最新习题124求下列微分方程的通解.pdf

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1、 习题 12。4 求下列微分方程的通解 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 习题 12 4 1 求下列微分方程的通解 (1)Skip Record If.解 Skip Record If.(2)xyy x2 3x 2 解 原方程变为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.(3)yycos x e sin x 解 Skip Record If.Skip Record If.(4)yytan x sin 2x 解 Skip Record If.Skip Record If.Ski

2、p Record If.cos x(2cos x+C)C cos x 2cos2x (5)(x2 1)y2xy cos x 0 解 原方程变形为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.(6)Skip Record If.解 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.(7)Skip Record If.解 Skip Record If.原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意

3、知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 Skip Record If.Skip Record If.(8)yln ydx(x ln y)dy 0 解 原方程变形为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.(9)Skip Record If.解 原方程变形为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record I

4、f.(x 2)(x 2)2 C(x 2)3 C(x 2)(10)Skip Record If.解 原方程变形为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)Skip Record If.y|x 0 0 解 Skip Record If.Skip Record If.由 y|x 0 0 得 C 0 故所求特解为 y xsec x (2)Skip Record If.y|x 1 解 Skip Record If.Skip Record If.由 y|x 1 得 C 1 故所求

5、特解为 Skip Record If.(3)Skip Record If.Skip Record If.解 Skip Record If.原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 Skip Record If.由 Skip Record If.得 C 1 故所求

6、特解为 Skip Record If.(4)Skip Record If.y|x 0 2 解 Skip Record If.Skip Record If.由 y|x 0 2 得 Skip Record If.故所求特解为 Skip Record If.(5)Skip Record If.y|x 1 0 解 Skip Record If.Skip Record If.由 y|x 1 0 得 Skip Record If.故所求特解为 Skip Record If.3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点(x y)处的切线斜率等于2x y 解 由题意知 y2x y 并且 y|x 0 0 由通

7、解公式得 Skip Record If.ex(2xe x 2e x C)Cex 2x 2 由 y|x 0 0 得 C 2 故所求曲线的方程为 y 2(ex x 1)4 设有一质量为 m 的质点作直线运动 从速度等于零的时刻起 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为 k1)的力作用于它 此外还受一与速度成正比(比例系数为 k2)的阻力作用 求质点运动的速度与时间的函数关系 解 由牛顿定律 F ma 得 Skip Record If.即 Skip Record If.由通解公式得 原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一

8、曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 Skip Record If.Skip Record If.由题意 当 t 0 时 v 0 于是得 Skip Record If.因此 Skip Record If.即 Skip Record If.5 设有一个由电阻 R 10、电感 L 2h(亨)和电源电压 E 20sin5t V(伏)串联组成的电路 开关 K 合上后 电

9、路中有电源通过 求电流 i 与时间 t 的函数关系 解 由回路电压定律知 Skip Record If.即 Skip Record If.由通解公式得 Skip Record If.因为当 t 0 时 i 0 所以 C 1 因此 Skip Record If.(A)6 设曲 Skip Record If.在右半平面(x 0)内与路径无关 其中 f(x)可导 且f(1)1 求 f(x)解 因为当 x 0 时 所给积分与路径无关 所以 Skip Record If.即 f(x)2f(x)2xf(x)2x 或 Skip Record If.因此 Skip Record If.由 f(1)1 可得 S

10、kip Record If.故 Skip Record If.原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 7 求下列伯努利方程的通解 (1)Skip Record If.解 原方程可变形为 Skip Record If.即 Skip Record If.Skip

11、Record If.Skip Record If.原方程的通解为 Skip Record If.(2)Skip Record If.解 原方程可变形为 Skip Record If.即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.原方程的通解为 Skip Record If.(3)Skip Record If.解 原方程可变形为 Skip Record If.即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.原方程的通解为 Skip Record If.(4)Skip Rec

12、ord If.解 原方程可变形为 Skip Record If.即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 Skip Record If.原方程的通解为 Skip Rec

13、ord If.(5)xdy y xy3(1 ln x)dx 0 解 原方程可变形为 Skip Record If.即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.原方程的通解为 Skip Record If.8 验证形如 yf(xy)dx xg(xy)dy 0 的微分方程 可经变量代换 v xy 化为可分离变量的方程 并求其通解 解 原方程可变形为 Skip Record If.在代换 v xy 下原方程化为 Skip Record If.即 Skip Record If.积分得 Skip Record If.对上式求

14、出积分后 将 v xy 代回 即得通解 9 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程 然 后求出通解 (1)Skip Record If.解 令 u x y 则原方程化为 原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 Skip Record If.即 Skip

15、 Record If.两边积分得 x arctan u C 将 u x y代入上式得原方程的通解 x arctan(x y)C 即 yx tan(x C)(2)Skip Record If.解 令 u x y 则原方程化为 Skip Record If.即 dxudu 两边积分得 Skip Record If.将 u x y代入上式得原方程的通解 Skip Record If.即(x y)22x C(C 2C1)(3)xyy y(ln x ln y)解 令 u xy 则原方程化为 Skip Record If.即 Skip Record If.两边积分得 ln x ln C lnln u 即

16、u eCx 将 u xy 代入上式得原方程的通解 xy eCx 即 Skip Record If.(4)yy2 2(sin x 1)y sin2x 2sin x cos x 1 解 原方程变形为 原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 y(y sin x 1)

17、2 cos x 令 u y sin x 1 则原方程化为 Skip Record If.即 Skip Record If.两边积分得 Skip Record If.将 u y sin x 1 代入上式得原方程的通解 Skip Record If.即 Skip Record If.(5)y(xy 1)dx x(1 xy x2y2)dy 0 解 原方程变形为 Skip Record If.令 u xy 则原方程化为 Skip Record If.即 Skip Record If.分离变量得 Skip Record If.两边积分得 Skip Record If.将 u xy 代入上式得原方程的通解 Skip Record If.即 2x2y2ln y 2xy 1 Cx2y2(C 2C1)原方程变形为求下列微分方程满足所给初始条件的特解解由得故所求特解为解由得故所求特解为解仅供学习与交流如求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点处的切线斜率等于解由题意知并且由通解公式得由得故所求曲线的方程为作用于它此外还受一与速度成正比比例系数为的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律得即由通