复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案.pdf

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1、复旦大学出版社）复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（一课后习题答案习题一1.用复数的代数形式。+仍表示下z3=(x 4-iy)-=(x +iy)(x 4-iy)=(x2-y2+2 xyi(x+iy)=x(x2-/)-2A2+y(x2-y2)+2 x2yi=x3-3x y2+(3x2y-y3)i列复数Re(z3)=x3-3xy23+5/1，而1 3(2 +/)(4 +30;?+-.I m(z3)=3x2y-/解3+5i=(3+5i)(7 i)=_ 竺7 i+l -(l+7 i)(l-7 i)-25+解:解:解:-f4213T25(2+i)(4+3i)=8-3 +4i+6i=5+10i1+上

2、7+止i 1+i 2 2 22.求 下 列 各 复 数 的 实 部 和 虚 部-y=耻-3.(-1).(可 卜 卜(-1)2./?一(砌 )g(8+0i)=l Re解:-l+iVTF-=1,I m=0.(-1)5-3-(-l)(-/3)2+卜(-1)2 石-(厨 i8(z=x+iy)=1(8+0i)=l2-a 3-(a e ),z;Z+Q：,设 z=x+iy则-1-/V 3 J R e解:-1+i G-2，1i=1?I m-l+i 行-0.n=2kk G八=2k+1z-a _+_ (x-a)+iy _ (x-+iy (x+.)_、z +q x+iy)+a(x +q)+iy (x +a)2+/当

3、 =2左 日 寸，R e(i)=(-1)*，I m(i)=O；当 n=2k+l 时，Re(i)=O ,x2-a2-y2(x +q)2 +y 23.求下列复数的模和共甄复数z-/5-Vi3=V65.(2+i)(3+2i)=(2+i)(3+2i)=(2-i)(3-2i)=4-7i（1 +j）1-i（亏）2-4、证明：当且仅当z =W时，z才是实数.证明：右z =z ,设z =x+iy，则有 x+i y =x-iy）从而有（2y）i=0,即y=Q为实数.若 z=%,xG,贝=z=z 命题成立.5、设 Z,w ，证 明:|z+w|w|z|+|M证明|z+vv|=(z+w).(z+w)=(z+w)(z+

4、w)=zz+zw+wz+ww=|z|2+zw+(z.vv)+|w=|z|2+|w|2+2Re(z-vv)w|z+|城 +2|z|J=，+讨+2即 愀=(|Z|+IM)2|z+M w忖+M .6、设乙坟 ,证明下列不等式.|z+w=|z|+2 Re(z w)+1 z-w|2=|z|2-2Re(z-wj+|w|2|z+w|2+|z-vv|2=2(同2 +|w|2)并给出最后一个等式的儿何解释.证明：|z+w=|z+2Re(z.w)+|卬 上0 第五题的证明已经证明了.下面证|z-M 2 Tzi2 一 2R e(z.可+时.|z-w|2=(z-w)(z-w)=(z-W)Z-=|z|-z-w-w-Z+

5、|w|2=|z 一2Re(zw)+M.从而得证.|z+w|2 4-|z-w|2 二2(|z +|w|2 j几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 夕；%-1；-8%(1+百i);(cos+/sin.7z+lI 9 9 J解：詈芸火71+1 (1+71)(1-71):38-16i 19-8i=&7 i 苴 ij50 25 5 八 n-a r c ta n A.19解：W其中e J.2解：-1=e=eH i0)解：卜8兀0+后)|=16兀 0=n-。-8兀(1 +V3 ij=16n-e，解：f cos-+isin-18.计算：（1），的三次根

6、；（2）-1的三次根；（3）石+4的平方根.（D i的三次根.解：I _.7C _.71(兀 兀*2kn+2kjt+一y/i=cos+/sin =cos-+isin.-I 2 2)3 3(%=0,1,2)兀.兀 V3 1 .z.=cos+isin=+i1 6 6 2 25.5 73 1 .2 6 6 2 29 .9 6 1.z,=cos 兀 +isin 兀=-13 6 6 2 2(2)-1的三次根解：6+后=卡（也+正=逐.M2 2I(_,7 C _.Jt|-/.2 o +2kn+-+5/3i=V6-e*/=6 cos-+isin(/r=0,1)z.=64 f cos+isin|=64-e 1

7、 I 8 8 j1(9 9、！1z,=64-cos n+isin 7 c =64-e8 2 I 8 8).2n9.设z=e n,n 2,证明：1 +z+z =0证明：,.2 =1 f z=l,即 z -1 =0.(z-l)(l+z+zT)=0又：心 2.，z W l从而 l+z+z2+-+z ,=011.设 厂是 圆 周z:|z-c|=尸/0,a-c+r e,a.令3(什卜其中6=e 求 出%在a切于圆周厂的关于/的充分必要条件.解：如图所示.解:3/7(.2内计TT.2碗 +冗 /.八，V-1=(cos 7t+1 sin 7t)=cos-+isin-(=0,1,2)It.Tt 1 V J.z

8、.=cos +isin =+i1 3 3 2 2z2=cos 兀 +i sin 兀=-15.5 1 V2Z,=COS 7 1 +1 Sin 7 T =-3 3 3 2 2 6+G i的平方根.因为“=z：I m（二 胃）=0 表不通过点。且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA过。作直线平行”,则有NBCD=/3,ZACB=90故 a-0=9O。所以人在a处切于圆周T的关于P的充要条件是a/=90。.12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.arg z=兀；(2)|z-l|=|z|；(3)l|z+z|Imz;(5)ImzLH|z|z-l-|z.表小且线 z L4(3)

9、、l|z+i|Imz.解：表示直线的右卜半平面A5、Imzl,且 匕 2.解：表示圆盘内的一弓形域。-1(-i 0 1 J2 x习题二1.求映射w=z+下圆周|z|=2的像.解：设2=工+故，w=+iv则r-iv r Vi/+iv=x+iy+=x+iy+-z =x+；r+i(y)x+iy x+y x+y x+y.5 3.鬻为.+=4,所以+时U+P5 3=_x v=+y所以 4,4-U VX=T=T4 4u y c IT v2，d-=2-+-=1所以2团即02 GF,表示椭圆.2.在映射吁Z,下，下列Z平面上的图形映射为W平面上的什么图形,设 w=p S w=+.7T(1)0 r 2，=4；(

10、2)兀0 2,0。一4(3)x=a,y=b.(a,b 为实数)解：设 w=+iv=(x+f =产+2碇所以#=2.7 1(1)记时 则 r 2，z映射成W平面内虚轴上从0到4 i的一段，即0 p )-(o,o)x2+y2l i m 产、若令y=kx,则皿f。)、+ykT+Fe l i m 蚂(2)一。z解：设 z=x+yi,XR e(z)_ x则z X+M有三 z 流 二x+i辰 -1+很显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.(3)E Z(1 +Z 2)；解因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所 以f(z)在z=0处极限不存在.从 而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.

11、Q)./(z)=j x+y0,z =0.解：因 为b2,z f z(l +z2)=f z(i+z)(z-i)z f z(i+z)2(4)z z +2 z -z -2z2-1所以l i m A(X,)-(0,0)+y,2=0 =/(0)所 以f(z)在整个z平面连续.z z +2 z-z-2 _ (z +2)(z-I)_ z+2解：因为一二1 (z+i)(z-i)=7 7 T.z z 4-2 z -z -2 .z +2 3l l 、I l i m-=l i m-=所以 2 Z 2T 8 Z+l 25.下列函数在何处求导？并求其导数./=一 尸(n为正整数)；4.讨论下列函数的连续性:(1)解：因

12、为n为正整数，所 以f(z)在整个z平面上可导./(z)=(z-l)Tf(z)=(2)(z+l)(z2+l)解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在(Z+1)(Z2+1)=O处不可导.从而f(Z)除z =Tz=i外可导.(z+2y(z+1)1 +1)-(z+l)(z+l)(z?+1)Y(z+l)2(?+l)2-2z3+5z2+4z+3(z+l)2(z2+l)2r(、_ 3z+8(3)/()=5 7=7解：f(z)除 外 处 处 可 导,且/(z)=3(5z-7)-(3z+8)5 61-=-(5z-7)2(5z-7f“(z)、=x+y.x-y 2 Q +1 9 y(4)%+V%+y解：因为z,

13、.x+y+i(x-y)x-iy+i(x-iy)(x-i)(l+i)z(l+i)I+i八)X2+V2 Y+尸 A-2+r|z|2 Z所 以f(z)除z=0外处处可导，且(l +i)Z6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1)/(Z)=A/+i x 2 y解：(3)=中2M x M =y在全平面上可微.更=无 电=2个，变=2以包=/d x d y d x d y所以要使得d u _d v d u _ d vd x d y d y d x只有当z=0时，从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2)/(z)=x2+i y解：=/在全平面上可微.包=2x,包=0,史=。，史=2 yd x d

14、y d x d y只 有 当 z=0 时，即(0,0)处 有d u _ d v d u _ d vd x d y,d y d y 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3)/(z)=2?+3 i/;解：(3)=2 1#()=3艮在全平面上可微.d u=6,x22,du=0八,dv =n 9/2,dv =0Ad x d y d x d y所以只有当&x =士历时，才满足C-R方程.从而f(Z)在 士 岛=。处可导，在全平面不解析.(4)/(Z)=Z.z2.解：设z =x+iy,则f(z)=(x-iy)-(x+iy)2=xy+xy2+i(j/+x2y)u(x,y)=x)+xy2,v(x,

15、y)=j3+x2y瓦du=3-x2 +y2,-=r2x 3，,五O V =2_ xy,-dv =3-y2 ,+x-所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1)八z)=o；证 明：因 为，(z)=。，所以du du _ Sv 5v _=。=0dx dy dx dy9所以u,v为常数，于是f(z)为常数.祠 解析.证明：设向=-加在D内解析，则5(-v)du _ dvdy dx 8y-3(-v)_ dvdx dydv du _dvdy dy dxf(z)为 解 析 函 数，所以du _ du du _ dvd

16、x ，dy dxdv _ dv dv _ dv du du dv dv所 以 dx dx dy 犷即 dx dy dx dy从而V为常数,u为常数，即f(z)为常数.史&史史取而(3)R e f(z)=常数.证明：因为R e f(z)为常数，即u=C l,包=包=0dx dy因为f(z)解析，C-R条件成立。故du du=u&方 即u=C 2从而f(z)为常数.(4)I m f(z尸常数.证明：与(3)类似，由v=C l得dv dv A=0dx dy因 为f(z)解析，由C-R方程得生=包=0&6，即u=C 2所以f(z)为常数.5.|f|=常数.证明：因为|f(z)|=C,对C进行讨论.若C

17、=0,则u=O,v=O,f=0为常数.若80,贝(Jf(z)*0,但/闹七,即 u 2+v2=C 2则两边对x,y分别求偏导数，有2“包+2 v.2 =0,2”2+2 v 色=0dx dx dy dy利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有du _dv du _ dvdx dy dy dx以所=o史axoO=av-ax加-axVw+-=r cosy+xsiny+siny)dx dx=eT cos y+ie*sin y+x(e*cos y+ie*sin y)+iy(e cos y+ie sin y)=c+xe，+nz=e-(l+z)10.设0.z =0.求证：(1)f(z)在 z=0处连续.(

18、2)f(z)在z=0处满足柯西一黎曼方程.(3)?(0)不存在.证明.0/=+Ma)Y3 _ v3l im w(x,y)=l im|J(xj)工0,0)(x.y)-(o.o)x2+y3x-y,3l im .(X JHO.O)x2+y=0l im ：T -0同理(加。)x+y.l im /(z)=0=/(0).(x,P)f(0.0 4 ,f在z=0处连续.丽/-/考察极限”z当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy,有l im /(iy)-/(0)=1四=1 +i当Z沿实轴趋向于零时,z=x,U m /(x)-f(O)=1+i有d u.d v d v .d u它 们 分 别 为 私 1%d u _ d

19、v d u _ d v8x d y y d y d x二.满足C-R条件.当z 沿 y=x趋向于零时，有l im 小 +比)-/(0,0)=H m=1 +?；-)=上.E JT O x+ix r t 0 2 x(1+i)l +i.v.黑方不存在.即f(z)在 z=0处不可导.11.设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对称区域，若 f(z)在区域D 内解析，求证尸(z)=看在区域D 1内解析.证明：设 f(z尸u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D 内解析.所以u(x,y),v(x,y)在 D 内可微且满d u _d v d u _ d v足 C-R方程，即治一旷一/(z)

20、=(x,-y)-iv(x,-y)=s(x,y)+i-(x,y),得d t p _ d u(x,-y)曲=d u x,-y)d x d x 力 d ydi/_-d v(x,-y)b w=阿x,-y)=阿x,一y)d x d x 如 如 如故(p(x,y)，v(x,y)在 D 1 内可微且满d(p _ d y/d(p _ d i/足 C-R条件&-力，力-取从而/在D 1内解析1 3.计算下列各值(1)e2+i=e2-ei=e2-(cosH-isinl)(3)Re网(4)l n(ie)=l n e +ia r g(ie)=1 +16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性.解：显然g(

21、z尸|z|在复平面上连续,Inz除负实轴及原点外处处连续.设 z=x+iy，g(z)=z=yx2+y2=(x,y)+iv(x,y)(3)=商+儿心,力=0在复平面内可微.(4)14.设z沿通过原点的放射线趋于8点，试讨论f(z)=z+ez的极限.解：4 z=rei0,对于v。，z f 8时，故地+er eB)=l im(r eie+er(c o s ，+is in S)=o o所以 JW(Z)=8.15.计算下列各值.(1)=o 包=0d x d y故g(z尸忆|在复平面上处处不可导.从 而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导.f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.17.计算下列各

22、值.(1)In(-2+3i)=111713+iarg(-2+3i)=InVTs+i|it-arctan l n(3-V 3 i)=l n 2 V 3+ia r g(3-V 3 i)=l n 2 V 3+i(-|=l n 2 x/3-i(3)ln(ei)=ln 1 +iarg(ei)=ln 1 +i=i(1+。1=即.尸e(l-i)l n(l+i)(l-i)p n /2+i+2 jb r i=8/2+巴j _n&i+巴+2E(_3)指=3-3)_ eV 5 l n(-3)_ V 5 (l n 3+i n+2 i)_ x/5 1n 3+7 5 i n+2 A n /5 i-C -v=e不加 3 (

23、cos(2i+l)7iV5+isin(2 +1)兀石)=3(cos(2%+l)7c 石 +isin(2 +l)兀石)i-i _ l n l 1 c.T l n l -i(l n l+i-0+2 i)1 =e=e=e(3)=e-i,(2fe,i,=e2fa/(3 -i )-i(3-i)e-et a n(嗔.JA=_ sin(3-i)_ 2i _ sin6-isin 2cos(3-i)=ei(3-0=2(ch2l-sin23)2i(4)2,|sinz|=-(e-v+x,-ev-;n)=|sin x-ch y+i cosx-sh y=sin2 x-ch2 y+cos2 x-sh2 y=sin2 x

24、c h2 y-sh2 y)+(cos2 x+sin2 x)-sh2 y=sin2 x+sh2 y(5)arcsini=-iln(i+V1-i2)=-iln(lV 2)怖(&+1)+曲 出-iln(V 2-l)+i(7i+27i)(6)arctan(l+2i)=-l n1 +1j1 +21；=-ln f-+-i|2 l-i(l+2i)2 I 5 5 J,1 c i,=K Ti+arctan 2+In 52 419.求解下列方程18.计算下列各值(1)i(jt+5 i).-i(+5 i)ix-5 .-ijr+5/e 十 e e 十ecos(兀+5i)=-=-2 2sin(l-5i)=-2i2ieC

25、cosl+isin ll-e-5-(cosl-isinl)(1)sinz=2.解：z=arcsin 2=-ln(2iV3i)=-ln(2x/3)ii=-i ln(2VJ)+(24+g)7ti=(2%+g+土iln(2+，Z r=O,l,-(2)er-l-V 3 i=0解：e+即z=ln(l+V3i)=In 2+iy+2lat=ln2+(2%+；*i(3)解：1nz胃即7=，(4)z-ln(l+i)=0解z ln(l+i)=lnx/2+i-+2fati=In 拉+12%+；)兀i2 0.若 z=x+iy,求证(1)sinz=sinxchy+icosx-shy证明:/_ e-i-e-(x+yi/s

26、in z=-=-2i 2i=L-f2i=sin x-ch y+i cos 工.sh y(2)cosz=cosx-chy-isinx-shy证明:cos z=e r e f =l.(ei(x+l，i)+e+川)2 2=-(e-v+xi+e-ri)2=(e-y-(cosx+isinx)+ev.(cosx-isinx)2q.cos.2L=cosx.chy-isinx.shy.-e-v+evi sm x.-2(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：sin z=(e-r+x,-ev-,v,)=sin x ch y+i cosx-sh yIsin z|2=sin2 xch2 y+cos2 x.sh

27、2 y=sin2 x(ch2)；-sh2 y)4-(cos2 x 4-sin2 x)sh2 y=sin2 x+sh2 y(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明:cosz=cosxchy-isinxshyIcoszP=cos2 x.ch2 y+sin2 x.sh2 y=cos2 x(ch2 y-sh2 j?)+(cos2 x+sin2 x).sh2 y=cos2 x+sh2 y2 1.证明当 y-8 时，、in(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大.证明：sin z=(eb-e-b)=-(e e)2i 2i|sinz|=L Q*-e F2|e-K|=e|eE|=e工 Isin

28、 z|e 1(|e*H -|e F)=-(e-v-ev)而 2 2当 y-+8 时，e-y-0,ey-*+有|sinz|-8.当 y 8 时，e-y+8,ey-0有|sin z|-8.同理得即(、+2*,*匆，七)所以当y-8 时有|cosz|f 8.习题三1.计算积分卜一二):其 中 C 为从原点到点1+i的直线段.解 设 直 线 段 的 方 程 为 “，则z=x+ix 0 xl故z四=，沙川/小c3万 7 1设z=*.。从5 到5J*=*Ide*=i 官 de=2zC 2 2小 2(1 +j)小=j(+*咻=?+j)=F2.计算积分!。一刃,其中积分路径C 为(1)从点0 到点1+i 的直

29、线段；沿抛物线y=x 2,从点0 到点1+i的弧段.解 设z=x+ix.0 x 0.解，.(|z|一 片.s in z,=J/佐-1-s in z心(2)设 Z=X +比2 .0 xfe=0r 17.计算积分%3+1)，dz，其中积分路径c 为(1)G/S (2)(3)(4)c4:lz-(l=I解：(1)在 所 围 的 区 域 内,f 1 dz _2%1 )(2)I =_也J c(z l)3(z+l)3 2!g 81 9.验证下列函数为调和函数.(1)0=x3-6X2J-3个2 +2y3;(2)0=ev cos y+1 +i(e sin y+1).解(1)设 w =+2,u=x-6x2y-3x

30、y+2yU =0(3)ztan L(z _ z 2产=2M(tan z)/=刀 sec?会f _ _ _!_ dz1 7.计 算 积分hz f(z +D 1其中积分路径，为中心位于点一,半径为2 的正向圆周=3x2 12xy-3y2-6x2-6xy+6y2dxdy需=6 x 3 -=-6X+2y从而有匹+独=0加如2 满足拉普拉斯方程，从而是调和函数.(2)中心位于点z=-l ,半径为2的正向圆周设u=sin y+1w=u+iu =e cos y+ldu t=e cosy小du x.=-e smy解：(1)。内包含了奇点z这=e s ydx讲d2u x3从而有d2u d2u7+r=0Sr dy

31、 u满足拉普拉斯方程，从f 1 dz=网(1 、1=也J c(z_ l)3(z+)3 2!z+l)3 7图 8而是调和函数.(2)。内包含了奇点:一,du x.=e sinydxdu x=e-cosySyS2u d2u.x 7=-sin-edx oy包+包=0左，。满足拉普拉斯方程，从而是调和函数.)9 u=-2 0.证明：函数r,x+V都是调和函数，但/=+必不是解析函数证明：6 o _ 2v 3%、-2 =2x-y=2 Tdx 力 dx2 如d2u d2u n-F-=0 加於，从而，是调和函数.du _ y2-x2 加:一2中菽=,+)2 力 (x2+y2)2d2u _-6xy2+2x3

32、d2u _ 6xy2-2x3dx2(x2+y2)3 dy2(x2+y2)3d2u d2v，苏 如2，从而，是调和函数.du du du du w *-但,/dx dy dy dx不满足C-R 方程，从而z)=+i。不是解析函数.2 2 .由下列各已知调和函数,求解析函数/(z)=+28u-du=-2y+x=-dy dx所以v=谊羽-翡r+矍力+C=隹需-x g+(2x+y)力+(?=g-xt*c+塔(2.L +C/v1=-y +-+2Ay+C2 2/(z)=x2-y2+xy+i(-+-+2xy+C)令 y=0,上式变为Y2/(x)=x2-i(-+C)从而?2/(z)=z2-i +iCdu _

33、2xy(2)d x U2+/)2用线积分法，取duSy(x2+y2)2(x 0,y0)为(1,0),有(一 +裂)+。=/严。Xx2+yo=777-1+c加)=7 +勺5 7 +0由1)=0.,得 c=0 1Z2 3 .设 Mz)=(z 4)(z-%7 z一 可)，其中4 a=1,2,各不相同，闭路C 不通2 2=x-y +xyu/=解 因为dudx2x+y=duSy过4M2,吗，证明积分-L f d z2HZ*p(z)等于位于C内的p(z)的零点的个数.l i m，学=|i m/)-=l i m/(?)=14-8 g Z 4-8 Z所以，当Z在C外部时，有证明：不妨设闭路C内尸的零点z)=N

34、-1f&)2兀i,一z的个数为k,其零点分别为例 吗，为f-dz2冗i Jc P(z)2兀i 攵 (2-a z-a2-an)=-f-!-+!8 2-8 2 28 1 4_ 所以Z()发散M=1 乙兀i 匚 这，发 散，又因为 川 =|m兀.7C8 cos+1SH1 8 1 k”.X =-=-(cos-+isin-)收=i ，1 =1 n敛，所以不绝对收敛.因为D1n-1所以级数不绝对收敛.又因为当n=2 k时，级数化为京(一 1)，收敛二 In 2 k当n=2 k+l时，级数化 为寸(T),也收敛ln(2k+l)所以原级数条件收敛(5)Vco siw V 1 e+e-1 v，e 1=0/w=0

35、 乙 乙 乙=0 乙 N n=0 乙 匕其中(“发散，t(；)收敛n=0 2 n=0所以原级数发散.3.证明：若Re(a)0,且春，和春:收n=l n=l敛,则级数E q：绝对收敛.n=l证明：设=x“+iy“，A=(x“+iy)2=x-x j“i因为工和以;收敛W=1=l所以 收敛=1=”=|=|又因为Re(a”)N 0,所以x,2 0且吧 =吧x；=0当n充分大时，片 相所以 片收敛=12=d+皿=2片一(片一呼)而 收 敛，丑区-嫡收敛n=1所以 同 收敛，从而级数n=ln=绝对收敛.4 .讨论级数(一)的敛散性n=0解 因为部分和5=X(?+-Z*)=z+-l,所以，k=0当 目 0

36、,当z =-1时,s 不存在.当2 =建而”0 时(即|z|=l,Z H l),c o s n 0和s i n n 0都没有极限，所以也不收敛.当|z|l时,S“-8.故当z =l和 目1时，(z”L z”)收=0敛.5.福级数 c“(z-2)能否在z=0处n=0收敛而在z=3处发散.解：设也密=夕，则当匕7 2r若在z=3处发散，则/I显然矛盾,所以幕级数C，(Z-2)不M=0能在z=0处收敛而在z=3处发散6 .下列说法是否正确？为什么？每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幕级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答：(1)不正确，因为鬲级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散

37、.(2)不正确，因为收敛的幕级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7 .若X V的 收 敛 半 径 为R,求n=0oo 的收敛半径。=0 解：因 为所 以*=心问8.证明：若 基 级 数 的 系数满n=0足 吧 标=P，则当 0 Q+C O 时，7?=1P(2)当P=o时，*+8(3)当。=+时，R=o证明：考虑正项级数回4,/|=|平|+|年2卜 +,z 卜.=0由于 阳 而 同 已 吧 廊,府=。,忖，若0P+8,由正项级数的根值判别法知，当0悯 （时li m T o oR=1np1所以收敛圆周1水1不 能 趋 于 零，则丽4 1级数发散.7 n-l(3)记 Z)=(T)T*.z 2 T故收敛

38、半径尺P.当。=。时，P-kl i级 数 收 敛 且由比值法,有li m8/,(z)=l im(2+D-|Z|(2W-1)-22M+.z +1|2 n-lR=4-00 要级数收敛,则若夕=+,对WZ HO,当 充 分 大 时，必有即不 能 趋 于 零,级数发散.且R=0级数绝对收敛，收敛半径为R=y/29.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)可(2)少 n O n=0(3)(-i严 罕Z 2M急 2(4)(与Y z-1)3=0力解：（1）所以收敛圆周z00(+1)0 1Ii m(Y=li m(l-)0=100+-8 +：.R=收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)M=1nzco2n

39、2扁1z-g l解：li m C +i =li m +l=1M-00 C -0C 故收敛半径R=l,由逐项积分性质,有:(-l)n nz,dz=(-1)z1n=1z1 +z所以8 7 1y-,|z|i于是有:Z(T)TR Z“=-ZZ(-1)-Z_ Zn=(2)令：s(z)=fn=On=lz2n(W(1+Z目00C +i=li m-0(2 冏+1)(2+2)0.故R=8,由逐项求导性质oo 2w 1KEi 2n-2*2m，Ins=f 2(T严 两(F=2 5 而由此得到s (z)=-s(z)即有微分方程s (z)+s(z)=。故有：s(z)=Z co s z+3s i nz,鼠 p 彳J E

40、O由 S(0)=Z =(1)工L。=I n /=IM(2)！X 2n 1s(0)=-sinz+Bcosz=(-1)H -,=0=0=i?=0所以(-1)=co s z.R=+co“=o (2)！i i.设 级 数 收 敛，而心|发散，n=Q u0证明冗3的收敛半径为1n=0证明：因为级数Sc,收敛w=0设 7+li m -=Zz.CnZn 若c.z的收敛半径为1M=0则|z|=；现用反证法证明1c若0几 1则同 1,有则云=2 1,即图收敛，与条件矛盾。=o若 几 1则 曰 1,从而Sc/在单位圆=0上等于S c,是收敛的，这与收敛M=0半径的概念矛盾。综上述可知，必有2=1,所以7?=1A1

41、2.若在z。点处发散，证明级n=Q数对于所有满足恸 阂点Z都发散.证明：不妨设当 时，c“z”在=04处收敛则 对 咋 卜 叫 2绝 对 收 敛，则2,在点Z。处收敛所以矛盾，从 而。，/在|z|z|处发n=0散13.用直接法将函数ln(l+。)在z=0点处展开为泰勒级数，(到,项)，并指出其收敛半径.1 +A2解：因为解+e z)=l n(-)奇点为句=(24+1)兀i/=O,l,)所以火=兀又ln(l+er)L =ln2 ln(l+e-z)=e =_ 11 +2)/我等u于是，有展开式ln(l+e-r)=ln2-z+U 5-z2 -r z4+，H=n2 2!22 4!231 4.用 直 接

42、 法 将 函 数 白 在|z T1 叱。于是，/在z=l处的泰勒级数为T T 7=l-l(z-1)+i(z-1)2!(z-1)4+,7?=15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.岬+葭)”=一 言7k。“中 l n(l +e-2)r-e-z+e 2:1(l +e-z p 底=0(1)上分别在z =0和z =l处(2)s i n z 在 z =0 处(3)a r c ta n z在 z =0 处z(z+l)(z+2)在 一2 处(5)ln(l+z)在 z=0 处解(1)1 1 1 1 1 V.2 v I 1/32z-3-3-2z_ 3 J_2Z-铲 目 2丁i=!=-2(z-l)

43、,|z-l|-2z-3 2 z-2-l 2(z-l)-l l-2(z-l)S 1 2(2)sinz=y (-1)4(2+l)!一3 一5Z Z=Z-1-F.3!5!a o2 _ isin3 z=-Y(-l)w-z2w+,Jzl co4 白 (2+l)!1 1.,arctan z=-dz1 +z2:.z=i为奇点，；.R-1arctan z=5(-1)/比=(-l)叫 目 1 十 z n=o W=O 十 I1 =1 _ 1_=1 _ 1 1 1 (z+l)(z+2)z+l z+2 z-2+3 z-2 +4 3 t z-2 4|z-21 工巨这(-i)F 手)”=o *=o 4t=E(-1),(击

44、-击)(z-2)|z-2|3 因 为 从z=T沿 负 实 轴ln(l+z)不解析所以，收敛半径为R=118ln(l+z)r=-=Z(T)1 +z Mln(l+z)=f 1)zdz=(-1).z i,|z|1 w=0 M=0 n16.为什么区域曰 及内解析且在区间（一 旦 火）取 实 数 值 的 函 数/展 开成Z的幕级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当Z取 实 数 值 时，/与/*）的泰勒级数展开式是完全一致的，而在冈。内，/（X）的展开式系数都是实数。所以在忖（火内，/的幕级数展开式的系数是实数.2z+l17.求 z）=z2+z.2的以z=为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解：函 数/有

45、奇 点4=1与Z2=-2,有 三 个 以z=0为中心的圆环域，其罗朗级数.分别为：在|z|1 内，/(z)=+z+g(T)”(守z+Z-Z z l Z+Z n=o，”=0 2=(-1)白-1次n=0/119.在i|z|我们得到“z=l又是z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么？解：不对，Z=1是f(z)的二级极点，不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在。内得到的在0|z-l|l内的罗朗展开式为元 小+温广己17-六+1=1)+所 以+.28.如果C为正向圆周目=3,求积分的值/(z)=5 z(z+2)(2)f(z)=-(z +l)(z +2)解：(1)先将展开为罗朗级数，得_J=1(1

46、 L _ z(z+2)2Lz ZQ +2)z1/2 4 8、-I=T(-T+F+)，2|z|+ooZ z z z而|z|二3在2 目f e =2ni-C 1=0(z+i；z+2)在2 忖 十 内 处 处 解析，罗朗展开式为z 一 力 1 1 _ 1 _ _ L(z+l)(z+2)z+1 z+2 ,I 1 J1 H-1 H-Z Z1 3 7 一|=-.,2|z|+ooz z2 Z5而Iz|=3 在2|z|+s 内，=1,故fzdz=lit-C_=2ni习题五1.求下列函数的留数.(1)/。=号 在 2=0 处.解：*在0|z|+8的罗朗展开式为z2 Z3 Z42!+3!+4!+1 1 1 1 1

47、 1 1-+-+-+-+.z5 Z4 2!Z3 3!Z2 4!z /(z)=e i 在 2=1 处.解：e占在(Klz-lll 3 2(2)一 空J d ,|a|l.-2 aco s0+a解：令,憎 c o s 3。，八,F*s i n 36I,=-7 dJ /2=-r4 1 -24 c o s 6 +2 J o 12a c o s 6 +a 解：令R(Z)=L_-1.-,被积函数(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib.故/=2疝(R e s /?(z),制+R e s R(z)二 可 邺Z-廿+儿+冽+*(人 儿+砂11”如 仿2_洲 2访(一 冽7 1ab(a+0(4).r d x,a0

48、.L (Y +)2令RE则分别为R。的二级极点故2 1-:-7(b;=-27 i i -(R e s /?(z),i 4-R e s 7?(z),-6f i)(x2+a2)-271f/,+i/2n e3?i9=-7d g 小 l-20,b0.(x2+b2)2解：iF r-(x2+.h2e)dx=13心 +i 王 吗d ri c(x2+b2)L t(x2+h2)-而考知A(z)=,则 以z)在上半(Z2+62)平面有z=b i 一个二级极点.匚(,x ,y.e d x =2疝 R e s R(z)e渺,b i=27 t i l i mz-Z i空(z +b i)嗤4x-sin夕:&=之 e三+/

49、)2 2 b从而 三朝组改=履七废=41(/+b2)4b 4b e h(6)三 心，a 0J r X +a解：令R(z)=z +a,在上半平面有z=ai 一个一级极点?k=2m-Re s7?(z)-ec,7 i=2ra lim=2ra =L d+a2 1 1 z+d 2 a 出 7 .计算下列积分(1)产 内解：令爪2)=白 二，则以Z)在实轴上有孤立奇点歹0,作以原点为圆心、T为半径的上半圆周Cr,使金,-尺-r,Cr,r,冏构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,于 是：广咽匚益7)可Tm%i R 中口加 益才而扁(e 2、.出=f i .打(1+z?)z故：/=-Irn 2ra-lim

50、-+7ii=-lrn 2JD-|+ra=-(l-e 2)2 L T Z(Z+。J 2 L I 2 J J 2.上 其 中 7 为直线R e h c,27n 犷 z c O,0al解：在直线个(?+i y (-8 y +因为广屹)在其内仅有一个二级极点 Z=O 而 且Re s/(z),O=lim(2,/()=Ine z所以由留数定理.f /(z)dz+/(z)dz+/(z)dz+/(z)dz=2ni ln(?JAB JBE JEF JFA而习题六1.求映射W，下，下列曲线的像.Z(1)x2+y2=ax(0,为实数)解：w=-=二=)、-i=i/+ivz x+9 厂 +x+y所 以w=-将X2+y