2023年2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学.doc2.pdf

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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分.一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知 211iiz（i为虚数单位），则复数z=（）A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 2.设 A,B 是两个集合，则”ABAI”是“AB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S()A.67 B.37 C.89 D.

2、49 4.若变量,x y满足约束条件1211xyxyy ，则3zxy的最小值为（）A.-7 B.-1 C.1 D.2 5.设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 6.已知5axx的展开式中含32x的项的系数为 30，则a（）A.3 B.3 C.6 D-6 7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386 B.2718

3、C.3413 D.4772 8.已知点 A,B,C 在圆221xy上运动，且ABBC.若点 P 的坐标为（2,0），则PAPBPCuuu ruuu ruuu r的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 9.将函数()2f xisn x的图像向右平移(0)2 个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x的12,x x，有12min3xx，则（）A.512 B.3 C.4 D.6 10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体

4、积）（）A.89 B.169 C.34(21)D.312(21)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11.20(1)xdx .12.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 4 所示.若将运动员按成绩由好到差编为135:号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .13.设 F 是双曲线 C：22221xyab的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 .14.设nS为等比数列na的前项和，若11a，且1233,2,SSS成等差数列，则na .15.

5、已知32,(),xxaf xxxa，若存在实数b，使函数()()g xf xb有两个零点，则的取值两个集合则是的充分不必要条件必要不充分条件冲要条件既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图如果输入则是增函数偶函数且在上是减函数已知的展开式中含的项的系数为则在如图所示的正方形中随机投掷个点则落入阴影部像向右平移个单位后得到函数的图像若对满足的有则某工件的三视图如图所示现将该工件通过切割加工成一个体积尽范围是 .三、解答题 16.()如图，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 AB、CD 的中点分别是 M、N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1）0180MENNOM；（2）FEFN

6、FMFO （）已知直线352:132xtlyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线 C 的交点为 A，B，求|MAMB的值.（）设0,0ab，且11abab .（1）2ab；（2）22aa 与22bb 不可能同时成立.17.设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanabA，且 B 为钝角(1)证明：2BA （2）求sinsinAC的取值范围 18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都

7、从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；两个集合则是的充分不必要条件必要不充分条件冲要条件既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图如果输入则是增函数偶函数且在上是减函数已知的展开式中含的项的系数为则在如图所示的正方形中随机投掷个点则落入阴影部像向右平移个单位后得到函数的图像若对满足的有则某工件的三视图如图所示现将该工件通过切割加工成一个体积尽（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获

8、一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台1111ABCDABC D上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，16AA，且1AA 底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱1DD、BC 上.（1）若 P 是1DD的中点，证明：1ABPQ；（2）若 PQ/平面11ABB A，二面角 P-QD-A的余弦值为37，求四面体 ADPQ 的体积.20.已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1(0)yxCabab 的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为2 6.（1）求2C的方程；（2）过点 F 的直线l与1C相交于 A、B 两点，与2C相交于 C、D 两点，且ACuu

9、u r与BDuuu r同向（）若|ACBD，求直线l的斜率（）设1C在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线l绕点 F 旋转时，MFD总是钝角三角形 21.已知0a，函数()sin(0,)axf xex x.记nx为()f x的从小到大的第n*()nN个极值点,证明：（1）数列()nf x是等比数列 两个集合则是的充分不必要条件必要不充分条件冲要条件既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图如果输入则是增函数偶函数且在上是减函数已知的展开式中含的项的系数为则在如图所示的正方形中随机投掷个点则落入阴影部像向右平移个单位后得到函数的图像若对满足的有则某工件的三视图如图所示现将该工件通过切割加工成一个体积尽（2）若211ae，则对一切*nN，|()|nnxf x恒成立.两个集合则是的充分不必要条件必要不充分条件冲要条件既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图如果输入则是增函数偶函数且在上是减函数已知的展开式中含的项的系数为则在如图所示的正方形中随机投掷个点则落入阴影部像向右平移个单位后得到函数的图像若对满足的有则某工件的三视图如图所示现将该工件通过切割加工成一个体积尽