最新二次函数图像与系数关系.pdf

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1、 二 次 函 数 图 像 与 系 数 关 系(含 答 案)精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二次函数图像与系数关系 一选择题（共 9 小题）1（2013 义乌市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标为（1，n），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：当 x 3 时，y 0；3a+b 0；1 a；3 n 4 中，正确的是（）A B C D 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：计 算题；压轴题 分析：由抛物线的对称轴为直线 x=1，一个交点 A（1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即

2、可对于选项 作出判断；根据抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b=2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；根据两根之积=3，得到 a=，然后根据 c 的取值范围利用不等式的性质来求 a 的取值范围；把顶点坐标代入函数解析式得到 n=a+b+c=c，利用 c 的取值范围可以求得 n 的取值范围 解答：解：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴直线是 x=1，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3，0），根据图示知，当 x 3 时，y 0 故 正确；根据图示知，抛物线开口方向向下，则 a 0 对称轴 x=1，b=2a，3a+b

3、=3a 2a=a 0，即 3a+b 0 故 错误；抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（1，0），（3，0），1 3=3，=3，则 a=抛物线与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），2 c 3，1，即 1 a 故 正确；根据题意知，a=，=1，b=2a=，系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有

4、侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 n=a+b+c=c 2 c 3，c 4，即 n 4 故 错误 综上所述，正确的说法有 故选 D 点评：本 题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 2（2013 烟台）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（3，0）下列说法：abc 0；2a b=0；4a+2b+c 0；若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则 y1 y2其中说法正确的是（）A B C D 考点：二 次函数图象与系数的关

5、系 专题：压 轴题 分析：根 据图象得出 a 0，b=2a 0，c 0，即可判断；把 x=2 代入抛物线的解析式即可判断，求出点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当 x 1 时，y 随 x的增大而增大即可判断 解答：解：二次函数的图象的开口向上，a 0，二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，c 0，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，=1，b=2a 0，abc 0，正确；2a b=2a 2a=0，正确；二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（3，0）与 x 轴的另一个交点的坐标是（1，0），把 x=2 代入 y=ax 2+b

6、x+c 得：y=4a+2b+c 0，错误；二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为 x=1，点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 3，y2 y1，正

7、确；故选 C 点评：本 题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力 3（2013 十堰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0）下列结论：ab 0，b2 4a，0 a+b+c 2，0 b 1，当 x 1 时，y0，其中正确结论的个数是（）A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题 分析：由 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a、b 异号，由此确定 正确；由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2 4ac 0，又抛物线过点（0，1），得出

8、 c=1，由此判定 正确；由抛物线过点（1，0），得出 a b+c=0，即 a=b 1，由 a 0 得出 b 1；由 a 0，及 ab0，得出 b 0，由此判定 正确；由 a b+c=0，及 b 0 得出 a+b+c=2b 0；由 b 1，c=1，a 0，得出 a+b+c a+1+1 2，由此判定 正确；由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根之间时，函数值 y 0，由此判定 错误 解答：解：二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）过点（0，1）和（1，0），c=1，a b+c=0 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，x=0，a 与 b 异号，ab 0，正确

9、；抛物线与 x 轴有两个不同的交点，b2 4ac 0，c=1，b2 4a 0，b2 4a，正确；抛物线开口向下，a 0，ab 0，b 0 a b+c=0，c=1，a=b 1，a 0，b 1 0，b 1，0 b 1，正确；a b+c=0，a+c=b，a+b+c=2b 0 b 1，c=1，a 0，a+b+c=a+b+1 a+1+1=a+2 0+2=2，0 a+b+c 2，正确；抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0），设另一个交点为（x0，0），则 x00，由图可知，当 x0 x 1 时，y 0，错误；综上所述，正确的结论有 故选 B 点评：本 题主要考查二次函数图象与系数之

10、间的关系，不等式的性质，难度适中二次函数y=ax2+bx+c（a 0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数

11、，决定了 b2 4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换 4（2012 沙坪坝区模拟）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A abc 0 B a+c b C b 2a D 4a 2b c 考点：二 次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）专题：压 轴题 分析：由 抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答：解：A、图象开口向下，a 0，与 y 轴交于正半轴，c 0，对称轴在 y 轴左侧，0，b 0，abc 0，

12、故本选项错误；B、当 x=1 时，对应的函数值 y 0，即 a b+c 0，a+c b，故本选项错误；C、抛物线的对称轴为直线 x=1，又 a 0，b 2a，故本选项正确；D、当 x=2 时，对应的函数值 y 0，即 4a 2b+c 0，4a 2b c，故本选项错误 故选 C 点评：本 题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等 5（2013 鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab 0；a+b+c 0；b+2c 0；a 2b+4c 0；你认为其中正确信息的

13、个数有（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题 分析：由 抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答：解：如图，抛物线开口方向向下，a 0 对称轴 x=，b=a 0，ab 0故 正确；系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对

14、称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 如图，当 x=1 时，y 0，即 a+b+c 0 故 正确；如图，当 x=1 时，y=a b+c 0，2a 2b+2c 0，即 3b 2b+2c 0，b+2c 0 故 正确；如图，当 x=时，y 0，即 a b+c 0 a 2b+4c 0，故 正确；如图，对称轴 x=，则 故 正确 综上所述，正确的结论是，共 5 个 故选 D 点评：本 题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与

15、 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 6（2013 德州）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论：b2 4c 0；b+c+1=0；3b+c+6=0；当 1 x 3 时，x2+（b 1）x+c 0 其中正确的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题 分析：由 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b2 4c 0；当 x=1 时，y=1+b+c=1；当 x=3 时，y=9+3b+c=3；当 1 x 3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+c x，继而可求得答案 解答：解：函数 y=x2+bx

16、+c 与 x 轴无交点，b2 4c 0；故 错误；当 x=1 时，y=1+b+c=1，故 错误；当 x=3 时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 正确；当 1 x 3 时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+c

17、 x，x2+（b 1）x+c 0 故 正确 故选 B 点评：主 要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 7（2012 天门）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b 2a=0；abc 0；a 2b+4c 0；8a+c 0其中正确的有（）A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题 分析：首 先根据二次函数图象开口方向可得 a 0，根据图象与 y 轴交点可得 c 0，再根据二次函数的对称轴 x=，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为

18、 x=1，结合对称轴公式可判断出 的正误；根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b 0，根据 a、b、c 的正负即可判断出 的正误；利用 a b+c=0，求出 a 2b+4c 0，再利用当 x=4 时，y 0，则 16a+4b+c 0，由 知，b=2a，得出 8a+c 0 解答：解：根据图象可得：a 0，c 0，对称轴：x=0，它与 x 轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是 x=1，=1，b+2a=0，故 错误；a 0，b 0，c 0，abc 0，故 错误；a b+c=0，c=b a，a 2b+4c=a 2b+4（b a）=2b 3a，又由 得 b=2a，a 2b+4c=7a

19、0，故此选项正确；根据图示知，当 x=4 时，y 0，16a+4b+c 0，由 知，b=2a，8a+c 0；故 正确；故正确为：两个 系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故选：B 点评：此 题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 二次项系数

20、 a 决定抛物线的开口方向，当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左；当 a与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c）8已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，下列结论中：abc 0；2a+b 0；a+b m（am+b）（m 1 的实数）；（a+c）2 b2；a 1，其中正确的是（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 1 个 考点：二 次函数

21、图象与系数的关系 分析：由 抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答：解：抛物线的开口向上，a 0，与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，c 0，对称轴为 x=0，a、b 异号，即 b 0，又 c 0，abc 0，故本选项正确；对称轴为 x=0，a 0，1，b 2a，2a+b 0；故本选项错误；当 x=1 时，y1=a+b+c；当 x=m 时，y2=m（am+b）+c，当 m 1，y2 y1；当 m 1，y2 y1，所以不能确定；故本选项错误；当 x=1 时，a+b+c=0；当

22、x=1 时，a b+c 0；（a+b+c）（a b+c）=0，即（a+c）2 b2=0，（a+c）2=b2 故本选项错误；当 x=1 时，a b+c=2；当 x=1 时，a+b+c=0，a+c=1，a=1+（c）1，即 a 1；系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系

23、网站删除 故本选项正确；综上所述，正确的是 有 2 个 故选：A 点评：本 题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a 0；否则 a 0；（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x=判断符号；（3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c 0；否则 c 0；（4）b2 4ac 由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b2 4ac 0；1 个交点，b24ac=0，没有交点，b2 4ac

24、0 9（2013 莒南县二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc 0；b a+c；4a+2b+c 0；2c 3b；a+b m（am+b）（m 1 的实数）其中正确的结论有（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题；数形结合 分析：观 察图象：开口向下得到 a 0；对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b 0；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方得到 c 0，所以 abc 0；当 x=1 时图象在 x 轴下方得到 y=a b+c0，即 a+c b；对称轴为直线 x=1，可得 x

25、=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c 0；利用对称轴 x=1 得到 a=b，而 a b+c 0，则 b b+c 0，所以 2c 3b；开口向下，当x=1，y 有最大值 a+b+c，得到 a+b+c am2+bm+c，即 a+b m（am+b）（m 1）解答：解：开口向下，a 0；对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，则 b 0；抛物线与 y 轴的交点在 x轴的上方，c 0，则 abc 0，所以 不正确；当 x=1 时图象在 x 轴下方，则 y=a b+c 0，即 a+c b，所以 不正确；对称轴为直线 x=1，则 x=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c 0，所以 正

26、确；x=1，则 a=b，而 a b+c 0，则 b b+c 0，2c 3b，所以 正确；开口向下，当 x=1，y 有最大值 a+b+c；当 x=m（m 1）时，y=am2+bm+c，则 a+b+cam2+bm+c，即 a+b m（am+b）（m 1），所以 正确 故选 B 点评：本 题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象，当 a 0，开口向上，函数有最小值，a 0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线 x=，a 与 b同号，对称轴在 y 轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当 c 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当=b2

27、 4ac 0，抛物线与 x 轴有两个交点 二填空题（共 1小题）10（2013柳林县一模）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0）图象的对称轴是直线 x=1，其图象的一部分如图所示对于下列说法：abc 0；当 1 x 3 时，y 0；3a+c 0；a b+c 0，其中正确的是（把正确的序号都填上）系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴

28、的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 考点：二 次函数图象与系数的关系 分析：由 抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答：解：根据图象可得：a 0，b 0，c 0 则 abc 0，故 正确；当 1 x 3 时图象在 x 轴的上方，且有的点在 x 轴的下方，故 错误；根据图示知，该抛物线的对称轴直线是 x=1，即=1，则 b=2a那么当 x=1 时，y=a b+c=a+2a+c=3a+c 0，故 正确；当

29、 x=1 时，y=a b+c 一定在 x 轴的下方，因而 a b+c 0，故 正确 故答案是：点评：主 要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用（2013 绵阳）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：2a+b 0；b a c；若 1 m n 1，则 m+n；3|a|+|c|2|b|其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）考点：二 次函数图象与系数的关系 专题：压 轴题 分析：分 别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与 y 轴交点得出 a，b，c 的符号，再利用特殊值法

30、分析得出各选项 解答：解：抛物线开口向下，a 0，2a 0，对称轴 x=1，b 2a，2a+b 0，故选项 正确；b 2a，b 2a 0 a，令抛物线解析式为 y=x2+bx，此时 a=c，欲使抛物线与 x 轴交点的横坐标分别为 和 2，则=，系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料

31、-如有侵权请联系网站删除 解得：b=，抛物线 y=x 2+x，符合“开口向下，与 x 轴的一个交点的横坐标在 0 与 1 之间，对称轴在直线 x=1 右侧”的特点，而此时 a=c，（其实 a c，a c，a=c 都有可能），故 选项错误；1 m n 1，2 m+n 2，抛物线对称轴为：x=1，2，m+n，故选项 正确；当 x=1 时，a+b+c 0，2a+b 0，3a+2b+c 0，3a+c 2b，3a c 2b，a 0，b 0，c 0（图象与 y 轴交于负半轴），3|a|+|c|=3a c 2b=2|b|，故 选项正确 故答案为：点评：此 题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出 m+n 的取值范围是解题关键 系数的关系专题计算题压轴题分析由抛物线的对称轴为直线一个交点得到另一个交点坐标利用图象即可对于选项作出 根据的取值范围利用等式的性质来求的取值范围把顶点坐标代入函数解析式得到利用的取值范围可以求得的取值范围 物线开口方向向下则对称轴即故错误抛物线与轴的两个交点坐标分别是则抛物线与轴的交点在之间包含端点即故正确