【课件】余弦定理第一课时 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、高 中 数 学 人 教A 版 必 修 第 二 册第 六 章 平 面 向 量 及 其 应 用6.4.3-1 余弦定理6.4 平面向量的应用情境引入在初中，我们学过研究三角形边与角关系的哪些知识？勾股定理、锐角的三角函数直角三角形中边、角的定量关系 三角形全等（SSS,SAS,ASA,AAS）一般三角形中的边角关系上述知识表明：给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的这些元素有怎样的数量关系？学习新知角角A的对边边长：的对边边长：a角角B的对边边长：的对边边长：b角角C的对边边长：的对边边长：cl把三角形的三个角把三角形的三个角A,B

2、,C和它们的对边边长和它们的对边边长a,b,c叫叫三角形的元素三角形的元素.l已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形.l大边对大角，小边对小角大边对大角，小边对小角“解三角形解三角形”的含义的含义探究新知因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的所以我们考虑用向量的 数量积 来探究来探究.探究新知问题问题1 已知三角形的两边已知三角形的两边a，b及它们的夹角及它们的夹角C，如何，如何求第三边求第三边c？设设 ，那么那么 把几何元素用向量表示：把几何元素用向量表示：进行恰当的向量运

3、算：进行恰当的向量运算：向量式化成几何式：向量式化成几何式：同理可得同理可得于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理余弦定理余弦定理.探究新知探究探究2 2：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？法法3：几何法几何法（作高法）（作高法）=+学习新知余弦定理余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即思考思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？已知两边及其夹角求第三边（已知两边及其夹角求第三边（

4、SAS型型）符号语言：符号语言：ac c学习新知2、余弦定理的推论 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？已知三边求任意一个角（已知三边求任意一个角（SSS型型）从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.思考思考：利用余弦定理的推论可以解决：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？三角形的哪类问题？归纳总结：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）余弦定理：余弦定理：推论：推论：已知已知两边夹一角求第三边【对边两边夹一角求第三边【对边】（SAS）问

5、题问题1 公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）ac cPART 解 三 角 形02学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.(内内)C=-

6、A-B.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.学习新知应用一：应用一：已知两边及其夹角，已知两边及其夹角，解三角形解三角形（SAS）例例2 在在ABC中，中，a=7，b=8，锐角，锐角C满足满足 求求cosB.解：解：学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）例例3 在在ABC中，中，a=，b=2，c=，解这个三角形解这个三角形.学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）例例3 在在ABC中，中，a=，b=2，c=

7、，解这个三角形解这个三角形.解：解：由余弦定理得由余弦定理得“知三边知三边”：(余余)求求cosA,cosB得得A,B(内内)C=-A-B.典型例题题型一：已知三边解三角形求第一个角先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角)求第二个角继续用余弦定理求另一个角求第三个角最后用三角形内角和定理求出第三个角技巧总结：已知三角形的三边求角的基本步骤学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）学习新知应用二：应用二：已知三条边求任意角已知三条边求任意角（SSS）解：由余弦定理，得学习新知应用三：应用三：已知两边及一边对角，解三角形已知

8、两边及一边对角，解三角形（SSA）例例4 在在ABC中，若中，若c ，b5，且，且cos C ，求，求a.学习新知应用三：应用三：已知两边及一边对角，解三角形已知两边及一边对角，解三角形（SSA）例例4 在在ABC中，若中，若c ，b5，且，且cos C ，求，求a.方法总结：方法总结：关键是利用含有已知角的余弦定理，关键是利用含有已知角的余弦定理，得到得到一个一元一个一元二次方程二次方程.若若c1，b5，且，且cos C 呢呢？（不一定有解）（不一定有解）a2-9a+240 典型例题(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三 边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则

9、直接运用余弦定理求出另外一 边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.技巧总结：已知两边及一角解三角形的两种情况 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！理解新知探究探究3 3：勾股定理与余弦定理有什么关系？：勾股定理与余弦定理有什么关系？余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 是否可以利用余弦定是否可以利用余弦定理判定三角形形状？理判定三角形形状？典型例题题型三：三角形形状的判断由acos Bacos Cbc并结合余弦定理，整理，得(bc)(a2b2c2)0.因为bc0，所以a2b2c2，故ABC是直角三角形.典型例题题型三：三

10、角形形状的判断本课小结作用作用1 1：知两边：知两边及夹角求第三边及夹角求第三边作用作用2 2：知三边：知三边求任一角求任一角作用作用3 3：定形状：定形状余弦定理的应用余弦定理的应用1.知三边求三角知三边求三角(余余求两角求两角+内内求角求角)2.知两边及夹角知两边及夹角(余余求边求边+余余求角求角+内内)3.知两边及其中一边的对角知两边及其中一边的对角(余余(方程方程)求边求边+余余求角求角+内内)有多解有多解提升题：余弦定理的应用提升题：余弦定理的应用知哪角，用哪式知哪角，用哪式44提升题：余弦定理的应用提升题：余弦定理的应用知哪角，用哪式知哪角，用哪式44思路思路1：(余余A)ABC中求中求cosA(余余A)ABD中求中求BD思路思路2：(余余C)ABC中求中求cosC(余余C)BCD中求中求BD思路思路3：