考研数学必背公式 (1).docx

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1、考研数学必背公式高数概念基础知识因式分解公式：an-bn=(a-b)( an-1+an-2b+abn-2+bn-1) ( n为正偶数时)an-bn=(a+b)( an-1-an-2b+abn-2-bn-1) ( n为正奇数时)an+bn=(a+b)( an-1-an-2b+-abn-2+bn-1)二项式定理：(a+b)n=k=0nCnkakbn-k不等式：(1) a,b位实数，则2aba2+b2；aba+b；a-ba-b.(2) a1,a2,an0, 则 a1+a2+annna1a2an取整函数：x-1xx三角函数和差化积;积化和差(7)：sin+sin=2(sin+2)(cos-2) sin

2、cos=12(sin+2+cos-2)sin-sin=2(cos+2)(sin-2) coscos=12(cos+2+cos-2)cos+cos=2(cos+2)(cos-2) sinsin=-12(cos+2-cos-2)cos-cos=2(sin+2)(sin-2)重要三角公式1+tan2=sec2 1+cot2=csc2sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1tan=tantan1tantan cot=1cotcotcot+cottan2=1-cossin=sin1+cos=1-cos1+cos cot2=sin1-cos=1+cossin=

3、1+cos1-cos万能公式：u=tanx2-x0,𝛅0,当0|x- x0| 𝛅时，恒有|f(x)-A|0,𝛅0,当0(x- x0) 𝛅时，恒有|f(x)-A|0,𝛅0,当0( x0- x) 𝛅时，恒有|f(x)-A|0, X0,当|x|X时,恒有|f(x)-A|0, X0,当xX时,恒有|f(x)-A|0, X0,当-xX时,恒有|f(x)-A|0, N0,当nN时,恒有|Xn-A|0,使f(x)在U=x0x-x00,则存在x0的一个去心 邻域，在该邻域内恒有f(x)0. (戴帽)若存在x0的一个

4、去心邻域，在该邻域内f(x)()0，且limxx0 f(x)=A()，则A0. 计算极限四则运算：设limxx0 f(x)=A(),limxx0 f(x)=B(),则 limxx0 fxgx=AB. limxx0 fxgx=AB. limxx0 f(x)g(x)=AB (B0).等价无穷小（9）sinx 1-cosx12x2 arcsinx ax-1lnax tanx 1+x-1x xarctanx ln(1+x)ex-1 limnnn=1 , limnna=1, (a0) ,limx0+xlnxk=0 ,limx+xk-x=0 (0,k0)limnna1n+a2n+amn=maxai=1,2

5、,m;ai0 洛必达法则：“00”型：limxx0 f(x)=0, limxx0 g(x)=0; f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g(x)0 limx x0f(x)g(x)=A或为. 则limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x) “”型：limxx0 f(x)=, limxx0 g(x)=; f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g(x)0 limxx0 f(x)g(x)=A或为. 则limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x)注洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则：1. 单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g

6、(x)及h(x)满足下列条件：(1) g(x)f(x)h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)存在，且limf(x)=A.两种典型放缩：maxuii=1nuinmaxui; nminuii=1nuinmaxui选取的依据是谁在和式中去决定性作用 海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x0, )内有定义，则limxx0 f(x)=A存在对任何以x0为极限的数列xn（xnx0），极限limn f(xn)=A存在.连续的两种定义：（1） limx0y=limx0fx0+x-fx0=0（2） limxx0fx=fx0间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡一元微

7、分学定义导数定义式：f (x0)=dydxx=x0=limx0 fx0+x-f(x0)x=limxx0 fx-f(x0)x-x0微分定义式：若y=Ax+o(x),则dy=Ax.可导的判别:(1) 必要条件:若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续.(2) 充要条件:fx0存在 f+x0,f-x0都存在，且f+x0=f-x0.注通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断.可微的判别：limx0y-Axx=0，则f(x)可微。（一元函数可微即可导）计算几个不常见的求导公式：(arccos x)=

8、-11-x2 (arccot x)=-11+x2莱布尼茨公式：(uv)(n)= Cn0u(n)v+ C1 nu(n-1)v+Cnnuv(n)常见初等函数n阶导数：(ax)(n)=axlnna (1ax+b) (n)=-1nann!ax+bn+1 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n2) cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+n2) ln(ax+b) (n)=-1n-1ann-1!ax+bn (n1)构造辅助函数：要证fx+xfx=0,只要构造F(x)=f(x)x，证明Fx=0.十大定理最值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则mf(x)M,其中m,M分别为f(x

9、)在a,b上的最小值和最大值.介值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的m,M,a,b,使得f=.零点定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且满足f(a)f(b)0,则y=f(x)在I上严格单调增加；若y=f(x)在区间I上有fx0,则y=f(x)在I上严格单调减少。零点问题（方程根问题）：零点定理（存在性）单调性（唯一性）几何意义罗尔中值（构造辅助函数F=0）拉格朗日、柯西中值（即为定理方程的根）费马定理（取原函数F(x)找极值f(x)=0）罗尔原话 若f(n)x=0至多k个根，则f(n-1)x=0至多k+1个根极值判定：（3

10、）第一充分条件：设f(x)在x=x0处连续，在x0某去心领域 (x0,)可导 在x0的左邻域fx0,则f(x0)是极小值在x0的左邻域fx0,右邻域fx0,则f(x0)是极大值 第二充分条件：设f(x)在x=x0处二阶可导，且fx=0，fx00 若fx00,则fx在x0取得极小值 第三充分条件：设f(x)在x=x0处n阶可导，且fmx0=0(m=1,2,n-1), fnx00 (n2)则n为偶数时 fnx00时,f(x)在x0取得极小值凹凸性判定：设f(x)在I上二阶可导, 若在I上fx0,则fx在I上是凹的若在I上fx0,则fx在I上是凸的补充定义：设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,

11、b)内任意两点x1,x2,(0,1),有fx1+(1- ) x2f(x1)+(1- )f(x2),则称f(x)在(a,b)内是凸的;则是凹的.拐点判定：（3）第一充分条件：设f(x)在点x=x0处连续,在点x=x0的某去心邻域 (x0,)内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内fx变号,则点(x0,f(x0)为曲线上的拐点.第二充分条件：设f(x)在x=x0处三阶可导，且fx0=0,fx00,则（x0,f(x0)为拐点.第三充分条件：设f(x)在x=x0处n阶可导，且f(m)x0=0 (m=2,n-1), f(n)x00(n2),则当n为奇数时，(x0,f(x0)为拐点.微分几何应用曲率：y=y(

12、x)在(x,y(x)处的曲率公式为k=y1+y232曲率半径：R=1k曲率圆：X-2+Y-2=R2，=x-y1+y2y2，=y+1+y2y2一元积分学不定积分定义：设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x),对于该区间上任一点都有Fx=fx成立，则称F(x)在区间I上的一个原函数，称fxdx=F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分。原函数存在定理：连续函数f(x)必有原函数F(x)；若间断函数有原函数，也只能为振荡间断。定积分定义：设函数f(x)在区间a,b上有定义，若存在定积分，则定积分bafxdx的值为曲边梯形的面积(x轴上方取正，下方取负。定积分的精确定义：bafxdx=

13、limni=1nfa+b-anib-an.注任意切分，任意取高定积分存在(可积)定理：充分条件fx在区间a,b上连续 fx在区间a,b上有界，且只有有限个间断点,则abfxdx存在.必要条件可积函数必有界.定积分的性质：(6)可拆性：无论a,b,c的大小，abfxdx=acfxx+cbfxdx保号性：若在a,b上f(x)g(x),则有bafxdxbagxdx特殊地，有abfxdxabfxdx.估值定理：设m,M分别是f(x)在a,b上的最小最大值，则有 m(b-a) abfxdxM(b-a)中值定理：设f(x)在闭区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点，使得abfxdx=f(b-a).ax

14、ftt、fx、fx的奇偶,周期,有界,单调关系（1） 奇偶性 可导fx奇，则fx偶；可导fx偶，则fx奇可积fx奇，则Fx=0xftt偶axftt偶；可积fx偶，则Fx=0xftt奇 axftt不定（2） 周期性可导fx以T为周期，则fx以T为周期；可积fx以T为周期，则Fx=axftt以T为周期0Tfxx=0（3） 有界性若fx在有限区间(a,b)内有界，则fx在(a,b)内有界（4） 单调性无明确结论变限积分定义：当定积分的上限变化、下限变化或上下限都变化时，称该积分为变限积分.变限积分的性质：(1) f(x)在a,b上可积，则F(x)= axftdt在a,b上连续.(2) f(x)在a,

15、b上连续，则F(x)= axftdt在a,b上可导.(即只要变限积分F(x)= axftdt存在，就必然连续.)变限积分求导公式：Fx=x1x2xftt=f2x2x-f1(x)1x.(x为”求导变量”，t为”积分变量”)反常积分通俗理解：破坏积分区间a,b的有界性破坏f(x)在a,b上的有界性无穷区间上的反常积分的概念和敛散性：a+fxx=limb+abfxx若,则收敛 若不,则发散 -bfxx=lima-abfxx若,则收敛 若不,则发散-+fxx=-cfxx+c+fxx (=+)均收敛,则收敛否则,发散 无界函数的反常积分的概念和敛散性：若b是f(x)的唯一奇点,则abfxdx=lim0+

16、ab-fxx若,则收敛 若不,则发散若c(a,b)是f(x)的唯一奇点，则abfxx=acfxx+cbfxx (=+)均收敛,则收敛否则,发散 计算基本积分公式：（24）凑微分：（复杂处理方法）换元法：（三角代换）（倒代换）（整体代换） 不定积分分部积分：（推广）有理函数积分：N-L公式：（有原函数）分部积分：换元法： 定积分华氏(点火)公式： 区间再现公式：变限积分求导公式：积分几何应用均值：设xa,b,函数y(x)在a,b上的平均值为y=1b-aabyxx平面曲线弧长 (1)平面光滑曲线L由y=yxaxb给出，则L=ab1+yx2x (2) 平面光滑曲线L由参数式x=x(t)y=y(t)

17、,t给出， 则L=xt2+yt2t (3)平面光滑曲线L由r=r给出， 则L=r2+r2 (4)平面光滑曲线L由=fr (arb)给出， 则 L=ab1+rfr2r平面图形面积：(1) S=aby1x-y2xx (2) S=12r12-r22旋转曲面面积：(1)曲线y=y(x)在区间a,b上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积 S=2abyx1+yx2x (2)曲线 x=x(t)y=y(t) (t,xt0)在区间,上的曲线弧段绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积 S=2ytx2t+yt2t (3) 曲线y=y(x)在区间a,b上的曲线弧段绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积 S=2ab

18、x1+yx2x旋转体体积： (1)曲线y=y(x)与x=a,x=b(ab)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 V=aby2xx (2) 曲线y=y1(x)0与y=y2x0及x=a,x=b(ab)所及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积 V=aby12x-y22xx (3)曲线y=y(x)与x=a,x=b(0ab)及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积 V=2abxyxx (4)曲线y=y1(x)与y=y2x及x=a,x=b(0ab)所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 V=2abxy1x-y2xx多元微分基本概念1.极限的存在性：若二元

19、函数f(x,y)在x0,y0的去心领域内有定义，且(x,y)以任意方式(不考虑无定义点)趋于x0,y0时，f(x,y)均趋向于A，则limxx0yy0fx=A.2.连续性：如果limxx0yy0fx=fx0,y0，则称f(x,y)在点x0,y0处连续.3.偏导数存在性：fxx0,y0=limx0fx0+x,y0-fx0,y0x fyx0,y0=limy0fx0,y0+y-fx0,y0y 2 14.可微：全增量z=fx0+x,y0+y-fx0,y0 5 4 线性增量z=Ax+By 3 6 若极限limx0y0z-Ax+Byx2+y2=0,则称z=fx,y在x0,y0处可微.5.偏导数连续性 :用

20、定义法求fxx0,y0, fyx0,y0 用公式法求fxx,y, fyx,y,并计算limxx0yy0fxx,y，limxx0yy0fyx,y 若=，则z=fx,y在x0,y0处的偏导数连续。6.fx,y0在x=x0处连续limxx0fx,y0存在; fx0,y在y=y0处连续limyy0fx0,y存在 计算多元函数微分遵循链式法则隐函数求导法 设函数Fx,y,z在P0x0,y0,z0的某邻域内有连续偏导数，并且Fx0,y0,z0=0，Fzx0,y0,z00，则 Fx,y,z在点P0x0,y0,z0的某邻域内恒能确定唯一的连续函数z=fx,y，且满足 :z0=fx0,y0 ; Fx,y,fx,

21、y0 ; z=fx,y有连续偏导数，且 zx=-Fxx,y,zFzx,y,z ; zy=-Fyx,y,zFzx,y,z 多元函数极值必要条件：设z=fx,y在点x0,y0处取得极值，且fx,y在点x0,y0处存在偏导数，则必有fxx0,y0=0, fyx0,y0=0充分条件：设z=fx,y在点x0,y0有二阶连续偏导数，并设(x0,y0)是fx,y的驻点，记A=fxxx0,y0，B=fxyx0,y0,C=fyyx0,y0则=B2-AC0极值A0极小值0非极值 =0不能确定，方法失效条件极值：求 z=fx,y在条件x,y=0下的极值(1) 构造拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y (2) 构

22、造方程组Fx=0Fy=0F=0 ，解出所有的(x,y)(3) 求备选点，其中最大值、最小值即为所求最值在某区域D上的最值：（1） 求出f(x,y)在D内所有可疑点处的函数值；（2） 求出f(x,y)在D的边界上的最值；（3） 比较所有的函数值，得出最值常微分方程基础概念1.未知函数是一元函数的是常微分方程，多元函数的是偏微分方程2.未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶3.通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同，不含任意常数的解是特解4.线性微分方程：通解=全部解；非线性:通解全部解5.对于二阶线性齐次方程，设y1x,y2x,y3x是该方程的解,则C1y1x+C2y2x+C3y3x也是该方程的

23、解的充要条件是C1+C2+C3=0；对于二阶线性非齐次方程，设y1x,y2x,y3x是该方程的解,则C1y1x+C2y2x+C3y3x也是该方程的解的充要条件是C1+C2+C3=1一阶微分方程变量可分离型：yx=fxgy可化为变量可分离型：(1) yx=fax+by+c，解法为：令u=ax+by+c,则ux=a+byx，代入原方程得ux=a+bfu. (2)形如yx=yx或xy=xy这样的齐次微分方程，解法为：令u=yx,则y=uxyx=uxx+u=fu.一阶线性微分方程：Axy+Bxy=Cx化成标准形式y+pxy=qx则通解为y=-pxxqxepxxx+C隐式通解：当yx很难求解时，可以换位

24、思考即xy, 求出xy 二阶微分方程 可降为一阶：（1）y=fx,y ，令y=p,则y=p （2）y=fy,y ，令y=p,则y=pyp二阶常系数齐次线性微分方程：y+py+qy=0其特征方程为2+p+q=0通解yx=C11x+C22x 特征方程有两个不同的实根1,2 yx=C1+C2xx 特征方程有两个相同实根1=2=yx=xC1cosx+C2sinx 特征方程有一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程：y+py+qy=fx特解：（1）fx=Pnxx 则 y*=xkQnxx 其中 x照抄Qnx为与Pnx同次的一般多项式k=0 和1,2都不相等1 和其中一根相等2 =1=2 （2）fx=Pnxcosx+Qmxsinxex 则y*=xkMlxcosx+Nlxsinxex其中x照抄l=maxm,nk=0,不是特征根1，是特征根