新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质学案（知识点考点汇总及配套练习题）.pdf

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1、第 三 章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示.-1-3.1.1 函数的概念.-1-3.1.2 函数的表示法.-10-3.1.2 函数的表示法（2）.-19-3.2 函数的基本性质.-26-3.2.1 单调性与最大（小）值.-26-3.2.1 单调性与最大（小）值（2）.-32-3.2.2 奇偶性.-42-3.3 幕函数.-51-3.4 函数的应用（一）.-60-3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课 前-自主探究 自主预习基础认知内 容 标 准学 科 素 养1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型.数学抽象数学建模数学推理2.学习用集合对应的语言来刻

2、画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域.授课提示：对应学生用书第3 0 页 教材提炼知识点一函数的概念预习教材，思考问题y=x中x与y的对应关系，和 中 尤 与 y的对应关系相同吗？知 识 梳 理(1)一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系寸 在集合8中都有唯一确定的教义和它对应，那么就称/：为从集合A到集合B的一个函数(function),记 作y=/U),x。.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数 值 的 集 合 伏A叫做函数的

3、值域(range).显然，值域是集合3的子集.(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值 域.值域是由定义域和对应关系决定的.(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.知识点二区间的概念知 识 梳 理(1)一般区间的表示定义名称符号数轴表示闭区间a,ba bxaxa(a,+)a-o-RxW/?(-8,/7b-x|xZ?(8,bR(,+)61.下列从集合A到集合8的 对 应 中 不 是 函 数 的 是()答案：D2.已知函数g(x)=2一1,则g(l)=()A.-1 B.0C.1 D.2答案：

4、C3.函数的定义域是（)A.(8,4)B.(8,4C.(4,+)D.4,+0 )答案：A4.已知全集。=&A=x l 2不合题意，故选C.答案：C探究二求函数的定义域2 例 与 函 数 尸 中 二 的 定 义 域 为()A.(一8,1)B.(一8,O)U(O,1 C.(一8,Q)U(O,1)D.1,+8)(2)已知函数y=/(x)与函数y=5+3 1 x是相等函数,则函数y=y(x)的定义域是()-2 x,则函数的定义域为A.-3,1 B.(-3,1)C.(-3,+8)D.(一8,1(x+(3)函数的定义域是()A.巾0 B.巾0 C.x|x 0,且无w-1 D.x|x#O,且尤W -1(4)

5、已知等腰 A 3 C的周长为1 0,则底边长y关于腰长x的函数关系为y=W1 x 2 0,(x Wl,解析(1)由1 ,解得1 一c 故 选B.(2)由 于y=/(x)与y=-/x+3+y 1 x是相等函数,故二者定义域相同，所 以y=)的定义域为 x|-3 Wxl .写成区间形式为 一3,1 .故 选A.x+1 WO,V.|A|x 0,x W 1,M x,x W 1,*x y,即 4 x 1 0,综 上,|x 5.答案(1)B(2)A (3)C(4)(|,5)(方法提升求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条

6、件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式.(3)一般地，形如y=前，则 於)2 0,形如=焉 则.*x)W形如 y=(Xx)，则火x)W0.L同 源 异 考 重在触类旁通1 .下列函数中，与函数y=-有相同定义域的是()A.J(x)=y x B.犬x)=：c.Hx)=|x|D.人)=不不解析：函 数=|,其 定 义 域 为 x|x W0 ,与选项B中的函数是相等函数,添其定义域相同.答案：B2.y=yjx1 71 x的定义域为.x 1 2 0,解析：)、合x=l,所以函数的定义域为 1 .lx0答案：1 探 究 三 求函数值问题”教材探究 例3 教 材P

7、 6 5例2拓展探究(1)若函数.人=五而十5，求.以3)的值.解析VX-3)=-l.W-3)=X-l)=-l+3+=2+1.(2)若函数 x)=/x+3+二 匕,求Hx 1)的定义域.人I乙 解析法一:fix 1)=/x 1+3 +.=y x+2H qrrX 1 I乙 入I 1pt+2 2 0,尤+i w o,龙2 -2,定义域为-2,-1)U(-1,+8).法二：二/5)的定义域为 4 r2 3且x W-2 ,.,小龙一1)的定义域为x 1 2 3且x 1#2.即 x|x 2 2 且x W 1 .(3)若函数兀V)=、X+3+T=,设 g(x)=/-3,求力g(x).解析 首先 g(x)N

8、 3,且 g(x)W2,即*3 2 3 且x23 W 2,1./g(x)=、g(x)+3 +g(x)+2=+7=?r=十 月.，/gW =1).一,方法提升函数求值的方法及关注点(1)方法：求1A。)：已知7 U)的解析式时，只需用。替换解析式中的无即得大。)的值.求.*g(a)：已知犬X)与g(x),求式g(a)的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.课后素养培优 素养拓展能力提升授课提示：对应学生用书第3 2页一 抽 象 函 数 有“据”可依抽象函数的定义域问题、求值问题，数学抽象 逻 辑 礴所谓抽象函数，是指明显、具体的给出

9、x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数.1.定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则:同在对应法则月下的范围相同,即刖，犬夕)，人 以 幻)三个函数中的t,8(x),/?(x)的范围相同.(2)方法：已知/(X)的定义域为A,求|g(x)的定义域，其实质是已知g(x)dA,求x的范围；已知_ A g(x)的定义域为A，求凡r)的定义域，其 实 质 是 已 知 求g(x)的范围，此范围就是的定义域.典例(1)已知函数/U)的定义域为 0 ，求兀t 2+l)的定义域；(2)已知函数;(2了-1)的定义域为 0,1),求_/0 3九)的定义域.解析(1)因为函数凡式+

10、1)中的炉+1相当于函数式x)中的x,所以0W/+1W1,即一 所以 x=0,故/(x2+i)的定义域为 x|x=0.(2)因为抵2%1)的定义域为 0,1),即O W xV l,所以一1 W 2 X-1 V L故/U)的定义域为-1,1),所以一 1W 1-3XV1.2(2解得O V xW ,所以川一3 x)的定义域为(0,-2.求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法.典例 定义在R 上的函数1 x)满足兀t+y)=/(x)+犬y)+2 xy(x,yG R),/(l)=2,则.八一3)等于()A.2 B.3C.6D.9 解析.*1)=经 4 一后*的定义域.1 一工

11、0,解析 要使函数有意义，须 一 一 八 得x W l 且九2 一 1x+1 0,定义域为(8,纠 错 心 得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y=x+l，FG，求定义域更简单.1 一位0得把1.这已经破坏了函数的概念.求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以.3.1.2函数的表示法（1）自主预习基础认知内容标准学科素养L掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.直观想象、逻辑推理数学抽象2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.课前 自主探究授课提示：对应学生用书第3 3页 教材提炼知识点函数的三种表示方法预习教材，思考问题比较函数的三种表示法，它们各自的特点是

12、什么？知 识 梳 理 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.这三种方法是常用的函数表示法.自主检测1.函数y=/U）的图象如图，则/U）的定义域是（）A.RB.(一8,1)U(1,+)C.(一8,0)U(0,+8)D.(-1,0)答案：C2.已知y 与x 成反比，且当x=2 时，=1,则y 关于x 的 函 数 关 系 式 为()A.y=；B.y=-x-2c.y=-D.y=2答案：C3.已知函数7U)由下表给出，则.顺3)=.X1234於)3241答案：1课堂互动探究 _ _ _ _ _

13、 _ _ _ _.谢 赛 核 心 突 破授课提示：对应学生用书第33页探究一列表法表示函数 例 1 (1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表:若某人乘坐此公共汽车7 站后下车，票价应为 元.行进的站数123456789票价(元)0.50.50.51111.51.51.5(2)下表表示函数y=)，则於)x 的 整 数 解 的 集 合 是.(3)已知两个函数r)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3,其函数对应关系如表：X0 x55 4 V l 01 0 4 V l51 5 2 0y=/(x)46810则方程g(/U)=x的解集为.解析(1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7 时函数

14、的值为1.5,所以此人乘车的票价应为1.5元.当0 x X的整数解为1,2,3.当5WxV10时，的整数解为5.当10WxV15时，.*x)x的整数解为。.当15WxV20时，的整数解为综上所述，7U)x的整数解的集合是1,2,3,5.(3)当x=l时，兀c)=2,g(/(x)=2,不符合题意;当x=2时，|尤)=3,g(/U)=l,不符合题意；当x=3时，式幻=1,g(/U)=3,符合题意，综上，方程8(/0)=%的解集为3.答案(1)1.5 1,2,3,5 3,一,方法提升,列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于4 g()这类函数值的求解，应从内到外

15、逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.L变 三 训 练 培养应变能力1.在本例(3)条件下，求不等式式g(x)g(/(x)的解集.解析：/(g(x)与g(Ax)与X相对应的值如表所示：X123他 8)132 阿)213不等式.*g(x)g(/W)的解集为2.2.若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.X1234y4321定义域为，值域为答案：123,4 4,3,21探究二函数的图象及应用 例 2 (1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2016年 1 月 至 2018年 12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下

16、列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各 年 1 月 至 6 月的月接待游客量相对于7 月 至 12月，波动性更小，变化比较平稳 解析 2016年 8 月到9 月，10月 到 11月等是逐月下降的，故 A 错.答案 A(2)已知二次函数y=f+4 x 3.指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图.说明其图象由y=/的图象经过怎样平移得来的.当定义域为 0,3 时，结合该二次函数图象求该函数的值域.解析 y=/+4 一3=(x2 +1,图象的开口向下，对称轴方程为x=2,顶

17、点坐标为(2,1).令 y=0 解得，x=l 或 x=3,所以此函数图象与x 轴相交于点(1,0)和(3,0),令 x=0 解得，丁=一3,所以此函数图象与y 轴相交于点(0,一3),画出此函数的图象，如图所示：-3 由 y=%2的图象向右平移2 个单位长度，得函数y=（x2）2的图象，再向上平移1 个单位长度，得函数y=（x2）2+1 的图象.画出函数y=-/+4 x 3,xG 0,3 的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为/方 法 提 升,作函数图象的基本步骤一取自变量的若干个值，求出相应的函数值,并列表表示描 点）*在平面直角坐标系中描出表中相应的点用平滑的曲线将描出的点连接起来，

18、得到连 战,函 数 图 象利用图象认识函数左右看范围一函数的定义域上下看范围一函数的值域左右看变化f函数值随X的变化情况L同 源 异 考 重在触类旁通1.某地一年内的气温。（单位：C）与 时 间/（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 C.令 C）表示时间段 0,打 的平均气温，C 与，之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）解析：依题设当/=1 2时，C(/)=1 0,排 除D;由年平均气温为1 0 知C不会都在1 0 C以下，排 除B;依 题 图 知 在 0,6 内，。的图象关于(3,0)中心对称,因此C(6)=0,排 除C,故 选A.答案：A2.已知函数为y=/2

19、x,1,2),试画出此函数的图象.解析：y=%2 2 x=(x-l)2-l.当 x=-1 时，y=3;当 x=0 时，y=0;当 x=l 时，=1;当 x=2 时，=0.如图开口向上的部分抛物线段.探 究 三 求函数解析式 例3(待定系数法)已知危)是一次函数，且 以x)=1 6 x 2 5,求於).解析 设式)=履+仇人#0),则 fiKx)=k(kx+b)+b=lx+kb+b,.,.lx+kb+h=1 6 x 2 5.标=1 6,kb+b=25,k=4,b=5或左=-4,25 一于2 5 A x)=4 x 5 或 r)=-4%+了.换元法(或配凑法)已知人5+1)=无+2也，求於)的解析式

20、.解析 法一(换元法)：令,=表+1,则 x=(r l)2,所以火/)=(/所以危)的解析式为人为=/-1(x 21).法二(配凑法)：/(5+l)=x+2 代=%+2 5+1 1 =(5+1)2 L因为G+12 1，所以.*x)的解析式为/U)=/一l(x e l).(3)(方 程 组 法)已 知 )+一 幻=+2%,求大办 解析,.段)+4(%)=/+2 光，.将 x 换成一x,得大一x)+2*x)=f -2x.,.由得 3於:)=x26x,1./(x)=y t22x.方 法 提 升,*求函数解析式的方法由巳知条件/(g()=R ,可将E M改写成关于g。)的表达式，然后以x替代g ,便得

21、/(x)的表达式对于形如=/(g(4)的函数解析式，令I=g()从中求出4=夕”),然后代入表达式求出/Q),再将，换成，得到了的解析式，要注意新元的取值范围先设出含有待定系数的解析式，再_ 利用恒等式的性质，或将已知条件一代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数已知关于/(切与/(J)或/(-动的表达式，可根据已知条件再构造一 出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (提醒：换元法要注意新元“产的取值范围，否则易弄错函数定义域.一 同 源 异 考 重在触类旁通1.设 函 数/鬲=%，则 的 表 达 式 为（）A.1 +x1 x1 +xB EC.1 X1+xD.2xx+1

22、1 x 1 t解析：令 t=+Y，解得犬=+/代 入 行 三l=X,可得加）=匕，.1 -九答案：c则外）=.,.X 2得33/(x)=6x-,：.fix)=2x.答案：2x 课后素养培优素养拓展能力提升授课提示：对应学生用书第3 5页一、-“图”胜万言函数图象的应用|A 直观想象|典例 已知函数次尤）=芯+加+以+4 的图象如图所示，则。的取值范围是A.(8,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+00)解析 法一：由/U)的图象知点(0,0),(1,0),(2,0)在图象上，得(d=0,(h 3 a,S a+b+c=0,3 c=2a,8 a+4+2c=0 d=0.於)=a x3加+la

23、 x.又由图象知人-1)0,则 b=3a V 0.故选A.法二：由三次函数_ Ax)的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设_/U)=a x(x 1)(*一2)=a x33 a x2+la x.又.F：3)0,得 6a 0 今a 0,.2=一 3。0.故选 A.答案 A二、忽视新元的范围 典例 已知求7(x)的解析式.解析 设，=/+1,7/U）=x+；1（X 2 1）.纠错心得此题用换元法或配凑法求出_ Ax）后，易丢定义域的证明（后1）.3.1.2函数的表示法（2）课前 自主探究 自主预习基础认知内 容 标 准学 科 素 养1.通过具体实例，了解分段函数的概念.数学抽象2.能画出

24、简单分段函数的图象.直观想象授课提示：对应学生用书第35 页 教材提炼知识点分段函数预习教材，思考问题函数y=|x|在与x ,C.1D.2x,x20,答案：c2.若以)=,x,x 0.求M(一3),M(2),(4)/M(-3),尸 解 析 当 犬=一3 时，M(3)=(-3+l)2=4.当 x=2 时，M(2)=(2+1)2=9.,.,M(O)=1,.,.M M(0)=M(l)=(14-l)2=4,：fix)=x+l,./T M(3)=/(4)=4+l=5.当 a W-l 时，M(a)=(a+1)2,当一 I V a WO 时，M(a)=a+1,.,.咒 M(a)=(a+1)+1 =a+2.当

25、。0 时，M(a)=(a+1)2,.7/T M(a)=(a+l)2+l.f(6r+l)2+l,综上，咒M(a)=1a+2,l(+l)2+l,aW 1,-I V a WO,a0.(2)Vx G R,用机(x)表示义x)、g(x)中的较小者，记为?(x)=m in /(x)，g(x).求皿x)的解析式，并 求，(x)的值域.解析 由(x+l)2=x+1 得 X=1 或 x=o,即函数y=/(x)与y=g(x)的图象相交于两点(一1,0)和(0,1).结合7(x)与g(x)的图象得出+1,加(x)的解析式为m(x)=(无+1)2,L+1,X&-1 ,一1 V xWO,x 0,如图，值域为R,一,方法

26、提升1.分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.3.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现加5)的形式时，应从内到外依次求值.探究二求分段函数解析式 例2如图，在边长为6的正方形A B C D的边上有一点P,沿着折线BCDA由点8（起点）向点A（终点）运动.设点P运动的路程为x,A A P B的面积为y.求：（1与龙之间的函数关系式；（2）画出y=/（x）的图象.解析（1）按照题意，根据x的变

27、化，写出分段函数的解析式.当点尸在线段B C上移动时，即0 V x W 6,BP=x,于是 SAAPB=AH 8P=；X6XX=3X;当点 P 在线段 CQ 上移动时，即 6V x 1 2,SAPB=AB-BC=1 X 6 X 6=1 8;当点 P 在线段 D4 上移动时，即 1 2 V x V 1 8,6X(1 8-%)=543 x.(3x,0 V x W 6,于是),=1 8,6V x W 1 2,543匕 1 2 x 1 8.（2）画出y=*x）的图象，如图所示.T“方法提升求分段函数解析式的关键点明确自变量光的分段区间及分段点.明确每一段上的函数类型用待定系数法求.一 同 源 异 考

28、重在触类旁通若函数 =火幻的图象如图所示，则其表达式.*x)为解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式.3梦+3,2,0),答案：於)=_ 5+3,g o,2),、2,%e 2,4).探 究 三 分段函数与方程、不等式f+2,x2 时，./(xo)=2xo=8,JC O=4.综上，xo=一加或尤o=4.答案一 求 或4x,尤 W2,x+1,-2x4,若 y(a)V3,则a的取值范围是3 x,x24,解析 当。五一2 时，_/(a)=aV 3,此时不等式的解集是(一8,3)；当一2V&V4时，/(a)=a+l 8,求 x 的范围.解析:尤 W2,当1?+28得

29、6,x 2,当 8,/.x4.的范围为(-8,6)U(4,+).课后素养培优 素养拓展能力提升授课提示：对应学生用书第3 6页一、形分而神不分分段函数问题的求解方法|直观想象、逻辑推理分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体.2x+a,x 11+0 时，1一&1,所以负1 a)=2(l )+a=2 a,#l+a)=(1+a)-2a=-3a 1.因为./(l-a)=/(l+a),所以 2=一3。一13所以。=一 (舍去).3综上所述，。=一 .3 答案 一I二、不分类讨论致错3x2 WxW2 典

30、例 若函数4幻=ccilu、则方程寅x)=l的解是()x 3,2 x 5 fA.戏 或2 B.6或3C.也 或4 D./或4 解析 当-1 W 2时，由 於)=1得，3x2=l,所以X=啦 或X=一啦(舍去).当2VxW5时，由 危)=1得，x3=1,所以尤=4.综上，_/(x)=1的解是或x=4.答案c纠错心得 解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分X范围的并集，求值时要重视X的取值范围.如本例当一l q/2时，求出x=啦 或x=一啦，通过检验应舍去X=一啦.3.2函数

31、的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值（1）自主预习基础认知内 容 标 准学 科 素 养1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性.直观想象2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义.数学抽象3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.逻辑推理课前 自主探究授课提示：对应学生用书第37页 教材提炼知识点函数的单调递增、单调递减预习教材，思考问题对于函数_ Ax）=/,如何用符号语言描述？知 识 梳 理（1）定义域为/的函数,*x）的增减性D U I,对任意与遇zWD(2)特别地，当函数凡r)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function).特别地，当 函

32、 数/U)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function).如果函数y=/a)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=/U)的单调区间.自主检测1 .如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A.0B.1C.2D.4解析：只有是增函数.答案：B2.对于函数y=x),在给定区间上有两个数X I,X2,且X 1X2,使人X l)7(X 2)成立，则y=f(x)()A.一定是增函数 B.一定是减函数C.可能是常数函数 D.单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，y=/(x)的单调性不确定.答案

33、：D3.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=3-x B.y=x2+1C.y=：D.y=-x答案：B4.函数y=b-l|的增区间为.答案：1,+)课堂互动探究以例示法核心突破授课提示：对应学生用书第37页探究一由函数图象求函数的单调区间 例1作出函数y=f+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.解析 根据绝对值的意义，)，=-12+2氏|+3f+2 x+3,x20 (%1)2+4,龙2 0-=:VX22 x+3,尤0 (x+l)2+4,x0作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(一8,1,0,1上是增函数；函数在区间(一1,0),(1,+8)上是减函数.*,方法提升,一

34、般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象.在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间.L变 式 训 练 培养应变能力将本例函数改为4x)=*+2 x 3|,求/U)的单调区间.解析：令 g(x)=f+2 x 3=(x+1)2 4.先作出g(x)的图象，保留其在无轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到龙轴上方就得到人光)=*+2%3 的图象，如图所示.由图象易得：函数的递增区间是-3,-1 ,1,4-0 0);函数的递减区间是(一8,3,1,1 .探究二函数单调性的证明或判断”教材探究 例 2 教 材P 7 9例

35、3 拓展探究根 据 定 义 证 明 在(0,1)上是单调递减.证明 V x i,X 2 (0,1),且 X 1X2,有=卜+J=(XLX2)+H|,X2X=（X I X 2）+/XX2尢1 X 2XiX2（X IX 2-1）.由于 O V x i V l QV x 2 V l.A0XIX21.xX2 1 0.又由X I 0,当aWO时，要使穴x）在（一8,2）上单调递减，贝M-1 解得OVaW/一 石22,综 上，a的取值范围为-1-0,4 一 方法提升根据函数的单调性求参数取值范围的方法（1）利用单调性的定义：设单调区间内X 1X2,由 X 1）/（X 2）VO（或 X 1）/（X 2）0）

36、恒成立求参数范围.（2）利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二,根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数.需注意：若一函数在区间 0切上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.L同 源 异 考 重在触类旁通若函数y(x)=(2bl)x+b 1,x 0,一 尤 2+(2 b)x,x W O在 R上为增函数，则实数人的取值范围是.解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)=(2 8 l)x+b l 在(0,+8)上是增函数；函 数(%)=j?+(2/?)在(-8,0 上是增函数，且满足r2 b-l 0,2 b以0)W g(o),根 据 一 次 函 数

37、 和 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得 一叫,二7声0,、o w z?1,1W0W2,即实数。的取值范围是课后素养培优素养拓展能力提升授课提示：对应学生用书第38 页一、单调性定义的拓展及规律 於 1)一危2)XI X2 0 0(如一伏1)一/(九 2)0 司力是增函数/L x i)/f x 2)2少/二八/0 时，忧x)的单调性不变；ZVO时，则相反.4 ./U),g(x)在区间A上同单调，则./U)+g(x)的单调性不变.5.若 7 U)在 区 间 A 上是单调函数，则六的单调性相反，2洞5)0)、八 X)2 一 而(“6 N*)的单调性相同6.图象关于轴(与x 轴垂直)对称的函数在

38、它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同.典例 1.判定函数 =2然+吊 力的单调性，并求单调区间.解析 定 义 域 为 函 数 yi=x22x,1 均 为 增 函 数,则 y=1 22x十5二1也为增函数，则二1的增区间为 1,+).2.定义在R上的函数./U),对任意的xi,X2 R,QIWX2)有几:1 _,二)函 若a+A W O,则有()A./(a)+y(b)W/(a)/(/?)B.7(a)+y(Z?)e/(。)一/(与c./。)+大。)9A a)+大一加D.fid)+/?)a)+jb)解析 由题意知，.*x)在R上为减函数.由题意知，aWb

39、,b W a,：.艮b),人 与 宓-a),./(a)+yU?)宓 一a)+J(-b),故选 D.答案D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误 典例 若函数./U)=/+2(al)x+2的单调递减区间是(一8,4 ,求 实 数a的取值范围.解析 函数次尤)的图象的对称轴为直线x=l-a.因为函数的单调递减区间是(一8,4 ,所 以1一=4,解得a=-3.故实数a的取值范围是一3 .纠错心得 单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是/,指的是函数递减的最大范围是区间/,而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.3.2.1单调性与最大(小)值(2)内容标

40、准学科素养1.理解函数的最大(最小)值及几何意直观想象课前 自主探究 自主预习基础认知义.逻辑推理、数学运算2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第3 9页 教材提炼知识点 函数的最值预习教材，思考问题(1)函数.*x)=f 图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数直幻二一%2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：对于任意的x日，都有心）WM心）2 M存在次/,使得xo)=结论称M是函数y=r)的最大值称M是函数y=/(九)的最小值几何思义段)图象上最高点的纵坐标/U)图象上最低点的纵坐标1.函数

41、式幻=-2%+1(M 2,2)的最小、最大值分别为()自主检测答案：BA.3、5B.一3、5C.1、5D.一5、32.函 数/（x）在 2,+8）上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为（）A.3、0C.3、无最小值答案：C3.函数y=2 f+2,xdN*的最小值是答案：4课堂互动探究以例示法核心突破授课提示：对应学生用书第40页探究一利用图象法求函数的最值x2x（0WxW2）,例1已知函数2 求函数兀）的最大值、最小值.（x2）,解析 作出/（X）的图象如图：由图象可知，当x=2时，於）取最大值为2;当犬=；时，负）取最小值为一：.所以./（X）的最大值为2,最小值为一*一 方 法 提

42、 升 一用图象法求最值的三个步骤L同源异考重在触类旁通2已知函数.外幻=T （x G 2,6 ）,求函数的最大值和最小值.2 2解析：由函数7（X）=Y（XG 2,6 ）的图象（如图所示）可知，函数1 犬）=:7在区X 1 12间 2,6 上单调递减.所以，函数_/U）=7 在区间 2,6 的两个端点上分别取得最大2值和最小值.yma x=A 2）=2,ymi n=A 6）=y探究二利用单调性求最值 例 2 求函数，x）=d?+9x,4,0 的最大值和最小值.解析 设加，X2 是-4,0 上的任意两个实数，且 X1 VX2,则/幻）-A X2）=、W +9-XI -M，+9+X2（XI 犬 2

43、）（冗 1+X2）,=所+传+-4 W 九 1 VxzWO,/.XI X2 0,A X2）O,即兀 1）大 龙 2）,.r）在-4,0 上是减函数.,.凡r)mi n=7(O)=3,凡T)ma x=/(4)=9.方法提升,利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.L同源异考重在触类旁通9 r已知函数/0)=不/，3,2 ,求y(x)的最大值和最小值.解析 法一：设尤1,X 2是区间-3,2 上的任意两个实数，且X 1 V无2,2 x1 2 x2则 危1)一 兀 功=/一 乔 _ 2尢1(2+1)-2X2(X 1+1)(XI +1)(x2+1)2(X 1-X 2

44、)(XI +1)(x2+1),由于一3 Wxi V q W 2,则加一X2 VO,xi +l 0,x2+l0.所以/U l)/U 2)V 0,X%1)=布，x G -3,-2 是增函数.又因为贝-2)=4,八-3)=3,所以函数的最大值是4,最小值是3.o Y 2（x+l）2 2法二：40=告=2+7,所以7U）图象的对称中心是（一1,2）,/V I I I X ./V I X在(-0 0,1),(1 ,+8)是增函数，图象如图:由图象可知危)在-3,一2 的值域为 3,4 ,最小值为茎-3)=3,最大值为八一2)=4.探 究 三 二 次 函 数的最值问题 教材探究 例3 教 材P8o例4拓展

45、探究(1)已知二次函数./U)=f2 x+3.当x d 2,0 时，求1 x)的最值；当 引一？；时,求 危)的 最值；当f+1 时,求 一X)的最小值g.解析/(X)=/-2X+3=(X1)2+2,其对称轴为X=1,开口向上.当尤日一2,0 时，於)在-2,0 上是单调递减的，故当=一2时，式 )有最大值式-2)=1 1;当x=0时，/U)有最小值火0)=3.当x W -2,3 时，八幻在-2,3 上先递减后递增，故当x=l时，大X)有最小值70)=2.又|一2-1|3一1|,所以.大幻的最大值为-2)=1 1.a.当t 时,危)在 亿r+1 上单调递增，所 以 当 时，x)取得最小值，此时

46、g=P 2/+3.b.当 W lW f+1,即 0 W/W1 时，凡r)在 区 间 匕r+1 上先递减后递增，故当x=l时，兀 取得最小值，此时g=*1)=2.c.当f+i v i,即t V O时，用)在 f,f+1 上单调递减,所以当x=r+l时，/(X)取得最小值，此时 g(r)=/(，+1)=P+2,俨一2 f+3,r 1,综上得，以。=2,0 W W 1,户+2,fVO.(2)求穴x)=f 2 1在区间。2 上的最大值和最小值.解析.*x)=(xa)2 1一/,对称轴为左=。.当a2时，由图可知，y(x)mi n=y(2)=3 4 U)ma x=/(O)=_L.一 方 法 提 升,(1

47、)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求探究四利用单调性比较大小、解不等式 例 4 （1）如果函数式%）=/+芯+对 任 意 实 数 x都有X 2+尤）=/（2一%）.试比较1 1）,旦2）,火 4）的大小.解析 由题意知，.*x）的对称轴为x=2,故-1）=式3）.,.贝 尤）=x2+h x+C,.U）在 2,+8）上为增函数.瓜 2）人3）人4）,即-2 ）V/（1）V 贝4）.（2

48、）已知y=/（x）在定义域（一 1,1）上是减函数，且式1求 a的取值范围.1 2-1,即 a Vg._2由可知，OVQV,即所求a的取值范围是（0,|）.一一方法提升1.利用单调性比较大小的方法（1）利用函数单调性可以比较函数自变量（函数值）的大小，即已知人犬）在 区 间D上为增函数，则对XI,X 2D,X X 2 时，贝Xl)y(X2)；(2)逆向结论：若y=/(x)在给定区间上是增函数，则当 1)勺(九2)时，X 1X2.当y=/U)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论.L同 源 异 考 重在触类旁通已知函数./(X)在(0,+8)上是减函数，且./(X)勺(2x 3),求X的取值范围

49、.解析：:/U)是定义在(0,+8)上的减函数，且八 处 勺 3),0,.0,解得 x 2X 3,课后素养培优 素养拓展能力提升授课提示：对应学生用书第41页一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意XI,X 2 V X 2),然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题.注意：若给出的是和型四无+历=抽象函数，判定符号时的变形为T 2)=/I(.V2-X I)+x i /(X2)fixi)=jX 2)-/(XI X 2)+

50、x i ;若给出的是积型飒0=.抽象函数，判定符号时的变形为於2)%1)=/(如由 典例 已知函数 x)对任意X,yR，总有 r)+7(y)=/(x+y)，且当x 0时，_/U)v o,X D=-|.(1)求证：x)在R上是减函数；(2)求7U)在-3,3 上的最大值与最小值.解析(1)证明：令x=y=O,得/。)+犬。)=火0),W又令),=一%，得负%)+负一%)=八%)=火0)=0,.,.一 好=一兀目.任取 XI,X 2 6 R,且 X1V X2,则 X 2X 0,jX 2)-fix)=/X2)+/XI)=f(X 2 X).V x2-x i 0,依题设 x 0 时，有7 U)V 0,x