2023年2015年普通高等学校招生全国考试 数学.doc.pdf

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1、绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国考试 数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A=x|5 x 2，B=x|3 x 3，则 A B=A.3 x 2 B.5 x 2 C.3 x 3 D.5 x 3（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A）（x 1）2+（y 1）2=1（B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2（D）（x

2、 1）2+（y 1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=x sinx（B）y=x cosx（C）Y=|ln x|（D）y=2x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年人数为（）（A）90（B）100（C）180（D）300 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300(5)执行如果所示的程序框图，输出的 k值为（A）3（B）4(C)5(D)6（6）设 a，b 是非零向量，“ab=IaIIbI”是“a/b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条

3、件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1（B）（B）(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。选出符合题目要求的一项若集合则圆心为且过原点的圆的方程是下列函数中为偶函数的是某校老年中年和青年教师的 年教师中年教师青年教师合计人数执行如果所示的程序框输出的值为设是非零向量是的充分而不必要条件必要而不充 油都把油箱加满下表记录了该车相邻两次加油时的情况注累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内该注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油

4、量为（A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12 升 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）复数 i（1+i）的实数为（10）2-3,3,log25 三个数中最大数的是（11）在 ABC 中，a=3,b=,A=，B=（12）已知（2，0）是双曲线=1(b0)的一个焦点，则 b=.（13）如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为（14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生

5、。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）选出符合题目要求的一项若集合则圆心为且过原点的圆的方程是下列函数中为偶函数的是某校老年中年和青年教师的 年教师中年教师青年教师合计人数执行如果所示的程序框输出的值为设是非零向量是的充分而不必要条件必要而不充 油都把油箱加满下表记录了该车相邻两次加油时的情况注累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内该（15）（本小题 13 分）已知函数 f（x）=2sin 2 3 sin2x（

6、）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间20,3 上的最小值。（16）（本小题 13 分）已知等差数列 满足+=10，-=2.（）求 的通项公式；（）设等比数列 满足，；问：与数列 的第几项相等？（17）（本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买。商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98（）估计顾客同时购买乙和丙的概率（）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（1

7、8）（本小题 14 分）如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB 平面 ABC，三角形 EAB为等边三角形，AC BC,且 AC=BC=,O,M分别为 AB,EA 的中点。（1）求证:EB/平面 MOC.（2）求证：平面 MOC 平面 EAB（3）求三棱锥 E-ABC 的体积。选出符合题目要求的一项若集合则圆心为且过原点的圆的方程是下列函数中为偶函数的是某校老年中年和青年教师的 年教师中年教师青年教师合计人数执行如果所示的程序框输出的值为设是非零向量是的充分而不必要条件必要而不充 油都把油箱加满下表记录了该车相邻两次加油时的情况注累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内该（19）

8、（本小题 13 分）设函数 f（x）=22-lnk,k0（I）求 f（x）的单调区间和极值；（II）证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。(20)(本小题 14 分)选出符合题目要求的一项若集合则圆心为且过原点的圆的方程是下列函数中为偶函数的是某校老年中年和青年教师的 年教师中年教师青年教师合计人数执行如果所示的程序框输出的值为设是非零向量是的充分而不必要条件必要而不充 油都把油箱加满下表记录了该车相邻两次加油时的情况注累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内该已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线.（1）求椭圆的离心率；（II）若 AB垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（III）试判断直线 BM 与直线 DE的位置关系，并说明理由。选出符合题目要求的一项若集合则圆心为且过原点的圆的方程是下列函数中为偶函数的是某校老年中年和青年教师的 年教师中年教师青年教师合计人数执行如果所示的程序框输出的值为设是非零向量是的充分而不必要条件必要而不充 油都把油箱加满下表记录了该车相邻两次加油时的情况注累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内该