冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》单元检测试卷附答案解析.pdf

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1、【易错题解析】冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知一棵树的影长是3 0 m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3 m,则这棵树的高度是（）.A.15mB.60mC.20mD.10 5yJ mCD2.如图，ABC 中，AD_LBC 于 D,下列条件：NB+/DAC=90。；（2）ZB=ZD AC；=ACABAB2=BDBC.其中一定能够判定 ABC是直角三角形的有（A.1B.2C.33.线段M N长为lc m,点P是M N的黄金分割点，则M P的 长 是（D.4B.U2A且C.四 或 匕 更D.不能确定2224.如图，五边形ABCDE与五边

2、形A E C D E是位似图形，O为位似中心，O D=1 O D 则A E ：A B为（）A.2：3B.3：2C.1：2D.2：15.如图，Il2b，其中h与h、L与b间的距离相等，则下列结论：BC=2DE；AD EAABC；笫=黑.其中正确的有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m,与旗杆相距2 2 m,则旗杆的高为（）A.10m B.9m C.8m D.7m7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm,则这两个三

3、角形的周长分别是（）A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm8.如图，DE是 ABC的中位线，M 是 D E的中点，CM 的延长线交AB于点N,则 NM：MC等 于（）B CA.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：59.如图，在ABC中，点D、E 分别在2 8、4C 上，DE/B C,若4D=4,DB=2,则寿的值为（）12 3A.B.-C.-D.22 3 410.（2017贵港）如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与 BD的交点，M 是 BC边上的动点（点 M 不与B,C 重合），CN1DM,CN与 A B 交于点N,连接。

4、M,ON,M N.下列五个结论：CNB也DMC；CON 9DOM；（）OM NAOAD；（4）AN2+CM2=MN2；若 A B=2,则 SAOMN 的最小值是；，其中正确结论的个数是（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（共10题；共33分）11.如图，ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC,AD=10,BD=5,AE=6,则 CE 的长为。A12.在某天的同一时刻，高 为 1.5m 的小明的影长为加，烟囱的影长为2 0 m，则这座烟囱的高为m .13.如图，在 ABC中，DEB C,丝=工，则 竺=.AB 3 BC14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合

5、实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m,则此树的高度是 m.15.如图，在 内 ABC中，AB=BC,ZB=90,A C=1 0 4.四边形BDEF是 ABC的内接正方形（点 D、E、F 在16.一个三角形的各边长扩大为原来的9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9 倍.（判断对错）17.如图，将A A BC绕点B 按逆时针方向旋转得到A E B D,点 E、点 D 分别与点A、点 C 对应，且 点 D 在边AC上，边 DE交边AB于点F,B D C A A B C.已知BC=g,AC=5,那么 DBF

6、的面积等于.1 8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OC、0 A,分别在X轴、丫 轴上，点E在边BC上,将该矩形沿A E折叠，点B恰好落在边0 C上的F处,若0 A=8,CF=4,则点E的坐标是.19.正方形CEDF的顶点D、E、F 分别在A A B C 的边AB、BC、AC .（1）如图，若 tanB=2,则整的值为_ _ _ _ _ _ _ _DC（2）将 ABC绕点D 旋转得到 A B C,连接BB，、C C.若 条=乎 ，则 tanB的值为_ _ _ _ _ _ _ _BB 520.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,NBCD=90。，ZABC=45,AD=CD,CE 平

7、分NACB 交 AB 于点 E,在 BC上截取BF=AE,连接A F交 CE于点G,连接DG交 AC于点H,过点A 作 A N J_BC,垂足为N,AN交 CE于点M.则下列结论：CM=AF：CE_LAF；（3）A ABFADAH；GD 平分NAGC,其 中 正 确 的 序 号 是.三、解答题（共7题；共57分）21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G 分别在边AB、AC.若大楼的宽是40米（即 DE=40米），求这个矩形的面积.22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在

8、近岸取点Q 和 S,使点P、Q、S 共线且直线PS与河垂直，接着再过点S 且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T,确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.23.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,AB,且 券=：,AE=EB.求证：AEDsaCBD.AC 324.已知 ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边A B上，顶 点N在边AC上.（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形FFPN，的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；（2）若正三角

9、形ABC的边长为3+2 g ,则（1）中画出的正方形FFPN，的 边 长.25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90。，AQ与BP相交于点T,则黑的值为多少？26.如图，已知在 ABC 中，DEBC,EFAB,AE=2CE,AB=6,BC=9.求:(1)求BF和BD的长度.(2)四边形BDEF的周长.27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料A B C,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,A C.(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，

10、且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如 图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算.(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D二、填空题11.【答案】312.【答案】3013.【答案】|14.【答案】4.815.【答案】2516.【答案】x17.【答案】,18.【答案】(-10,3)19.【答案】；20.【

11、答案】三、解答题21.【答案】解答：由已知得，DGBCA AA D G A ABC,V AH IB C.AH_LDG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40(m)DG _BC即 DG=.S 地 形 DEFG=DEXDG=2000(m?).22.【答案】解答：根据题意得出：QRST则4 PQRAPST,AMAHASIxBC.-5 0 (m),AH故&-F-Q-=OR，PQ+QS ST：QS=45m,ST=90m,QR=60m,.PQ 6 0-0 +C 5 -茹，解得：PQ=90(m),，河的宽度为9 0米.23.【答案】证明：:ABC为正三角形，N A=/C=60,BC=AB,VAE=

12、BE,，CB=2AE,.丝=二AC 3，CD=2AD,.AD AE 1.-=-=一,CD CB 2而/A=N C,/.AEDACBD.24.【答案】解：(1)如图 ，正方形E F P N即为所求.(2)设正方形EFPN，的边长为X,ABC为正三角形，AE，=B F=争.；EF+AE+BF=AB,；.x+鸟+x=3+2 百，3 3工解得:x=3,故答案为：3.图25.【答案】解：I26.【答案】解：(1)VAE=2CE,.CE _ 1 ,AE 2VEF/7AB.AE BF 2 =，AC BC 3/BC=9,ABF=6,VDEZ/BC.BD CE 1 a -.-fAB AC 3VAB=6,ABD=

13、2：(2)VEF/AB,DE/7BC四边形BDEF是平行四边形，ABD=EF=2,DE=BF=6,二四边形BDEF的周长2(2+6)=16.27.【答案】(1)解：如图1,设正方形的边长为xm m,则 PN二 PQ二 ED二 x,.AE=AD-ED=80-x,PN|BC,/.APN ABC,PNBCAE,a即n 一X=8-0-XAD 120 80解得X=48.加工成的正方形零件的边长是48mm(2)解:如 图2,S2设 P Q=x,则 PN=2x,AE=80-x,:PN|BC,：.APN-ABC,.PNBCAE,n即il 2一x=8-0-xAD 120 80解得：%=C 4802x=7.这个矩

14、形零件的两条边长分别为詈m m,券mm设 PN=x(mm),矩 形 PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得A A P NAABC,PN _ AE ，BC AD三=叱 丝120 80解得：PQ=8 0-1 x .则 S=PN-PQ=x(80-|x)=-|x2+80 x=-|(x-60)2+2400,故 S 的最大值为 2400mm2，此时 PN=60mm,PQ=80-x 60=40(mm)【易错题解析】冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知一棵树的影长是3 0 m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3 m,则这棵树的高度是（）.A.15mB

15、.60mC.20mD.10 拒 m【答案】A【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】设这棵树的高度为x m,根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的1 A得：3 30.1.5x30 代.x=-彳-=15.,这棵树的高度是15m.故选A.【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.CD2.如图，ABC 中，AD_LBC 于 D,下列条件：NB+/DAC=90。；N B=/D A C；=ACABAB2=BDBC.其中一定能够判定 ABC是直角三角形的有（A.1B.2C.3【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】解答：（1）NB+/DAC=90。，该条

16、件无法判定a A B C是直角三角形；（2）：N B=/D A C ,CDZ BAD+Z B=90,A Z BAD+Z DAC=900,即N BAC=90,故该条件可以判定 ABC是直角三角形；（3）且DAC,=,该条件无法判定 ABC是直角三角形；（4）；AB2=BDBCABV Z B=Z B ,.,.ABDACBA,，/B A C=9 0,故该条件可以判定 ABC是直角三角形；故 选B分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明NBAC=90。即可解题.3.线段M N长为:L e m,点P是M N的黄金分割点，则M P的 长 是（）A渔匚 B.上更 c.旦或型2 2 2 2【答案】c【考点】黄金

17、分割【解析】【解答】解：设M P=x,则P N=l-x,根据题意得看1-X 1合题意，舍去），又因为题中没强调M P是长的一段还是短的一段，所 以M P的长也可以为1-上”=二.2 2故选C.【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可.二二 BC_ BD ABD.不能确定解得，x=母或厚1 （不2 24.如图，五边形ABCDE与五边形A B C D E是位似图形，。为位似中心,0 D=|ODZ,则 A E ：AB 为()A.2：3B.3：2C.1：2D.2：1【答案】D【考点】位似变换【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比.A B：AB

18、=ODZ：0D=2：1.故答案为：D.【分析】由题，根据0 D与0D，的数量关系，可以得出两个图形的位似比。5.如图，kl2b，其中k与12、b与b间的距离相等，则下列结论：BC=2DE；AD EAABC；华=”.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】A【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：h与I L与b间的距离为I，则 ADE和 ABC分另IJ是I,21,：h/l2/l3,/.ADE AABC,二故选项正确.VAADEAABC,.AD _ AB99 AE AC.故选项正确，VAADEAABC,DE _ 1 _ 1BC 1 21-2 即 BC=2DE,故正确的有3

19、个，故选：A.【分析】根据kl2b 判断 ADESABC,根据相似三角形的性质对所给命题进行判断.6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m,与旗杆相距2 2 m,则旗杆的高为（）A.10m B.9m C.8rn D.7m【答案】B【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高x 米，则 2 ,X 8+22，x=9.故选B.【分析】利用相似三角形对应边成比例解题.7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和 23cm,它们的周长相差4

20、0cm,则这两个三角形的周长分别是（）A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：2 3,周长比就是15：23,大小周长相差8 份，所以每份的周长是40+8=5cm,所以两个三角形的周长分别为5xl5=75cm,5x23=115cm.故选A.【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：2 3,可得周长比为15：2 3,计算出周长相差8 份及每份的长，可得两三角形周长.8.如图，DE是 ABC的中位线，M 是 D E的中点，CM 的延长线交AB于点N,则

21、NM：MC等 于（）B CA.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5【答案】B【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】，分析7 根据中位线定理证明 N D M saN BC后求解.【解答】；DE是 ABC的中位线，M 是 D E的中点，:.DMBC,DM=ME=-BC.4A A N D M A N B C,DM NM 1-=-=BC CN 4 NM_1*MC-3*故选：B乙点部 7本题考查了三角形中位线定理及相似三角形的性质.9.如图，在ZMBC中，点D、E分别在4 8、4 c上，DE/B C,若4。=4,DB=2,则霹的值为（）12 3A.-B.-C.-D.22 3 4【

22、答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】由DEBC可证得ATW E4 B C,再根据相似三角形的性质求解即可。【解答】：DEBC ADE ABC9：AD=4,DB=2.DE _ AD _ 4 _ 2*BC AB 6 3故选B。【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。10.（2017贵港）如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重合），CN1DM,CN与AB交于点N,连接。M,ON,M N.下列五个结论：CNB0DMC；（2）A CONADOM；（3

23、）A O M NAO AD；（4）AN2+CM2=MN2；若 A B=2,则 SAOMN 的最小值是；，其中正A.2确结论的个数是（）C.4D.5【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：；正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90,A ZBCN+ZDCN=90,又；CNJ_DM,A ZCDM+ZDCN=90,A ZBCN=ZCDM,又；NCBN=NDCM=90,.,.CNBADMC(A S A),故 正确；根据 CNB丝D M C,可得CM=BN,又；NOCM=NOBN=45,OC=OB,AAO C M AO BN (S A S),.

24、OM=ON,ZCOM=ZBON,A ZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,gJ ZDOM=ZCON,又,；DO=C。，/.CONADOM(S A S),故 正确；Z BON+Z BOM=ZCOM+Z BOM=90,Z M O N=9 0 即 MON是等腰直角三角形，又AOD是等腰直角三角形，A A O M N A O A D,故 正确；VAB=BC,CM=BN,/.BM=AN,又：RtABMN 中，BM2+BN2=MN2,AAN2+CM2=MN2,故 正确；VAO C M AO BN,，四边形BMON的面积=BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,.当 MNB的面积最大时，MNO的

25、面积最小，设 BN=x=CM,则 BM=2-x,/.MNB 的面积=1 x(2-X)=-1 x2+x,当x=l时，MNB的面积有最大值|,此时SAOMN的最小值是1-1=故 正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D.【分析】根据正方形的性质，依次判定4 C N BAD M C,O C M AO BN,CON/DOM,O M N A O A D,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论.二、填空题（共10题；共33分）11.如图，在4 ABC 中，点 D、E 分另IJ在边 AB、AC 上，DEBC,AD=10,BD=5,AE=6,贝|CE 的长为【答案】3【考点】平行线分线段成

26、比例【解析】【解答】根据平行线分线段成比例定理即由DEBC,可直接得黑=黑，即?=白，解得EC=3.1分BD EC 5 CE析】运用平分线分线段成比例，列出比例等式求CE的长即可。12.在某天的同一时刻，高 为1.5 m的小明的影长为1 m，烟囱的影长为20m,则这座烟囱的高为m.【答案】30【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：设烟囱的高为x,由题意得：芋=或，.x=30.烟囱的高为3 0米.故答案为：30.【分析】根据同一时刻，同一地点同一水平面上，不同物体的高度与影长成比例，即可列出方程，求解即可。13.如图，在 ABC中，DEB C,”=工，则 空=.AB 3 BC【答案w【考

27、点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：；DEBC,A Z A D E=Z B,ZAED=ZC,/.ADEAABC,.DE AD 1-=-=一.BC AB 3故答案为：g【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时亥“，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m,则此树的高度是 m.【答案】4.8【考点】相似三角形的应用，平行投影【解析】【解答】解：设此树的高度是h m,则 当=2 ,解得h=4.8（m）.故答案为：4.8.【分析】设此树的高度是h m

28、,再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.15.（2015佛山市）如图，在 RtAABC中，AB=BC,ZB=90,AC=10V2.四边形BDEF是 ABC的内接正方形（点 D、E、F 在三角形的边上）.则此正方形的面积是【答案】25【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答.,在 RtAABC中，AB2+BC2=AC2VAB=BC,AC=10V2.,2AB2=200,.,.AB=BC=10,设 E F=x,贝 lj AF=10-xVEF/7BC,/.AFE AABC ,IA|J fBC AB 10 10.x=5,；.EF=5,.此正方形的面积为5x5=25.故答案为25.

29、【点评】主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用.解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解.16.一个三角形的各边长扩大为原来的9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9 倍.（判断对错）【答案】x【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，.一个三角形的各边长扩大为原来的9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9 倍，错误.故答案为：X.【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答.17.如图，将 ABC绕点B按逆时针方向旋转得到A E B D,点E、点D分别与点A、点C对应，且 点D在边AC上，边DE交边A B于

30、点F,BDCAABC.已知BC=V W ，A C=5,那么 DBF的面积等于【答案】91O【考点】相似三角形的性质，旋转的性质【解析】【解答】解：:BDCSZABC,：.C D=,ACV BC=V10,AC=5,，CD=2,，AD=3,.,将 ABC绕点B按逆时针方向旋转得到小EBD,冷含,NCBD=NA,A ZEBF=ZCBD,，NEBF=NA,，BEAC,，/A D F=N E,ZE=ZEBF=ZA=ZADF,，EF=BF,AF=DF,/.AF+BF=EF+DF,即 AB=DE=AC=5,VAD/7BE,A A A D F A B E F,.DF AD 3 -EF BE 5 DF 3,DE

31、 8过A作AH_LBC于H,.DBF 的面积=|SAAB C=77 o 16故答案为：.lo【分析】根据相似三角形的性质得到奈=黑，Z C B D=Z A,得到CD=2,A D=3,根据旋转的性质得到CM DCZABC=ZEBD,Z E=Z A,AB=BE,DE=AC,得到N E B F=/A,根据平行线的判定和性质得到/A D F=N E,等量代换得到N E=N E B F=N A=/A D F,根据等腰三角形的判定得到EF=BF,AF=D F,得至IJ AB=DE=AC=5,根据相似三角形的性质得到黑=：，过A作A H LB C于H,于是得到结论.DE 88.如图,在平面直角坐标系中,矩形

32、ABC。的边OC、0 A,分别在x轴、y轴上，点E在边BC上,将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边0C上的F处,若。A=8,C F=4,则点E的坐标是.【答案】（-10,3）【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：矩形ABCO中，ACE/ZAO.,.CEFAOFA.C E C F*0F0A又。2=8,CF=4.AOF=2CE.设 C E=x,则 BE=8-x.根据折叠的性质，可得EF=8-x.A x2+42=（8-%）2，X 3,/.0F=6,.OC=10,二点E的坐标为（-10,3）.故答案为：（-10,3）【分析】根据题意可知A C E

33、F s/X O F A,可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得O F=2CE,设CE=x,则BE=8-x,然后根据折叠的性质，可得EF=8-x,根据勾股定理可得x2+42=（8-x）2，解得x=3,贝lj 0F=6,所以O C=1 0,由此可得点E的坐标为（-10,3）.19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在 ABC的边AB、BC、AC .(1)如图，若ta n B=2,则黑的值为_ _ _ _ _ _ _ _DC(2)将 ABC绕点D旋转得到A B U,连接BB C C.若 条=乎，则tanB的值为BB 5【答案】:；:3 4【考点】相似三角形的判定与性质【解析】解：(1)四边形CE

34、DF为正方形，ED=EC,ZCED=90,Tp在 RtABDE 中，：tanB=2,BE；.DE=2BE,.BE_ BE _1BC BE+2BE 3(2)连结DC、D C,如图，V A A B C绕 点D旋转得到 A B U,，DB=DB，DC=DC,ZBD BZC D C,即“DB=DBDC DCA A D B B A D C C,.DB CC 3y2-二-DC BB f 5设 DC=3V2x,BD=5x,四边形CEDF为正方形，A DE=3x,在 R fB D E 中，BE=A/DB2_DE2=(5x)2 _ (3X)2=4XDE_3x_3ta n B=-：-r故 答 案 为:，：.3 4

35、B【分析】(1)由正方形的性质得ED=EC,ZC E D=90,再在R 3 BDE中，利用正切的定义得到DE=2BE,则CE=BE,所以案=：;HC 3(2)连结DC、DC一 如图，根据旋转的性质得DB=DB，,DC=DU,/B D B，=N C D C,则可判断4 D B B A D C C,根据相似三角形的性质得照=冬=平，则可设DC=3&x,B D=5x,然后利用正方形性质得D E=3x,接着DC BB 5利用勾股定理计算出B E=4x,最后根据正切的定义求解.20.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,/BCD=90,NABC=45,AD=CD,CE 平分NACB 交 AB 于点 E

36、,在 BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作A N B C,垂足为N,A N交CE于点M.则下列结论：CM=AF；CEJ_AF；()A B FA D A H；GD 平分NAGC,其 中 正 确 的 序 号 是.【答案】【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：结论正确.理由如下：V Z 1=Z 2,Zl+ZC M N=90,Z2+Z6=90Z6=ZC M N,X V Z 5=Z C M N,A Z 5=Z 6,AAM=AE=BF.易知ADCN为正方形，AABC为等腰直角三角形，；g 8=人（：.在4 ACM与小ABF中，AC=

37、AB(ZCAM =Z B =45，AM=BF.,.ACMAABF(S A S),，CM=AF；结论正确.理由如下：:ACM 丝ABF,N2=N4,：N2+N6=90,4+/6=90,A C E IA F；结论正确.理由如下：证法一：VCE1AF,二 NADC+NAGC=180,:.A、D、C、G四点共圆，,N7=N2,V Z 2=Z 4,，N7=N4,又：NDAH=NB=45,.,.ABF ADAH；证法二：VCE1AF,Z 1=Z 2,/.ACF为等腰三角形，AC=CF,点G为AF中点.在R S A N F中，点G为斜边AF中点，NG=AG,，/M N G=N 3,NDAG=/CNG.在 A

38、DG与4 NCG中，AD=CNZ D AG=/C N G ,AG=NGAAADG ANCG (S A S),A Z 7=Z 1,又：N1=N2=N4,A Z 7=Z 4,.,.ABF ADAH；结论正确.理由如下：证法一：；A、D、C、G四点共圆，/DGC=NDAC=45,ZDGA=ZDCA=45,ZD G C=ZD G A,即 GD 平分NAGC.证法二：VAM=AE,CEAF,A Z 3=Z 4,又N2=N4,A Z3=Z 2则NCGN=180-N1-90-ZMNG=1800-Z 1-90-Z3=90-Z 1-Z2=45.VAADG ANCG,/.ZDGA=ZCGN=45=-ZAGC,2.

39、GD 平分NAGC.综上所述，正确的结论是：，共4个.故答案为：【分析】结论正确，证明 A C M gA B F即可；结论正确，由 ACM丝ZXABF得出N 2=N 4,进而得N4+N6=90。，即CEJ_AF,结论正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。三、解答题（共7题；共57分）21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、A C .若大楼的宽是4 0米（即DE=40米）,求这个矩形的面积.【答案】解答：由己知得，

40、DGBC.,.ADG AABC,VAH1BC.AH1DG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40(m)AMAHLT/xBC.、-=50(m)AHDG _BC即DG=S 矩 形 DEFG=DEXDG=2000(m2)【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DGEF,此时有NADG=NB,NAGD=/C,所以 ADG-AABC,利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积.22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT

41、与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.【答案】解答：根据题意得出：QRST,则4 PQRS/PST,砧 PQ ORPQ+QS STVQS=45m,ST=90m,QR=60m,.PQ 6 0 尸2 +4 5 -9Qf解得：PQ=90(m),.河的宽度为9 0米.【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出一丝-=，进而代入求出即可.PQ+QS ST23.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,A B上，且 华=*，AE=EB.求证：AEDACBD.AC 3B C【答案】证明：ABC为正三角形,A ZA=ZC=

42、60,BC=AB,VAE=BE,ACB=2AE,.AD 1，AC 3ACD=2AD,.AD AE 1 -二 一,CD CB 2而/A=N C,A A A E D A C B D.【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到/A=N C=60。,BC=AB,由AE=BE可得到CB=2AE,再 由*=祠 到AC 3C D=2AD,则 受 嗯，然后根据两边及其夹角法可得到结论.CD C D24.已知 ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边A B上，顶点N在边AC上.(1)如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形FFPN 且使正方

43、形FFPN，的面积最大(不谢画法，但要保留画图痕迹)；(2)若正三角形ABC的边长为3+2 6 ，则(工)中画出的正方形E F P N的 边 长.C【答案】解：(1)如图，正方形F F P M即为所求.(2)设正方形FFPN，的边长为X,:ABC为正三角形，AE，=BF=x.3,:EF+AE+BF=AB,/.x+x+x=3+2V3,3 3；解得：x=3,故答案为：3.图【考点】位似变换【解析】【分析】(1)利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形FFPN，如答图所示；(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE4BF=AB,列方程求得正方 形E F P

44、 N的边长.25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90。，A Q与BP相交于点T,则g的值为多少？【答案】解：!【考点】平行线的判定，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过 点B作BE_LAQ于点E,过 点P作P H LA Q于点H,设正方形的边长是2.则DP=CP=1,AD=2.*.AP=V5ZAPQ=90,NAPD+/CPQ=90又：NAPD+NPAD=90二 NPAD=NCPQ,V Z C=Z D;.,.ADPAPC Q.，AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.即 2:1 S：PQ=1:CQ,所 以PQ哼,CQ=05BQ

45、=2-0.5=15AAQ=j1 iSA ABQ=-ABxBQ=-AQxBEAB BQ 6BE=-二一AQ 51 1SA APQ=-APxPQ=-AQxPH,又 BEJ_AQ,PHAQ,，BEPH;.,.BET APHT,BT:PT=BE:PH=6:5.【分析】过点B作BE LA Q于点E,过 点P作P H LA Q于点H,设正方形的边长是2.则DP=CP=1,AD=2.根据勾股定理得出A Q的长度，根据平角的定义，及直角三角形两锐角互余得出NAPD+NCPQ=90。，NAPD+NPAD=90。，根据同角的余角相等得出NPAD=NCPQ,从而判断出 A D P spC Q.根据相似三角形对应边成

46、比例得出AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.从而得出PQ.CQ,BQ,AQ的长度，根据面积法得出BE,PH的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BEPH;根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，得出BETS APHT,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出结论。26.如图,已知在 ABC 中，DEBC,EFAB,AE=2CE,AB=6,B C=9.求:(1)求BF和BD的长度.(2)四边形BDEF的周长.【答案】解：VAE=2CE,CE 1AE-29VEF/7AB.AE _ BF _ 2*AC BC 39.BC=9,ABF=6,VDE/7BC.BD _

47、CE _ 1 ZB 一 AC 一 3VAB=6,ABD=2；(2)VEF/AB,DE/7BC 四边形BDEF是平行四边形，.BD=EF=2,DE=BF=6,，四边 形BDEF的周长2(2+6)=16.【考点】平行线分线段成比例【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果;(2)先证明四边形BDEF是平行四边形，得出对应边相等，即可得出结果.27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料A B C,它的边BC=120mm,高 AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,A C上.（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm?（2）如果原题

48、中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如 图 1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算.（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.【答案】（1）解：如图1,设正方形的边长为xm m,则 PN=PQ=ED=x,/.AE=AD-ED=80-x,PN|BC,.AAPN AABC,.PN_BCAE,H即r.一x=8-0-r-AD 120 80解得x=48.，加工成的正方形零件的边长是48mm（2）解：如图2,设 P Q=x,则 PN=2x,AE=80-

49、x,PN|BC,.AA P N AABC,PNBC祭，即 急8 0 r80解得:X=240C 4802x=7这个矩形零件的两条边长分别为言m m,言mm(3)解：如图3,设PN=x(mm),矩形PQMN的面积为S(mm2),由条件可得A A P N 4ABC,PN _ AE ，BC AD三=世 丝120 80解得：PQ=80.则 S=PN-PQ=x(80-|x)=-|x2+80 x=-|(x -60)2+2400,故 S 的最大值为 2400nnn2,止 匕 时 PN=60mm,PQ=80-x 60=40(mm)【考点】相似三角形的判定与性质，配方法的应用【解析】【分析】(1)设正方形的边长为X,则PN=PQ=ED=x,AE=AD-ED=80-x,由 APN A B C,根据相似三角形的性质可得穿=*代入可得X。BC AD(2)设PQ=x，则PN=2x,AE=80-x,由 APN ABC,根据相似三角形性质可得，黑=堂，代入求得PQ,再求得PNo(3)根据相似三角形的性质可得M=空，用含有x的代数式表示P Q,再表示面积S,最后配方求得S的最大值。