挑战2023年中考数学压轴题13 二次函数与胡不归型最值问题（含答案解析）.pdf

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1、专题13二次函数与胡不归型最值问题方法揭秘.胡不归问题：古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得知在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB（如图），他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来全为，有人告诉小伙子，老人弥留之际还 B不断喃喃的叨念“胡不归？胡不归？”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用 砂砾地带一下马车，沿骚道先走一程呢？”由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵

2、达家门，这是否有可能 B-C呢？若有可能，则有应该选择一条什么样 驿道的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯,到家时间最短？分析：fVV,=2VW，S 的一半与S的时间相同 砂砾地带/构造N a=30,的 直 线I/过点B作直线I的垂线段BD,交驿道AC与点D,/则则点E即为所求.4 3；k-C2驿道总结：构造直角三角形，转化为“垂线段最短”的问题.模型分析：“PA+k PB”型的最值问题，当 k=l 时通常为轴对称之最短路径问题,而当k0时,若以常规的轴对称的方式解决,则无法进行,因此必须转换思路.如图,

3、直线B M,B N 交于点B,P 为 B M 上的动点，点 A在射线B M,B N 同侧,已知s i n Z M B N=k.过点A作 A C B N 于点C,交 B M 于点P,此时PA+k PB 取最小值,最小值即为A C 的长.证 明 如图，在 B M 上任取一点Q,连结A Q,作 Q D J _B N 于点D.由 s i n Z M B N=k,可得 Q D=k Q B.所以Q A+k Q B=Q A+Q D A C,即得证.典例剖析.11 例 1 (2 0 2 2 济 南)抛物线产-6与 x轴交于A (f,0),B (8,0)两点，与 y 轴交于点C,直 线 产kx-6 经过点B.点

4、、P在抛物线上，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式和U 的值；(2)如 图 1,连接4 cA p,PC,若 A PC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；j,(3)如图2,若点P 在直线BC上方的抛物线上，过点P 作 PQ J _8C,垂足为。，求 C Q+司P Q的最大值.其顶点为点。，连结AC.(I )求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标：(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点 F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F 为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M 点P为抛物线的对称轴上一动点，求

5、州 的最小值.【例3】(2 0 2 2东西湖区模拟)如图1,抛物线y=/+(/-2)x -2”？(0)与x轴交于A,B两 点(A在8左 边)，与y轴交于点C.连接A C 2 C.且 A B C的面积为8.(1)求?的值；(2)在(1)的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T,T的横坐标为f,使N A T C=6 0 .求(L 1)2的值.(3)如图2,点P为y轴上一个动点，连接A P,求CP+P的最小值,并求出此时点P的坐标.【例4】(2 0 2 2成者K模拟)如图，在平面直角坐标系x Oy中，二次函数y=o?+f ov+c(“W 0)的图象与y轴,x轴分别相交于A (0,2),B(2,0),C

6、(4,0)三点，点。是二次函数图象的顶点.(1)求二次函数的表达式；(2)点P为抛物线上异于点B的一点，连接A C,若SM C P=SAACB,求点P的坐标；(3)M是第四象限内一动点，且N A M B=4 5，连接求2 M D+M C的最小值.满分训练.J.1.（2 0 2 2 河北区二模）已知抛物线产-司 7+f e v+c,c为常数）的图象与x 轴交于A （1,0）,8两 点（点 4在点B左侧）.与 y 轴相交于点C,顶点为D.（I ）当方=2时，求抛物线的顶点坐标；（I I ）若点尸是y 轴上一点，连接BP,当 P B=P C Q P=2时，求b的值；（I I I）若抛物线与x轴另一个

7、交点B的坐标为（4,0），对称轴交x轴于点E,点。是线段。E上一点，点 N为5线段A B上一点，且 A N=2 B N,连接NQ,求 D Q&N Q的最小值.2.（2 0 2 1 南海区二模）如 图 1,抛物线y nNV+b x+c 与 x轴交于A、B两点，点 A、B分别位于原点左、右两侧，且 A O=2 8 O=4,过 A点的直线ykx+c交y轴于点C.（1）求 k、氏 c 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使 A C P 为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由;1 如图2,点M为线段A C上一点，连接0 M,求5 1 A M+0M的最小值.3

8、.(2 0 2 1 宝安区模拟)(1)已知二次函数经过点A (-3,0)、B(1,0)、C(0,3),请求该抛物线解析式；(2)点 M 为抛物线上第二象限内一动点,交y 轴于点N,当 将 四 边 形 A B C M 的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；(3)点、P为对称轴上/)点下方一动点，点Q为直线y=x 第一象限上的动点，且求B P+B Q的最小值并求此时点P的坐标.94.(2 0 2 1南沙区一模)已知，抛 物 线 尸 族+Zl x-47 与 x轴交于点A(-4,0)和点B,与 y 轴交于点C.点D(,0)为 x轴上一动点，且 有-4V 左侧的一点,MN y轴交直线。于点N,连结C

9、N.当 司。N+CN的值最小时，求M N的长.9.(2 0 2 2杜尔伯特县一模)如图，已知抛物线y=，+f e v+c与x轴相交于A(-1,0),B(m,0)两点，与y轴相交于点C(0,-3)，抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)若点E在x轴上，且/E C B=N C B 2求点E的坐标.(3)若P是直线B C下方抛物线上任意一点，过点P作P H L x轴于点“，与B C交于点M.求 线 段P M长度的最大值.V2|在的条件下，若F 为y轴上一动点，求PH+HF+2CF的最小值.10.(2 0 2 0自贡)在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+x+3与x轴交于点A(-3,0)、8(

10、1,0)，交y轴于点N 点 M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如 图1,连接AM,点E是线段A M上方抛物线上一动点,E/n A M于点过点E作E H L x轴于点H,交 A M于点。.点P是y轴上一动点，当E尸取最大值时：求P0+PC的最小值；11.(2 0 2 2中山市三 模)如图,抛物线3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴4为直线x=l,点A(-1,0)，过B的直线交y轴于点R交抛物线于E,且t a n/E BA3.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P,使得 8DP的面积最大,求出点P的坐标;AM旌 油(3)

11、点 M 是线段B E 上的一点，求 5“斗的最小值,并求出此时点M 的坐标.12.(2 0 2 1南山区校级三模)如图，已知抛物线y=?+b x+c (a#0)与 y轴相交于点C(0,-2)，与 x轴分(2)抛物线上是否存在一点。，使得N B A Q=N A 8 C,若存在，请求出点。坐标，若不存在,请说明理由；返(3)抛物线的对称轴交x轴于点。，在 轴上是否存在一个点P,使 可 PC+PZ)值最小，若存在，请求出最小值,若不存在,请说明理由.13.(2 0 2 1 津南区一模)已知抛物线y=f-2 x+c 交 x轴于4 8 两点，且 点 B 的坐标为(3,0),其对称轴交x轴于点C.(I )

12、求该抛物线的顶点D的坐标；(I I )设 P 是线段C 上的一个动点(点P 不与点C Q重合).过 点P作)，轴的垂线/交抛物线(对称轴右侧)于点。，连接Q 8,Q D,求 Q BD面积的最大值；连 接PB,求P D+P B的最小值.14.(2 0 2 1防城区模拟)如图,已知抛物线y=nx 2 _ 2 o x-8a (0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与yV3l 473轴交于点C,经过点B的直线y=-Hr+3与抛物线的另一交点为0,且点。的横坐标为-5.(1)求抛物线的函数表达式：(2)若点、P(x,y)在该二次函数的图象上，且&BCD=SAABP,求点P的坐标；(3)设F为线段3。上的

13、一个动点(异于点3和。)，连接A F.是否存在点F,使得2 AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在,请说明理由.15.(2 0 2 1秋沈北新区校级月考)如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y u a f-Zx+c与x轴交于点A(1,0)，点B(-3,0)，与y轴交于点C,连接BC,点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO,线段PO交线段B C于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)若 PCE的面积为S i O C E的 面 积 为 当$2 1=可时，求点P的坐标；(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N,连接BN,点”在x轴上，当/C 8

14、=N N 8 C时，求满足条件的所有点H的坐标；1 当点”在线段A 8上时，平面内点“，且M=1,直接写出习A M+O W的最小值.16.(2 0 2 1 香洲区校级三模)如图，抛 物 线 尸-&f-6&1+7旧1交x轴于两 点(点A在点B左 侧)，交），轴于点C,直线=&+7后 1 经过点A、C,点 M 是线段AC上的一动点（不与点A,C重合）.（1）求 A,8 两点的坐标；回（2）当点P,C关于抛物线的对称轴对称时，求P M A M的最小值及此时点M的坐标;（3）连接8C,当AOM与AABC相似时，求出点M的坐标.17.（2021 涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线=-2/-2x+c与

15、 x 轴交于A、8 两点，与 y 轴的正半轴交于点C,点A 在点B 的左侧，且满足tanNCABtanNC8A=l.（1）求 A、B 两点的坐标；-（2）若点P 是抛物线旷=-加-5 L+c上一点，且B4C的内切圆的圆心正好落在x 轴上，求 点 P 的坐标;V 5|（3）若 M 为线段A O上任意一点，求M C+5 A M的最小值.318.（2021 青山区模拟）已 知 抛 物 线-4ax-12 a 与 x 轴相交于A,8 两点，与 y 轴交于C 点，且 OC=2O A.设抛物线的顶点为M 对称轴交x 轴于点N.（I）求抛物线的解析式;(2)如 图 1,点 E (2,)为抛物线上的一点，且 0

16、(机 6,连接4E,交对称轴于点P.点尸为线段8C上一动点,连接E F,当 P A=2 P E吐求E E F+词 B F的最小值.(3)如图2,过点M作交x轴于点。，将线段C Q向上平移t个单位长度，使得线段C Q与抛物线有两个交点，求 f的取值范围.1 9.(2 0 2 1 罗湖区校级模拟)已知抛物线y=a?+法(”力为常数,a WO)与 x轴的正半轴交于点A,其顶点C的坐标为(2,4).(I )求抛物线的解析式；(I I )点 P是抛物线上位于直线A C上方的一个动点，求布C面积的最大值；(I I I)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接Q A,求 Q C+l Q A 的最小值.2 0.(

17、2 0 2 0 东胜区二模)如图,在平面直角坐标系中，二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 4(-2,0),8(O,J E I),C(1,0)，其对称轴与x轴交于点E,顶点坐标为D(1)求二次函数的表达式；(2)点 P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形为菱形，求点。的坐标；1 若 M 为了轴上的一个动点，连接M E,求为W 3+M E 的最小值.备用图典例剖析.11【例1】.(2 0 2 2济南)抛物线=/+力 -6与x轴交于A (/,0),B(8,0)两点，与y轴交于点C,直线yk x-6经过点8点P在抛物线上，设点P的横坐标

18、为m.(1)求抛物线的表达式和f法的值;(2)如 图1,连接4C,A P,P C,若是以C P为斜边的直角三角形，求点P的坐标;(3)如图2,若点尸在直线B C上方的抛物线上，过点P作P Q J _BC,垂足为。，求P Q的最大值.图2【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解;1(2)作P M _L x轴 交 于 可 求P M=4PM I同，求，的值即可求P点坐标；110Am2-4 m+6,AM=m -3,通过证明C O A s 44A/p,利用 0 C|=3(3)作P N L c轴交于B C于N,过点N作N E L y轴交于E,通过证明P Q N s Z3 0 C,求 出Q N=55

19、145113PN,PQ=5 P N,再由C N E s/X C BO,求出 CN=4 EN=4 风则 CQ+2 PQ=CN+PN=-4(x -2)，即可求解.11【解答】解.：(1)将8 (8,0)代入y=/+4 x -6,：.64 a+22-6=0,_ 1.a-4,.产.+9 ,6当y=0时,-I号t-6=0,解得f=3或z=8 (舍)，*t=3,:B(8,0)在直线 y=h-6 上，8k-6=0,3解得3.y=4lx-6；(2)作PML c轴交于M尸点横坐标为m,:.P(m,-4+4 ni-6),J PM 4 m2-4 m+6AM=m-3,在 RtZCOA 和 RtAAMP 中，；/OAC

20、+NB4M=90,NAPM+NB4M=90,.ZOACZAPM.C O AS/AMP,OA|P M二 司=前,即 OA*MA=COPM,J 3(w?-3)6(4m2-4 m+6),解得，”=3(舍)或m=10,2：.p(io,-.)；(3)作PNLc轴交于BC于N,过点N作NEy轴交于E,Jj U J 3l 1PN=-4+4/n-6-(4 1 A H -6)=-4/n2+2m,由P Q NS/XB OC,P N l N Q l P Q.BC|=O C 1=O B,.O3=8,OC=6.8C=10,3|4QN=PN,PQ=PN,由C N ES/X C B。，1PQ=CN+NQ+2 PQ=CN+P

21、N,13113m-4(%-2)169|2+16 I,111：.CQ+2PQ=4 zn -4 ttr+2m=-4 ni2+45【例21(2 0 2 2宜宾)如图,抛物线y=o?+/z x+c与x轴交于A (3,0)、B(-1,0)两点，与y轴交于点C (0,3),其顶点为点。，连结A C.(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点尸为抛物线上一动点，使得以点4、C、E、尸为顶点、A C为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+3同尸M的最小值.y【分析】(

22、i)利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；(2)过点尸作 FGA.DE 于点 G,证明O AC畛GF E(AAS),推出 O 4 =F G=3,设 FCm,-m2+2m+3),则G(1,-尸+2,+3)，可得F G=(-1|=3,推出m=-2或t=4,即可解决问题;(3)由题意4(1,-1),F2(4,-5),F)(-2,-5)关于对称轴直线x=l对称，连接F岛交对称轴于点，连接F iM&M,过点F i作F i N L F 2 M于点、N,交对称轴于点P,连接PF2.则MH=4,H F 2=3,M/23|3=5,证明 P N=同PM,由 PF 2=PF 1,推出 PF+5PM=PF2+P

23、N=FNI 为最小值.【解答】解：(1):抛物线 y=o?+b x+c 经过 A(3,0)、B(-1,0),C(0,3),9 a+3 b+c=0a-b+c=0.c=3 ,a=-l b=2解得l c=3 ,/.抛物线的解析式为y=-f+2 x+3,Vy=-(x-1)2+4,，顶点。的坐标为(1,4)；(2)设直线A C的解析式为y=+6,p k+b=0把 A(3,0),C (0,3)代入，得 1 b=3 ,fk=-ll b=3 ,直线A C的解析式为y=-x+3,过点尸作F G L O E于点G,V以A,C,E,F为顶点的四边形是以A C为边的平行四边形,：.AC=EF,AC/EF,9OA/FG

24、,：.Z OAC=Z GFE,/.O AC AGF E (AAS),：.OA=FG=3,设 厂(m,-，/+2 7+3)，贝IG(1,-t TT+2m+3),：.FG=m-1|=3,/.m =-2 或？=4,当 m=-2 f f t,-/九2+2/?+3=-5,A F l (-2,-5),当?7Z=4 时,-/+2加+3=-5,：.F2(4,-5)综上所述，满足条件点尸的坐标为(-2,-5)或(4,-5)；(3)由题意,M (1,-1),乃(4,-5)，尸1(-2,-5)关于对称轴直线工=1对称，连接F 1&交对称轴丁点，连接F iMF 2 M过点F i作Fi NL F2M 丁点N,交对称轴于

25、点P,连接P&.则MH=4,H F2=3,MF?=5,也叫3 l PN 3U 需 F -在 R1 AMH F 2 中,s in N”MF 2=2 =1 =5 厕在 R心MPN 中,s in N PMN=P M =53：.PN5PM,：PFI=PF2,3：.PF+5PM=PFi+PN=F N 为最小值，SA 1 1.AMF.F2=2 X6X4；=2|X 5 0)与x轴交于A,B两点(A在5左 边)，与y轴交于点C.连接AC,B C.且 AB C的面积为8.(1)求 机 的值;(2)在(1)的条件下，在第一象限内抛物线上有一点7,T的横坐标为f,使/ATC=60 .求(r -1)2的值.(3)如图

26、2,点P为y轴上一个动点，连接AP,求4 P的最小值,并求出此时点P的坐标.【分析】(1)先求出A(-m,0),B(2,0),C(0,-2 m),再由三角形面积2 X(2+t n)X(2 m)=8,可求，的值；(2)过 点C作E尸 x轴,过点T作丁尸_1 _ 尸交于尸点，过 点C作C O J _ C T交直线A 7于点。，过点。C D D E C E作。E_LEF交于E点,证明CEEJS/XTFC,可得而1=而1=词=百 进而求出。(-百尸,E lf -4),2V3再求出直线A T的解析式为)，=(f-2)x+2 f-4,将。点坐标代入直线解析式即可求(f-1)2=3；冏(3)过点 B 作 B

27、G_LAC 交于 G 点，交 y 轴于点只可得 C P+AP=5|(CP+AP)=5|(GP+AP)可求 CP+y/AP 的最小值为 8,再由 ta n/A C O=d=T,求出 P(0,-1).【解答】解：(1)y=/+(L 2)x 2?=(x-2)(x+?),令y=0,则x=2或x=-九.团0,工-用0,A(-m,0),B(2,0),*AB=2+加，令 x=0,则 y=-2m,：.C(0,-2 m),.ABC的面积为8,2牙 义(2+w)X(2m)=8,解得m2或m=-4(舍)；(2)当”?=2 时,y=7 -4,.的横坐标为f,：.T(r 7-4),过点C作针1轴，过 点T作77U EF

28、交于F点，过点C作C C C T交直线AT于点 ,过点。作DEV E F交于E点，V ZDCT=90,A ZDCE+ZTCF=90,V ZDCE+ZCDE=90,：.ZTCF=ZCD E,/.CEDArFC,C D C E.同=苏=词，,：ZATC=60,CDl.CTI=V3l,：C(0,-4),:.CF=t,TF=,：.DE=：.D(-V3/2,V3lr-4),设直线AT的解析式为ykx+b,-2k+b=09/.(kt+b=t-4,fk=t-2解得 fb=2t-4,.*.y=(L 2)x+2t-4,.E k 4=(f-2)(-Vsl?)+2/-4,/：.(r-1)2=3.(3)过点B 作 B

29、 G L4c交于G 点，交)，轴于点 P.8 关于y 轴对称，：.AP=BP,：ZGBA+ZBAC=ZACO+ZCAO=()0o,：.ZABGZACO,；A O=2co=4,.C=2 sin NACO=5|,G P|返.cp|=T 1,V 5 I5|CP=GP,V 5l：C P+AP=C-CP+AP)=VB|(GP+AP).cosZACO=2 V5B G B G=AB =4 ,8/5:.BG=5：,CP+4AP的最小值为8,J j O Pl O Pl；t an N A C O=司=O B =2 I,0P=,【例 4】(2 0 2 2 成都模拟)如图，在平面直角坐标系x O y 中，二次函数尸以

30、2+b x+c Q W0)的图象与y 轴j轴分别相交于A(0,2),B(2,0),C(4,0)三点，点。是二次函数图象的顶点.(1)求二次函数的表达式；(2)点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC,若S(M C P=SAACB,求点P的坐标；(3)M 是第四象限内一动点，且NAM B=45，连接求 2MQ+MC的最小值.【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)分两种情形,分别构建方程组求解即可；(3)以 0 为圆心,。4 为半径的圆，连接OM,取O B的中点E,连接E M、ED先根据二次函数求出A、j.B C D 的坐标，再证明从而有 故 2MQ+MC=2(MQ+MC)=2(MQ+ME)再

31、求出E D即可.【解答】解：(1),抛物线经过8(2,0),C(4,0),可以假设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4),1把 A(0,2)代入，可得a=Nl,-二二次函数的解析式为 尸 品 2-5|x+2；(2)如图，当点P在直线AC的下方时，过点B作BPo/AC交抛物线于点Po,1由题意直线A C的 解 析 式 为 产-司x+2,二履?=-21,：.KB PQ=-X1二直线BPo的解析式为 尸-21x+l,由1,y=-x+l1 2 3 cy q x 下 x+2j x=2解得1 y=o则 Po 与 8重合,不符合题意.当点P在直线A C的上方时,作直线BPO关于直线A C的的对称直线Pi

32、/%交抛物线于P|2._ 1；直线AC的 解 析 式 为 产-司x+2,工.可得直线Pi尸 2 的 解 析 式 为 产-5l x+3,1y=x+3由 y1?2 亍3+2.,x=2+2 圾（x=2-2V2解得1y=2-&或 y=2+&,.Pi（2+2 2 1,2-7 2 1）,p2（2-2 加,2+正 1）；（3）解：如图，以。为圆心04为半径的圆，连接0M 取 OB 的中点E,连接E M、E D,(0,2),8 (2,0),C(4,0),.0 A=0 8,即 8 在OO 上，Jj 3|j j 1*.,y=4 X2-2X+2=4(X-3)2-4j.顶点。(3,-4 1),：/A M8=4 5 ,

33、j.2 ZBOA,二在在。上,即OM=2,取 08的中点E (1,0),又 N E O M=N M O C,:.丛 E O M s 丛 MOC,BE!I.w,鼻：.E M=2MC,：.2M D+M C=2 (M D+2 M C)=2 (M D+M E)2 2 E Q,，2 M/3+MC 的 最 小 值 为 2满分训练.1.(2 0 2 2 河北区二模)已知抛物线尸-2+bx+c(b,c为常数)的图象与x 轴交于A (1,0),B两 点(点 A在点B左 侧).与 y 轴相交于点C,顶点为D.(1 )当人=2时，求抛物线的顶点坐标；(I I )若点P 是 y 轴上一点，连接BP,当 P B=P C

34、,O P=2时，求b的值；(I I I)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为(4,0)，对称轴交x 轴于点E,点 Q 是线段DE上一点,点N为线段A B上一点，且A N=2 BN,连接NQ；求D Q N Q的最小值.【分析】(I)求出函数的解析式即可求解；1(I I)由题意可求P(0,2)或(0,-2),将4点代入抛物线解析式可得c=2 -b,在求出8 (2 b -1,0),CJ J 工(0,-2 l -，由 PB=PC,-1)2+4=|勿-b-2|2或(2 6-1)2+4=词-2,再由 求出即可；155(I I I)先求出抛物线的解析式)，=-2 /+2 X-2,设。(2 ,/)过点N作A

35、 D的垂线交于点M交对称455轴于点Q,利用直角三角形可得M Q=5当M、。、N三点共线时,/)(2+4 N Q有最小值4 MN,在635Rt Z A MN中工N=2,求出M N=5 ,可求DQ+4 N Q的最小值为2 .1【解答】解：(I )当6=2时，尸-兀2+2 x+c,I将点 A (1.0)代入 y=-2 X2+2X+C,3c=-2,1 3 1 _.,.尸-2 X2+2X-2=-21(x-2)2+21.抛物线的顶点为(2,加；(I I).点尸是y轴上一点.O P=2,：.P(0,2)或(0,-2),1将 A 代入)，=-2 x+bx+c,:.-2+b+c 0,1c 2 -b,J j J

36、.；_ 2x2+bx+-b=0,*,1 +xi=2b,*xi=2。-1,:.B(2 Z?-1,0),令 x=0,则 y=2 0 -1,I：.C(0,2 l -b),:PB=PC,11:.(2 b-1)2+4=|2 -b-2或(2 Z-1)2+4=|2 -b+2|2,解得b116或b=-2或匕=6 ,V A点在B点左侧,：.2h-1 1,1(I I I)将点 A、8 代入y=-2 x+bx+c,1F+b+c=O.-8+4 b+c=0(设 Q（2 J）,过点N作A D的垂线交于点M交对称轴于点g8,39：AE=2 ,DE=8 ,3t an Z D A E=4 ,/.N E Q N=Z DAE,，N

37、DAN=ZMQD,3：.tanZMQD=,4.sinZM Q D-5,_4：.MQ=5DQ,5 5|4l 5.：D Q+N Q (.5DQ+NQ)=4 (MQ+NQ),5l _5.当M、。、N 三点共线时,OQ+ZIN。有最小值.M N,在 RtAAMN 中,AN=2,3sin ZMAN=5,3|1：.M N=5X 2=5,5l 5l 3：.DQ+NQ=4 X MN=2点左、右两侧，且 AO=2BO=4,过 A 点的直线ykx+c交），轴于点C.(1)求无、b、c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使A C P为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由

38、；J,(3)如图2,点M为线段A C上一点，连接0 M,求2 A M+0 M的最小值.【分析】(1)用待定系数法即可求解；PH.A0(2)当/以C为直角时，由得到t anNB4 H=t an/A C 0,即A H飞0,即可求解；当NC A P为直角或N A C P为直角时，同理可解；(3)过点A作宜线A N使/N4 C=3 0 ,过点0作O NLA TV交A E于点M则点M为所求点,进而求解.【解答】解：由4 0=2 8 0=4知，点4、8的坐标分别为(-4,0)、(2,0),设抛物线的表达式为y=a(x-Xi)(x-X2),V2 V2|V2I则 y=4 (x+4)(x-2)=4 7+2 L-

39、2 1,则点 c(0,-2 V2 I),近将点A、C的坐标代入y=f c v+c并解得：y=-2-2&I,V2|即 k=-HV2I V2I故 k=-2 力=2 ,c=-2 5/2!；(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-1,则设点P的坐标为(-1附)，当/R 1 C为直角时，如 图1,设抛物线的对称轴交x轴于点H.则 A H=-I-(-4)=3,P=m,A O=4,O C=2 2,：Z PAH+Z CAO=90，/C A O+N4 c o=9 0 ,APAH=A ACO,PH A Ot an/%，=t an/A C O,即 A H -C 0,m _ 43 一 啦，解得机=3&|；故点P

40、的坐标为(-1,3加卜；当/A P C为直角时，如图2,故点P作x轴的平行线交y轴于点N,交过点A与y轴的平行线于点M,则 A M=|MPM=3,C N=|/+2方|,PN=1,同理可得Z MPA-Z PCN,I m|.t an/A f f i4 =t an/PC N,即 31|m+2V2 I,解得：，=-我 1 1故点P 的坐标为（-或（-1,-衣的）；当 N ACP 为直角时，如图3,同理可得，点P的坐标为（-1,-3 亚 I）；综上，点 P 的坐标为（-1,3&I）或（-1,-V 力）或（-1,-&+而）或（-1,-3 亚 I）；（3）过点A作直线AN 使N M 4 c=3 0 ,过点。

41、作 ON,AN 交 A 于点M,则点M 为所求点,理由：/M A N=3 0 ，则 M N=2 A M,则 2 A M+O M=M N+O M=O N 为最小，过点 0 作 O E _ L4 c 于点 则 NMO E=9 0 -NO ME=9 0 -N A M N=N M A N=3 0；由点A、C的坐标得K C=2J以AO I逅则$访乙4（70=而=可，则cosNACO=3 I,V i l 4北在 RtZCOE 中,0 E=0 C s in/A C 0=2 M lx W=3,同理可得,CE=3,4 4 81.在 RtZOME 中,M E=OEtan/M OE=3 Xtan30=3,0M=2M

42、=341/4企-4 1则 A M=A C-M E-E C=2&L 目-3=-3=2MN,十+6则习AJW+OM的最小值=OM+MN=3 I.3.(2021 宝安区模拟)(1)己知二次函数经过点4(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)，请求该抛物线解析式；(2)点M为 抛 物 线 上 第 二 象 限 内 一 动 点 交y轴于点N,当 将 四 边 形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；(3)点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y=x第一象限上的动点，且O P=&lo Q,求BP+我 朦2的最小值并求此时点P的坐标.【分析】(1)根据点A B的坐标设出抛物线的交点式，再将点C坐标代

43、入求解，即可得出结论：CN(2)过点A作A G l x轴 交B M的延长线于G,则SAA BM =而，设。=/,则AG=4 t,CN=3-r,进而BCM 得出SAABM=同 或2,进而建立方程求解，即可得出结论；(3)先判断出 P C D s 。8 ,进而得出P C=我1。,再判断出点A,P,C在同一直线上时,8 2+我卜。的最小，再求出直线A C的解析式，即可得出结论.【解答】解：二次函数经过点A (-3,0)、B(1,0),设抛物线的解析式为y=a (x+3)(x-1),.点C (0,3)在抛物线上，-3 a=3,1。=-1,二抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-f-2 r+3；

44、yCN(1-m)(2)如 图1,过点A作4 G _ L x轴交8例的延长线于G,由(1)知，抛物线的解析式为y=-/-Z r+3,设点 M(m,-m2-2m+3)(-3 /n ,过点C作C HLD P于H,由(1)知，抛物线的解析式为丫=-7-2m+3=-(m-)2+4,：.D(-1,4),VC(0,3),:.C D=&,D H=1 ,CH=1,:.DH=CH,：.Z CDP=4 5 ,.点。为直线y=x 第一象限上的动点，二 N B O Q=4 5 =N C D P,V 2V 2&IV 2BIIa=一一=D P黑罂黑:.丛 P C D s 丛 OBQ,生 里 北.BQ O Q ”,，P C=

45、&IOQ,/.BP+迎。Q=8P+PC,连接AP,点P是抛物线的对称轴上的点，：.PC=PA,：.BP+O Q=BP+PCBP+PA,当点A,P,C在同一条直线上时,8P+MIO。最小，最小值为A C=V 32+32=3&,VA(-3,0),C(0,3),直线AC的解析式为产x+3,当 x=-1 时,y=2,.点 P(-1,2).4.(2 0 2 1南沙区一模)已知,抛物线 =加？+4 x-4/n与x轴交于点A (-4,0)和点B,与y轴交于点C.点D(n,0)为x轴上一动点，且有-4 O=/A K=6 0 ,应用三角函数定义即可求得答案；(3)根据 A 0 M的周长与 M N P的周长的比为

46、5：6,可得出 W=3 M,建立方程求出n的值，在y4轴上 取一点凡使得0/?=同,连接A R,在A R上取一点E使得O E=O ),构造相似三角形，可以证明AR2就是A E+国C E的最小值.9【解答】解：(1).抛物线y=,n?+N l x-4?与x轴交于点A (-4,0),9.w(-4)2+-4|x(-4)-4/n=0,3解得：m=4,3|9抛物线解析式为y=Z l/+Z l x-3,令 =0,得丫=-3,：.C(0,-3),设直线A C的解析式为y=k x+b,：A(-4,0),C(0,-3),f-4k+b=01 b=_3/.直线A C的解析式为y=-4 x-3.(2)(-4,0),D

47、 (n,0)为 x 轴上一动点，且有-4 V V 0,.ADn -(-4)n+4,在 x 轴上方作射线A M,使Z M A O=3 0 ，过点D作D K L A M T K,：.Z A K D=9 0Q,j.：.DK=AD,Z ADK=60 ,1当 C、。、长在同一条直线上时,。+。4最小,即引4。+。取得最小值时,/。=4。长=6 0,：O D=-n,Z COD=90,OCl _3|CD=t an ZC D O=t a n 6 0 ，即 1=百 I,.n-V s|.(3)：DML xt l,NPL AC,:.N A D M=N N P M=9 0；：ZA M D=Z NMP,AMDS/NMP

48、，.A D M 的周长与 M V P 的周长的比为5：6,A M l _5l.MN1=6,D M I OCl 3|I=s i n/Z X 4 M=正|=同，D M I l.MN=2,:.D N=3 D M、旦 1 1.D W=Z 1+3,D V=-4 l n2-3 9 3：.-办,.”+3=3 (Z|+3)解得：n=-2,2=-4(舍 去)，：.D(-2,0),：.OD=2,4如图2 中，在 y 轴上 取一点R,使得0/?=可，连接AR,在A R上取一点E使得O E=O D=2.4：OE=2,OR-OC=3X3=4,：.O 5=OR,OC,0E|PC.丽=丽，,/N C O E=NROE,:A

49、 R O E s A E O C,R E l 2.至1=枳 1=可，2:.RE=3CE,2|2.当 A、R、E 共线时,AE+5|CE=AE+ER=4R,此时 AE+RcE 最小,5.(2021 射阳县三 模)如图,抛物线 =以 2+。经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交于点P,与直线B C相交于点M 连接AC,PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)设对称轴与x 轴交于点N,在对称轴上是否存在点G,使 以 0、N、G 为顶点的三角形与aAOC相似？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在,请说明理由；(3)抛物线上是否存在一点Q,使与PMB的面积相等,若存在，

50、求 点。的坐标；若不存在,请说明理由；_1 点 E 是 y 轴上的动点，连接ME,求ME+TCE的最小值.【分析】(1)将点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=or2+%x+c中即可求解析式；(2)两个三角形相似有两种情况AOCs/CW G：AOCs/XGNO.在利用相似三角形的边对应成比例即可求解；(3)由 于 与 户 M 8共 底 M8,利用平行线的性质,只要两个三角形等高即可；分两种情况找平行线，过 P 点作P”BC交y 轴于点H,直线P”的解析式为y=-x+5,宜线P 4 与抛物线的交点即为。；由，点关于C 点对称的点为(0,1)，过 点(0,1)与直线8 c 平行的直线