大一高数期末考试题及答案.pdf

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1、赵兰春 电子一班.设/(x)=c o s x(x+卜 访 x|),则在 x=0处有().(A),(0)=2 (B)r(0)=l (C)/(0)=0 (D)/(x)不可导.设a(x)=,J3(x)=3-3 x,贝!J当x-l时()2 .l +x.(A)&(x)与夕(X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)或均与以是等价无穷小；(C)次刈是比例x)高阶的无穷小；)夕(x)是比次灯高阶的无穷小.3 .若？()=I一,其 中/(x)在 区 间 上 二 阶 可 导 且，(x)0,则().(A)函数口幻必在x=0处取得极大值；(B)函数2 x)必在=()处取得极小值；(C)函数口处在x=0处没有极值，但

2、点(，)为曲线y=尸(幻的拐点；(D)函数 在x=0处没有极值，点(0,产(。)也不是曲线 =/(乃的拐点。4.设“X)是连续函数，且/(x)=x+2f,则/(x)=()X2 X2-F 2(A)2 (B)2 (C)x-1(D)x+2.二、填 空 题(本 大 题 有4小 题，每 小 题4分，共16分).l i m (1+3 x)j =5.X T o已 知 任 是/(x)的一个原函数，贝I j1/(x)任d x=6.xJ x1.z 兀 2 2 n-1l i rn(c o s F c o s-F+c o s-/r)7.T8 n n n n .I x2 a rc si n x+1,-/dx=A/178

3、.I .三、解 答 题(本 大 题 有5小题，每 小 题8分，共40分)9.设函数片双幻由方程e+si n(个)=1确定，求？(*)以及7().-d x.10.，x(l+x)xe x,x 0 -it-求 f/(x)d r.V 2 x-x2,0 x(x.ex+y+ycos(xy)ex+y+xcos(xy)X =0,y=0 y0)=-110.解：w =x7 7x6dx-du原式7 Jw(l+w)7=y(In I w I -2 In I M+11)+c)du1 7 2 7=In I x71 In 11+x71+C7711.解：工xexdx+y)2 x-x2dxxd(-ex)+y l-(x-l)2dx

4、=-xe-x e cos2(令x-1=sin 6)一 2=2 夕 1412.解：由八)=,知g（）=。X1 f(u)dug(x)=f(xt)dt=-5-0 x(xwO)xxf(x)-jf(u)dug(x)=-3-(x H 0)Xxf(x)-jf(u)dulim g(x)=lim-%-X TO X TO X，A A_.2-2,g(x)在 x=0 处连续。dy 2-1-v =Inx13.解：dx x-dx,dxy=eJx(Je x lnxrfx+C)1 f 1 2=xlnx x+Cx3 9J（1）=1,C=O j=1 x ln x-|x四、解答题（本大题10分）14.解:由已知”=2 d x +y

5、,将此方程关于x求导得7 =2y+y特征方程：r2-r-2 =0 解出特征根：。=-1,-2=2.其通解为 y=Cye-x+C2e2xc =2=1代入初始条件y（）=y（）=l,得 1 35 2-3y=ex+e2x故所求曲线方程为：3 3五、解答题（本大题10分）j-In x0=（x-x0）15.解：（1）根据题意，先设切点为a。，皿*。），切线方程：/由于切线过原点，解出“o=e,从而切线方程为:y=-xA=i(ey-ey)dy=-e-1则平面图形面积 0 2V.=-%e 2(2)三角形绕直线x=e 一周所得圆锥体体积记为,则 3曲线了=E x 与x 轴及直线*=e 所围成的图形绕直线x=e

6、 一周所得旋转体体积为 V21V2=jr(e-ey)2dy0V=V.-V2=(5e2-12e+3)D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积*2 6六、证明题(本大题有2 小题，每小题4 分，共 12分)9 1 (I /(2)=q(T-q)f&)-q Q-q)f&)0故有：q iJ/(x)d x q f(x)dxo o 证毕。17.F(x)=,0 x s in x +T xwO。处连续，则a =(D).)e(D)1/g+/?)-2/?)一4.设八x)在点x =a处可导，那么2。一(A)3/(a)(B)(C)八。)(D)3.(A)1(B)li mh(A ).2 /(a)2/二、填空题(本大题有4

7、小题，每小题4分,5.极限6.由1li m.1 0exyln(x +Q)-ln X+y I n x =c os 2x(a 0)的值是确 定 函 数si n t zXax =00共1 6分)a.y(x),则导函数-.0,2%-3+5 2 =6都平行，则直x-1 _ y-2 _ z-3线/的方程为 一=r=二78 .求函数丁=2 x-ln(4 x)2的单调递增区间为(-8,0)和(1,+8 ).三、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共32分)li m9.计算极限I。(l+x)“-ex解:.(l+x)A-eli m-X TO x-ln(l+x)-lex=e li m-3 x-1e li mx-0l

8、n(l+x)-x210.已知：I 万 1=3,花 1=2 6,a-b=30 ,求 I 万 x 5 l。解:a-b 5 八 匚 1 2c o sd=p-7 =,si n =v l-c os 6=同 W 1 3 1 32 x B|=72F(x)=J(x-f)/(f)J r x G a,b 11.设/(x)在m 加上连续，且。,试求出厂(%)。X XFx=x f dt-tf dt解：a aX XF(x)=f(t)dt+xf(x)-xf(x)=尸(x)=f Mf C O S X .I x dx.12.求，si n xr cos x_ _ 2 卜1si n x解：si n3x 2 J=xsi n si

9、n xdx=xsi n x c ot x +C2 2 J 2 2四、解 答 题（本大题有4小题，每小题8分，共 32 分）2xV=-1 4.求函数 1 +X2的极值与拐点.解：函数的定义域（8,+00）,2（1 x）（l +x）f t 4 x（3 厂）（1+马 2 L（1+0 3令y =得 x 1=1,x2=-i）x 2=t 是极小值点极大值y（D =i,极小值八一1）=一 1令 y=得 X3=0,X4=6,x5=SX(-00,-6)(-6,0)(0,6)(百,+8)y一+V3 V3故拐点(-6,-2 ),(0,0)(3 ,2)i s.求由曲线)=彳 与 y =3x-所围成的平面图形的面积解:

10、=3x-x2,x3-1 2 x +4 x2=0,x(x +6)(%-2)=0,X j =-6,x2=0,x3=2.S=-3x +/)d x +1 (3x-x2-?)d x4 c 3 c 3 4zx 3 2 X、|O/3 2%X|2=(-1-6-x2-+)3 A,+-6(-2x-3-1-6-)Llo=4 5 +2-=4 7-3 31 6.设抛物线=4 一炉上有两点4-1,3),B(3,-5),在 弧 A B 上，求一点P(x。)使 A 4 B P 的面积最大.解：AB 连线方程：y +2 x-1 =0 AB=4y5点P 至 点 5 的距离T =*+/+3(T w x 3)V 5 V 5Z U8

11、P 的面积S(x)=L 4 技 -%+3=2(*+2 X+3)2V 5S，(x)=-4 x +4 当x=l S，(x)=OS(x)=-4 0,试证e2(l x)f x)=-4xe2x,x0,因 此/(x)在(o,+o o)内递减。在(0,+o o)内，/(x)尸(0)=0)在(,+o o)内递减,在(0,+0 0)内，/(X)/(0)，即-x)-(l +x)0时，小(1 一 x)l冗/(x)=ta n x,0 x 1x+sin x,x ,则()(A)/，(0)/，(1)/(1)-/(0)(B)/，(0)/(1)-/(0)/,(1)(C)/，(1)/，(0)/(1)-/(0)(D)/-/(。)八

12、1)/(0)ri n“f2 si n xco s 4 x.r2z.3 4 M=-dx,N=J(sin x+co s x)a x_ 1 +X 上21.-2 2贝 IJ ()(A)M N P(B)P N M(C)P M N(D)N Ml d(x?a rcta n J x-1)=(2 设 J 7(x)d x=sin x+c,则 J r”(x)d x=(x-4 _ y _ z-53.直线方程2-机 n 6+p ,与 必/平面，丫次平面都平行，n2P =j(x2 sin3 x-co s4 x)dx2那么2,1,p的值各为()l ira =4.一 ()三 解 答 题(本 大 题 有 3 小题，每小题8 分

13、，共 24分)19 1 八x co s ,X 0XX X 4 试讨论/(X)的可导性，并在可导处求出了(X)3.设函数y=/(X)在(-8,+8)连续，在 中0时二阶可导，且其导函数尸(幻的图形如图所示，给出/a)的极大值点、极小值点以及曲线y=/a)的拐点。四解 答 题(本 大 题 有 4 小题，每小题9 分，共 36分)X+2、2 dxi.求不定积分j|l n x dx2.计算定积分;,x y z-1,x-1 y-2 z-=-/,:-=-=3.已知直线 1 2 3-2 5 46的平面方程。求过直线/,且平行于直线4.812-兀过原点的抛物线y=X-及y=0,x=所围成的平面图形绕x轴一周的

14、体积为5 ,确定抛物线方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。五、综 合 题(本 大 题 有 2 小题，每小题4 分，共 8 分)1.设尸(x)=(x l)2/(x),其中/(x)在区间口,2上二阶可导且有 2)=0,试证明存在 (1 0)2.o(1)求/(X)的最大值点；1/(x)0 x3 x1 -CO S X _ 13x2-3f M=10.(8分)设/V).2x co s xx 0 ,试讨论/（x）的可导性，并在可导处求出x 0,fr(x)=2xco s+sin 八解：当 x x；当x 0 (x)=lAx?C O S-0 AOX =0 f (0)=l im-M=0 f (0)=

15、l im =1&T O+AX-Ax/（x）=011,x 0 x1X Xx 0）及 产 0,x=l所围成的平面图形绕x81 -冗轴一周的体积为5.求 4,并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积.1 5 1 2V=（a x2）2dx=7r a1 n a解：o S o 57ia2 _ 81 万由已知得 5 5 故 =9 抛物线为：）=9/p r4 9V=27rx-9x2dx=18万 一=7r绕y轴一周所成的旋转体体积：。4 o 2五 综 合 题（每小 题4分，共8分）16.（4分）设尸（x）=（x-l）2/U）,其 中 在 区 间 1,2 上二阶可导且有/=0.证明：存在4（1彳2）使得尸 =0。

16、证明：由/（X）在 1,2 上二阶可导,故尸（无）在 1,2 二阶可导,因（2）=0,故尸（1）=F=0在 1,2 上用罗尔定理，至少有一点与，（1/2）使尸（X o）二 尸（x）=2（x-l）/（x）+（x-l）2 fM 得尸=0在 1,X。上 对/（乃用罗尔定理,至少有点（1玉）2）尸 =017.（4 分）.解：（1）x =l为/（X）的最大值点。/z（x）=（x-x2）si n2 x ,当 0 1,/,（x）=（x-x2）si n2 nx 0.当X1,r（x）=（x-x2）si n2 x 0o/为极大值，也为最大值。(2)/(x)=(f f 2)si n2 3/f(l)=t-t2)sin

17、2ntdt =过原点的切线方程为y =e x。、-ax5.已知/(x)=e,则 J x =x +c。_ 3 96.=2,b 2时，点（1，3）是曲线y =的拐点。二、计算下列各题：（共 3 6 分，每小题6分）1.求 y =（si nx）8 s*的导数。解：/=（e d nsi nx），=e C%si nx lnsi nx +c otx c osx）2.求 jsi n I n xdx解.jsi n I n xdx=x si n I n x -jc oslnx Jx=JI si n I n x -x c os I n%-jsi n I n xdx=g(x si n I n 九 一 x c os

18、I n x)+C卜芦。3.求 J J il o=yjx+5 I n I x+yl x I+C/(x)=ex,x 0k4.设 I*+1，x 0-x if。-(0)=1 =1x-0+xk=Tz1 1 1hm(i-=+/+.)5.求极限 f s J/+r 7 n2+22 yjn2+n2。解：1 1 1-H H 1 G+1 2 7H2+22 7 n2+n2=li m V2 8M1 Jn2+k2=ln(x +V l+x2)lo=ln(l+扬x +2y-z +l =0，2x-y +z =06.求过点(2,2,0)且与两直线5-+2-1=和 x-y +z =平行的平面方程。解：两直线的方 向 向 量分别为S

19、=(1,2,1)x(1,-1,1)=(1,2,-3),S2=(2,-1,1)x(1,1,1)=(0,-1,一1),平面的法向量/?=(1,-2,-3)x(0,=平面方程为x y+z=0。三、解答下列各题：(共2 8分，每小题7分)X =RCQS t d2 y1,设ly =R si nj 求 充。=-c otr解：dxdx-R si nf /?si n/2.求F a)=l T)”在-1，2上的最大值和最小值。解.尸(x)=x(x-l)=O,x =O,x =lF(O)=O,1)=，1)力=一一,F(1)=r t(t l)dt=,F(2)=t(t 1)dt=力6 4 32_ 5最 大 值 为 最 小

20、 值 为6 o3.设 y =y(x)由方程X(l+y 2)-ln(x 2+2y)=确定，求 y (0)。解：方程式1 +/)-ln(x2+2y)=0两边同时对 x求导(1+/)+2砂._2：+?=ox+2yx =0,y =将 2代入上式y,(o)=|O4 .求由丁=厂与旷=x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。解：V =b(y-g力3=一兀10四、证明题：(共12分，每小题6分)1.证明过双曲线q=1任何一点之切线与x，丫 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线孙=i上任何一点a，y)的切线方程为y _ y =-y(X-X)厂(0,y H ),(2x,0)切线与x轴、y轴的交点

21、为/1、Cc”八 s=x(y +)=2故切线与x,y二个坐标轴所围成的三角形的面积为 x2.设函数/(式)与g )在闭区间团，回上连续，证明：至少存在一点4使得f(&)g(x)dx=g)f M d x丁 明&R x)=g(x)d x f f(x)dxl止明：令 J.t L口(。)=尸(。)=0,由R one 定理，存在一点4厘外切，使尸C)=,即/)g(x)d x =g(4)f f(x)dx高 等 数 学 上 解 答(07)一、单项选择题(每小题4 分，共 16 分)1.f M=XCO SX_|S，nA l(-00 X +oo)A(A)奇函数；(B)周期函数；(C)有界函数;(D)单调函数2.

22、当x-0时，/(%)=(1-B =0,x Z =O,贝力 o(A)0；(B)-1；(C)1；(D)3二、填空题(每小题4分，共16分)1.曲线卜印11%上一点p的切线经过原点(0,0),点尸的坐标为(e )。.ta n x -x 1h m-=_2 .3 03 .方程/+6 孙+/1 =确定隐函数y=y(x),则y(O)=Q。4 .曲线y=V、x =l 与X 轴所围图形绕X 轴旋转一周所得旋转体的体积为7 1三、解下列各题(每小题6 分，共 3 0 分).2r/(,x)、=rh m(/-s-m-x ),、1.已知 f s t，求/(X)。/(x)=l i m(?Si n Vy=e T i n，解

23、：tf(x)=-e-si n 21tsi n 2x r i n(l nx)+Jx2 .求不定积分 I nx .解：加 2)+启d x =dx-x l n(l n x)-d x+d xJ I nx Jl nx如谶=xln(lnx)+Cr12/Sinxr7、Ix(-+x)dx3.计算定积分L1+x4o解：L尤2(言以+爪7)公=(/忘了)公+产2署dr=(X2V1-X2)JX+O.r=sin/=2I2sin21cos2tdt_71If 1+sinx,-ax4.求不定积分Jl+cosxorl+sinx.r1,rsinx,-ax-dx+-ax解：J1+cosx，1+cosxJ1+cosx1r2x,r

24、dcosx=sec-ax-2J2J1+cosxx=tan In11+cosxI+C25.已知/On尤)=x,且/=e+l,求/(x)。解：令lnx=f,f(t)=ef(x)=e+C/=e+l,/(x)=/+l四、(8分)设/(X)对任意x有/(尤+D=2/(x),且/二一二求产。解：由/(x+D=2/(x),/=2/(0)x-1.lim%+DT(l)r-0f.m2/(z)-2/(0)ff0f=2/(0)=7五、(8分)证明：当xl时，-1)比%(%-1)2。证明：只需证明(x+Dlnxx-l。令/(x)=(x+1)Inx-x+1/(x)=lnx+0/、1、X,/(X)在+00)单调递增。/。)

25、=0,当xl时,/U)0ogp(x2-l)lnx(x-l)2o六、(8分)已知尸一 厂)/(/辿，尸连续，且当x-0时，F(X)与炉为等价无穷小量。求广()。解：1 XF(x)=f(x2-z2)/W?=x2 pW r-fr/W r/(x)2xf t)dt+x2f x)-x2f(x)=2 x/劝“I .v-0 x X TO七、(8 分)设有曲线y=4 x?(O Wx Wl)和直线y=c (0 c 4)。记它们与y 轴所围图形的面积为4,它们与直线x =l 所围图形的面积为4。问c 为何值时，可使A=4+A 2 最小？并求出A 的最小值。A(c)=V c-1令A(C)=V 7-1=O,得C=1。A

26、02 ，。=1为最小值点。八、设x)在3/)内的点”。处取得最大值，且 (%)区K d。)。证明：f(a)+f(b)K(b-a)证明：/(%)=0在出，/对r(x)应用拉格朗日定理fX x0)-f(a)=f记(a .%)f(a)=f,X a-x0),f a)K(x0-a)在/向 对/(x)应用拉格朗日定理f(b)-f(x0)=-4)伯-/)(/(b)=/&)(-xQ),|f(6)K(b-x0)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5 小题，每小题2 分，共 10分)设f/d x,*(A)l n(ev-1)+c l n(e*+l)+c;(C)2 1

27、n(+1)x +c;(D)x-2 1n(e*+l)+c.答()2、n a Zz i-l i mve,-en-e -e-(A)l (B)&(C)e(D)e2答()3、/(x)=的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项凡(x)=()(式中0 9 1)(/z+l)(l-0 x),+l(-D1 1(H+l)(l-0 X)n+l-(C)_ _ _ _ _ I_ _ _ _ _ x“+i(l-0 x)n+2(0)(-1)(l-0 x)n+2答()设/X x)在x =0 的某邻域内连续,W(0)=0,lim=2 ,则点x =0*f 0 1 -c o s X(A)是/X x)的极大值点(8)是/X x)的极小值点(

28、C)不是f(x)的驻点(D)是/(x)的驻点但不是极值点答()5、曲线y=/一2x +4上 点%(0,4)处 的 切 线 与 曲 线 V=2(x-1)所围成的平面图形的面积A =21 4 9 13M)(B)-(C)-(D)4 9 4 12答()二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5 小题，每小题3 分，共 15分)设 y=In J1+ta n(x +)，则y，=_ _ _ _ _ _ _ _ _1、V x2用切线法求方程/-2x 2-5x-l =0 在(-1,0)内的近似根时，选x o并相应求得下一 个 近 似 假 一 则 x o,汨分别为。x-1 _ y+1 _ z-13、设空间两直

29、线丁 一 2 二 厂 与 x +l =y-l =Z 相交于一点，则入=si nx +e -1 当 n/(x)=X T X W U ,在冗=0处 连 续，则4=4、a,当x =05|x|Jx =,其中是实数.三、解答下列各题(本 大 题4分)设平面兀与两个向量1=3 f+了和5=7+了一4上平行，证明：向量=2 一6；-E与平面兀垂直。四、解答下列各题(本 大 题8分)讨论积分工半的敛散性.五、解答下列各题(本 大 题11分)导出计算积分/=一斐=的递推公式，其 中 为 自 然 数。J X-六、解答下列各题(本 大 题4分)x+2 y-z-5 =0/1:0 XfXo。十一、解答下列各题(本 大

30、题4分)在半径为R的球内，求 体 积 最 大 的 内 接 圆 柱 体的高十二、解答下列各题(本 大 题5分)12 0 4.n c osa =,c osP =-_ ,重量为。的重物用绳索挂在A B两个钉子上，如图。设 13 5,求A,B所受的拉力，八。ABOIP十三、解答下列各题（本 大 题6分）一质点,沿抛物线y=x（10-x）运动,其横坐标随着时间f的变化规律为x=的单位是秒,x的单位是米），求该质点的纵坐标在点（8,6）处的变化速率.十四、解答下列各题（本 大 题7分）设曲线x=6，x=（2-y 2及y=0,围成一平面图形.求这个平面图形的面积;（2）求此平面图形绦轴旋转而成的立体的彳楸.

31、、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分5小题，每小题2分，共10分）1、C2、答：B3、C4、（B）5、C二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小题3分，共15分）（1-U sec2（x+L）2（1 +tan（x+）1、x2、%=010分分5分10分53、44、-10,b=010分三、解答下列各题（本 大 题4分）n=axb=3 1 0=-4,12,2平面法向量 1I 11 _ 44n=-2c万与八平行从而平面与E垂直。四、解答下列各题（本 大 题8分）当P H 1时,lim=lim(-sr+0 xl)1 -plim-(1-+0

32、 pP 1当p =1时,二-Foo工当当p 2)/=uIn+x+c(H-l)x n -1(法二)令X =tanr dx-sec2 tdtTr sec2 tdt r sec t,./=-=-dtJ tan r seer J tan”，10分3 分_ f 6/seer tan叫seer-;-rtan t3sec*ttan,+2r-dtsecz-:-rtann+,t3嬴sec西 t 力+（,，+八i）J高sec彳t 必5 分y x+I .=x+l+(+D(/+2+I)n V x2+1，+2 n +(w+l)xn+,-Vx2+1(一 I L2-n ,一、+TT-7 分7 i+x2 iX X/0=In

33、V I+x2+x+c.六、解答下列各题（本 大 题 4 分）10分兀的法向量为 =URS,=1 24 的方向向量为“所求直线方向向量为S =x S =1,2,3从而所求直线方程为x-4 y-2 z+3i _ 210分七、解答下列各题（本 大 题 6 分）k-1=2-1,0)13 分7 分1 +xsinx-cos2 2xx tan x(Vl+xsinx+cos2x)=1lim(z-x-s-i-n-x-+-s-i-n-2-2-x)x2 X T x tan x x tan x=1(1+4)=-2 2八、解答下列各题(本 大 题7分)/“=(lnx)dx=xlnw x|,-J(nx)n1dx于是/=e

34、-ne+nn-l)e-+(-l)wn!Jjx=e-ne+n(n-Y)e-+(-严 n(n-1)2e+(-l)n n!(e-1)所 以(lnx)3dx=e-3e+6e-6(e-1)=6 2e九、解答下列各题(本 大 题8分)3 分7 分10分4 分7 分10分证明:反证设广(x)在(。力)内 有 界,0则/x(a,b)有 夕(x)|WM 2分取x()e(a,b)则对x e(a,b),x牛/在以/与x为端点的区间上/(x)满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在自介于与与x之间，使f(x)-f(x0)=f)(x-x0)5 分=|/(x0)|+M S )记为K 8 分即/(x)在(a内有界与题意矛盾，

35、故假设不正确,即/口)在(。力)内无界.10分十、解答下列各题(本 大 题5分)由 lim/()=/Q o)任给 0,存在T|0使 当 一 “o|n时，恒有|/3)-/5 0)|0*-闻使当0 卜 一 X o|3 时,|(p(x)-wo|T|故当0 x-x0（和寸，就有|/（X）-/（HO）|成立因此 lim/（x）=/（Mo）XT/十一、解答下列各题（本 大 题 4 分）10分设内接圆柱体的高为人,则圆柱体的底面半径r=*_（与2其体积为 V=nh（R2 Qh2R4分3V=TT（R2-彳 公）唯 一 驻 点h=-R3V=-7rh02故人=时，圆柱体体积最大8分10分十二、解答下列各题（本 大

36、 题 5 分）按点。受力平衡，应有1力 cosa+f2 cos。=pl/,sin（z-/2sin=0；即12 4/1+-A=P（4 分）5 3-/1-/2=0 （8 分）,3 9,25解 得J 1 八=-5-6p，,J2 =p2 5 6,十三、解答下列各题（本 大 题 6 分）当 犬=8 时，1=4（10 分）2 分dx=p =3（米/秒）dt 2=4/=44分=（10-2x）-x=8dt dt答：质点的纵坐标在M（8,十四、解答下列各题（本 大 题 7分）=-18（米/秒）x（f）=316）处 的 变 化 率 为-1 8（米/秒）1 0 分解：(i)x=6 x =J 2-/交点(1,1).-

37、+(A/2-X2+a r c s i n3 27T 7T24(2)Vx=x4dx+(2-x2)dx=(+2(V 2-1)乃 -g(2A/2-1)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分4 小题，每小题3 分，共 12分)li m(l-c o s x)2s e c j r=()A.I B.e2 C.4 D.-答(设/(x),g(x)在%o的某去心邻域内可导,g (x)N。且 li m/(x)=li m g(x)=0,则史得 与叫叫需=A关系是:(A)是(H)的充分但非必要条件(8)是(I I)的必要但非充分条件(C)(1)是(H)的充要条件(。)不是

38、(I I)的充分条件，也不是必要条件答()3、即(x)在 a,外至续，F(x)=f(x)dt(a x).在 a,”上的定积分答()4、若已知x 0时，F(x)=卜 2 _/)/d由勺导数与/是 等 价 无 穷 小，则/(3)(A)l(呜(。)-1 ()-y答()二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分4小题，每小题3分，共12分)11、y=xe7的铅直渐近线是2 jtan*2 x d x =3、三、解答下列各题(本大题共2小题，总 计12分)1、(本小题6分)写出/Xx)=ln(l-x)(|x|1用拉格朗日型余项的阶麦克劳林展开式2、(本小题6分)2 2x j-72指出锥面4 16 被平行

39、于zox平面的平面所截得的曲线的名称。四、解答下列各题(本大题共5小题，总计24分)1、(本小题1分)求|Vx-dx.2、(本小题2分)计 算,(x+Vx)dx.3、(本小题5分)求j反也4、(本小题5分)求 L(二),5、(本小题11分)却(x)为以T为 周 期 的 连 续 周 期 函 数 贝 犷(x)在 a,a+T (awO)上的定积分与/(x)在 0,T上的定积分的大小关系是x _ y+2 _ z+74、直线7一2一一行与平面3x+y-9 z +17=0的 交 点 为乃 1设 y(x)=(2-x)2,(x .r0 X f%x x0一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，

40、填在题末的括号中)(本大题分4小题，每小题3分，共1 2分)1、D2、答（8）3、B4、B二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分4小题，每小题3分，共 1 2 分）1、x =02 =t a n x-x+c.3、=4、（2,4,3）三、解答下列各题（本大题共2小题，总 计 1 2 分）1、（本小题6 分）分分分分oooO分Ox2 x3 X/（x）=-X-+4（x）2 3 n分R.（x）=-一，介于。与x 之间“+1 （1-（；）2、（本小题6 分）f v-2 2-z 2 =4 1 6用 y =y。所截得的曲线为1 =。分O故 为=时为一对相交直线为 工 时为双曲线四、解答下列各题（本大

41、题共5小题，总计2 4 分）1、（本小题1 分）d x =告 x 2 +c.2、（本小题2 分）2 0 3原 式=（+京 咻_ 4 0一53、（本小题5分）f I n x ./d x，x v l +l n x=J /In d（l n x）J Vl +l n x=Ir Vr1 .+I;-n-x-,dZ 1（l +i I n x、）r I d（l.+l n x）=J J Vl +l n x=-1-（1 +I n x）2-2A/1+I n x +c.4、（本小题5 分）分4分O分O分分O分分05371令 4x=t原 式=(dt=2 (-二)力J，r+1=2ln/-ln(/+l)J=21n-35、(本

42、小题11分)dy-y(x)dx/C 、3仁*兀 2 G 1 /C、1 m I=(2-x)2 sec-ln(2-x)-tan dx_2 2 2-x 2 _五、解答下列各题(本大题共2小题，总 计14分)1、(本小题7分)F(T)=ln(-2 f cosx+l)dx令 x=7T-UF(-t)=-j In(/4-2/COSM+l)du=J ln（r2+2/cosx+V）dx=F（t）2、（本小题7分）因为 4万=3x2+（-4）x 3+（-1）x（-6）=0,故 A1B因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。（6分）4 分6 分8 分10分2 分分2 分6 分8 分分（10 分）2六、解答

43、下列各题（本大题共3小题，总计20分）1、（本小题6分）设 抛 物 线 上 任 点（X,/）,到直线的距离为|3X-4X2-2|A/9+161 ,-(4 x2-3 x+2)4 分d=；(8 x 3)3唯一驻点尤=故当x =U时,d最小O即点(|，意至I J直线3 x 4 y 2 =0的距离最短(注如用切线平行于已知直线解也可以)2、(本小题6 分).yf=3%2+C (1)2又由 2 x 3 y =6 得y =x 2I(o,-2)=|代入得y=j(3 x2+弓)d x =x3+-x+c再将(0,-2)代入得 c =-2,.-.y=x3+-x-2.3、(本小题8 分)p=1 0 0 0 0.4，

44、)x o必定不是/(X)的极值点4分6分10分答()5、一长为Lcm的杆0A绕。点在水平面上作圆周运动.杆的线密度夕=rr为杆上一点到。点 的 距 离，角 速 度 为。，则总动能E=（A）2 A2（B）g。？（C）；/七2 （D）-（o23一答（）二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分3小题，每小题3分，共9分）1 J（3-x2）3dx=设/（x）=-1）没，则/（x）的单调减少的区间是3、对于B的值，讨论级数，1（1）当 时，级数收敛（2）当 时，级数发散三、解答下列各题（本大题共3小题，总 计13分）1、（本小题4分）验证/1（X）=/在 2,4上拉格朗日中值定理的正确性2、（本

45、小题4分）级数10nn=l10是否收敛，是否绝对收敛?3、（本小题5分）设/（x）是以2乃为周期的函数，当2 2 时，/3=|此 又 设5（司是力的X G兀3兀以2兀为周期的Fourier级数之和函数。试写出（）在 一 兀，句 内的表达式。四、解答下列各题（本大题共5小题，总计23分）1、（本小题2分）2、3、4、5、求 极 限lim-11+16T 2x3-9 x2+12-4（本小题2分）（本小题4分）求f I T dx.（本小题7分）求 j|x|d x.（本小题8分）1V =-八试将函数 X2在点X。0 处展开成泰勒级数。五、解答下列各题(本 大 题 5 分)如果第级数，=。在x =-22处

46、条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少？试证之.六、解答下列各题(本大题共2 小题，总 计 16分)1、(本小题7 分)如 图 要 围 成 三 间 长 都 为y,宽 都 为x的 长 方 形 屋 围，其墙的总长度为问 各 等 于 多 少 时，所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)2、(本小题9 分)求由曲线y =轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.七、解答下列各题(本 大 题 6 分)设f M=C hX，X-0,，试讨论/(x)的可导性并在可导处求出了(x)I n(l-x),x 0,b.0).设函数f(x)在 a,b止 有 连 续导数(a 0),又设x =r c o s。，/(x)=r s

47、 i n Q.试 证 明：2/(x)d x +r2(O)t/0 =b f(b)-a f(a),甘 H r f(a)q 于(b)其中 a =a r c t a n -,B =a r c t a n 4 .a b一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5 小题，每小题2 分，共 10分)1、答:C2、B10 分3、答(8)10 分4、10分5、c因 d E =-（J w）v22IL，,22 r1 2，-co rar2 1 2E=-CDrdr山2=LL24二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分3小题，每小题3分，共 9分）=27x-9x3+-x

48、5-+C.1、5 72、（0，1）（答 0，1 不 扣 分）3、B T时收敛P NT时发散三、解答下列各题（本大题共3小题，总计1 3 分）1、（本小题4 分）证 明：/（x）=/在 2,3 上 连 续，在（2,3）可导即/（x）在 2,3 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 题 的条件又/（x）=2 x如 G）=2.弋 工-6得到（2,3）内有解匕=3即存在匕=3 ,财化）=2一 2）4 Z这 就 验 证 了 拉 格 朗 日中值定理对函数/Xx）=Y 在 2,3 上 的 正确性1 0分1 0分4 分8 分分2、（本小题4 分）z，户储。U =(_ 1 1 02 -1-0=-00)由于 ，1

49、0 6分故原级数绝对收敛，从而收敛 1 0分3、（本小题5 分）对 一国，-5（“,万 作周期为2 万的延拓，“X）在 一兀,可内的表达式为1+2 加,/）=-x,x,-71 X-,271 八-x 0,20 X 7T,/（M 满足F o u r ie r 级数收敛的充分条件。故（3 分）（5 分）x+2 万,S（x）=一%,X，71一 乃 X -,271*=一5-x 0,20 X 0,x 0.5分由原函数的连续性，得X Xxlfi。m-(2 +G)=XlTi。m-(2+c2)/.j|x|d x=C2 Tx2.F+C c,x 2 0,|x|.x2+C.1 0分x 05、（本小题8 分）因为01J

50、 _ _ _ L X X。+X XpX。3分1 5 1l7 7 =(T)X x G(-1,1)而 1 +X n=o=xe(O,2 x0)所以 元 “。=0 X。.=(-小个厂 xw(O,2 x。)x =0%o分五、解答下列各题(本 大 题 5 分)由题意，知：当W 2时，级数不可能收敛.8分故收敛半径是2.1 0分六、解答下列各题（本大题共2 小题，总 计 16分）1、（本小题7 分）a如图 4y +6 x=a y=总面积为 A =3xy=3 x(-x)4 23分dAdx%9x4当x=a12时,dAdx=0d1 2A*4dx21 +2%1 .a=In 4 b九、解答下列各题（本 大 题12分）