2023年奥数题型与解题思路11~20讲-精品推荐.pdf

《2023年奥数题型与解题思路11~20讲-精品推荐.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年奥数题型与解题思路11~20讲-精品推荐.pdf（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、11、有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”-“”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7”，读作“千分之七”。【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以 10 的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。利用小数点移动的规律，很容易把

2、一个数用“科学记数法”表达为“a 10n（1 a 10，n 是整数）”的形式。例如：25700，把小数点向左移动四位，得 1 2.57 10，但 2.57 比 25700 小了 10000倍，所以 25700=2.57 104。0.00867，把小数点向右移动三位，得 1 8.67 10，但 8.67 比 0.00867 大了 1000 倍，所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。四舍五入法 省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是 4，或者是比 4 小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是 5，或者是比

3、5 大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。例如，把 8，654，000 四舍五入到万位，约等于 865 万；把 7.6239 四舍五入保留两位小数约等于 7.62；把 2，873，000，000 四舍五入到亿位，约等于 29亿；把 32.99506 四舍五入精确到百分位约等于 33.00。去尾法 要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。进一法 省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用

4、“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把 1.5972 四舍五入，保留两位小数得 1.60，即 1.5972 1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。例如，要判定 161 和 197 是不是质数，可以把这两个数依次用 2、3

5、、5、7、11、13、17、19等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若 161 或 197 不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。由 161 7=23，可知 161 的约数除了 1 和它本身外，至少还有 7 和 23。所以，161 是合数，而不是质数。由 197 依次不能被 2、3、5、7、11、13 整除，而 197 17=1110，这时的除数 17 已大于不完全商 11，于是可以肯定：197 是质数，而不是合数。因为197 除了它本身以外，不可能有比 17 大的约数。假定有，商也一定比 11 小。这就是说，197

6、 同时还要有比 11 小的约数。但经过试除，比 11 小的质数都不能整除 197，这说明比 11 小的约数是不存在的，所以 197 是质数，不是合数。【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求 2940、756 和 168 的最大公约数：2940=22 3 5 72，756=22 33 7，168=23 3 7；（2940，756，168）=22 3 7=84。注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756 和 168 的最大公约数是 84”。（2）

7、检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。（3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。例如，求 792 和 594 的最大公约数。（792，594）=（792-594，594）=（198，594）=（594-198，198）=（198，396）=（198，396-198）=（198，198）=198，（792，594）=198。用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求 n 个数的最大公约数，具体

8、做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公 约数。例如，求 1260、1134、882 和 1008 的最大公约数。（1260，1134，882，1008）=（1260-1134，882，1008

9、-882，1134-882）=（126，126，882，252）=（126，126，882-126 6，252-126）=（126，126，126，126）=126，（1260，1134，882，1008）=126。（4）辗转相除法（欧几里得算法）。用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相

10、当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。例如，求 437 和 551 的最大公约数。具体做法是：先将 437 和 551 并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。（2）用余数 114 去除 437，把商数“3”写在比 114 大的数（437）的线外，并求得余数为 95。（3）用余数 95 去除 114，把商数“1”写在 114 右边的直线外，并求得余数为 19。（4）用余数 19 去除 95，把商数“5”写在 95 左边的直线外面，并求得余数为 0。（5）当余数为 0 时，就可断定余数 0

11、前面的那一个余数 19，就是 437 和 551的最大公约数。的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 又如，求 67 和 54 的最大公约数，求法可以是 由余数可知，67 和 54 的最大公约数是 1。也就是说，67 和 54 是互质数。辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的九章算术

12、上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早 600 年以上。辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。求一组分数的最大公约数的方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；

13、（2）再求出各个分数分母的最小公倍数 a；（3）然后求出各个分数分子的最大公约数 b；再求出三个分母的最小公倍数，得 72；然后求出三个分子 35、21 和 56 的最大公约数，得 7；【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。例如，求 120、330 和 525 的最小公倍数。120=23 3 5，330=2 3 5 11，525=3 52 7；120，330，525=23 3 52 7 11=46200 注：“120，330，525=46200”表示

14、“120、330 和 525 三个数的最小公倍数是 46200”。的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即 ab=（a，b）a

15、，b 所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即 例如，求 42，105。若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。例如，求 300，540，160，720 300，540，160，720=21600【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。求一

16、组分数的最小公倍数，方法是：（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；（2）再求出各个分数分子的最小公倍数 a；（3）然后求出各个分数分母的最大公约数 b；的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 再求各分数分子的最小公倍数，得 35，21，56=840；然后求各分数分母的最大公约数，得（6，8，9）=1【数的互化方法】整数、小数

17、和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如 由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：（1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是 9，“9”的个数同循环节的位数相同。（2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是 9，末几位数字是 0，“9”字的个数同循环

18、节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。【分数化有限小数判断法】的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 若进一步研究，它又有以下的三种情况：5（即与 10 互质），或者除 2 和 5 以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。这里，又有以下的两种情况：和 5 时，这样的分

19、数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，各项中，能被分母 b 整除的最小的数所含“9”字的个数相同。分母 37 去除 9，99，999，9999，能整除的 最小的数是 999，即 99937（即“999 能被 37 整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37 能整除999”）也可以表示为 37 999（即“37 能整除 999”，“”也是整除符号；亦可逆读为“999 能被 37 整除”。）的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把

20、一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 这里“999”，含有 3 个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是 3 个：=0.513 以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟 2 和 5 在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，各项中，能被分母内 2 和 5 以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。质因数 11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是 3 个（最高乘方 2

21、3的指数为 3），循环部分的循环节数字是两个（11 99，“9”的个数为 2 个）：概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：（1）若分母只含质因数 2，5，则化得的小数是有限小数；（2）若分母不含质因数 2，5，则化得的小数是纯循环小数；（3）若分母既含质因数 2，5，又含 2 和 5 以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是 例如，用白糖（溶质）1 千克，开水（溶剂）4 千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是

22、用对称关系找约数【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出 36 的全部约数：的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它

23、的近数的时候如果要舍去的尾数 因为 36=62，6 是所有约数的“中心数”。比中心数 6 小的约数很容易找到，它们是 1、2、3、4 四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是 36（与 1 对应）、18（与 2 对应）、12（与 3 对应）和 9（与 4 对应）。如下图（图 4.7）：（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出 102 的全部约数：因为 102 102 112，所以可选 10 或 11 为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数 1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数102、51、34、17。

24、如下图（图 4.8）：（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。）【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如 求 24 和 36 的最小公倍数。如图 4.9：24 和 36 的最小公倍数是 24 3=72，或 36 2=72。这样做的道理很简单。因为 所以，用 24 乘以 36 独有的质因数 3，或者用 36 乘以 24 独有的质因数 2，都能得到 24 与 36 的最小公倍数 72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。又如，求 20、12 和 18 三个数

25、的最小公倍数。如图 4.10：20 和 12 的最小公倍数是 20 3=60，60 和 18 的最小公倍数是 60 3=180，20、12 和 18 三个数的最小公倍数便是 180。如果先求 20 和 18 的最小公倍数，再用这个最小公倍数与 12 去求三个数的最小公倍数；或者先求 12 和 18 的最小公倍数，再用这个最小公倍数与 20 去求三个数的最小公倍数，也是可以的。的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍

26、五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数12、用补充数速算 末尾是一个或几个 0 的数，运算起来比较简便。若数末尾不是 0，而是 98、51 等，我们可以用（1002）、（50 1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们把 100 叫做 98 的“大约强数”，2 叫做 98 的“补充数”；50 叫做 51 的“大约弱数”，1 叫做 51 的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如（1）387 99=387（1001）=387 1001=486 168089=

27、1680-（10011）=1680100+11=1580+11=1591 4365-997=4365-（1000-3）=4365-1000 3=3368 69 9=69（10-1）=690-69=621 69 99=69（100-1）=6900-69=6831 87 98=87（100-2）=8700-87 2=8700-200+26=8526 13、一般应用题【和差的问题】例 1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人。四个班的总人数是 _。（1990 年全国小学数学奥林匹克初赛

28、试题）讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多 1 人。则乙、丙两班总人数的 3 倍就等于（131+134-l）=264 人。所以，乙、丙两班共有 246 3=88（人）。然后可求出甲、乙两班总人数为 88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。例 2 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有 16幅画不是六年级的，有 15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有 25幅画，因此，其它年级的画共有_幅。（1988 年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一

29、个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 讲析：由“16 幅画不是六年级的，15 幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多 1 幅画。所以六年级共有 12 幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即 3 幅。例 3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有 100 个故事。每人都认某一 个故事开始按顺序往后读。已知甲读了 75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有 _个。（1991

30、年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。乙、丙两人最少共同读故事 60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事 按顺序往后读,所以甲读了 75 个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面 12 个故事。故答案是 12 个。例 4 某工厂 11 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人 240 人。如果月底统计总厂工人的工作量是 8070 个工作日（1 人 1 天为 1 个工作日），且无 1 人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共 _人。(北京市第九届“迎春杯”小学数学

31、竞赛试题。）讲析：到月底总厂剩下 240 名工人，这 240 名工人一个月的工作日为 240 30=7200（个）。而 8070-7200=870（个）。可知这 870 个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。设每天派 a 人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a 人做 29 天，a 人做 28 天，a 人做 27 天，a 人做 1 天。所以，（1+29）a 29 2=870，可解得 a=2。故，共派到分厂的工人为 2 30=60（人）。【积商的问题】例 1 王师傅加工 1500 个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的 2.5倍，后来再加工 1500 个零件时，比改进技术前少

32、用了 18 小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？（1989 年小学生数学报小学数学竞赛决赛试题）讲析：改进技术后的工效提高到原来的 2.5 倍，后来加工 1500 个零件时，比改进技术前少用 18 小时，则改进技术后加工 1500 个零件的时间是 18（2.5-1）=12（小时）。原来加工 1500 个零件的时间是 12+18=30（小时）于是，改进前每小时加工的便是 1500 30=50（个），改进后每小时加工的便是 1500 12=125（个）。例 2 现有 2 分硬币、5 分硬币各若干个，其中 2 分的比 5 分的多 24 个，如果把 2 分硬币等价换成 5 分硬币，所得的 5 分硬

33、币要比原有的 5 分硬币少 6 个。原来两种硬币各有多少个？（1993 年“光远杯”小学数学竞赛试题）讲析：我们用方程来解，设原来有 x 个 5 分的硬币；则 2 分硬币共有（x+24）个。由题意得：2（x+24）5=x-6。解得：x=26，即 5 分币有 26 个。于是，2 分币便有 的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数

34、26+24=50（个）循环小数【循环小数化分数】小学数学竞赛试题）讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与 数推出？（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）讲析：循环节有 6 位数字。而（89-3）6=14 余 2。即小数点后第 89 位以后的数是 230769 循环。【循环小数的计算】（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得 例 2 图 5.3 列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位 _。（1989 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：要想这个数最大，整数部分必须选 9。它有四种：9.291892915，9.189291592，

35、9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是 9.291892915。再考 的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数14、旋转变换【旋转成定角】例如下面的题目：“在图 4.23 中，半径为 8 厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆

36、外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转 45，使原图变成图 4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大（8 2）（8 2）2=16 16 2=128（平方厘米）又如，如图 4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转 90，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图 4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解

37、答出来了。（解答略）【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图 4.27 的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转 90，得到图 4.28；再继续旋转，得到图 4.29。在图 4.29 中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是 的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次

38、幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 42 3.14 2-（4+4）4 2=25.12-16=9.12（平方厘米）又如，求图 4.30 阴影部分的面积（单位：厘米）。将这个图从中间剪开，以 o 为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半 部下方，便变成了图 4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边 均为 2 厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即（4 2）2 3.14 2-2 2 2=6.28-2=4.28（平方厘

39、米）15、小数和分数【小数问题】例 1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大 25.65，原数是_。（1993 年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了 10 倍，新数比原数就多 9 倍。所以，原数为 25.65 9=2.85。例 2 甲、乙两个数之和是 171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是 _。（1993 年广州市小学数学竞赛试题）讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的 10倍。所以，乙数是 171.66（10+1）=15.6，甲数是 15.6。例 3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数

40、点，使它变成小数，差就增加 154.44，这个整数是 _。（1990 年小学生报小学数学竞赛试题）讲析：因为差增加 154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了 100 倍，即这个整数比原数增加了 99 倍，由 154.44 99=1.56 可知，这个整数是 156。【分数问题】的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数（1993

41、 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：20 11+2=222，15 11=165。（1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）7 至 64 这 58 个连续自然数中，去掉 13 的倍数 13、26、39、52 四个数，用余下的 54 个数作分子，可得到 54 个最简分数。c，则三个分数的和为 6。求这三个真分数。（第三届从小爱数学邀请赛试题）因为三个分数为最简真分数，所以 a 只能是 1、2，b 只能取 1、3，C 只能取1、5。经检验，a=2，b=3，c=5 符合要求。故三个真分数分别是 例 4 地同时满足下列条件的分数共有多少个？（2）分子和分母都是质数；（3）分母是两位数。请列

42、举出所有满足条件的分数。（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）讲析：100 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。

43、所以，符合条件的分数有 12 个：16、特殊解题方法【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。例 1 从甲地到乙地有 A、B、C 三条路线，从乙地到丙地有 D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图 3 28）分析：从甲地到乙地有 3 条路线，从乙地到丙地有 4 条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动

44、的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 解：3 4 12 答：共有 12 条路线。例 2 如果一整数，与 1、2、3 这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括 号）组成算式，能使结果等于 24，那么这个整数就称为可用的。在 4、5、6、7、8、9、10、11、12 这九个数中，可用的有 _个。（1992 年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。4（1 2 3）24（5 1 2）3 24 6（3 2 l）24 7 3 十豆十 224 8 3（

45、2 1）24 9 31224 10 2 l 3 24 11 2 3 l 24 12（3 1 2）24 通过计算可知，题中所给的 9 个数与 1、2、3 都能够组成结果是 24 的算式。答：可用的数有 9 个。例 3 从 0、3、5、7 中选出三个数字能排成 _个三位数，其中能被 5整除的三位数有 _个。（1993 年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：根据题中所给的数字可知：三位数的百位数只能有三种选择：十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有 3 种选择；个位数在余下的两个数字中取一个数字，有 2 种选择。解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被 5 整除的。305，307，350，3

46、57，370，375；503，507，530，537，570，573；703，705，730，735，750，753 答：能排成 18 个三位数，其中能被 5 整除的有 10 个数。例 4 数一数图 3 30 中有多少个大小不同的三角形？分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成 A、B、C、D四类。A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形 16 个；的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方

47、法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 B 类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形 7 个。6 个 尖朝上，一个尖朝下。C 类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形 3 个，尖都朝上。D类：是最大的三角形，图中只有 1 个。解：16 7 3 1 27（个）答：图中有大小不同的三角形共 27 个。【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以

48、给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“1”未知，就给单位“1”设具体数值。例 1 判断下列各题。（对的打，错的打）（1）除 1 以外，所有自然数的倒数都小于 1。（）（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（）以上各数的倒数都小于 1，就能猜测此题的说法是正确的。第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。由上表看出，正方体的棱长扩大 2 倍，体积扩大 8

49、倍；棱长扩大 4 倍，体积扩大 64 倍这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。几分之几？分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为 60 人。男生人数则为 女生人数比男生人数少几分之几，则为 的分数或者用百分数去表示这时便可按分数百分数的方法去读千分数是表示一个数是另一个数的千分之几的分数它常 数次幂来表示一个数的方法叫做科学记数法利用小数点移动的规律很容易把一个数用科学记数法表达为是整数的形式 方法一般有四舍五入法去尾法和进一法三种四舍五入法省略一个数的一部分尾数取它的近数的时候如果要舍去的尾数 解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。分析

50、：这道题似乎条件不够，不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系，给从 A地去 B 地的速度设一个具体数值试一试。假设去时每小时走 20 千米，那么 A、B 两地的路程就是：沿原路回家的速度则为：回家时所需的时间则为：解：把全路程看作单位“1”。例 4 已知甲校学生数是乙校学生数的 40，甲校女生数是甲校学生数的30，乙校男生数是乙校学生数的 42，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是 _。（1993 年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛 B 卷）分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。