2023年16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线.pdf

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1、 最新高中数学奥数口口 直口和口，口口曲口 口后口 1.已知点 A 口双曲口x y 1的左口点，点 B和点 C在双曲口的右支上，ABC 是等 口三角形，口 ABC 的面口是 3 3 3 3 3 6 3(A)(B)(C)(D)3 2 4的距离中的最小口是 2.平面上整点(口、横坐口都是整数的点)到直 y 5 34 34 1(A)(B)(C)(D)1 170 85 20 30 3.若口数 x，y口足(x+5)+(y-12)=14.x+y的最小口口(C)3(D)2(A)2(B)1 4.直口之 100 x y 1相交于 A，B两点，口口上点 P，使得 PAB 面口等于 3.3 16 9 00的点 P共

2、有(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个 ax-y+b=0和曲口bx+ay=ab的口形是 5.a，beR，ab=0，那么直口 半兴装 y y y X x X A B C D 6.口抛物 y=8(x+2)的焦点 F作口斜角口 60的直口，若此直口与抛物口交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂口与 x口交于 P点，口口段 PF的口等于 16 8 16v3 A B C D.83 3 3 3 x y 7.方程 1表示的曲口是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3 A.焦点在 x口上的口口 B.焦点在 x口上的双曲口 C.焦点在 y口上的口口 D.焦点在 y口上的双曲口 x y 8.在

3、口口 1(a b 0)中，口左焦点口 b2，2 F，右口点口 A，短口上方的端点口 B。a v5 若口口的离心率是 口 ABF=2 x y 9.口 F1，F2是口口 1的两个焦点，P是口口上的点，且|PF|：|PF|=2：1，￥9 4 三角形 PF1F2 的面口等于口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 10.在平面直角坐口系

4、 X OY 中，口定两点 M(-1，2)和 N(1，4)，点 P在 X 口上移口，当 MPN 取最大口口，点 P的横坐口口 11.若正方形 ABCD 的一条口在直口 y 2x 17上，另外两个口点在抛物口 y x上.口 正方形面口的最小+、，2 已知 Co：x y y 12.1和 C1：1(a b 2 b a、2 0)。口口：当且口当 a，b口足什么 条件口，口 C任意一点 P，均存在以 P点、与 Co外切、与 C，内接的平行四口形?并口 明你的口口。x 13.口曲口 Cr：y 1(a 口正常数)与 C2：y=2(x+m)在 x口上方公有一个公共点 2 a P。(1)口数 m 的取口范口(用

5、a表示)；A，当 0a1口，口求 OAP 的面口的最大口(2)0 口原点，若 C与 x口的口半口交于点 2(用 a表示)。14.已知点 A(0，2)和抛物口 X 4上两点 B，C使得 AB BC，求点 C的口坐口的取 y 口范口.15.一口口上画有半径口 R 的和口内一定点 A，且 OA=a.拆叠口片，使口周上某一点 A 口好与 A 点重合，口口的每一种拆法，都留下一条直口折痕，当 A 取逼口周上所有点口，求所有折痕所在直口上点的集合，口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点

6、口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 16.(04，14)在平面直角坐口系 x oy 中，口定三点 4 A(0，一)，B(1，0)，C(1，0)，点 P到直口 3 BC 的距离是口点到直口 AB，AC 距离的等比中口。()求点 P的口迹方程；()若直口 ABC 的内心(口 D)，且与 P点的口迹恰好有 3个公共点，求 L的 LO 斜率 k的取口范口。17.口抛物口 y x上的一点 A(1，1)作抛物口的切口，分口交 x口于 D，交 y口于 B.点 C AE BF 在抛物口上，点 E

7、在口段 AC 上，口足 指点 F在口段 BC 上，口足 2.且 EC FC 1.口段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C在抛物口上移口口，求点 的口迹方程.2 1口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 后答案 23 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90o 9.3 10.的口口、短口的口及焦矩分 2

8、a、2b、2c，口由其方程知 a=3，b=2，c=5，故，|PF|+|PF 2|=2a=6，又已知 PFI|：|PF 2|=2：1，故可得|PF|=4，|PF 2|=2.在 PFF 2 中，三口之口分口 2，4，25，而2+4=(25)2，可口PFF 2是直角三角形，且两直 2和 4，故 PFF 2的面口=4.角口的口口 11.解：口口 M、N 两点的口的心在口段 MN 的垂直平分 y=3-x上，口心口 S(a，3-a)，口的方程口：a)(x a)(y 3 2(1 a 口于定口的弦在口弧上所口的口周角会随着口的半径减小而角度增大，所以，当 MPN 取最大口口，口口 M，N，P三点的口 S必与口

9、相切于点 P，即口 S的方程中的 a 口必口足 2(1 a)(a 3)，解得 a=1或 a=-7。即口口的切点分 P(1，0)和 P(7，0)，而口点 M，N，p 的口的半径大于口点 M，MPN MPN，故点 P(1，0)口所求，所以点 P的横坐口 N，P的口的半径，所以 口 1.12.解：口正方形的 AB 在直口 y 2x 17上，而位于抛物口上的两个口点坐口 c(x，y)、D(x2，y2)，口 CD 所在直口丨的方程 y 2x b，将直口丨的方程与抛物口方程 口立，得x 2x b X1.2 1 b 1.令正方形口 a，a(x x2)(y y2)5(x x2)20(b 1).17 b 在 y

10、 2x 17上任取一点(6，5)，它到直口 y 2x b的距离口 a，a.5，、立解得 b，3，b2 63.a 80，或 a 1280.am in 80.13.利用极坐口解决：以坐口原点口极点，x口口极口建立极坐口系，口口口的极坐口方程口 Cos Sin?1 2.2 b a-(1)口知此平行四口形 ABCD 必口菱形，口 A(，)，口 B(2，90 口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点

11、在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 代入(1)式相加：2 2 2 a 1 1 6 由于口菱形必与口位口相切，故原点到 AB 的距离口 1，口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 141v77.-1.1 2 2 从而 2 2 2.2 a 2 x y 1 消去 y得：x a0 14.解：(1)由 a 2

12、ax 2am y 2(x m)十 口 f(x)2ax 2am a，口口(1)化口方程在 xe(-a，a)上有唯一解或等根.只需以下三种情况：1=0得：m a 此 xp=-a.当且口当-a-aa，即 0a1口适 2 合；2f(a)f(一 a)0，当且口当一 ama；3f(一 a)=0 得 m=a，此口x=a-2a，当且口当一 aa-2aa，即 0a1口适 合 f(a)=0 得 m=-a，此口 xp=-a-2a2，由于一a-2a-a，从而 m-a.a 口上可知，当 0a1，m 或-amsa；2 当 a 1口，一 ama.1(2)OAP 的面口 s ayp 2 1.0a 故一 amsa口，0 ava

13、 a 1 2m0，从而 yp=取口最大，此口 2 a a.s.2 yp 2va aVa a a 1 当 m 口，av1 xp=-a2.yp=1 a，此口 S a 2 2，2 下面比口 ava 1.2 2 a与一 av1 a的大小：2 令 aVa 1 2 2 a av1 a 得 a 2 1 3 1 1，2 1，2，此口 Smax 故当 0as 口，aVa av1 a a av1 a 3 2 2，2 口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口

14、口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 当 3 1 1 a，此口 Smax a aVa a aVa a aV1 2 2，2 15.解：口 B点坐口口(yi 4，y1)，C点坐口(y 4，y).口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 口然 y 2 y1 4

15、0.故 kAB 74.2)y 4 y1 2(-4，0)BC，所以 kec(y 2)由于 AB 从而 y yi(yi 消去，注意到 y y得：2)x(y￥4)4 y x(2 y)(y y)1 o y 2(2 y)yi(2y 1)由 0解得：y 0或 y 4.当 y 0口，点 B的坐口口(3，1)；当 y 4口，点 B的坐口口(5，3)，均口足是口 意.故点 C的口坐口的取口范口是 y 0或 y 4.16.解：如口，以 O 口原点，OA 所在直口 x口建立直角坐口系，口有 A(a，0).口折叠口，oO上点 A(RcoS MN，口 MN 口段 AA 的中垂口.口，Rs in)与点 A 重合，而折痕口

16、直口 P(x，y)口 MN 上任一点，口丨 PA 丨=|PA|5分 心(x Rcos(y Rs in)(x a)y 即 2R(x cos ys in R a 10分 2ax x cos ys in R a 2ax.Vx y 2R x y a 2ax x y 可得：sin(sin COS 2R x y x yx y y R a 2ax.1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分 2R x y a(x 2 平方后可化口-21.R R a 2 2 a(x 1外2(即所求点的集合口口口口=1外(含口界)的部分.20 R R 2 2 2 分 4 4 17.解：()直口 AB、AC、BC 的方程依次口

17、y(X 1)，y(x 1)，y 0。点 P(x，y)3 3 到 AB、AC、1 1 BC 的距离依次口 d|4x 3y 4|，d2|4x 3y 4|，dsl y|。依口，口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 5 5 d，得|16x(3y 4)|25y.即 dyd 2 2 2 16x(3y 4)25y 0，或 16x(3y4)

18、25y 0，化口得点 P的口迹方程口口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 口 S：2x 2y 3y 2 0与双曲口 T：8x 17y 12y 8 0()由前知，点 P的口迹包含两部分 口 s：2x 2y 3y2 0 与双曲口 T：8 17y 12y 8 0 因口 B(-1，0)和 C(1，0)是适合口口条件的点，所以点 B

19、和点 C在点 P的口迹上，且 点 P的口迹曲口 S与 T的公共点只有 B、C 两点。ABC 的内心 D 也是适合口口条件的点，由 d d2 d3，解得 D(0，且知它在口 2 S上。直口 L口 D，且与点 P的口迹有 3个公共点，所以，L的斜率存在，口 L的方程口 1 y kx 2 1(i)当 k=0口，L与口 S相切，有唯一的公共点 D；此口，直口 y 一平行于 x口，表明 L 2 与双曲口有不同于 D 的两个公共点，所以 L恰好与点 P的口迹有 3个公共点。.10 分(ii)当 k 0口，L与口 S有两个不同的交点。口口，L与点 P的口迹恰有 3个公共点只能 有两种情况：1 情况 1：直口

20、L口点 B或点 C，此口 L的斜率 k 直口 L的方程口 x(2y 1)。2 5 4 54 代入方程得 y(3y 4)0，解得 E(二，)或 F(-)。表明直口 BD 与曲口 T有 2个交 33 33 点 B、E；直口 CD 与曲口 T有 2个交点 C、F。1口.故当 k L恰好与点 P的口迹有 3个公共点。2 1 情况 2：直口 L不口点 B和 C(即 k)，因口 L与 S有两个不同的交点，所以 L 2 8x 17y 12y 8 与双曲口 T有且只有一个公共点。即方程口 有且只有一口口数解，y kx 2 25 消去 y并化口得(8 17k)x 5kx 0 4 口方程有唯一口数解的充要条件是

21、0 8 17k2 25 17k)0 或(5k)4(8 4 租 5得 k￥.2 34 解方程得 k 解方程得 17 2 口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 口合得直口 L的斜率 k的取口范口是有限集*0.123.%234 17口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交

22、于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 18.解一：口抛物口上点 A的切口斜率口：y 2xx1 2，切口 AB 的方程口 D 的坐口 B(01.0(-0 B、的坐口口 B(0，1，D(-y 2x 1.D 是口段 AB 的中点.AE 口 P(x，y)、C(xo，x；)、E(x，y，)、F(x2，y2)，口由，知，EC 1 BE 1X0 x。X，y1 2，FC 得 2X0 2Xo X2，y2 1 2 2 7A(1.1).EF 所

23、 在 直 口 方 程 D y 1 1X0 1 1Xo x 1 1 2xo 1 X0 2X0 1X0 1 1 2 2 化口得(2；)x。(1)y(2)xo 3x 1 Xo 2x.2xx 一口，直口 CD 的方程口：当 Xo y 2 2X 1 X 3 1(3x1).口立、解得，消去 xo，得 P点口迹方程口：y 3 y 3 1 3-2 1口，EF 方程口：1 2，CD 方程口：1 当 X0 1 3)x 2 1 2 4 4 X 2 1 X 2 也在 P点口迹上.因 C与 A 不能重合，.x。2 口立解得 1，1 3 y 12.所求口迹方程口 y(3x 1)(x 3 3 解二：由解一知，AB 的方程口

24、 y 2x 1，B(0，1)，D(一，0)，故是 AB 的中点.CD CP CA，t 1 t2 CE CB CF 1 2，口 t t2 3.因口 CD 口 ABC 的中口，口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 ScAB 2SCAD 2ScBD 而口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜

25、角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口 Sc EF ScEP S cfp CE CF 1.1 t t2 3 ScAB 2ScAD 2ScBD 2 t，t2 CA CB t2 2tt2 2tt2 P是 ABC 的重心，口 P(x，y)，C(xo，x；)，因点 C异于 A，口 x，1，故重心 P的坐 0 Xo 1 Xo 1 1 x x 1 1(3x1)X，(x)，y，消去 Xo，得 y 3 3 3 3 3 3 2 故所求口迹方程口 y(3x 1)(x 3 3 口上点使得面口等于那么直口半兴装的点共有和曲口的口形是个个个个口抛物的焦点作口斜角口弦的中垂口与口交于 点表示的曲口是焦点在口上的双曲口焦点在口上的双曲口右口点口短口上方的端点口若口口的离心率是口是口口三角 口口若正方形的一条口在直口上另外两个口点在抛物口上口正方形面口的最小已知和口口当且口当口足什么条件口口