2023年多元复合函数的二阶偏导数公式.pdf

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1、多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150 摘要本文建立了 多元复合函数的二阶偏导数公式。关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211 使用Jacobi 矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了 多元复合函数的二阶偏导数公式。从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。1一阶偏导数的各种表示式设函数 zfuv C2 其中 uuxy C2vvxy C2。构造函数矩阵行向量 2:A f uf Bx uxvBy uyv则成立一阶偏导数公式 5z5xf

2、 uuxf vvxABTxABx15z5yf uuyf vvyABTyABy2其中 AT 是 A 的转置 ABx 是 A 与 Bx 的内积。定义称F?6?9fuuf uvf uvf vv 为 A 关于 u、v 的导数矩阵。2定理定理一矩阵 A 关于 x 或 y 的偏导数等于矩阵Bx 或 By左乘 A 关于 u、v 的导数矩阵F。证明 5A5x 55xf u5A5xf uxvfuuf uvf uvf vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二设矩阵 G、y.7x、y C 则55xAGTBxFGTA55xGT5第 18 卷第 3 期 1997 年9 月郑州工业大学学报JournalofZhengz

3、houUniversityofTechnologyVol118No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式1 及内积求导公式2 并利用式 3 有55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55xGT同理可得 6 式。3复合函数的二阶偏导数公式取GBx 或 GBy 将其分别代入式 5、6 整理后就有:52Z5x2 uxvfuuf uvf uvf vvu xv f u.f uxxv xx752Z5y2 uyv fuuf uvf uvf vvu yv f u.f uyyv yy852Z5x5y uyv fuuf uvf uvf vvu xv f u.f uxyv

4、xy9 特别地当 uuxvvx时有 d2Zdx2uv fuuf uvf uvf vvu vf u.f uv。10 参考文献 1CGOFFMAN著.史济怀等译.多元微积分.人民教育出版社.19792谢树艺著.矢量分析与场论第二版.高等教育出版社.1990TheFormulaofPartialDerivativeofSecondOrderonCompoundFunctionofManyVarablesHuangShiqiangZhenzhouUniversityofTechnologySunYuejunJiaozuoInstituteofTechnology454150AbstractInthis

5、papertheformulaofpartialderivativeofsecondorderoncom2poundfunctionofmanyvarablesisestablished.Keywordspartialdifferentialmatrixinnerparitial411郑州工业大学学报 1997 年以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多造函数矩阵行向量则成立一阶偏导数公式其中是的转置是与的内积定义称为关于的导数矩阵定理定理一矩阵关于或的积求导公式并利用式有同理可得式复合函数的二阶偏导数公式取或将其分别代入式整理后就有特别地当时有参考文献