最新二次函数复习专题讲义.pdf

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1、 二 次 函 数 复 习 专 题 讲 义 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第 1-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】一、网络框架 二、清单梳理 1、一般的，形如2(0,)y ax bx c a a b c 是常数 的函数叫二次函数。例如2 2 2 212,2 6,4,5 9 63y x y x y x x y x x 等都是二次函数。注意：系数a不能为零，,b c可以为零。2(0)0=0 0=00 0 00 0 0y ax aya y a ya x y x x y xa x y x x y x 最小值 最大值概念：形如 的函数简单二次函数 图像：是过

2、（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质 最值：当 时，；当 时，当 时，在对称轴左边（即）,随 的增大而减小。在对称轴右边（即）,随 的增大而增大。增减性当 时，在对称轴左边（即）,随 的增大而增大。在对称轴右边（即）,随 的增大而减小。二次函数222 2(0)0 042 424 40=0=4 40y ax bx c aa ab ac ba abxaac b ac ba y a ya aa 最小值 最大值概念：形如 的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线 顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当 时，当 时，一般二次函数性质：当 时，在

3、对称轴左增减性：2 202 2b bx y x x y xa ab ba x y x x y xa a 边（即-）,随 的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随 的增大而增大。当 时，在对称轴左边（即-）,随 的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随 的增大而减小。待定系数法求解析式应用 与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小

4、值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：2(0,)y ax bx c a a b c 是常数 顶点式：2()(,0)y a x h k a h k a 为常数，且，顶点坐标为(,)h k 交点式：1 2 1 2()()(0,)y a x x x x a x x x 其中 是抛物线与 轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,a b c之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0 a 时，开口方向向上；当0 a 时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，

5、则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当0 c 时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方）；当0 c 时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当0 c 时，抛物线过原点。反之，也成立。a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。当 02ba 时，对称轴在y轴右边；当 02ba 时，对称轴在y轴左边；当 02ba（即当0 b 时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1 x 时，有y a b c；当1 x 时，有y a b c。反之也成立。4、二次函数2()y a x h k 的图像可由抛物线2y ax 向上（向下），向左（向右）

6、平移而得到。具体为：当0 h 时，抛物线2y ax 向右平移h个单位；当0 h 时，抛物线2y ax 向左平移h 个单位，得到2()y a x h；当0 k 时，抛物线2()y a x h 再向上平移k个单位，当0 k 时，抛物线2()y a x h 再向下平移k 个单位，而得到2()y a x h k 的图像。增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是

7、常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 5、抛物线 2(0)y ax bx c a 与一元二次方程 20(0)ax bx c a 的关系：若抛物线2(0)y ax bx c a 与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a 有两个不相等的实根。若抛物线2(0)y ax bx c a 与x轴有一个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a 有两个相等的实根（即一根）。若抛物线2(0)y ax bx c a 与x轴无交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a 没有实根。6、二次函数2(0,)y ax bx c a

8、a b c 是常数 的图像与性质 关系式 2(0)y ax bx c a 2()(0)y a x h k a 图像形状 抛物线 顶点坐标 24(,)2 4b ac ba a(,)h k 对称轴 2bxa x h 增 减 性 0 a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或x h，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或x h，y随x的增大而增大；0 a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或x h，y随x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或x h，y随x的增大而减小；最大值最小值 0 a 当2bxa 时，24=4ac bya最小值 当x h 时，=k y最小值 增大而减小在对称轴右边即

9、随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 0 a 当 2bxa 时，24=4ac bya最大值 当x h 时，=k y最大值 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴

10、左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（）2.8 1 A y x.8 1 B y x 8.C yx 23.4 D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中 28 1 y x 符合 2(0)y ax bx c a 的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例 函数，D中右边 234x 不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2

11、】已知函数 22 3 4(2)3(1)m my m m x mx m 是二次函数，则m _。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有222 03 4 2m mm m，解得0 21 2m mm m 且或，综上所述，m取1。【答案】1【针对训练】1、若函数22(2)my m x mx 是二次函数，则该函数的表达式为_ y。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小

12、在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 1】已知点 8,a在二次函数 2ax y 的图象上，则a的值是（）2.A 2.B.C 2 2.D【解析】因为点 8,a在二次函数2ax y 的图象上，所以将点 8,a代入二次函数2ax y 中，可以得出 3a8，则可得2 a，【答案】.A【例 2】（2011，泰安）若二次函数 c bx ax y 2的x与y的部分对应值如下表，则当1 x时，y的值为（）x 7 6 5 4 3 2 y 27

13、13 3 3 5 3 5.A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析式为 k h x a y 2，因为当4 x或2 时，3 y，由抛物线的对称性可知3 h，5 h，所以 5 32 x a y，把 3,2 代入得，2 a，所以二次函数的解析式为 5 3 22 x y，当3 x时，27 y。【答案】C【针对训练】1、(2002 年太原)过 0,1,0,3,2,1三点的抛物线的顶点坐标是（）.A 2,1 2.(1,)3B 5,1.C 14.(2,)3D 2、无论m为何实数，二次函数2x y m x m 2的图象总是过定点（）3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1 D 增大而减小在对称轴右

14、边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 c bx ax y 2的图象顶点为 2,2.A，且过点 2,0 B，则y与x的函数关系式为（）.A22 x y.B 2 22 x y.C 2 22 x y.D 2 2

15、2 x y【解析】设这个二次函数的关系式为 2 2 2 x a y，将 2,0 B代入得 2 2 0 22，解得：1 a，故这个二次函数的关系式是 2 22 x y，【答案】D【针对训练】1、二次函数212y x bx c 的顶点为(2,1)，则二次函数的解析式为_.【例 4】二次函数2y x bx c 过点(3,0)(1,0)、，则二次函数的解析式为_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,a b c的关系）【例 1】（2012，兰州）已知二次函数b x a y 2)1()0(a有最小值 1，则a、b的大小关系为（）.A b a.B b a.C b a.D不能确定【考点】涉及二次函

16、数顶点坐标和最值 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【解析】因为二次函数 b x a y 2)1()0(a有最小值 1，所以 0 a，1 b，1 b，所以 b a。【答案】.A【针对训练】1、二次函数 1 4 22 x x y 的最小值是。2、（2013

17、，兰州）二次函数 3)1(22 x y 的图象的顶点坐标是（）.A)3 1(，.B)3 1(，.C)3 1(，.D)3 1(，3、抛物线)2(x x y的顶点坐标是（）.A)1 1(，.B)1 1(，.C)1 1(，.D)1 1(，【例 2】（2012，兰州）抛物线 3)2(2 x y 可以由抛物线 2x y 平移得到，则下列平移过程正确的是（）.A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题 增大而减小在对称轴右边即随

18、的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【解析】抛物线 2x y 向左平移 2 个单位可得到抛物线 2)2(x y，再向下平移 3 个单位可得到抛物线 3)2(2 x y。【答案】.B【针对训练】1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2x y；（2）2x y；（3）2)1(2 x

19、y。其中，图象通过平移可以得到函数3 22 x x y 的图象的有（填写所有正确选项的序号）。2、（2009，上海）将抛物线 22 x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。3、将抛物线2x y 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（）.A22 x y.B 2)2(x y.C 2)2(x y.D22 x y 4、将抛物线2(0)y ax bx c a 向下平移 3 个单位，在向左平移 4 个单位得到抛物线22 4 5 y x x，则原抛物线的顶点坐标是 _。【例 3】（2013，长沙）二次函数 c bx ax y 2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）

20、.A 0 a.B 0 c.C0 42 ac b.D 0 c b a【考点】图像与系数的关系 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与 y轴的交点在 y轴的正半轴上，与 x轴有两个交点，所以 0 a，0 c

21、，0 42 ac b，且当1 x时，0 c b a y。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。【答案】.D【例 4】（2011，山西）已知二次函数 c bx ax y 2的图象如图所示，对称轴为直线1 x，则下列结论正确的是（）.A 0 ac.B方程02 c bx ax的两根是11 x，32 x.C 0 2 b a.D当0 x时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0 a，0 c，故 A 错误；因对称轴为直线1 x，所以12 ab，故 C 错误；由图象可知当0 1 x时，y随x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B选项正确，【答案】.B【

22、针对训练】1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数 m mx y 和函数2 22 x mx y（m 是常数，且 0 m）的图象可能是（）增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除.A.B.C.D 2、（2011，重庆）已知抛物线 c bx ax y

23、 2)0(a 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）.A0 a.B0 b.C0 c.D 0 c b a 3、在反比例函数中xay)0(a，当 0 x 时，y 随 x的增大而减小，则二次函数 ax ax y 2的图象大致是（）.A.B.C.D 4、如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a 的图像经过(1,2)A，且与 x 轴的交点的横坐标分别为1 2,x x，其中1 22 1,0 1 x x，下列结论：4 2 0 a b c；2 0 a b；1 a；28 4 b a ac，其中正确的选项有_。增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增

24、大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 5】已知关于 x 的函数 24 3 y x x，求当 1 1 x 时函数的最大值和最 小值【针对训练】1、已知函数 22 4 1 y x x，试求当 1 2 x 的最大值和最小值 2、已知函数 22 4|1 y x x，试求当 1 2 x 的最大值和最小值【例 6】已知二次函数 2(0)

25、y ax bx c a 其中 a b c、满足 0 a b c 和9 3 0 a b c，则该二次函数的对称轴是直线 _。【针对训练】增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1、已知 1 2(,2002)(,2002)A x B x、是二次函数25(0)y

26、ax bx a 的图像上的两点，则当1 2x x x 时，二次函数的值是 _.【例 7】已知二次函数22 2 y x mx，当 2 x 时，y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 _。【针对训练】1、若二次函数2()1 y x m，当 1 x 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 _。讲到这儿了 考点四：二次函数的实际应用【例 1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y（元）x 与月份（9 1 x，且 x 取整数）之间的函数关系如下表：月份 x 1

27、2 3 4 5 6 7 8 9 价格1y（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原 材料价格 2y（元

28、）与月份 x（10 x 12，且 x 取整数）之间存在如图所示的变 化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关 知识，直接写出 1y与 x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写 出 2y与 x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 1p（万件）与月份 x 满足函数关系 式 1.1 1.01 x p（1 x 9，且 x 取整数）10 至 12 月的销售量2p（万件）与月份 x 满足函数关系式9.2 1.02 x p（10 x

29、12，且 x 取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少%1.0 a 这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出 a 的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称

30、轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1y的解析 式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得 2y的解析式，；（2）分 情况

31、探讨得：1 x 9 时，利润=1p（售价 各种成本）；10 x 12 时，利润=2p（售价 各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：（1）设 b kx y，则 580 2560b kb k，解得5420bk，540 201 x y（1 x 9，且 x 取整数）；设b ax y 2，则 75 1273 10b ab a，解得6310ba，630 102 x y（10 x 12，且 x 取整数）；（2）设去年第 x 月的利润为 W 元 1 x 9，且 x 取整数时450)4(2 418 16 2)30 50 1000(2 21

32、 1 x x x y p W x=4 时，W最大=450 元；10 x 12，且 x 取整数时，22 2)29()30 50 1000(x y p W x=10 时，W 最大=361 元；（3）去年 12 月的销售量为 0.1 12+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60 元 5 1000（1+%a）810 60 30 1.7（1 0.1%a）=1700，设%a t，整理得0 10 99 102 t t，增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴

33、一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解得 209401 99 t 9401 更接近于 9409，97 9401，1t0.1，2t9.8，1a10 或2a980，1.7（1 0.1%a）1，a 10【答案】（1）630 102 x y（10 x 12，且 x 取整数）；（2）x=10 时，W最大=361 元；（3）a 10【针对训练】1、（2013 湖北孝感）在“母亲节”前夕

34、，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数。（1）求 y 与 x满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大？增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减

35、 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直 线 1 x y与二次函数的图象交于 B A,两点，其中点 A在 y 轴上（1）二次函数的解析式为 y=；（2）证明点)1 2,(m m不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若 C 为线段 AB的中点，过 C 点作 x CE 轴于 E 点，C

36、E 与二次函数的图象交于 D 点 y 轴上存在点 K，使以C D A K,为顶点的四边形是平行四边形，则 K K 点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点 P，使得ABD POES S 2？求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为)0,2(，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上，得到 m 的一元二次方程，求根的判别式（3）由直线1 x y与二次函数的图象交于B A,两点，解得B A,两点坐标，求出 D 点坐标，设 K 点坐标),0(a，使C D A K,为

37、顶点的四边形是增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 平行四边形，则 DC KA，且 DK BA/，进而求出 K 点的坐标 过点 B 作x BF 轴于 F，则 AO CE BF/，又 C 为 AB中点，求得 B 点坐标，可得到ABD POES S 2，设)1

38、41,(2 x x x P，由题意可以解出 x（1）解：1412 x x y（2）证明：设点)1 2,(m m在二次函数1412 x x y的图象上，则有：1411 22 m m m，整理得0 8 42 m m，0 16 8 4)4(2 原方程无解，点)1 2,(m m不在二次函数1412 x x y的图象上（3）解：)3,0(K或)5,0(二次函数的图象上存在点 P，使得ABD POES S 2，如图，过点 B 作 x BF 轴于 F，则 AO CE BF/，又 C 为 AB中点，EF OE，由于1412 x x y和1 x y可求得点)9,8(B)5,4(),1,4(),0,4(C D E

39、 x AD/轴，16 4 4212 2 ABD POES S 设)141,(2 x x x P，由题意得：2 221)141(4212 2 x x x x SPOE ABD POES S 2 32 2 2212 x x 解得 6 x 或 10 x，增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好

40、资料-如有侵权请联系网站删除 当 6 x 时，16 1 6 3641 y，当 10 x 时，16 1 10 10041 y，存在点)16,6(P和)16,10(P，使得ABD POES S 2【答案】（1）1412 x x y；（2）见上述解答过程；（3）存在，点)16,6(P和)16,10(P【例 3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线28 25y x bx c 经过点3(,0)2A和点(1,2 2)B，与 x轴的另一个交点为 C。（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D在对称轴的右侧、x轴上方的抛物线上，且 BDA DAC，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD，交抛物线对称轴于

41、点 E，连接 AE。判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由；点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD 上的一个动点，且点 M 和点 B 不重合，当13BMF MFO 时，请直接写出线段 BM 的长 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【答案】（1）

42、28 2 42 2 2 28 2(2 3)(2 7)5 5 5y x x x x（2）/(4,2 2)BD AC D（3）平行四边形；12或52【针对训练】1、（2012，泉州）如图，O 为坐标原点，直线 l 绕着点)2,0(A 旋转，与经过点)1,0(C 的二次函数 h x y 241的图象交于不同的两点 Q P、（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出 POQ 的面积的最小值（不必说理）；（3）过点 C P、作直线，与x轴交于点B，试问：在直线 l 的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对

43、称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【基础闯关】1、已知二次函数 c bx ax y 2的图象如图所示，那么这个函数的解析式为_。2、已知二次函数 13 12 32 x x y，则函数 y 的最小值是_。3、把抛物线22 x y 向上平移 5 个单位，所得抛物线的解析式为_。4、（2011，济宁）将二次函数

44、 5 42 x x y 化成 k h x y 2)(的形式，则 y_。5、（2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（）.A22 x x y.B22 x x y.C22 x x y.D22 x x y 6、已知函数 c bx ax y 2)0(a 的图象如图所示，则函数b ax y 的图象是（）增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次

45、函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除.A.B.C.D 7、（2013，兰州）二次函数3 1 22）（x y的图象的顶点坐标是（）.A（1，3）.B（1，3）.C（1，3）.D（1，3）8、（2013，泰安）对于抛物线 3)1(212 x y，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 1 x；顶点坐标为（1，3）；1 x 时，y 随 x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）.A 1.B2.C3.D4 9、（2013，贵阳）已知：直线 b ax y 过抛物线 3 22 x x y 的顶点 p，如图所示（1）顶点 p 的坐标是 _（2）若直线 b ax y

46、经过另一点 A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线 n mx y 与直线b ax y 关于 x轴成轴对称，求直线 n mx y 与抛物线 3 22 x x y 的交点坐标 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 10、（20

47、10，虹口区一模）已知二次函数 3 22 x x y，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为 k m x a y 2)(的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况【拓展提高】1、将二次函数 3)1(22 x y 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位，那么平移后的 二次函数图象的顶点坐标是。2、若抛物线 m x x y 22的最低点的纵坐标为 n，则 n m 的值是。3、抛物线 c bx ax y 2的顶点坐标是 3,1，且过点 5,0，那么二次函数 c bx ax y 2的解析式为（）.A 5 4 22 x x y.B 5 4 22 x x y.C 1

48、4 22 x x y.D 3 4 22 x x y 4、（2010，兰州）抛物线 c bx x y 2图象向右平移 2 个单位再向下平移 3个单位，所得图象的解析式为 3 22 x x y，则 b、c的值为（）.A 2 b，2 c.B 2 b，0 c.C 2 b，1 c.D 3 b，2 c 增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大增减性当时在对称轴左边即随的增大而增大在对称轴右边即随的增大而减 物线顶点坐标对称轴一般二次函数最值当时性质当时在对称轴左边即随的增大而减小在对称轴右边即随的增大而增大 程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题当时最大值最小值二清单梳理一般的形如是常数的函数叫二次函数例

49、如精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 5、（2010，兰州）抛物线 c bx ax y 2图象如图所示，则一次函数24 b ac bx y 与反比例函数xc b ay 在同一坐标系内的图象大致为（）.A.B.C.D 6、（2012，南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（）.A k=n.B h=m.C k n.D h 0，k 0 7、（2010，北京）将二次函数 3 22 x x y 化为 k h x y 2)(的形式，结果为（）.A 4)1(2 x y.B 4)1(2 x y.C 2)1(2 x y.

50、D 2)1(2 x y 8、（2012，重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行 1至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份 x（1 x6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x（月）1 2 3 4 5 6 输送的污水量 y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 7至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份x（7x12，且x取整数）之间满足