最新中考数学压轴题破解策略专题15《角含半角模型》.pdf

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1、精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1 专题 15角含半角模型 破题策略 1 等腰直角三角形角含半角 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D，E在BC上且DAE45（1）BAEADECDA （2）BD2CE2DE2 45EABCD 证明（1）易得ADCBBADEAB，所以BAEADECDA （2）方法一（旋转法）：如图 1，将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACF，连结EF 45FEABCD 则EAFEAD45，AFAD，所以ADEFAE（SAS）所以DE EF 而CFBD，FCEFCAACE90，所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻折

2、法）：如图 2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF 45FEABCD 因为BADEACDAFEAF，又因为BADDAF，则FAECAE，AFABAC，所以FAECAE（SAS）所以EF EC 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 而DFBD，DFEAFD AFE90，所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如图，在 ABC 中，ABAC，BAC90，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且DAE45，则BD2CE2DE2 EABCD 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：EFABCD FEABCD 将等腰直角三角形变成任意的

3、等腰三角形：如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，且DAE12BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为 180BAC EBCAD 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：FEBCAD FEBCAD 2 正方形角含半角 如图 1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，连结EF，则：则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将

4、绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 45图1FABCDE 图2GFEABDC 45图3HFEABDC（1）EFBEDF;（2）如图 2，过点A作AGEF于点G，则AGAD;（3）如图 3，连结BD交AE于点H，连结FH 则FHAE （1）如图 4，将ABE绕点A逆时针旋转 90得到ADI证明 图4IFEABDC 则IAFEAF45，AIAE，所以AEFAIF（SAS），所以EFIFDIDFBEDF （2）因为AEFAIF，AGEF，ADIF，所以AGAD （3）由HAFHDF45可得A，D，

5、F，H 四点共圆，从而AHF180ADF90，即FHAE 【拓展】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，EAF45，连结EF，则EFDFBE FABCDE 可以通过旋转的方法来证明.如图:则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 EB

6、CDAFG 如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，BAD+C=180，点 E，F分别在 BC、CD上，EAF=12BAD，连结 EF，则 EF=BE+DF.ABFDCE 可以通过旋转的方法来证明.如图:ABFDCEG 例题讲解 例1 如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图 2，在四边形ABCD中，BAD90，ABADBD180，点E、F分别在BC、CD上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍 有EFBEFD.（3）如图 3在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知ABA

7、D 80m，B60，ADC120，BAD150，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（31）m 现要在E、F之间修一条笔直的道路，求 这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：21.41，31.73）则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 图1

8、FADCBE图2ABDCEF图3FCAEBD 解：（1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD（2）BAD2EAF，理由如下：如图 4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG.易证ABEADG（SAS）.所以AEAG，即EFBEDFDGDFGF.从而证得AEFAGF（SSS）所以EAFGAF12EAG12BAD.图4GBADCEF 图5HFCGABED（3）如图 5，将ABE绕点A逆时针旋转 1 50 至ADG连结AF 由题意可得BAE60 所以ABE 和ADG均为等腰直角三角形.过点A作 AHDG于点H则 DH12AD40m，AH32 AD403 m.而DF40（31）m.所以EAFGAF4

9、5.可得EAFGAF（SAS）所以EF GF80m+40（3l）m 109.2m.例 2 如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足MA N45连结MC、NC、MN （1）与ABM相似的三角形是 ，BMDN （用含有a的代数式表示）；（2）求MCN的度数；则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好

10、文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 （3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.NADCBM 解：（1）NDA，2a.（2）由（1）可得BMABADND，所以BMDCBCDN 易证CBMNDC45，所以BCMDNC 则BCMDNC，所以 MCN=360 一BCD一BCM 一DCN 270（DNC+DCN）270（180DNC）135（3）222BMDNMN，证明如下：如图，将ADN绕点A顺时针旋转 90，得到ABE，连结EM.易得AEAN.MAEMAN45，EBM90，所以A MEAMN.（SAS）.则MEMN 在 RtBME中，222BM

11、BEEM 所以222BMDNEM.ENBCDAM 倒 3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E为CD上一点，且BAE45.若CD4，求ABE的面积.则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 图1BADCE 解：如图 1过点

12、A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由DAC=45，ADC90，可得ADCD.所以四边形ADCF为正方形.从而AF FC4 令BCm，则AB4m，BF4m 在 RtAFB中，有 16（4m）2一（4m）2 所以AB5，BF3 如图 2将ADE绕点A逆时针旋转 90至AFG.易证AGHAEB 令DEn，则CE4 n，BEBG3n 在 RtBCE中，有 1+（4n）2（3n）2，解得n47.所以BG257.从而15027ABEABGSSAF BG.图2FBADCEG 进阶训练 1.如图，等边ABC的边长为 1，D是ABC外一点且BDC120，BDCD，MDN 60，求AMN的周长 则所以所以仅供

13、学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 NDABCM AMN的周长是 2【提示】如图，延长AC至点E，使得CE BM，连结DE.先证BMDCED，再证MDNEDN即可.ENDACBM 2如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，CEF的周长是正方形AB

14、CD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明 NMCDFEBA 解：BM2DN2MN2【提示】由CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图 1），证AEFAGF，得MAN12BAD4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图 2）即可证得 则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得

15、到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 HGG图2图1ABEFDCMNNMCDFEBA 3如图，在ABC中，ACB90，点D在边AB上，DEBC于点E，且DEBC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若DBF45，DG275，BE3，求CF的长 GFEDCBA 解：CF125【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I，则四边形HBCI为正方形 将BHD绕点B顺时针旋转 90至BCJ，则点J在AC的延长线上连结DF，由“正方形角含半角模型”可得DFDHCF，DFBJFBDGF，所以DFDG，

16、从而求得CF的长 三峡练习题 1.给下列字注音。（5 分）阙（）湍（）涧（）曦（）啸（）溯（）漱（）嶂（）襄（）属（）2.填空题。（13 分）三峡选自 ，三峡是 、和 的总称，在重庆市和湖北宜昌之间。作者 ，字 ，学家。三峡一文中总写三峡地貌的句子是：JIHABCDEFG则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展精品好文档，推荐学习交

17、流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 故渔者歌曰：“，。”引用渔者歌谣的作用是 3.解释下列加点字的意思。（11 分）清荣峻茂，良多趣味（）两岸连山，略无阙处（）绝 巘多生怪柏（）（）至于夏水襄陵，沿 溯阻绝（）（）虽乘奔御风，不以疾也（）（）猿鸣三声泪沾裳（）空谷传响，哀转久绝（）自三峡七百里中（）4.区别下列加点字的古义和今义。（6 分）自非亭午夜分 古义：，今义：或王命急宣 古义：，今义：虽乘奔御风，不以疾也。古义：，今义：5.解释下列词句。（7 分）重岩叠嶂：素湍绿潭：清荣峻茂：林寒涧肃：晴初霜旦：自非亭午夜分，不见曦月：虽乘奔御风，不以疾也：（一）自三峡七百里中，两岸

18、连山，略无阙处。重岩叠嶂，隐天蔽日。自非亭午夜分，不见曦月。6.解释词语含义。（4 分）略无 嶂 蔽 曦 7.本段写出了三峡的什么特点？（2 分）8.结合有关语句，说一说三峡两岸山有什么特点。（试用两个字概括）（2 分）9.“重岩叠嶂”和“隐天蔽日”两句写景角度有什么不同？（2 分）（二）至于夏水襄陵，沿溯阻绝。故渔者歌曰：“巴东三峡巫峡长，猿鸣三声泪沾裳。则所以所以仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流而所以拓展如图在中点在上点在的三边长的三角形有一个内角度数为上且可以通过旋转翻折的方法将转移到一个三角形中如图正方形角含半角如图在正点作于点则如图连结交于点连结则如图将绕点逆时针旋转得到证明图则所以所以因为所以由可得四点共圆从而即拓展