【教案】椭圆与圆的伸缩变换+教学设计人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、椭圆及其标准方程椭圆与圆的伸缩变换 教学设计教学目标1、 通过教材习题感受椭圆与圆的变化关系，能够独立地进行椭圆与圆的相互转化；2、 能够借助圆的有关性质研究椭圆的相关性质；3、 通过将椭圆变化为圆，解决与椭圆有关的实际问题.教学重难点通过课堂中的适当点拨，让学生自主探究,期望更好得开展以学生为主体，教师为主导的课堂教学活动，帮助学生养成多角度分析问题解决问题的习惯;从数与形的角度思考问题，训练学生数学思维，发展学生数形结合的数学思想，培养学生的直观形象等数学核心素养.教学过程一、课程导入如图2.2-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线

2、段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为x,y,点P的坐标为x0,y0,则x=x0,y=y02.因为点Px0,y0在圆x2+y2=4上，所以 x02+y02=4 把x0=x,y0=2y 带入方程，得x2+4y2=4 即 x24+y2=1 所以点M的轨迹是一个椭圆.思考：通过这道题你能发现椭圆与圆之间的关系吗？（圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.）二、新知探究如何将椭圆与圆进行相互转化？xyO圆x2+y2=a2转化为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0）设变换x=xy=aby即x=xy=bay 带入圆方程为：x2a2+y2b2=1 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)转化为圆x2

3、+y2=1xyO设变换x=xay=yb 得圆方程为：x2+y2=1 伸缩变换的性质1.伸缩变换将点映射到点，直线对应直线；2.点A、B、C在直线l上，伸缩变化后对应点A、B、C在对应直线l;3.共线三点的相对位置不变，即同一直线上两线段的长度之比不变；4.若直线垂直与X轴，则变换后仍垂直X轴，否者变换将直线的斜率变成原来的ba倍；5.两条平行直线变换后任为平行直线；6.两相交（相切、相离）曲线仍变为两相交（相切、相离）曲线；7.三角形变为三角形，面积由S变为abs.三、实例演练例1、 利用伸缩变换证明关于椭圆x2a2+y2b2=1，ab0的性质:设A,B为椭圆上两点，线段AB中点为C，则一般地

4、，有kOCkAB=b2a2.方法一:点差法 设Ax1，y1,Bx2，y2,AB中点Cx0，y0，则有：2x0=x1+x2,y0=y1+y2又Ax1，y1,Bx2，y2在椭圆上，所以有x12a2+y12b2=1 x22a2+y22b2=1两式相减得：b2x12x22+a2y12y22=0即y12y22x12x12=y1y2y1+y2x1x2x1+x2=y1y22y0x1x22x0=kABkOC=b2a2 (x1x2)CyxO所以kOCkAB=b2a2方法2：伸缩变换证明A证明：设变换x=xay=yb得圆方程为：x2+y2=1在圆当中根据垂径定理有：kOCkAB=1B所以abkOCabkAB=-1

5、所以有kOCkAB=b2a2xyOABByxOA例2、 已知A、B为椭圆x22+y2=1上不同的两点，求AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解：设变换x=x2y=y得圆方程为：x2+y2=1SAOB=12OAOBsinAOB12 当AOB=90时取等.SAOB=abSAOB22所以AOB面积的最大值为22.变式：已知椭圆方程为x22+y2=1，若P点为直线l:x=2,过点P做直线l0切椭圆于点A，求AOP面积S的最小值.ll0AyxOHxyOAPll0 P 解：设变换x=x2y=y得圆方程为：x2+y2=1，l：x=22=2如图 OAPASPOA=12PAOA=12OP21 12221=12 当OPl于H时取等.所以SAOP=abSAOP22所以AOP面积的最小值为22.学科网（北京）股份有限公司