是否有明显差别数学试题第 5页，共 5页21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为0,1F，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且BDDF（1）求C的方程；（2）已知点MN、均在直线2x上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AMAN、分别交椭圆C于另一点PQ、，证明直线PQ与直线OT垂直22（本小题满分 12 分）已知函数 1lnf xxa xx，0a（1）讨论 f x极值点的个数；（2）若 f x恰有三个零点123123,t t tttt和两个极值点1212,x xxx.（）证明：120f xf x；（）若mn，且lnln

11、mmnn，证明：1231eln1mmnnttt数学试题答案第 1页，共 11页惠州市惠州市 2024 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试数学数学试题试题参考答案与评分细则参考答案与评分细则一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得1,2,3,5AB，1,2,3,4,5,6U，所以 6,4BACU，故选：B2【解析】由题意知21121112iiiiiiiz.虚部为 1，故选：C.3【解析】因为443243210(2)xa xa xa xa xa，令=1x，得4

12、32101aaaaa，故选：A4【解析】由1a 得1a 或1a ，由21a 得1a 或1a ，故选：C5.【解析】由弧长公式rl得：rl321，rl2322，rl3323，.，rl113211，其中1 ABr，44113213211321 llllL蚊香的长度故选：D.6.【解析】由题知，251155A4()C C5P A，11241155C A8()C C25P AB，所以 8225()455P ABP B AP A，故选：B.7【解析】设1,3,2acb，则22,1,PFbOPa，2133cos,cos33POFPOF 由余弦定理可得，22211113|2|cos3 123 163PFOF

13、OPOFOPFOP ，所以16PF，所以16PFOP故选：D8【解析】由题意可得 2fxf x，42fxf xf x，即 f x是周期为4的函数，且图象关于1x 对称.令()(),()()g xf xx g xfx，0,1x时，fx，0,1x时，()0g x函数()g x在0,1上单调递增当0,1x时，0gxg，而 0000fg，0 xg即 0 xxf另设()sin,0,1h xxx x，()cos(cos1)0h xxx，即函数()h x在0,1上单调递减，则sin0 xx，即xxsin，故 xxfsin在0,1上恒成立。结合对称性可画出函数 f x和sinyx在3,3上的简图，由图象可知，

14、不等式 sinf xx在3,3上的解集为2,02,3.故选：A数学试题答案第 2页，共 11页二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。题号9101112全部正确答案ACADBCBD9【解析】22loglog 21ae，即1a.ln2ln1be，即1b.12221loglog 3log3cea，所以cab，由基本不等式知 D 错误

15、，故选：AC10【解析】对于 A，由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高，故 A 正确；对于 B，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故 B 错误；对于 C，因为8 0.756，故第 75 百分位数为第 6 个数和第 7 个数的平均数 10，故 C 错误；对于 D，设该校女生人数为 n，由已知可得5515001001500n，解得 n675，故 D 正确.故选:AD.11【解析】设切点为000,1 exxx，因为()exfxx，000()exfxx，所以切线方程为000001 ee()xxyxxxx，又切线过1,P，则000001 ee(1

16、)xxxxx，整理得0200e21xxx，所以令2()e21xg xxx，则2()e1xg xx，由()0g x得1x ，所以，当1x 或1x 时，()0g x，()g x单调递减；当11x 时，()0g x，()g x单调递增，故当=1x时，()g x取极小值4(1)eg ；当1x 时，()g x取极大值(1)0g，由2()e1xg xx，可知，当1x 时，()0g x，所以函数()g x的图象大致如图，由图可知，当40e时，直线y与函数()g x的图象有 3 个交点，此时过点1,P可作 3 条直线与函数 1 exf xx的图象相切，由此可知，BC 符合题意.故选：BC.12.【解析】对于

17、A，正方体的棱切球O的半径22R，故 A 错误；对于选项 B 如图所示，球O在正方体外部的体积342211323OVVV 球正方体，或者可根据球O在平面1111DCBA上方球缺部分的体积22113 221212533322222624VRhh，h为球缺的高，数学试题答案第 3页，共 11页球O在正方体外部的体积为2556626244V，故 B 选项正确；对于选项 C，取棱AB中点E，可知E在球面上，可得EBEA ，所以 22214PPEEAPEEBPEEAPAEPB ，点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，所以02PE（当PE为直径时，2PE ），所以1 7,4 4PA PB ，C 选项

18、错误；D 选项正确.故选：BC.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。题号13141516答案34()2f xxk【注注：其中其中k可取任意实数可取任意实数】2 2,【注：可写成不等式注：可写成不等式】20,5【注：可写成不等式注：可写成不等式】13.【解析】因为3sin5，22sincos1，所以4cos5，因为,2，所以4cos5，所以sin3tancos4，故答案为：3414.【解析】只要函数()f x图象上移 2 个单位，或者左移 1 个单位，得到的函数图象重合，则满足+12f xf x，所以()2f xxk（其中k可取任意

19、实数）均满足要求。本题为开放题，典型答案为：xxf2)(，()21f xx，15.【解析解析 1】BPAD，0,1，则2AD APADABBPAD ABAD 2 2 cos120442AD AP ，因为0,1，所以22AD AP 【解析【解析 2】如图示，以 C 为原点，BC 为 x 轴正方向，过 C 垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系.因为菱形 ABCD 的边长为 2，60ABC，则2,0B,0,0C,1,3D,1,3A.因为点 P 在 BC 边上（包括端点），所以,0P t,其中2,0t.所以2,0AD,1,3APt,所以22AD APt .因为2,0t，所以222,2AD APt

20、.故答案为：2 2,【注【注 1】答案用不等式表示时使用了含未定义参数的，得】答案用不等式表示时使用了含未定义参数的，得 0 分。如：分。如：22a，则认为，则认为a为未定义为未定义的参数。的参数。【注【注 2】本题可用临界值的投影向量点积可到范围的边界值。】本题可用临界值的投影向量点积可到范围的边界值。数学试题答案第 4页，共 11页16.【解析】如图，因为点1,1A在抛物线2:2(0)C xpy p上，得12p，所以抛物线方程为2xy，设点211,P x x，222,Q xx，不妨取120,0 xx，由点,B P Q三点共线，得BPBQkk，得22121212111xxx xxx，故原式O

21、POQBPBQ2424112222121211xxxxx xxx2212221223xxxx，令221222,txx故原式21tt120,15tt，故答案为：20,5或写成502OP OQBPBQ【注】答案用不等式表示时使用了含未定义参数的，得【注】答案用不等式表示时使用了含未定义参数的，得 0 分。如：分。如：205，则认为，则认为为未定义的为未定义的参数。参数。四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分，其中第一小问 5 分，第二小问 5 分）【解析】（

22、1）由正弦定理sinsinabAB得sinsincos3sinsinBBAAB1 分sin0B，3sincos1AA2 分得1sin62A3 分0,A，5,666A 4 分【注：无范围的说明，本得分点不得分注：无范围的说明，本得分点不得分】66A，即3A.5 分（2）【解法【解法 1】由余弦定理Abccbacos2222，1 分代入已知得cc4162122 分解得舍）或(15cc3 分所以1sin2ABCSbcA4 分134 55 322 所以ABC的面积为5 35 分【解法【解法 2】由正弦定理sinsinabAB得214sinsin3B，得2 7sin7B，1 分由ab，则0,2B所以22

23、1cos1 sin7BB2 分【注：无范围的说明，本得分注：无范围的说明，本得分数学试题答案第 5页，共 11页点不得分点不得分】所以sinsinsincossincosCABABBA3212 715 7=2772143 分所以1sin2ABCSabC4 分15 721 45 3214 所以ABC的面积为5 35 分18（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）依题意有942151daaad1 分解得2,11da3 分【注：每个结果正确各注：每个结果正确各 1 分分】于是1121naandn4 分【注：公式正确即可给分注：公式正确即可给分】数列na的通项公式

24、是21nan5 分（2）Nn，1 1222332nnnnaba ba b当2n时，1 1221112132nnnnaba bab 1 分两式相减得：212nnnna b2 分而当1n 时，1 112ab 满足上式，因此Nn，212nnnna b3 分由（1）知21nan，于是得12nnb，4 分21212111nnnnbb nb是以21为首项，21为公比的等比数列5 分【注：无说明首项及公比，本得分点不得分注：无说明首项及公比，本得分点不得分】1211122112nnnSbbb6 分【注：公式正确即可给分注：公式正确即可给分】得112nnS 7 分19.（本小题满分 12 分，其中第一小问 6

25、 分，第二小问 6 分）【解析】（1）当P为线段CD的中点时，PE 平面ACD.1 分数学试题答案第 6页，共 11页证明如下：【解法【解法 1】分别取AC、CD中点O、P，连接OB、PE、OP.在ACD中，O、P分别是AC、CD的中点，ADOP21/2 分又/AD BE，2ADBE，即ADBE21/，BEOP/四边形OBEP是平行四边形，PEBO/3 分又ABCAD平面，ABCOB面，OBAD，则有ADPE 4 分由ABBC知OBAC，则有ACPE 且AADAC，ACDAC面，ACDAD面5 分【注：未列举全三个条件，本得分点不注：未列举全三个条件，本得分点不得分得分】PE 平面ACD6 分

26、【解法【解法 2】取AC中点O，连接OB，作/OzAD，由已知可知,Oz OB AC两两垂直，故可建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz2 分令22ADBEa，OBc，OAOCb，取CD中点P则(0,2)Dba，(0,0)Cb，(,0,)E ca，aP,0,0所以(0,2,2)CDba，(,)CEcb a，0,0,cPE 3 分若(,)mx y z是面CDE的一个法向量，即2200m CDbyazm CEcxbyaz 令zb，则(0,)ma b4 分0mPE，5 分PE 平面ACD.6 分（2）【解法【解法 1】在平面 ABED 中分别延长DE、AB交于点F，并连接CF1 分由ADBE21/，

27、知点B是AF中点，又O是AC的中点FCBO/，而由（1）知ACDOB平面，ACDFC平面2 分ACD就是平面ECD与平面ABC的夹角 3 分在ACDRt中,2AC，2AD 22DC4 分22222cosACD5 分所以平面ECD与平面ABC 的夹角的余弦值为22.6 分数学试题答案第 7页，共 11页【解法【解法 2】取AC中点O，连接OB，作/OzAD，由已知可知,Oz OB AC两两垂直，故可建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz1 分【注：若第一问已经建系，则不重复给分注：若第一问已经建系，则不重复给分】0,1,0 A，(0,1,2)D，(0,1,0)C，(2,0,1)E所以2,2,0

28、CD，1,1,2DE2 分若lkjn,是面ECD的一个法向量，即020220lkjDEnlkCDn令1l，则0j，1k，即1,1,0 n3 分而平面ABC的一个法向量为2,0,0AD4 分设平面 ECD 与平面 ABC 的夹角为，则2222200cosnADnAD5 分所以平面 ECD 与平面 ABC 的夹角的余弦值为22.6 分【解法【解法 3】由题可知，AD 平面 ABC，/AD BE，BE 平面 ABC1 分所以CDE 在底面的投影为ABC2 分【注：无本步骤，本得分点不得分注：无本步骤，本得分点不得分】在等腰CDE 中，CE=DE=2，CD=2，22221EC DS，3 分同理在等腰A

29、BC 中，AB=BC=3，CA=2，222221BC AS4 分设平面 ECD 与平面 ABC 夹角为，则22SScosDECABC5 分所以平面 ECD 与平面 ABC 的夹角的余弦值为22.6 分20.（本小题满分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【解析】（1）根据题意知，X的可能取值为15,0,15,301 分可得150.4 0.5 0.750.15P X 00.6 0.5 0.750.4 0.5 0.750.4 0.5 0.250.425P X 2 分150.4 0.5 0.250.6 0.5 0.250.6 0.5 0.750.35P X 300.6 0.5 0.2

30、50.075P X 3 分随机变量X的分布列为数学试题答案第 8页，共 11页X-1501530P0.150.4250.350.0754 分15 0.150 0.425 15 0.3530 0.075E X 5 分5.256 分（2）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,A B C，由题知,A B C相互独立，则教师甲获得冠军的概率1pP ABCP ABCP ABCP ABC1 分0.4 0.5 0.750.6 0.5 0.750.4 0.5 0.750.4 0.5 0.250.150.2250.150.050 575.2 分由对立事件的概率公式，可得2110.425pp 3 分221220.

31、10.160.45pp，解得120.15pp4 分22121220.15pppp5 分甲、乙获得冠军的实力没有明显差别 6 分21.（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）由题意知：1c，(,0)2aD1 分22|4aBDb=+，而|12aDF=+，22142aab+=+，即21ba=+2 分又222abc，220aa(0)a，解得2a，3 分故23b 4 分C的方程22143xy5 分（2）【解法【解法 1】令(2,)Mm，(2,)Nn，则(2,)2mnT+，而(2,0)A 可设直线:(2)4mAMyx=+1 分联立2413422xmyyx整理得2222

32、(12)44480mxm xm+-=2 分若11(,)P x y，则由韦达定理得：2124212mxm-=-+2122(12)12mxm-=+，则121212mym=+3 分数学试题答案第 9页，共 11页同理，直线:(2)4nBNyx=+，联立2413422xnyyx若22(,)Q xy，可得2222(12)12nxn-=+，则221212nyn=+4 分1222126(12)()1224()4()PQyymnnmmnkxxnmnm-=-+5 分又OMON，122nm4mn ，4PQknm=-+，而4OTnmk+=6 分1OTPQkk，则直线PQ与直线OT垂直，得证.7 分【解法【解法 2】

33、令(2,)Mm，(2,)Nn，则(2,)2mnT+由 MN 为直径0,ONOMONOM即所以 4+mn=04)2(20mmkAM则可设直线)2(4AMxmyl：1 分联立椭圆方程2413422xmyyx整理得2222(12)44480mxm xm+-=2 分若11(,)P x y，则由韦达定理得：2124212mxm-=-+2122(12)12mxm-=+，则121212mym=+3 分)1212,12)12(2(222mmmmP同理)1212,12)12(2(222nnnnQ4 分)12121212,12)12(212)12(2(222222nnmmnnmmPQ，5 分12612612612

34、612)12(412)12(42222222222nmnnmnnnmnmmnnQTPQ02212224122242222mmnnQTPQ6 分OTPQOTPQ即,7 分数学试题答案第 10页，共 11页22.（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）由题知:22210aaxxafxaxxxx 1 分设函数 2g xaxxa，当12a 时，g x开口向上，21 40a ，所以 0fx，f x在0,上单调递减，无极值点；2 分当102a时，0g x 在0,上有两个解2212114114,22aaxxaa3 分又因为121x x，所以 f x在10,x上单调递减，

35、在12xx，上单调递增，在2,x 上单调递减4 分所以 f x有两个极值点综上：当12a 时，f x无极值点；当102a时，f x有两个极值点5 分（2）(i)由(1)知102a，且121x x又因为 1111lnlnfaxxaxfxxxxx 所以 121110f xf xf xfx.1 分(ii)由(i)知:1ff xx，102a，112231txtxt 所以1 31t t，所以1 2 31t t t 2 分令 ln,0h xxx x，ln1h xx所以 h x在10,e上单调递减，在1,e上单调递增因为1x 时，h x0；01x时，h x0.所以101emn.3 分所以，要证明:1 2 3

36、1eln1mmnnt t t只需证:1eln1mmnn只需证:ln1elnln1mmnn只需证:ln 1lnln ln1mmnn数学试题答案第 11页，共 11页只需证:ln 11ln1 ln ln1mmnn 4 分又因为 lnt xxx在0,上单调递增所以只需证:1ln1mn.令 1ln11ev xxxx，所以 1110 xv xxx，所以函数 v x在1,1e上单调递减；所以 10v xv，即ln1nn.所以，要证：1ln1mn，只需证：1mn，即证明:1mn，5 分因为10em，所以ln1m ，所以lnmmm 又因为lnlnmmnn所以lnmnn，所以lnmnnnn6 分令 lnxxxx，11ex，则 ln0 xx 所以 x在1,1e上单调递增，所以 11n，所以1mn，所以1 2 31eln1mmnnt t t成立.7 分