新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数知识点考点重点难点归纳总结.pdf

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1、第六章 累函数、指数函数和对数函数6.1 幕函数.16.2 指数函数.6第1课时 指数函数的概念、图象与性质.6第2课时 指数函数的图象与性质的应用.116.3 对数函数.16第1课时 对数函数的概念、图象与性质.16第2课时 对数函数的图象与性质的应用.206.1寨函数知识点1募函数的概念一般地，我们把形如正上的函数称为幕函数，其中X是自变量，a是常数.知识点2鬲函数的图象和性质1.募函数的图象在同一平面直角坐标系中，基函数尸x,y=f,尸%3,尸 尸 的 图象如图所示：2.募函数的性质y=x2定义域RRR0,+8)(8,o)u(0,+8)值域R0,+8)R/，+8)(8,o)u(0,+8)

2、奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(-8,+)单调递增在(-8,0 上单调递减，在 0,+8)上单调递增在(-8,+8)上单调递增在 0,+8)上单调递增在(一8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递减定点(1 1)，(0.0)(1,1)，(0,0)(L 1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)考点 类 型1募函数的概念【例1】(1)下列函数：y=%3；y=(，；y=4f；y=2+l；y=(x 1)2；y=x；y=a a Y其中幕函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(加+2加-2 W 2+2 -3是器函数，求利，的值.(1)B 寐函数有两个.fm2+

3、2m-2=1,解由题意得。公八 2-3=0,m=-3,解得3n=2m=1,或1 3=/.所以m=-3或1,V厂.应 思 领 悟 一1 .募函数)，=d满足的三个特征 嘉K前系数为1；(2)底数只能是自变量x,指数是常数;(3)项数只有一项.2.求得函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为式x)=x%根据条件求出a.类 型2比较大小 例2 比较下列各组数中两个数的大小：川 与 卅;(2)(-1(3)0.25+与 6.25一；(4)1.206 与 0.304；(5)(一3 居与(一2/.思路点拨 可 以 借 助 嘉 函 数 的 单 调 性 或 化 为 同 指 数 或 借 助 于 中 间 量进行比较

4、.解(l)：y=x+是 0,+8)上的增函数，且(2):)=%一1是(一8,0)上的减函数,(3)0.25+=出 T=2T,6.25T2.5 2.y=x+是 0,+8)上的增函数，且22.5,11J_ I：.22.5,即 0.25 1-6=1,0.3-41-4=1,从而 0.3-4 0,(-2)-=-2 T(2)了.厂.反思领悟.比较累值的大小，关键在于构造适当的函数若指数相同而底数不同，则构造嘉函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量.类型3器函数的图象及应用 例3 点(啦，2)与点(一2,一另分别在幕函数

5、以)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(l)*x)g(x)；*x)=g(x)；(3)於)g(x).解 设_/(x)=Y,g(x)=/g(x)；当 x=l 时，,*x)=g(x);(3)当 x G(O,l)时，於)0,嘉函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在 0,+8)是增函数.(2)a 0,募函数的图象恒经过(1,1),在(0,+8)上是减函数.3 .鬲函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在第一象限内直线X=1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.C I类型4器函数性质的综合应用【例 4】已知基函数y=F-9(

6、机eN*)的图象关于y 轴对称，且在(0,+-)上单调递减，求满足(。+1)亨(32。)学的a 的取值范围.尝 试 与 发 现1.函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？提示 偶函数.2.x 力时，x、y 与0 的大小关系有多少种？提示 0 xy,xy0y.解.函数在(0,+8)上递减，3m_90f解得加3.又 zWN*,.加=1,2.又函数图象关于y 轴对称，二3加一9 为偶数，故7=1.,.有(a+l)-33 2a0 或 0a+13 2 a,或 a+l03 2 a,解 得 铲 或 a0 )y-匕刁位i厂-r|r(0 3叭 I(O J)y=l.-0 x0 x性质定义域R值域(0,+8)定

7、点图象过点（0.1）,图象在工轴的上方函数值的变化x 0 时，y l；x 0 时，0 0 时，0 y l；x l单调性在（-8,+8）上是增函数在（一 8,十8）上是减函数奇偶性非奇非偶函数思 考1.指数函数y=m 0且的图象“升”“降”主要取决于什么？提示 指数函数）=。0且aW l）的 图 象“升”“降”主要取决于字母以当。1时，图象具有上升趋势；当0。1时，图象具有下降趋势.青 打2.为什么底数应满足a0且aW l?提示 当“W0时，可能无意义；当。0时，尤可以取任何实数；当a=l时，a=l（A-eR）,无研究价值.因此规定=炉 中。0,且考点 类 型1指数函数的概念【例1】（1）下列函

8、数中，是指数函数的个数是（）y=（一8尸；y=2 f 1；y=av；y=2-3 LA.1B.2C.3 D.0(2)已知函数段)为指数函数，且/(1)=坐，则.*一2)=.(1)D(2)|中底数一8 0 且 a#l),由当得。一害，所以。=3,又.穴 一2)=晨2,所以穴2)=3-2=1 厂.成思领悟.1 .判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)的系数必须为1.2 .求指数函数的解析式常用待定系数法.C I类型2利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小：(电 与旷春与1；(3)0.6”与(野 自(4)

9、0 3 与 3 F 2；(5)0.2$与 0.与1 (6)停 停，停，思路点拨 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小.解y=仔)在定义域R内是减函数，1.82.6,凯4r 二 代 沁 二 产 在 定 义 域 R 内是减函数.2又.一 铲0,0.6-20.6=1,住)美 自=1,A 0.6 2e t.(4)VJ=3-3,y=3,在定义域R 内是增函数,又一0.30.2,(5)由幕函数的单调性,知0.2。60.36,又y=0.3,是减函数，.0.3-40.3叫从而 0.2-60.3-4.(6)；/U)=(D在R上为减函数，.停y(停)尢 .於)=/在

10、(0,+8)上为厂.成思领悟.、在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用霖函数的单调性解决.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的 指 数 为 指 数.比 如 与M,可取心，前者利用单调性，后者利用图象.D类 型3利用指数函数的单调性解不等式【例 3】（1）解不等式（3厂1W2；（2）已知加一3%+1+6（。（），且。工1）.解（1）V 2=Q ，原不等式可以转化为（3）w g）.,）=（；）在R上是减函数，3x1 2-1,.xO,故原不等式的解集为#xO.（2）分情况讨论 当0。

11、0,aWl）在R上为减函数，.,.%23x+lx+6,.x24x50,根据相应二次函数的图象可得犬l时，函数兀r）=3O,aWl）在R上是增函数.X23x+lx+6,Ax24x5O.根据相应二次函数的图象可得一 lx5,综上所述当0。1时，x 5,当 al 时，一lr 1与0。6的不等式，注意将b化为以a为底的指数嘉的形式，再借助y=的单调性求解.类型4图象变换及其应用【例 4】函 数y=3 r的图象是.（填序号）(2)已 知O V a l,b =优+方的图象必定不经过第象限.(3)函 数 大 =2炉+1 3 3 0且的 图 象 恒 过 定 点.思 路 点 拨 题(1)中可将=3一，转化为题(

12、2)中,函 数y=+。的图象过点(0,1+与，因为b V 1,所以点(0,1+与在y轴负半轴上.题(3)应该根据指数函数经过定点求解.(1)(2)(3)(-1,-1)(l)y=3 r=g)为单调递减的指数函数，其图象为.(2)函数)，=(0 V a V l)在R上单调递减，图象过定点(0,1),所以函数y=ax+Z?的图象在R上单调递减，且过点(0,1+。).因为方一1,所以点(0,1+加 在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限.(3)令x+l=0,得x=-1,此时y=2 a 3 =-1,故图象恒过定点(-1,一1).厂.近思领悟.1 .处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定

13、点(0,1).(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.2 .指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.第2课时 指数函数的图象与性质的应用知 识 点 指 数 型 函 数形如y=t(7：eR,且0,。0且 a W l)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.设原有量为N,每次的增长率为p,经 过 x次增长，该量增长到 则丁=N(l+”(x d N).考点类 型 1 求函数的定义域、值域【例 1】求下列函数的定义域和值域：x22x3;(4 亚=4

14、+2+2 3.解(1)由 X 4W0,得 x#4,故 y=2 士的定义域为 x|x#4.又 7WO,即 2 6#1,故 y=2 的值域为)b 0,且 y W l.(2)由 1 -2 2 0,得 2*W 1,，x W 0,.y=，T=声的定义域为(-8,0 .由 0 2 1,得一 1 W 2 0,二。这 1 一2 工 0.因为函数丁=尸+4，-3=+2)27在(0,+8)为增函数，所以y3,即函数的值域为(-3,+).母题探究1.若将本例(2)中函数换为尸用 一1,求其定义域.解 由，-1 2 0得e g),.xWO即函数的定义域为(-8,0.2.若将本例(4)增加 条 件“0WxW2”再求函数

15、的值域.解 由于 xC 0,2则 2=/G l,4,所以 y=：+4r3=。+2)271 1,4,函数 y=P+4f3=Q+2)27 在 1,4为增函数.故 yW 2,29.厂.成思领悟.1.对于=#”这类函数(1)定义域是指使於)有意义的龙的取值范围.(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出=/a)的值域；利用指数函数丫=。的单调性或利用图象求得函数的值域.2.对于 y=机(-22+a rb=1 f Q=2.1 2”1 1（2）由（1）知 於）=2（2*+l）=-2+2v+r设 Xl,128且犬112,2x1 2x2则 以2）一八汨）=2.+1 2xi+1=（2X 2+1）（2尤1 +

16、1）（0./（X）在定义域R上为减函数，由人-一 2。+12产 一 攵）0恒成立，可得八户一2。k2p,.,.3Z221一%0 恒成立，=（-2）2+12收0,解得依:一提.M的取值范围为（一8,一?.（3）由（2）知/U）在R上单调递减，.优 ）在-1,2上单调递减，.7/U）max=A-1）=-：+y=，/U）min=/（2）=Z 1+1 十2穴x）的值域为一记，不厂.（J5 思领悟.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值（值域）等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.类型4复合函数的单调性z-i、42 2 _ v【例4】判断危尸 目 的单调

17、性，并求其值域.尝 试 与 发 现尸 目 与 尸，2 x 的单调性分别如何？提示）=（?单调递减.y=f 2 x 在（一8,1 上单调递减，在口，4-o o）上单调递增.解 令“=*2 x,则原函数变为y=Q）.,.,“二X22 x=（x 1）2 1 在（-8,1 上递减，在 1,+8）上递增，又,、=!）在（8,+8）上递减，.），=（；）在（-8,1 上递增，在 1,+8）上递减.,.“=f -2%=（九 一 1）2 一1 2 一1,，=（）,仲 一 1,+8）,收 解 售）1=3,原函数的值域为（0,3 .厂.应思领悟.1 .关于指数型函数=0,且。，1）,它由两个函数y=a ,=*x）

18、复合而成.其单调性由两点决定，一是底 数。1 还 是 0 a =*），U=（p（x）,通 过 考 查）和 w（x）的单调性，求出y=X s（x）的单调性，其规则是“同增异减6.3对数函数第1课时 对数函数的概念、图象与性质知 识 点 1 对数函数的概念一般地，函数Y=k)g“x(a 0,叫作对数函数,它的定义域是(0,+8).思 考 1.函数y=2 1 og 3 X,y=l og 3(2 x)是对数函数吗？提示 不是，其不符合对数函数的形式.知识点2 对数函数的图象与性质思考k 2 对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？aO Z)0/(y X：y=logx(0al)性质定义域：(0,+8)值域

19、：R图象过定点a m在(0,+8)上是增函数当 0 a l 时,)，l 时,y 0在(0,+8)上是减函数当 0 4 l 时，y i时，对数函数的图象“上升”，当 0 。0,aW l)和指数函数丫=(0,aW l)互为反函数,它们的图象关于y=x 对称.(2)一般地，如果函数y=/(x)存在反函数，那么它的反函数记作丫=广(幻.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(4)原 函 数 九)的 定 义 域 是 它 的 反 函 数 y=f i(x)的值域；原函数y=r)的值域是它的反函数y=T(x)的定义域.考点 类 型1对数函数的概念【例1 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由.(

20、l)y=loglx2(a0 且 a#l)；(2)y=log2X1；(3)y=21og8%；(4)y=logM(x 0,且 x#1).思路点拨 依据对数函数的定义来判断.解(1)中真数不是自变量X,不是对数函数；(2)中对数式后减1,.不是对数函数；(3)中logs%前的系数是2,而不是1,.不是对数函数；(4)中底数是自变量x,而不是常数。，.不是对数函数.厂.应思领悟.一个函数是对数函数，必须是形如y=log”x(a 0且 分1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1;(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.口 类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域.

21、(2)/(x)=+ln(x+1)；(3 求x)=log(2x-i)(4x+8)；(4)/(x)=V x l n(l 2 x).解 要使函数於)有意义，则l og _ Lx+l 0,g p l og l x 解得0 令 0,2x 0,即 1,解得一l x 2,l x 0,2”一 1 0,x2,解得 g,故函数的定义域为(4)由题意知 0,解得04g,二 定 义 域 为-3 .3X 2,且x W l .12厂.成 思领悟.、求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调

22、性，有针对性地解不等式.类 型 3 比较对数式的大小【例 3】比较下列各组值的大小:3 -4(l)l og 5 a 与 1 0 g 5；(3)l og 2 3 与 l og s4.3 4 解(1)法一(单调性法)：对数函数y=l og 5 X 在(0,+8)上是增函数，3 4所以 l og 5 a l og 5.3 4法二(中间值法):因为l og 5 a 0,“34所以 log5alog2|log2,所以所以logl 2logl 2.0g2g log2g 3 5法二(图象法):如图，在同一坐标系中分别画出y=logl x及y=log!的图象,由图易知：log!2log22=1 =log55l

23、ogs4,所以 Iog23logs4.成 思 领 悟.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.第2课时 对数函数的图象与性质的应用知 识 点 图 象 变 换(1)平移变换当。0时，将 y=l o g.x 的图象向左平移女个单位，得到y=l o g.(x+份的图象；向五平移R个单位，得到y=l o g(x 的 图 象.当 b 0时，将 y=l o g“x的图象向上平移2个单位，得 到y=o x+b的图象，将 y=l o g d 的图象向上平移

24、R个单位，得到y=l o g“x-的图象.(2)对称变换要得到y=l o g 的图象，应将 y=l o g x 的图象关于道|对称.考点 类 型 1 与对数函数相关的图象【例 1】作出函数y=|l o g 2(x+2)|+4 的图象，并指出其单调增区间.解 步骤如下：(1)作出y=l o g 2 X 的图象，如图(1)(2)将 y=l o g 2 X 的图象沿x轴向左平移2个单位得到y=l o g 2 (x+2)的图象，如图(2).(3)将 y=l o g 2 (x+2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y=|l o g 2 a+2)|的图象，如图(3).(4)将 y=

25、|l o g 2 (x+2)|的图象沿y轴方向向上平移4个 单 位,得 到 y=|l o g 2(x+2)|+4 的图象，如图(4).由图可知，函数的单调增区间为-1,+8).成 思 领 悟 .1.已知y=Ax)的图象，求y=|/(x+a)|+Z?的图象步骤如下：y=/U)fy=/U+a)fy=l/U+a)l-y=|A x+a)l+A2.已知y=/(x)的图象，求y=|/U+a)+M的图象，步骤如下：y=*x)fy=/(x+a)fy=A x+a)+bfy=|*x+a)+M.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x,再变换y.口

26、 类 型 2值域问题【例 2】(1)已知函数八%)=21081的定义域为2,4,则函数/U)的值域是2(2)求函数应x)=log2(f 4x+12)的值域.思路点拨(1)中利用7U)=21ogl x 在定义域 2,4 上为减函数求解.2(2)中注意考虑真数一/4x+lZ 的范围.(1)-4,-2 .於)=2101%在 2,4 上为减函数，2，X =2 时，/x)max=210gl 2=-2；X=4 时，Xx)mn=21ogl 4=-4.JU)的值域为-4,-2 .(2)解 V-X*2-4A-+120,又,.,一/-4九+12=。+2)2+16 16,/.0 0,(2)由题知j,今一 2x0又/

27、(x)=lg(2+x)Ig(2x)=fix),.7/u)为奇函数.(3)设一2JC1X20.又(2XI)(2+%2)0,(2+汨)(2%2)0,.(2-XI)(2+X2)(2XI)(2+X2)*(2+XI)(2%2)0(2+xi)(2%2)从 而 於 1)之*X2),故式x)在(-2,2)上为减函数.悟.对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算.(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.

28、1 3 类型4解对数不等式【例 4】解下列关于龙的不等式：(l)logl xlogl(4x)；7 7(2)loga(2x5)loga(x 1).解 由题意可得，4一心 0,解得0a2.lx4x,所以原不等式的解集为 x|00,(2)当时，原不等式等价于 一10,解得x4.L zr-5x-1.(2x50,当0 0,t.2x5x 1,解得1 a l时，原不等式的解集为x|x4;当021时，原不等式的解集为、x 1xlog“/?的不等式，借助y=logaX的单调性求解，如果a的取值不确定，需分”1与0alogg(x)a(/i；x),g(x)0且不等于1,a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.