2023年2020中考数学考点总动员：专题直角三角形.pdf

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1、专题 43 直角三角形 聚焦考点温习理解 一、直角三角形 1.定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理 1.勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即：a2+b2=c2;2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边 a、b、c 有关系：a2+b2=c2，那么这个三

2、角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）四、互逆命题、互逆定理 1.互逆命题 如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.互逆定理 若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.名师点睛典例分类 考点典例一、直角三角形的判定【例 1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A4,

3、5,6 B1.5,2，2.5 C2,3,4 D1，2，3【答案】B 考点：勾股定理的逆定理【举一反三】（舟山一中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A3、4、5 B2、3、4 C1、2、3 D4、5、6【答案】A【解析】试题分析：选项 A，32+52=25=52；选项 B，22+32=42；选项 C，12+2232；选项 D，42+5262根据勾股定理的逆定理可得只有选项 A能够成直角三角形，故答案选 A 考点：勾股定理的逆定理 考点典例二、直角三角形的性质【例 2】如图，在 RtABC中，D，E为斜边 AB上的两个点，且 BD=BC，AE=AC，则DCE的大小为

4、【答案】45 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这 考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.方程思想的应用【举一反三】在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是()A120 B90 C60 D30【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于 6

5、0，另一个锐角的度数=9060=30 故选 D 考点：直角三角形两锐角的关系.考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例 3】如图，在 RtABC中，ACB=90，点D是 AB的中点，且 CD=52，如果 RtABC的面积为 1，则它的周长为（）A512 B 51 C52 D53 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这【答案】D 考点

6、：勾股定理；直角三角形斜边上的中线【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】（2015.山东枣庄，第 15 题，4 分）如图，ABC中，CD AB于 D，E是 AC的中点，若 AD=6，DE=5，则 CD=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为 CD AB，所以ADC是直角三角形，E为 AC的中点，所以 AC=2DE=10，由勾股定理可得 AD=8.斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全

7、等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这考点：直角三角形的性质 考点典例四、命题【例 3】下列命题中，是真命题的是()A等腰三角形都相似 B等边三角形都相似 C锐角三角形都相似 D直角三角形都相似【答案】B【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为 60，从而都相似.故选 B 考点：1.命题和定理；2.相似三角形的判定；3.等边三角形的性质.【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1 可使求解过程更容易理解【举一

8、反三】下列命题错误的是（）A所有的实数都可用数轴上的点表示 B等角的补角相等 C无理数包括正无理数，0，负无理数 D两点之间，线段最短【答案】【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对 A进行判断；根据补角的定义对 B进行判断；根据无理数的分类对 C进行判断；根据线段公理对 D进行判断 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这

9、考点：命题与定理 课时作业能力提升 一、选择题 1.(2015.北京市，第 6 题，3 分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点 C被湖隔开，若测得AM的长为 1.2km，则M、C两点间的距离为()A0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MC=1.2km 故选 D 考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2.（2015湖北黄冈，6 题，3 分）如图，在ABC 中，C=Rt，B=30，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD=3，则BC 的长为（）A6 B36 C

10、9 D33 【答案】C 考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质 3.（2015辽宁大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点 D在 BC上，ADC=2 B，斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这AD=5，则 BC的长为（）A.3-1 B.3+1 C.5-1 D.5+1【答案】D【解析】试题分析：在ADC中，C=

11、90，AC=2，所以 CD=1252222ACAD，因为ADC=2 B，ADC=B+BAD，所以B=BAD，所以 BD=AD=5，所以 BC=5+1，故选 D.考点：解直角三角形.4.（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A13cm B2 61cm C61cm D2 34cm【答案】A【解析】试题分析：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外

12、壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=22A DBD=22512=13（Cm）故选A 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这 考点：平面展开-最短路径问题 5.（2015 眉山）如图，在RtABC中，B=900

13、，A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=l，则AC的长是（）A32 B2 C34 D4 【答案】A【解析】试题分析：在RtABC中，B=90，A=30，ACB=60，DE垂直平分斜边AC，AD=CD，ACD=A=30，DCB=6030=30，在RtDBC中，B=90，DCB=30，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC=2221=3，在RtABC中，B=90，A=30，BC=3，AC=2BC=32，故选A 考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质；3勾股定理 6.（2015乐山）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）斜

14、边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这A33 B55 C2 33 D2 55【答案】D 考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4网格型 二、填空题 7.（2015 成都）如图，在平行四边形ABCD中，AB=13，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_ 【答案】3【解析

15、】试题分析：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据翻折的性质，则AEBC，BE=CE=2，在RtABE中，由勾股定理得221343AEABBE 故答案为：3 考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3平行四边形的性质 8.（2015内江）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC=斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和

16、题设我们把风这【答案】6 3 考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理 9.如图，在 RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点 E在 BC上，将ABC沿 AE折叠，使点 B落在 AC边上的点 B处，则BE的长为 【答案】32【解析】试题分析：在 RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，22BCACAB4.由折叠的性质得：BE=BE，AB=AB，设 BE=x，则 BE=x，CE=4 x，BC=ACAB=ACAB=2，在 RtBEC中，BE2+BC2=EC2，即 x2+22=（4x）2，解得：x=32 BE的长为32 考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10

17、.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD=1，tanABD=3，则CD的长为 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这【答案】23或23或33【解析】试题分析：分三种情况：如图1，A为钝角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=3，AD=3，AB=2，AC=2，CD=23，

18、如图2，A为锐角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=3，AD=3，AB=2，AC=2，CD=23，如图3，BA=BC，BDAC，AD=CD，在RtABD中，BD=1，tanABD=3，AD=33，CD=33，综上所述；CD的长为：23或23或33，故答案为：23或23或33 考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理 11.如图，在 RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC折叠，使点 B恰好落在边 AC上，与点 B重合，AE为折痕，则 EB=【答案】1.5.斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直

19、角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这考点：翻折变换（折叠问题）12.如图，直线 m n，RtABC的顶点 A在直线 n 上，C=90，若1=25，2=70.则B=【答案】45.【解析】试题分析：m n，2=70，BAn=70.1=25，BAC=45.C=90，B=45.考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.（2015湖北黄冈，14 题，3 分）在ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为

20、 12cm，则ABC 的面积为_2cm【答案】126 或 66【解析】斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这试题分析：当B为锐角时（如图1），在RtABD中，BD=22ABAD=221312=5cm，在RtADC中，CD=22ACAD=222012=16cm，BC=21，SABC=12BCAD=122112=126cm2；当B为钝

21、角时（如图2），在RtABD中，BD=22ABAD=221312=5cm，在RtADC中，CD=22ACAD=222012=16cm，BC=CDBD=165=11cm，SABC=12BCAD=121112=66cm2，故答案为：126或66 考点：1勾股定理；2分类讨论 三、解答题 14.如图，将ABC放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、C均落在格点上.（1）计算22ABBC的值等于 ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 AB为一边的矩形，使矩形的面积等于22ABBC，并简要说明画图方法（不要求证明）.【答案】（1）11；（2）作图如下，分别以 AC、BC、

22、AB为一边作正方形 ACED，正方形 BCNM，正方形 ABHF；延长 DE交 MN于点 Q，连接 QC，平移 QC至 AG，BP位置，直线 GP分别交 AF，BH于点 T，S，则四边形 ABST即为所求 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算：2222ACBC2311.（2）首先分别以

23、 AC、BC、AB为一边作正方形 ACED，正方形 BCNM，正方形 ABHF；进而得出答案 考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理 15.（1）问题发现 如图 1，ACB和DCE均为等边三角形，点 A、D、E在同一直线上，连接 BE.填空：AEB的度数为 ；线段 AD 和 BE之间的数量关系是 .（2）拓展探究 如图 2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=900,点 A、D、E在同一直线上，CM为DCE中 DE边上的高，连接 BE.请判断AEB的度数及线段 CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中，CD

24、=2.若点 P满足 PD=1，且BPD=900，请直接写出点 A到BP的距离.斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这【答案】（1）60；AD=BE；（2）AEB 900；AE=2CM+BE，理由见解析；（3）312或312.（2）同（1）可证ACDBCE，再由等腰直角三角形的性质可得结论AEB 900；AE=2CM+BE.（3）P

25、D=1，BPD=900，BP是以点 D为圆心、以 1 为半径的 OD的切线，点 P为切点 第一种情况：如图，过点 A作 AP的垂线，交 BP于点 P/，可证APDAP/B，PD=P/B=1，CD=2，BD=2，BP=3.AM=12PP/=12(PB-BP/)=312.第二种情况如图，可得 AM=12PP/=12(PB+BP/)=312.试题解析：（1）60；AD=BE.（2）AEB 900；AE=2CM+BE.理由如下：斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊

26、的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=900，AC=BC，CD=CE，ACB=DCB=DCEDCB，即ACD=BCE.ACDBCE（SAS）.AD=BE,BEC=ADC=13 50.AEB=BECCED=1350450=900 在等腰直角三角形 DCE中，CM为斜边 DE上的高，CM=DM=ME.DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE.（3）312或312.考点：1.等边三角形和等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.切

27、线的判定和性质；5.分类思想的应用.16.如图，在等边三角形 ABC中，点 D，E分别在边 BC，AC上，且DEAB，过点 E作 EFDE，交 BC的延长线于点 F.（1）求F的度数；（2）若 CD=2，求 DF的长.【答案】（1）30；（2）4.斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这 考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含 30 度角的直角三角形的性质 斜边的一半判定两个内角互余的三角形是直角三角形三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形的三条边有关系那么这个三角形是直角三角形三直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形判定它们全等时除简写成斜边直角边或四互逆命题互逆定理互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设我们把风这