《数学分析》教案第三章 函数极限.pdf

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1、 数学分析教案-第三章 函数极限 _ _ 第三章 函数极限 在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列na这种变量即是研究当n时，na的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列na可视为一种特殊的函数f，其定义域为N，值域是na，即:()nfNR na;或(),nf nanN或()nf na.研究数列na的极限，即是研究当自变量n时

2、，函数()f n变化趋势.此处函数()f n的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n.但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为xR，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于x 一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.xf xx 类似于数列，可考虑自变量x 时，()f x的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x 时，()f x的变化趋势；还可考虑自变量x 时，()f x的变化趋势；还可考虑自变量xa时，()f x的变化趋势,._ _ 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这

3、种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.1 函数极限的概念 教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限 教学要求：掌握当0 xx；x；x；x；0 xx；0 xx时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义对多数学生要求主要掌握当0 xx 时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.一、x 时函数的极限(一)引言 设函数定义在,)a 上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 时，对应的函数值能否

4、无限地接近于某个定数.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.例如 1(),f xxx无限增大时，()f x无限地接近于 0；(),g xarctgx x无限增大时，()f x无限地接近于2；(),h xx x无限增大时，()f x与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x 时，()f x的变化_ _ 趋势.我们把象()f x，()g x这样当x 时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当x 时有极限”.问题 如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x 时函数极限的精确定义如下.(二)x 时函数极限的定义 定义 1 设f为定义在,)a 上的函数，为实

5、数.若对任给的0，存在正数()a，使得当xM时有|()|f xA,则称函数f当x 时以为极限.记作 lim()xf xA或()()f xA x.(三)几点注记 1、义 1 中作用与数列极限中作用相同，衡量()f x与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数x，而不仅仅是正整数 n.2、lim()xf xA的邻域描述：,(),U 当()xU时，()(;).f xU A 3、lim()xf xA的几何意义：对，就有yA 和yA 两条直线，形成以为中心线，以2为宽的带形区域.“当xM时有_ _|()|f xA”表示：在直线xM的右方，曲线()y

6、f x全部落在这个带形区域内.如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线xM一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线()yf x在xM的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记f为定义在()U 或()U 上的函数，当x 或x 时，若函数值()f x能无限地接近于常数，则称f当x 或x 时时以为极限，分别记作，lim()xf xA或()()f xA x，lim()xf xA或()()f xA x.这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，简写如下：lim()xf xA0,0,M 当xM 时，|()|f xA，lim()xf xA0,0,M 当|xM时，|()|f xA.5、推

7、论 设()f x为定义在()U 上的函数，则 lim()xf xAlim()lim()xxf xf xA.(四)利用lim()xf x的定义验证极限等式举例 例 1 证明 1lim0 xx.例 2 证明 1）lim2xarctgx；2）lim2xarctgx.二、0 xx时函数的极限(一)引言 _ _ 上节讨论的函数f当x 时的极限，是假定f为定义在,)a 上的函数，这事实上是()U，即f为定义在()U 上，考虑x 时()f x是否趋于某个定数.本节假定f为定义在点0 x的某个空心邻域00Ux内的函数，.现在讨论当00()xxxx时，对应的函数值能否趋于某个定数数列.先看下面几个例子：例 1(

8、)1(0)f xx.（()f x是定义在0(0)U上的函数，当0 x 时，()1f x）.例 2 24()2xf xx.（()f x是定义在0(2)U上的函数，当2x 时，()4f x）.例 3 1()f xx.（()f x是定义在0(0)U上的函数，当0 x 时，()?f x）.由上述例子可见，对有些函数，当00()xxxx时，对应的函数值()f x能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当00()xxxx时，()f x的变化趋势.我们称上述的第一类函数()f x为当0 xx时以为极限，记作0lim()xxf xA.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的

9、数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x越来越接近于0 x时，函数值()f x越来越接近于一个定数”只要x充分接近0 x，函数值()f x和的相差就会相当小欲使_ _|()|f xA相当小，只要x充分接近0 x就可以了.即对0,0 ，当00|xx 时，都有|()|f xA.此即0lim()xxf xA.(二)00()xxxx时函数极限的 定义 定义 2 设函数()f x在点0 x的某个空心邻域00;Ux内有定义，为定数，若对任给的0,()0 ，使得当00|xx 时有|()|f xA，则称函数f当 x趋于0 x时以为极限（或称为0 xx时()f x的极限），记作0

10、lim()xxf xA或（0()()f xA xx.(三)函数极限的 定义的几点说明 1、|()|f xA 是结论，00|xx 是条件，即由00|xx 推出.2、是表示函数()f x与的接近程度的.为了说明函数()f x在0 xx的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的.这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当00|xx 时|()|f xA 成立.这即的第二特性暂时固定性.即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则2,2均为任意正数，均可扮演的角色.也即的第三个特性多值性；（|()|f xA|()|f xA）3、是表示x与0 x的接近程

11、度，它相当于数列极限的N定义中的.它的第一个特性是相应性.即对给定的0，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为0(;)x；一般说来，越小，越小.但是，定义中是要求由00|xx 推出|()|f xA 即可，故若满足此要求，则,2 3等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的.这即的第二个特性多值性._ _ 4、在定义中，只要求函数f在0 x的某空心邻域内有定义，而一般不要求f在0 x处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于0 x的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑f在点 a 的函数值是否存在，或取何值，因而限

12、定“00|xx”.5、定义中的不等式00|xx 00(,)xUx；|()|()(;)f xAf xU A .从而定义 20,0 ，当00(,)xUx时，都有()(;)f xU A0,0 ，使得00(,)(;)f UxU A.6、定义的几何意义.例 1 设24()2xf xx，证明：2lim()4xf x.例 2 设()1(0)f xx，讨论0 x 时()f x的极限.例 3 证明 1）00lim sinsinxxxx；2）00lim coscosxxxx.例 4 证明 22112lim213xxxx.例 5 证明 0220lim11xxxx0(|1)x.例 6 证明 000lim,limxxx

13、xCCxx.例 7 证明 )0(11limaaxax.证明 注意到axaxax11，要想它任意小，ax可任意小，x却不能任意小，当ax 时，它必须远离零点.当2aax时，2aaxax就远离零点了._ _ 0,取)2,2min(2aa，则当ax0时,有2|211aaxax.例 8 证明 axaxlim.证明 先设0a，要证0lim0 xx，0，要使 xx,取2，则当x0时，有 xx，即 0lim0 xx.再设0a，0,要使 ax，注意到 axaaxaxax1，只要 axa1,且0 x，取)2,min(aa，则当ax0时，有 ax，即 axaxlim.例 9 验证.222lim22xxxx 证明

14、.42 2 2 4 24 222 2423222xxxxxxxxxxxx 例 10 验证.512372933lim2233xxxxxx 证明 由,3x 512)3()12()3()3(512372933 2223xxxxxxxxx=.12395125395 512123 2xxxxxxxx 为使,11635615595xxx 需有;13 x _ _ 为使,1325562 12xxx 需有.23 x 于是,倘限制 130 x,就有 512372933 223xxxxx 12395xxx .3111311xx.三、单侧极限(一)引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 21,0(

15、),0 xxf xx x 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2(),0fxx x.这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论1()f x在0 x 时的极限.要在0 x 的左右两侧分别讨论.即当0 x 而趋于 0时，应按21()f xx来考察函数值的变化趋势；当0 x 而趋于 0 时，应按1()f xx来考察函数值的变化趋势；而对2()fx，只能在点0 x 的右侧，即0 x 而趋于 0 时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念.(二)单侧极限的定义 定义 3 设函数f在00(;)Ux内有定义，为定数.若对任给的0,()0

16、，使得当00 xxx 时有|()|f xA,则称数为函数f当x趋于0 x时的右极限，记作 0lim()xxf xA或0()()f xA xx或0(0)f xA._ _ 类似可给出左极限定义（00(;)Ux，00 xxx ，0lim()xxf xA或0()()f xA xx或0(0)f xA）.注 右极限与左极限统称为单侧极限.(三)例子 例 1 讨论函数1()f x在0 x 的左、右极限.例 2 讨论sgn x在0 x 的左、右极限.例 3 讨论函数21x在1处的单侧极限.(四)函数极限0lim()xxf x与00lim(),lim()xxxxf xf x的关系 定理 3.1 000lim()

17、lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA.证明 必要性:0,由Axfxx)(lim0,0,使得当00 xx时，有Axf)(，特别地当00 xx时，有Axf)(，故Axfxx)(lim00.同理当xx00时，也有Axf)(,故Axfxx)(lim00.充分性:0,由Axfxx)(lim00，01,使得当100 xx时，有Axf)(,又由Axfxx)(lim00,02,使得当200 xx时，有Axf)(.令),min(21,当00 xx时，有Axf)(，故Axfxx)(lim0.注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知：10lim()0 xf x.还可说明某些函数极限

18、不存在，如由例 2 知0limsgnxx不存在.2）0(0)f x，0(0)f x，0()f x可能毫无关系，如例 2._ _ 2 函数极限的性质 教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.在1 中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、lim()xf x；2、lim()xf x；3、lim()xf x；4、0lim()xxf x;5、0lim()xxf x；6、0lim()xxf x._ _ 它们具有与数列极限相类似的一些性质

19、，下面以0lim()xxf x为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质 性质 1（唯一性）如果)(limxfax存在，则必定唯一.证法一 设)(limxfaxA，Bxfax)(lim,则,0,01当1|0ax时，|)(|Axf,(1),02当2|0ax时，|)(|Bxf.(2)取 2,1min，则当ax0时（1）和（2）同时成立.因而有 2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA,(3)由的任意性，（3）式只有当0 BA时，即BA时才成立._ _ 证法二 反证,如)(limxfaxA，Bxfax)(lim且BA，取20BA，则0，

20、使当ax0时，00)(,)(BxfAxf,即 2)(200BABxfABA 矛盾.性质 2（局部有界性）若0lim()xxf x存在，则f在0 x的某空心邻域内有界.证明 取10,由 Axfxx)(lim0,0,当00 xx时,有1)(Axf,即 1)()(AAxfAxf，说明)(xf在);(00 xU上有界，1A就是一个界.性质 3（保序性）设bxfax)(lim，cxgax)(lim.1）若cb，则00，当00ax时有)()(xgxf；2）若00，当00ax时有)()(xgxf，则cb.（保不等式性）证明 1）取20cb 即得.2）反证，由 1）即得.注 若在 2）的条件中,改“)()(x

21、gxf”为“)()(xgxf”,未必就有.BA 以 0 ,1)(,1)(02xxgxxf举例说明.推论（局部保号性）如果bxfax)(lim且0b，则00使当00ax时)(xf与b同号._ _ 性质 4（迫敛性）设00lim()lim()xxxxf xh xA，且在某00(;)Ux内有()()()f xg xh x，则0lim()xxh xA.证明 0,由Axfxx)(lim0，01，使得当100 xx时，有Axf)(，即 AxfA)(.又由Axhxx)(lim0，02，使得当200 xx时，有 Axh)(，即AxhA)(.令),min(21，则当00 xx时，有AxhxgxfA)()()(即

22、 Axg)(，故 Axgxx)(lim0.性质 6（四则运算法则）若0lim()xxf x和0lim()xxg x都存在，则函数,fg fg当0 xx时极限也存在，且 1）000lim()()lim()lim()xxxxxxf xg xf xg x；2）000lim()()lim()lim()xxxxxxf xg xf xg x.又若0lim()0 xxg x，则fg当0 xx时极限也存在，且有 3）000lim()()lim()lim()xxxxxxf xf xg xg x.3）的证明 只要证Bxgxx1)(1lim0，令020B，由Bxgxx)(lim0，01使得当100 xx时，有2)(

23、BBxg，即 22)()(BBBBxgBxg.0,仍然由Bxgxx)(lim0，02,使得当200 xx时，有2)(2BBxg.取),min(21，则当00 xx时，有 22)(2)()(1)(1222BBBxgBBxgBxgBxg 即 Bxgxx1)(1lim0.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 _ _ 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim0000000 xxxxxxCCxxxxxxxx .2lim ,01limarctgxxxx （注意前四个极限中极限

24、就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例 1 求01limxxx.例 2 求4lim(1)xxtgx.例3 求3113lim()11xxx.例 4 .523735lim233xxxxx 例 5 .11lim1071xxx 利用公式121(1)(1)nnnaaaaa .例 6 .2122lim221xxxxx 例 7 .53132lim22xxxx 例 8 .23)102sin(lim254xxxxx 例 9 .1111lim30 xxx _ _ 3 函数极限存

25、在条件 教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性.教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路.教学重点：海涅定理及柯西准则.教学难点：海涅定理及柯西准则 运用.教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是_ _ 否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.本节的结论只对0 xx这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.首先介绍一个很主要的结果海涅(Heine)

26、定理（归结原则）.一、归结原则 定理 1（Heine 定理）设f在00(;)Ux内有定义，0lim()xxf x存在对任何含于00(;)Ux且以0 x为极限的数列nx，极限lim()nnf x都存在且相等.证明 必要性:在0Ux中任取序列nx，且0limxxnn，要证Axfnn)(lim.0，由Axfxx)(lim0，0，使得当00 xx时，有Axf)(.对于0，由0 xxn，N，使得当Nn 时，有00 xxn，于是当Nn 时，有Axfn)(，即Axfnn)(lim.充分性:如果不然，即0 xx 时，)(xf不以A为极限，则00，0，0000)(xxxUx，使得0)(Axf.令),2,1(1n

27、n，则nxxxUxnn10,)(000，使得0)(Axfn.对于序列nx，0 xxn，0nxUx，但0)(Axfn，显然与条件Axfnn)(lim矛盾.判断)(lim0 xfxx不存在之方法：在0Ux中找到两个序列nx和nx都趋向于0 x，两个极限)(limnnxf和)(limnnxf都存在，但不相等，这实际上是充_ _ 要条件，充分性的证明用本节定理就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性.注 1 ()nf x是数列，lim()nnf x是数列的极限.所以这个定理把函数()f x的极限归结为数列()nf x的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可

28、由数列极限的性质来推断函数极限性质.注 2 从 Heine 定理可以得到一个说明0lim()xxf x不存在的方法，即“若可找到一个数列 nx，0limnnxx，使得lim()nnf x不存在；”或“找到两个都以0 x为极限的数列但 ,nnxx，使lim(),lim()nnnnf xf x都存在不相等，则0lim()xxf x不存在.例 1 证明01limsinxx不存在.证明 令021nxn，0)2(121nxn，01sinnx,当然趋于0，11sinnx,当然趋于1，故x1sin当0 x时没极限.注 3 对于00,xxxxxx 这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当0

29、 xx时有：定理 2 设函数f在0 x的某空心邻域00()Ux内有定义，0lim()xxf xA 对任何以0 x为极限的递减数列00()nxUx，有lim()nnf xA.二、单调有界定理 yx_ _ 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以0 xx这种类型为例叙述如下:定理 3 设f为定义有00()Ux上的单调有界函数，则右极限0lim()xxf x存在.注 定理 3 可更具体地叙述如下：f为定义在00()Ux上的函数，若（1）f在00()Ux上递增有下界，则0lim()xxf x存在，且000()lim()inf()xxx Uxf xf x；（2）f在00()

30、Ux上递减有上界，则0lim()xxf x存在，且000()lim()sup()xxx Uxf xf x.更一般的有：定理 设)(xf在)(00 xU上定义，且)(xf单调上升，则)(lim00 xfxx存在且等于)(sup)(00 xfxUx.证明 令A)(sup)(00 xfxUx,当集合)(|)(00 xUxxf有上界时,A，当它无上界时，A.1)A 0,由上确界定义，x)(00 xU,使得 Axf)(,取00 xx，则当xx00时，由函数单调上升得Axfxf)()(,再由上确界定义 AxfA)(或 Axf)(,即 )(sup)(lim)(0000 xfAxfxUxxx.2)A _ _

31、因集合无上界，对0 M,x)(00 xU,使得Mxf)(.取 00 xx，则当xx00时,有Mxfxf)()(,即)(sup)(lim)(0000 xfxfxUxxx.类似地我们有:)(xf在)(00 xU定义，且)(xf单调下降,则)(inf)(lim)(0000 xfxfxUxxx,以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明.三、函数极限的 Cauchy 收敛准则 定理（Cauchy 准则）设函数f在00(;)Ux内有定义，0lim()xxf x存在任给0，存在正数()，使得对任何00,(;)x xUx 有|()()|f xf x.证明 )(利用极限的定义)设bxfax)(l

32、im，则 0，0（）当|0ax时有 2/|)(|bxf,从而当|0ax，|0ax时有 2/2/|)(|)(|)()(|bxfbxfxfxf)(利用 Heine 归并原则)设na),(aU且aannlim，由假设，0，0（），只要x，x),(aU|)()(|xfxf,对此，0n，当0,nnm时有|0aam，|0aan._ _ 从而|)()(|mnafaf由数列的Cauchy收敛准则，)(limnnaf存在设为bafnn)(lim设nb),(aU为另一数列，且abnnlim则同上可得)(limnnbf存在,设为cbfnn)(lim,考虑数列,2211nnnbababaC 易见nC),(aU且aCn

33、nlim 如上所证，)(limnnCf存在，作为)(nCf的两个子列)(naf、)(nbf必收敛于同一极限，即cb.因此由归结原则得 bxfax)(lim.注 按照 Cauchy 准则，可以写出0lim()xxf x不存在的充要条件：存在0，对任意(0)，存在00,(;)x xUx 使得|()()|f xf x.例 用 Cauchy 准则说明01limsinxx不存在.证明 取.21 ,1nxnx 例 5 设在),a上函数)(xf.则极限)(limxfx存在,)(xf在),a上有界.(简证,留为作业).综上所述：Heine 定理和 Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具._ _ 3.

34、4 两个重要的极限 教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用.教学重点：两个重要极限的证明及运用.教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习.一、0sinlim1xxx的证明 在单位圆盘 1|),(22yxyxD上，x是圆心角AOB，以弧度计，即它恰好等于AB,而 BCx sin是弦长BB 之半，它的几何意义是 sin2sin1(0)2xxBBxxxBB，即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1.证明 设20 x,AOB面积扇形AOB面积AOD面积，即 tgxxx212

35、1sin21，1sincosxxx,用偶函数性质，这不等式在02x时也成立.令 0 x,1coslim0 xx,两边夹得出 1sinlim0 xxx.推论 R x，xx sin，等号成立当且仅当0 x.0ABDCx_ _ 证明 20 x时,1|sin|sinxxxx,当 2x 显然成立，而0 x时等号成立，且只有0 x时等号成立.二、0sinlim1xxx的应用 例 1 求20cos1limxxx.解 2222222sin1 cos1 sin2()2xxxxxx，令2xt，则0 x时0t；故有21)sin(21limcos1lim2020ttxxtx.例 2 求xxxsinlim.解 令xt，

36、则 ttxsin)sin(sin；且当x时0t，故 1sinlimsinlim0ttxxtx.例 3 求nxmxxsinsinlim0（0,0 xn）.证明 当0m时 nmnxnxnmxmxmnxmxsinsinsinsin；当0m时原式0._ _ 注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1limlimsin1nnnnnn，直接利用0sinlim1xxx是不严格的；但已知0sinlim1xxx，故取,(1,2,)nxnn，则0()nxn，从而由归结原则1sinlim()lim01nnnnf xn.三、证明1lim 1xxex或 10lim 1e.证明 先证x情况，当1x时，有 111111

37、1xxx.xxxxxx)11()11()111(，eexxxxxx 1)11()11()111(所以 exxx)11(lim.再证x情况,令yyx,，eyyyxyyyyxx)111()111(lim)11(lim)11(lim1 由极限与单侧极限关系定理，得 exxx)11(lim.推论 ettt10)1(lim.证明 令xt1,即得._ _ 四、应用 例 1 求xxx10)21(lim.解 令xu2，则ux21；且当0 x时0u（0 x时0u），因此，2202010)11(lim)1(lim)21(limeuuxuuuuxx.例 2 求xxx10)1(lim.解 令ux，则当0 x时0u，因

38、此，euuxuuuuxx1)11(lim)1(lim)1(lim101010 例 3 求xxxx)3212(lim.解 xxxxxxx)2111(1)1221(1)3212(xxx)2111(limeexxxx1)2111()2111(lim2121，故原式e1.也可利用以下结论：0)(limAxfax，Bxfax)(lim，则BxgaxAxf)()(lim，_ _ 1322232)3221()3221()3212(exxxxxxxxx.3.5 无穷小量与无穷大量 教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大 教

39、学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量在计算及证明中，熟练使用“o”与“O”教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 _ _ 教学难点：熟练使用“o”与“O”进行运算 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim0nna.我们称之为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形.例如：0limsin0,xx 20lim0,xx，我们给这类函数一个名称“无穷小量”.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一

40、步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容无穷小量与无穷大量.一、无穷小量(一)定义 定义 1 设f在某00()Ux内有定义.若0lim()0 xxf x，则称f为当0 xx时的无穷小量.记作：0()(1)()f xxx.类似地可以定义当00,xxxxxxx 时的无穷小量.例 (1,2,),sin,1coskxkxx都是当0 x 时的无穷小量；1x是当1x时的无穷小量；21sin,xxx是x 时的无穷小量.(二)无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义 2（有界量）若函数g在某00()Ux内有界，则称g为当0 xx时的有界量，记作：0()(1)()g xOxx._ _ 例如

41、：sin x是当x 时的有界量，即sin(1)()xOx；1sinx是当0 x 时的有界量，即1sin(1)(0)Oxx.注 任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()(1)()f xxx，则0()(1)()f xOxx.区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数f是有界函数或函数f是有界的，意味着存在0，f在定义域内每一点x，都有|()|f xM.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.2、性质 性质 1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.性质 2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量.性质 3 0lim()

42、()xxf xAf xA 是当0 xx时的无穷小量0lim()0 xxf xA.例如：201limsin0 xxx，2300lim()0,limsin0 xxxxxx.问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin2lim0,lim?,lim1,lim1,lim2xxxxxxxxxxxxxxx.引申 同为无穷小量，20lim0 xxx，而20limxxx不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的.这个“级别”表现在收敛于 0（或趋近于 0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别”的标志是x的“指数”，当0 x 时，x的指数越大，它接近于 0 的速度越

43、快.这样看来，当0 x 时，2x的收敛速度快于x的收敛速度.所以其变化结果以2x为主._ _ 此时称2x是（当0 x 时）x的高阶无穷小量，或称0 x 时，x是2x的低阶无穷小量.一般地，有下面定义：3、穷小量阶的比较（主要对0 xx叙述，对其它类似）设当0 xx时，,f g均为无穷小量.（1）若0()lim0()xxf xg x，则称0 xx时f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量，记作0()()()f xo g xxx.即0()()()f xo g xxx0()lim0()xxf xg x.例 1 求0arctanlimsin 4xxx.解 arctan0 xx x，sin440

44、xx x，故00arctan1limlimsin444xxxxxx.例 2 22444000(tansin)tan(1cos)12limlimlimsinsin2xxxxxxxxxxxxxx.例 3 323112arcsin)11ln(limxxx.解 1x时，31x0，01232x，)11ln(3 x31x（1x），arcsin3212x3212x（1x），故原式3313231221121lim121limxxxxx 例 4 xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220._ _ 解 原式xxxxxeexeex22220ln)ln(ln)ln(sinlim)1ln()sin1ln(

45、lim2220 xxxexex1sinlim2220 xxxexex.千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如2111lim11nnnn，显然不能用11n替n1 最后给出一个很有用的表达式：()()f xg xxa即()lim1()xaf xg x，即()()lim0()xaf xg xg x即)()()(xgoxgxf或)()()(xgoxgxf)(ax，如)(sinxoxx，)(21cos122xoxx)0(x.此时称)(xg为的主部.)1(111222xoxxx 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或

46、相减的部分则不能随意替代.(三)小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征其商是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如0021limsinlim0 xxxxxxx.二、无穷大量 _ _(一)问题“无穷小量是以 0 为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”.答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲为函数()f x当0 xx时的极限，意味着是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当0 xx时，()f x与()or 无限接近

47、.例如：1）1()f xx，当0 x 时，1x与越来越接近，而且只要x与 0充分接近，1x就会无限增大；2）1()1f xx，当1x 时，也具有上述特性.在分析中把这类函数()f x称为当0 xx时有非正常极限.其精确定义如下：(二)非正常极限 定义 2（非正常极限）设函数()f x在某00()Ux内有定义，若对任给的0，存在0，当0000(;)()xUxUx时有|()|f xM，则称函数()f x当0 xx时有非正常极限，记作0lim()xxf x.注 1）若“|()|f xM”换成“()f xM”，则称()f x当0 xx时有非正常极限；若换成(),f xM 则称()f x当0 xx时有非

48、正常极限，分别记作00lim(),lim()xxxxf xf x .2)关于函数f在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列na 当n 时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如：_ _ lim()0 xf xM ，当xM时，()f xM;lim0nnaM ，0N，当nN时，naM.(三)无穷大量的定义 定义 3 对于自变量x的某种趋向（或n ），所有以,or 为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.例如：21x当0 x 时是无穷大量；(1)xaa 当x 时是无穷大量.注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;2）若f为0 xx时的无穷大量，则易见f为00()U

49、x上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.例如；()sinf xxx在()U 上无界，但lim()xf x;3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.(四)利用非正常极限定义验证极限等式 例 3 证明(1)201limxx，xx1lim0，xx1lim0;(2)12lim21xxx.证明 (1)0 G，要使Gx21，只要Gx1|.因而取G1，则当0|x 时都有Gxxf21|)(|即201limxx.其余可类似证明.(2)设21|1|x即2321x，0 M，欲使 _ _ Mxxxxxxx|1|154|1|112/32|1|1|12|

50、12|2成立，只须Mx54|1|,故取54,21minM，当|1|0 x时，有Mxx|12|2 即12lim21xxx.例 4 证明当1a 时，limxxa.三、无穷小量与无穷大量的关系 定理（1）设f在00()Ux内有定义且不等于 0，若f为当0 xx时的无穷小量，则1f为0 xx时的无穷大量；（2）若g为0 xx时的无穷大量，则1g为0 xx时的无穷小量.一、必然性推理 概念间关系 直言命题的对当关系 直言命题的变形推理 三段论推理 联言命题与选言命题 假言命题 模态命题 智力推理 概念间关系（概念，是构成命题与推理的基础，只有表达了一类事物的词语才是概念）_ _ 四种概念间关系（概念所表