最新二次函数典型例题解析与习题训练.pdf

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1、 二次函数典型例题解析与习题训练 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二次函数 一、知识点梳理 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，a0 a0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y随 x 的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y 有最小值，abac

2、y442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有

3、侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 （2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,a

4、aacbacabxxxxxxxxAB4442221221221214.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小：a0，开口向上；a0，开口向上，又y=x2x+m=x2x+（12）2 14+m=（x12）2+414m 对称轴是直线 x=12，顶点坐标为（12，414m）（2）顶点在 x 轴上方，顶点的纵坐标大于 0，即414m0 m14 m14时，顶点在 x 轴上方 （3）令 x=0，则 y=m 即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m）ABx 轴 B 点的纵坐标为 m 当 x2x+m=m 时，解得 x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m）在

5、 RtBAO 中，AB=1，OA=m SAOB=12OAAB=4 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 12m1=4，m=8 故所求二次函数的解析式为 y=x2x+8 或 y=x2x8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数 a，b，c 的符号与函数性质及位置的关

6、系是解答本题的关键之处 例 2 已知：m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标【分析】（1）解方程求出 m，n 的值用待定系数法求出 b，c的值（2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M，可求出D

7、MC，梯形 BDBO，BOC 的面积，用割补法可求出BCD 的面积 （3）PH 与 BC 的交点设为 E 点，则点 E 有两种可能：EH=32EP，EH=23EP 【解答】（1）解方程 x26x+5=0，得 x1=5，x2=1 由 mn，有 m=1，n=5 所以点 A，B 的坐标分别为 A（1，0），B（0，5）将 A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入 y=x2+bx+c，得10,5bcc 解这个方程组，得4,5bc 所以抛物线的解析式为 y=x24x+5 （2）由 y=x24x+5，令 y=0，得x24x+5=0 解这个方程，得 x1=5，x2=1 所以点 C 的坐标为（5，0），由顶点

8、坐标公式计算，得点 D（2，9）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，如图所示 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 则 SDMC=129（52）=272 S梯形MDBO=122（9+5）=14，SBDC=1255=252 所以 SBCD=S梯形MDBO+

9、SDMC SBOC=14+272252=15 （3）设 P 点的坐标为（a，0）因为线段 BC 过 B，C 两点，所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5 那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5），PH 与抛物线 y=x2+4x+5 的交点坐标为 H（a，a24a+5）由题意，得EH=32EP，即 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=32或 a=5（舍去）EH=23EP，得 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=23或 a=5（舍去）P 点的坐标为（32，0）或（23，0）例 3 已知关于 x 的二次函数 y=x2mx+212m

10、 与 y=x2mx222m，这两个二次函数的图像中的一条与 x 轴交于 A，B 两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过 A，B 两点；（2）若 A 点坐标为（1，0），试求 B 点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过 A，B 两点的二次函数，当 x 取何值时，y 的值随 x 值的增大而减小？【解答】（1）对于关于 x 的二次函数 y=x2mx+212m 由于 b24ac=（m）41212m=m220，所以此函数的图像与 x 轴有两个不同的交点 故图像经过 A，B 两点的二次函数为 y=x2mx222m （2）将 A（1，0）代入 y=x2mx222m 得 1+m222m=0 整理，得

11、 m22m=0 解得 m=0 或 m=2 当 m=0 时，y=x21令 y=0，得 x21=0 解这个方程，得 x1=1，x2=1 此时，点 B 的坐标是 B（1，0）当 m=2 时，y=x22x3令 y=0，得 x22x3=0 解这个方程，得 x1=1，x2=3 此时，点 B 的坐标是 B（3，0）（3）当 m=0 时，二次函数为 y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=0，所以当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 当 m=2 时，二次函数为 y=x22x3=（x1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=1，所以当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小【点评】本题

12、是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决 课堂习题 一、填空题 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1右图是二次函数 y1=ax2+bx+c

13、 和一次函数 y2=mx+n 的图像，观察图像写出 y2y1时，x的取值范围_ 2已知抛物线 y=a2+bx+c 经过点 A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是_ 3已知二次函数 y=x2+2x+c2的对称轴和 x 轴相交于点（m，0），则 m 的值为_ 4若二次函数 y=x24x+c 的图像与 x 轴只有 1 个交点，则 c=_ 5已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，2）与（1，4），则 a+c 的值是_ 6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为 P，羽毛球飞行的水平距离 s（m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为

14、h=112s2+23s+32如下左图所示，已知球网 AB 距原点 5m，乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点 C 的横坐标为 m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m 的取值范围是_ 7 二次函数 y=x22x3与 x 轴两交点之间的距离为_ 8杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/m2）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则 6 楼房子的价格为_元/m2 二、选择题 9二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下

15、列关系式不正确的是（）Aa0 Ca+b+c0 (第 9题)(第 12 题)(第 15 题)上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点 M（2，y1），N（1，y2），K

16、（8，y3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资

17、料-如有侵权请联系网站删除 （1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能 判断四边形 ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；18如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线 的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点 H，若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2：3的两

18、部分，请求出点 P 的坐标 19某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形 ACB，而且能通过最宽 3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值

19、用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 20已知一个二次函数的图像过如图所示三点 （1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y=254，抛物线与（3）x 轴交于 A，B 两点在抛物线的对称轴上找点 P，（4）使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标 21如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0，5），D（

20、1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 上无限延伸抛物线开口向下并向下无限延伸对称轴是对称轴是顶点坐标是顶点坐标是在对称轴的左侧即当时随的增大增大而减小抛物线有最低点当抛物线有最高点当时有最小值最小值时有最大值最大值用待定系数法求二次函数的解析联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值通常选择顶点式求抛物线